Đại học Quốc gia TP.HCM
Trường Đại học Bách Khoa
Bộ môn Toán Ứng dụng
.
Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính
ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
Ngày 19 tháng 9 năm 2014
. .
Mục lục
Mục lục ....................................... 1
31 Ma trận
1.1 Cáckháiniệmcơbản.............................. 3
1.2 Biến đổi sơ cấp và hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Cácphéptoánmatrận............................. 8
1.4 Matrậnnghịchđảo............................... 12
1.5 Bàitậptrắcnghiệm .............................. 15
2 Định thức 23
2.1 Địnhthức .................................... 23
2.2 Tínhchấtđịnhthức .............................. 24
2.3 Matrậnnghịchđảo............................... 29
2.4 Laplace và định thức cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Bàitậptrắcnghiệm .............................. 35
3 Hệ phương trình 43
3.1 Hệtổngquát .................................. 43
3.2 Hệ phương trình Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Hệthuầnnhất.................................. 47
3.4 Bàitậptrắcnghiệm .............................. 52
4 Không gian véc tơ 59
4.1 Địnhnghĩavàvídụ............................... 59
4.2 ĐLTT-PTTT ................................. 60
4.3 Hạngcủahọvéctơ............................... 65
4.4 Tập sinh, cơ sở và số chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5 Tọađộvéctơ .................................. 72
4.6 Matrậnchuyểncơsở.............................. 76
4.7 Khônggiancon................................. 79
4.8 Tổng giao hai không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.9 Bàitậptrắcnghiệm .............................. 89
5
Không
gian
Euclide
97
5.1
Tích
vô
hướng
của
2
véc
tơ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
97
5.2
KG
bù
vuông
góc
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
102
5.3
Hình
chiếu
vuông
góc
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
105
5.4
Quá
trình
Gram-Schmidt
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
109
5.5
Bài
tập
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
111
1
.
.
Mục lụcMục lục
6 Ánh xạ tuyến tính 113
6.1 Địnhnghĩavàvídụ...............................113
6.2 Nhânvàảnh...................................116
6.3 Matrậncủaaxtt ................................119
6.4 Liênhệgiữa2matrận.............................123
6.5 Bàitập......................................127
7 Trị riêng - véc tơ riêng 129
7.1 TR-VTR.....................................129
7.2 Chéohóamatrận................................135
7.3 MTđốixứngthực ...............................139
7.4 TR,VTRcủaaxtt................................142
7.5 Chéohóaaxtt..................................144
7.6 Bàitập......................................147
8 Dạng toàn phương 149
8.1 Địnhnghĩa ...................................149
8.2 Dạngchínhtắc .................................150
8.3 Phân loại dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.4 Bàitập......................................159
9 Các đề thi cuối kỳ 161
10 Matlab 173
10.1Càiđặt......................................173
10.2Giớithiệu ....................................179
10.3 Các lệnh cơ bản của matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.4 Các lệnh cơ bản trong đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.5 Một số lệnh cơ bản dùng trong lập trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.6 Cấu trúc điều kiện và vòng lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 2 Ths.Nguyễn Hữu Hiệp
. .
Chương 0. Số phức
Nội dung
•Dạng đại số của số phức
•Dạng lượng giác của số phức
•Dạng mũ của số phức
•Căn bậc n của số phức
•Định lý cơ bản đại số
•Quỹ tích trong mặt phẳng phức.
0.1 Dạng đại số của số phức
Định nghĩa 0.1 i) Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho i2=−1.
ii) Cho a, b là 2 số thực, ilà đơn vị ảo. Khi đó z=a+bi được gọi là số phức.
Số thực a:= Re(z)gọi là phần thực của số phức z.
Số thực b:= Im(z)gọi là phần ảo của số phức z.
Số thực |z|=√a2+b2gọi là modul của số phức z
iii) Tập tất cả các số phức dạng z= 0 + ib, b ∈R\ {0}gọi là số thuần ảo.
Ví dụ 0.1
i, −2i, 3ilà những số thuần ảo.
Tập hợp số thực là tập hợp con của tập hợp số phức, vì: ∀a∈R:a=a+ 0.i là một số
phức.
Định nghĩa 0.2 2 số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo tương ứng
bằng nhau
a1+ib1=a2+ib2⇐⇒ (a1=b1,
a2=b2.
Ví dụ 0.2 cho z1= 2 + 3i, z2=m+ 3i. Tìm mđể z1=z2.
z1=z2⇐⇒ (2 = m,
3 = 3.
Phép cộng trừ 2 số phức
(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
(a+bi)−(c+di) = (a−c)+(b d)i
3
.
−
.
CHƯƠNG 0. SỐ PHỨC0.1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
Ví dụ 0.3 Tìm phần thực và ảo của z= (3 + 5i) + (2 −3i).
z= (3 + 5i) + (2 −3i) = (3 + 2) + (5 −3)i= 5 + 2i.
=⇒Re(z)=5, Im(z) = 2.
Phép nhân 2 số phức
(a+bi)(c+di) = (ac −bd) + (ad +bc)i
Ví dụ 0.4 Tìm dạng đại số của z= (2 + 5i)(3 + 2i).
z= (2 + 5i)(3 + 2i) = 2.3+2.2i+ 5i.3+5i.2i
= 6 + 4i+ 15i+ 10i2= 6 + 10(−1) + 19i
=−4 + 19i.
Ghi chú
•Khi cộng(trừ) 2 số phức, ta cộng(trừ) phần thực và phần
ảo tương ứng.
•Khi nhân 2 số phức, ta thực hiện giống như nhân 2 biểu
thức đại số với chú ý i2=−1.
Số phức liên hợp
Số phức ¯z=a−bi gọi là liên hợp của số phức z=a+bi.
Ví dụ 0.5 Tìm số phức liên hợp của z= (2 + 3i)(4 −2i).
Ta có z= (2 + 3i)(4 −2i)=2.4−2.2i+ 3i.4−3i.2i
= 8 −4i+ 12i+ 6 = 14 + 8i
=⇒¯z= 14 −8i.
Tính chất cho 2 số phức z, w
1) z+ ¯z= 2Re(z)∈R.
2) z.¯z=|z|2∈R.
3) z= ¯z⇐⇒ z∈R.
4) z+w=z+w.
5) z.w =z.w.
6) z=z.
7) zn=zn,∀n∈N.
Chia 2 số phức
z1
z2
=a1+ib1
a2+ib2
=(a1+ib1)(a2−ib2)
(a2+ib2)(a2−ib2)=a1a2+b1b2
a2
2+b2
2
+ib1a2−a2b1
a2
2+b2
2
.
Ta nhân liên cả tử và mẫu cho liên hợp mẫu.
Đại học Bách khoa TPHCM Trang 4 Ths.Nguyễn Hữu Hiệp
. .