Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2): Chương 5

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2) - Chương 5: Hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm số nhiều biến số, cung cấp cho người học những kiến thức như hàm số nhiều biến số; một số hàm giá trị cận biên trong kinh tế; cực trị không có ràng buộc; cực trị có ràng buộc. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2): Chương 5

CHƯƠNG 5 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
BÀI 1 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
I. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ 𝒏 BIẾN SỐ • Cho 𝑫 ⊂ ℝ 𝒏 , 𝑫 ≠ ∅. Hàm số từ 𝑫 vào ℝ là một quy tắc 𝒇 mà ứng với mỗi điểm 𝑿 = 𝒙 𝟏 , 𝒙 𝟐 , . . . , 𝒙 𝒏 ∈ 𝑫 và thông qua quy tắc đó ta đều xác định được duy nhất một số thực 𝒛 ∈ ℝ. Khi đó, 𝒇 được gọi là một hàm số với 𝒏 biến số xác định trên 𝑫 và thường được ký hiệu đầy đủ là: 𝒇: 𝑫 → ℝ 𝑿 = 𝒙 𝟏 , 𝒙 𝟐 , … , 𝒙 𝒏 ⟼ 𝒛 = 𝒇(𝒙 𝟏 , 𝒙 𝟐 , … , 𝒙 𝒏 ). Hoặc viết tắt là: 𝒛 = 𝒇 𝑿 , 𝑿 ∈ 𝑫. Sau đây, để đơn giản về trình bày ta sẽ nghiên cứu hàm hai biến 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 .
I. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ 𝒏 BIẾN SỐ Cho hàm hai biến 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 . • Miền xác định của hàm 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 : 𝑫 = { 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ 𝟐 |𝒇 𝒙, 𝒚 có nghĩa}. • Miền giá trị của hàm 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 : 𝑮 = 𝒛 ∈ ℝ|𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫 . Ví dụ 1: Tìm miền xác định, miền giá trị của hàm số 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟗 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐.
II. ĐẠO HÀM RIÊNG 1. Quy tắc tính đạo hàm riêng Cho hàm số 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 xác định trên miền 𝑫 ⊂ ℝ 𝟐 . Ta có quy tắc tính đạo hàm riêng của hàm 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 như sau: • Đạo hàm riêng theo 𝒙: coi 𝒙 là biến số, 𝒚 là hằng số và tính như đạo hàm 𝝏𝒛 𝝏𝒇 𝒙,𝒚 của hàm một biến, kí hiệu: 𝒛%𝒙 ; 𝒇%𝒙 𝒙, 𝒚 ; ; . 𝝏𝒙 𝝏𝒙 • Đạo hàm riêng theo 𝒚: coi 𝒙 là hằng số, 𝒚 là biến số và tính như đạo hàm 𝝏𝒛 𝝏𝒇 𝒙,𝒚 của hàm một biến, kí hiệu: 𝒛%𝒚 ; 𝒇%𝒚 𝒙, 𝒚 ; 𝝏𝒚 ; 𝝏𝒚 .
II. ĐẠO HÀM RIÊNG 2. Véc tơ Gradient Cho hàm số 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 có các đạo hàm riêng tại điểm 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 ∈ 𝑫. Véc tơ gradient của hàm 𝒇 tại điểm 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 được kí hiệu và xác định như sau: 𝒛%𝒙 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 = 𝜵𝒇 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 = . 𝒛%𝒚 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎
II. ĐẠO HÀM RIÊNG 3. Các ví dụ Ví dụ 2: Tính các đạo hàm riêng của hàm số 𝒛 = 𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 𝟐 𝒚 + 𝒚 𝟐 tại điểm 𝑴 = −𝟏, 𝟐 . Ví dụ 3: Tính các đạo hàm riêng của hàm số 𝒛 = 𝒙 + 𝒚 − 𝒙 (𝒚 > 𝒙).
Ví dụ 4: 𝒙 Tính các đạo hàm riêng của hàm số 𝒛 = 𝒙 𝒚 + 𝒚 ≠ 𝟎, 𝟎 < 𝒙 ≠ 𝟏 . 𝒚 Ví dụ 5: Cho hàm số hai biến số: 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑 + 𝟒𝒙 + 𝒚 𝟐 . a) Tính các đạo hàm riêng của hàm số tại điểm 𝑴 = 𝟑, 𝟐 . b) Tính 𝜵𝒇 𝟑, 𝟐 . Ví dụ 6: Cho hàm số hai biến số: 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 𝟐 . Xác định véc tơ gradient của hàm 𝒇 tại điểm 𝒙, 𝒚 bất kì.
III. VI PHÂN 1. Định nghĩa Cho hàm số 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 xác định trên miền D và có các đạo hàm riêng tại 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫. Khi đó: • Vi phân riêng theo biến x của hàm số là: 𝒅 𝒙 𝒛 = 𝒛%𝒙 𝜟𝒙 = 𝒛%𝒙 𝒅𝒙. • Vi phân riêng theo biến y của hàm số là: 𝒅 𝒚 𝒛 = 𝒛%𝒚 𝜟𝒚 = 𝒛%𝒚 𝒅𝒚. • Vi phân toàn phần của hàm số là: 𝒅𝒛 = 𝒛%𝒙 𝜟𝒙 + 𝒛%𝒚 𝜟𝒚 = 𝒛%𝒙 𝒅𝒙 + 𝒛%𝒚 𝒅𝒚.
III. VI PHÂN Ví dụ 7: Cho hàm số 2 biến số: 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙 𝒚. Tính các vi phân riêng và vi phân toàn phần của hàm 𝒇 tại điểm (𝟏, 𝟏).
III. VI PHÂN 2. Hệ số co giãn Xét điểm 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 ∈ 𝑫 mà 𝒙 𝟎 > 𝟎; 𝒚 𝟎 > 𝟎 và 𝒇 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 ≠ 𝟎, ta có: 𝜟𝒇 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 = 𝒇%𝒙 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 𝜟𝒙 + 𝒇%𝒚 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 𝜟𝒚. 𝜟𝒇 𝒙 𝟎 ,𝒚 𝟎 𝒇#𝒙 𝒙 𝟎 ,𝒚 𝟎 𝒙 𝟎 𝜟𝒙 𝒇#𝒚 𝒙 𝟎 ,𝒚 𝟎 𝒚 𝟎 𝜟𝒚 Suy ra: = + . 𝒇 𝒙 𝟎 ,𝒚 𝟎 𝒇 𝒙 𝟎 ,𝒚 𝟎 𝒙𝟎 𝒇 𝒙 𝟎 ,𝒚 𝟎 𝒚𝟎 • Hệ số co giãn riêng theo biến 𝒙 của hàm 𝒇 tại điểm 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 là đại lượng 𝒇 𝒇%𝒙 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 𝒙 𝟎 𝜺 𝒙 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 = . 𝒇 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 • Hệ số co giãn riêng theo biến 𝒚 của hàm 𝒇 tại điểm 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 là đại lượng 𝒇 𝒇"𝒚 𝒙 𝟎 ,𝒚 𝟎 𝒚 𝟎 𝜺𝒚 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 = 𝒇 𝒙 𝟎 ,𝒚 𝟎 . • Hệ số co giãn toàn phần của hàm 𝒇 tại điểm 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 là véc tơ 𝒇 𝜺 𝒙 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 𝜺 𝒇 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 = 𝒇 . 𝜺 𝒚 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎
III. VI PHÂN 2. Hệ số co giãn Từ đó ta có công thức xét sự tăng (giảm) của hàm số 𝒇 tại điểm 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 là: 𝜟𝒇 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 𝒇 𝜟𝒙 𝒇 𝜟𝒚 = 𝜺 𝒙 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 + 𝜺 𝒚 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 . 𝒇 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 𝒙𝟎 𝒚𝟎 Ý nghĩa: Tại điểm 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 : 𝜟𝒙 q Nếu biến 𝒙 tăng hoặc giảm với tỉ lệ 𝒙𝟎 = 𝒂%, còn biến 𝒚 không thay đổi thì hàm 𝒇 số 𝒇 thay đổi với tỉ lệ xấp xỉ 𝒂𝜺 𝒙 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 %. 𝜟𝒚 q Nếu biến 𝒚 tăng hoặc giảm với tỉ lệ = 𝒃%, còn biến 𝒙 không thay đổi thì hàm 𝒚𝟎 𝒇 số 𝒇 thay đổi với tỉ lệ xấp xỉ 𝒃𝜺 𝒚 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 %. q Nếu 𝒙 thay đổi 𝒂%, 𝒚 thay đổi 𝒃% thì hàm số 𝒇 thay đổi với tỉ lệ xấp xỉ 𝒇 𝒇 𝒂𝜺 𝒙 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 + 𝒃𝜺 𝒚 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 %.
III. VI PHÂN Ví dụ 8: 𝟒 Cho hàm 2 biến số 𝒛 𝒙, 𝒚 = 𝟓𝟎 𝒙𝒚 𝟑 , 𝒙 > 𝟎, 𝒚 > 𝟎 . Tại điểm 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 bất kì thuộc miền xác định, thực hiện các yêu cầu sau: a) Tính các hệ số co giãn riêng, hệ số co giãn toàn phần của hàm số và nêu ý nghĩa của các kết quả nhận được. b) Nếu 𝒙 tăng 𝟑% giá trị còn 𝒚 giảm 𝟐% giá trị thì 𝒛 thay đổi thế nào? c) Nếu 𝒙 giảm 𝟐% giá trị, để 𝒛 tăng 𝟑% giá trị thì 𝒚 phải thay đổi như thế nào?
III. VI PHÂN Ví dụ 9: Cho hàm 2 biến số 𝒛 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 𝒙 > 𝟎, 𝒚 > 𝟎 . Tại điểm (3, 2) nếu 𝒙 giảm 𝟏% giá trị còn 𝒚 tăng 𝟐% giá trị thì 𝒛 thay đổi thế nào? Ví dụ 10: Cho hàm 2 biến số 𝒛 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙 𝟑 + 𝟑𝒚 𝒙 > 𝟎, 𝒚 > 𝟎 . Tại điểm 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 bất kì thuộc miền xác định nếu 𝒙 tăng 𝟏% giá trị và 𝒚 tăng 𝟑% giá trị thì 𝒛 thay đổi thế nào?
IV. ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 2 Cho hàm số 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 xác định trên miền D và có các đạo hàm riêng là 𝒛%𝒙 𝒙, 𝒚 và 𝒛%𝒚 𝒙, 𝒚 . Nếu các hàm số 𝒛%𝒙 , 𝒛%𝒚 có đạo hàm riêng thì ta nói hàm 𝒛 có các đạo hàm riêng cấp hai là: • Đạo hàm riêng cấp 2 theo x: 𝒛. = 𝒛%𝒙 %𝒙 . 𝒙𝒙 • Đạo hàm riêng cấp 2 theo y: 𝒛. = % %. 𝒛𝒚 𝒚𝒚 𝒚 • Đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp theo x trước, y sau: 𝒛. = 𝒛%𝒙 %𝒚 . 𝒙𝒚 • Đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp theo y trước, x sau: 𝒛. = % %. 𝒛𝒚 𝒚𝒙 𝒙
IV. ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 2 Chú ý: • 𝒛. = 𝒛. ⇔ 𝒇 𝒙, 𝒚 có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai. 𝒙𝒚 𝒚𝒙 • Ma trận Hessian của hàm số 𝒇 tại điểm 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 được kí hiệu và xác định như sau: 𝒛. 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 𝒙𝒙 𝒛. 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 𝒙𝒚 𝑯 𝒇 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 = . 𝒛. 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 𝒚𝒙 𝒛. 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 𝒚𝒚 Ví dụ 11: Xác định ma trận Hessian của hàm số sau tại điểm 𝟎, 𝟏 : 𝒛 𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝟐 𝒚 𝟑 + 𝒙 𝟐 + 𝒚.
BÀI 2 MỘT SỐ HÀM GIÁ TRỊ CẬN BIÊN TRONG KINH TẾ
1. Hàm chi phí cận biên Xét hàm chi phí 𝑻𝑪 = 𝑻𝑪 𝑸 𝟏 , 𝑸 𝟐 , trong đó 𝑸 𝟏 , 𝑸 𝟐 là sản lượng. Khi đó 𝑻𝑪%𝑸 𝒊 𝑸 𝟏 , 𝑸 𝟐 là hàm chi phí cận biên theo biến 𝑸 𝒊 𝒊 = 𝟏, 𝟐 . Xét tại điểm 𝑸 = 𝑸 𝟎 , 𝑸 𝟎 , khi đó: 𝟏 𝟐 𝑻𝑪%𝑸( 𝑸 là chi phí biên theo 𝑸3 của 𝑻𝑪 𝑸 𝟏 , 𝑸 𝟐 tại điểm 𝑸 𝒊 = 𝟏, 𝟐 . • Ý nghĩa của 𝑻𝑪%𝑸 𝟏 𝑸 : Tại điểm sản lượng 𝑸 nếu biến 𝑸 𝟏 tăng 1 đơn vị, còn biến 𝑸 𝟐 không đổi thì chi phí tăng một lượng xấp xỉ bằng 𝑻𝑪%𝑸 𝟏 𝑸 . • Ý nghĩa của 𝑻𝑪%𝑸' 𝑸 : Tại điểm sản lượng 𝑸 nếu biến 𝑸1 tăng 1 đơn vị, còn biến 𝑸2 không đổi thì chi phí tăng một lượng xấp xỉ bằng 𝑻𝑪%𝑸' 𝑸 .
2. Hàm doanh thu cận biên Xét hàm doanh thu 𝑻𝑹 = 𝑻𝑹 𝑸 𝟏 , 𝑸 𝟐 = 𝑷 𝟏 𝑸 𝟏 + 𝑷 𝟐 𝑸 𝟐 . Khi đó 𝑻𝑹%𝑸 𝒊 𝑸 𝟏 , 𝑸 𝟐 là hàm doanh thu cận biên theo biến 𝑸 𝒊 𝒊 = 𝟏, 𝟐 . 3. Hàm lợi nhuận cận biên Xét hàm lợi nhuận 𝝅 𝑸 𝟏 , 𝑸 𝟐 = 𝑻𝑹 𝑸 𝟏 , 𝑸 𝟐 − 𝑻𝑪 𝑸 𝟏 , 𝑸 𝟐 . Khi đó 𝝅%𝑸 𝒊 𝑸 𝟏 , 𝑸 𝟐 là hàm lợi nhuận cận biên theo biến 𝑸 𝒊 𝒊 = 𝟏, 𝟐 . Chú ý: Ý nghĩa của 𝑻𝑹%𝑸 𝒊 𝑸 , 𝝅%𝑸 𝒊 𝑸 được phát biểu tương tự như đối với 𝑻𝑪%𝑸( 𝑸 𝒊 = 𝟏, 𝟐 .
Giả sử một hãng sản xuất 2 loại sản phẩm có hàm chi phí là: 𝑻𝑪 𝑸 𝟏 , 𝑸 𝟐 = 𝒍𝒏 𝟏 + 𝟐𝑸 𝟏 + 𝟑𝑸 𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝑸 𝟏, 𝑸 𝟐 > 𝟎 . Tính chi phí cận biên theo 𝑸 𝟏 , 𝑸 𝟐 tại điểm 𝟓, 𝟑 và nêu ý nghĩa của các con số nhận được.