Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2): Chương 5

CHƯƠNG 5

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

NHIỀU BIẾN SỐ

BÀI 1

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

I. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ 𝒏 BIẾN SỐ

• Cho 𝑫 ⊂ ℝ𝒏, 𝑫 ≠ ∅. Hàm số từ 𝑫 vào ℝ là một quy tắc 𝒇 mà ứng với mỗi điểm 𝑿 = 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, . . . , 𝒙𝒏 ∈ 𝑫 và thông qua quy tắc đó ta đều xác định được duy nhất một số thực 𝒛 ∈ ℝ. Khi đó, 𝒇 được gọi là một hàm số với 𝒏 biến số xác định trên 𝑫 và thường được ký hiệu đầy đủ là:

𝒇: 𝑫 → ℝ

𝑿 = 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 ⟼ 𝒛 = 𝒇(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏).

Hoặc viết tắt là: 𝒛 = 𝒇 𝑿 , 𝑿 ∈ 𝑫.

Sau đây, để đơn giản về trình bày ta sẽ nghiên cứu hàm hai biến 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 .

I. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ 𝒏 BIẾN SỐ

Cho hàm hai biến 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 .

• Miền xác định của hàm 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 :

𝑫 = { 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ𝟐|𝒇 𝒙, 𝒚 có nghĩa}.

• Miền giá trị của hàm 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 :

𝑮 = 𝒛 ∈ ℝ|𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫 .

Ví dụ 1: Tìm miền xác định, miền giá trị của hàm số

𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟗 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐.

II. ĐẠO HÀM RIÊNG

1. Quy tắc tính đạo hàm riêng

Cho hàm số 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 xác định trên miền 𝑫 ⊂ ℝ𝟐.

Ta có quy tắc tính đạo hàm riêng của hàm 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 như sau:

% 𝒙, 𝒚 ;

• Đạo hàm riêng theo 𝒙: coi 𝒙 là biến số, 𝒚 là hằng số và tính như đạo hàm

% ; 𝒇𝒙

𝝏𝒛 𝝏𝒙

𝝏𝒇 𝒙,𝒚 𝝏𝒙

; . của hàm một biến, kí hiệu: 𝒛𝒙

% 𝒙, 𝒚 ;

• Đạo hàm riêng theo 𝒚: coi 𝒙 là hằng số, 𝒚 là biến số và tính như đạo hàm

% ; 𝒇𝒚

𝝏𝒛 𝝏𝒚

𝝏𝒇 𝒙,𝒚 𝝏𝒚 .

; của hàm một biến, kí hiệu: 𝒛𝒚

II. ĐẠO HÀM RIÊNG

2. Véc tơ Gradient

Cho hàm số 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 có các đạo hàm riêng tại điểm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 ∈ 𝑫.

Véc tơ gradient của hàm 𝒇 tại điểm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 được kí hiệu và xác định như sau:

% 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 𝒛𝒙 % 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 𝒛𝒚

. 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 = 𝜵𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 =

II. ĐẠO HÀM RIÊNG

3. Các ví dụ

Ví dụ 2:

Tính các đạo hàm riêng của hàm số 𝒛 = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐𝒚 + 𝒚𝟐 tại điểm 𝑴 = −𝟏, 𝟐 .

Ví dụ 3:

Tính các đạo hàm riêng của hàm số 𝒛 = 𝒙 + 𝒚 − 𝒙 (𝒚 > 𝒙).

Ví dụ 4:

𝒙 𝒚

𝒚 ≠ 𝟎, 𝟎 < 𝒙 ≠ 𝟏 . Tính các đạo hàm riêng của hàm số 𝒛 = 𝒙𝒚 +

Ví dụ 5:

Cho hàm số hai biến số: 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑 + 𝟒𝒙 + 𝒚𝟐 .

a) Tính các đạo hàm riêng của hàm số tại điểm 𝑴 = 𝟑, 𝟐 .

b) Tính 𝜵𝒇 𝟑, 𝟐 .

Ví dụ 6: Cho hàm số hai biến số: 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚𝟐.

Xác định véc tơ gradient của hàm 𝒇 tại điểm 𝒙, 𝒚 bất kì.

III. VI PHÂN

1. Định nghĩa

Cho hàm số 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 xác định trên miền D và có các đạo hàm riêng tại

% 𝒅𝒙.

𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫. Khi đó:

𝒅𝒙𝒛 = 𝒛𝒙

% 𝒅𝒚.

• Vi phân riêng theo biến x của hàm số là: % 𝜟𝒙 = 𝒛𝒙 • Vi phân riêng theo biến y của hàm số là:

% 𝜟𝒚 = 𝒛𝒚

% 𝒅𝒚.

𝒅𝒚𝒛 = 𝒛𝒚

% 𝜟𝒚 = 𝒛𝒙

% 𝒅𝒙 + 𝒛𝒚

• Vi phân toàn phần của hàm số là: % 𝜟𝒙 + 𝒛𝒚 𝒅𝒛 = 𝒛𝒙

III. VI PHÂN

Ví dụ 7: Cho hàm số 2 biến số: 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙 𝒚.

Tính các vi phân riêng và vi phân toàn phần của hàm 𝒇 tại điểm (𝟏, 𝟏).

III. VI PHÂN

2. Hệ số co giãn

Xét điểm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 ∈ 𝑫 mà 𝒙𝟎 > 𝟎; 𝒚𝟎 > 𝟎 và 𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 ≠ 𝟎, ta có:

=

+

𝜟𝒇 𝒙𝟎,𝒚𝟎 𝒇 𝒙𝟎,𝒚𝟎

% 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 𝜟𝒙 + 𝒇𝒚 # 𝒙𝟎,𝒚𝟎 𝒚𝟎 𝒇𝒚 𝜟𝒙 𝒇 𝒙𝟎,𝒚𝟎 𝒙𝟎

% 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 𝜟𝒚. 𝜟𝒚 𝒚𝟎

Suy ra: . 𝜟𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 = 𝒇𝒙 # 𝒙𝟎,𝒚𝟎 𝒙𝟎 𝒇𝒙 𝒇 𝒙𝟎,𝒚𝟎

• Hệ số co giãn riêng theo biến 𝒙 của hàm 𝒇 tại điểm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 là đại lượng

𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 = 𝜺𝒙

% 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 𝒙𝟎 𝒇𝒙 𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎

• Hệ số co giãn riêng theo biến 𝒚 của hàm 𝒇 tại điểm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 là đại lượng

𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 = 𝜺𝒚

" 𝒙𝟎,𝒚𝟎 𝒚𝟎 𝒇𝒚 𝒇 𝒙𝟎,𝒚𝟎

• Hệ số co giãn toàn phần của hàm 𝒇 tại điểm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 là véc tơ

𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 𝜺𝒙 𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 𝜺𝒚

. 𝜺𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 =

III. VI PHÂN

2. Hệ số co giãn

𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎

. Từ đó ta có công thức xét sự tăng (giảm) của hàm số 𝒇 tại điểm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 là: 𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 = 𝜺𝒙 + 𝜺𝒚 𝜟𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 𝜟𝒚 𝒚𝟎 𝜟𝒙 𝒙𝟎

Ý nghĩa: Tại điểm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 : q Nếu biến 𝒙 tăng hoặc giảm với tỉ lệ = 𝒂%, còn biến 𝒚 không thay đổi thì hàm

𝜟𝒙 𝒙𝟎 𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 %. 𝜟𝒚 𝒚𝟎 𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 %.

số 𝒇 thay đổi với tỉ lệ xấp xỉ 𝒂𝜺𝒙 q Nếu biến 𝒚 tăng hoặc giảm với tỉ lệ = 𝒃%, còn biến 𝒙 không thay đổi thì hàm

𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 %.

số 𝒇 thay đổi với tỉ lệ xấp xỉ 𝒃𝜺𝒚

q Nếu 𝒙 thay đổi 𝒂%, 𝒚 thay đổi 𝒃% thì hàm số 𝒇 thay đổi với tỉ lệ xấp xỉ 𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 + 𝒃𝜺𝒚 𝒂𝜺𝒙

III. VI PHÂN

Ví dụ 8:

Cho hàm 2 biến số 𝒛 𝒙, 𝒚 = 𝟓𝟎 𝟒 𝒙𝒚𝟑, 𝒙 > 𝟎, 𝒚 > 𝟎 . Tại điểm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 bất kì

thuộc miền xác định, thực hiện các yêu cầu sau:

a) Tính các hệ số co giãn riêng, hệ số co giãn toàn phần của hàm số và nêu ý

nghĩa của các kết quả nhận được.

b) Nếu 𝒙 tăng 𝟑% giá trị còn 𝒚 giảm 𝟐% giá trị thì 𝒛 thay đổi thế nào?

c) Nếu 𝒙 giảm 𝟐% giá trị, để 𝒛 tăng 𝟑% giá trị thì 𝒚 phải thay đổi như thế nào?

III. VI PHÂN

Ví dụ 9:

Cho hàm 2 biến số 𝒛 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 𝒙 > 𝟎, 𝒚 > 𝟎 . Tại điểm (3, 2) nếu 𝒙

giảm 𝟏% giá trị còn 𝒚 tăng 𝟐% giá trị thì 𝒛 thay đổi thế nào?

Ví dụ 10: Cho hàm 2 biến số 𝒛 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒚 𝒙 > 𝟎, 𝒚 > 𝟎 . Tại điểm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 bất kì

thuộc miền xác định nếu 𝒙 tăng 𝟏% giá trị và 𝒚 tăng 𝟑% giá trị thì 𝒛 thay đổi

thế nào?

IV. ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 2

% có đạo hàm riêng thì ta nói hàm 𝒛

% 𝒙, 𝒚 và 𝒛𝒚 𝒛𝒙

% 𝒙, 𝒚 . Nếu các hàm số 𝒛𝒙

% , 𝒛𝒚

Cho hàm số 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 xác định trên miền D và có các đạo hàm riêng là

có các đạo hàm riêng cấp hai là:

% . = 𝒛𝒙

% . 𝒙

• Đạo hàm riêng cấp 2 theo x: 𝒛𝒙𝒙

% . = 𝒛𝒚

𝒚

. • Đạo hàm riêng cấp 2 theo y: 𝒛𝒚𝒚

% . = 𝒛𝒙

% . 𝒚

• Đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp theo x trước, y sau: 𝒛𝒙𝒚

% . = 𝒛𝒚

𝒙

. • Đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp theo y trước, x sau: 𝒛𝒚𝒙

IV. ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 2

. ⇔ 𝒇 𝒙, 𝒚 có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai.

Chú ý:

. = 𝒛𝒚𝒙

• 𝒛𝒙𝒚

• Ma trận Hessian của hàm số 𝒇 tại điểm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 được kí hiệu và xác định như sau:

. 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 𝒛𝒙𝒙 . 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 𝒛𝒚𝒙

. 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 𝒛𝒙𝒚 . 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 𝒛𝒚𝒚

. 𝑯𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 =

Ví dụ 11: Xác định ma trận Hessian của hàm số sau tại điểm 𝟎, 𝟏 :

𝒛 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝟐𝒚𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒚.

BÀI 2

MỘT SỐ HÀM

GIÁ TRỊ CẬN BIÊN

TRONG KINH TẾ

% 𝑸𝟏, 𝑸𝟐 là hàm chi phí cận biên theo biến 𝑸𝒊 𝒊 = 𝟏, 𝟐 .

1. Hàm chi phí cận biên

𝟎 , khi đó:

𝟎, 𝑸𝟐

% 𝑸 là chi phí biên theo 𝑸3 của 𝑻𝑪 𝑸𝟏, 𝑸𝟐 tại điểm 𝑸 𝒊 = 𝟏, 𝟐 .

Xét hàm chi phí 𝑻𝑪 = 𝑻𝑪 𝑸𝟏, 𝑸𝟐 , trong đó 𝑸𝟏, 𝑸𝟐 là sản lượng. Khi đó 𝑻𝑪𝑸𝒊

Xét tại điểm 𝑸 = 𝑸𝟏 𝑻𝑪𝑸(

% 𝑸 : Tại điểm sản lượng 𝑸 nếu biến 𝑸𝟏 tăng 1 đơn vị, % 𝑸 .

• Ý nghĩa của 𝑻𝑪𝑸𝟏

còn biến 𝑸𝟐 không đổi thì chi phí tăng một lượng xấp xỉ bằng 𝑻𝑪𝑸𝟏

% 𝑸 : Tại điểm sản lượng 𝑸 nếu biến 𝑸1 tăng 1 đơn vị, % 𝑸 .

• Ý nghĩa của 𝑻𝑪𝑸’

còn biến 𝑸2 không đổi thì chi phí tăng một lượng xấp xỉ bằng 𝑻𝑪𝑸’

% 𝑸𝟏, 𝑸𝟐 là hàm doanh thu cận biên theo biến 𝑸𝒊 𝒊 = 𝟏, 𝟐 .

2. Hàm doanh thu cận biên

Xét hàm doanh thu 𝑻𝑹 = 𝑻𝑹 𝑸𝟏, 𝑸𝟐 = 𝑷𝟏𝑸𝟏 + 𝑷𝟐𝑸𝟐. Khi đó 𝑻𝑹𝑸𝒊

% 𝑸𝟏, 𝑸𝟐 là hàm lợi nhuận cận biên theo biến 𝑸𝒊 𝒊 = 𝟏, 𝟐 .

3. Hàm lợi nhuận cận biên

% 𝑸 được phát biểu tương tự như đối

% 𝑸 , 𝝅𝑸𝒊

% 𝑸 𝒊 = 𝟏, 𝟐 .

Xét hàm lợi nhuận 𝝅 𝑸𝟏, 𝑸𝟐 = 𝑻𝑹 𝑸𝟏, 𝑸𝟐 − 𝑻𝑪 𝑸𝟏, 𝑸𝟐 . Khi đó 𝝅𝑸𝒊

Chú ý: Ý nghĩa của 𝑻𝑹𝑸𝒊 với 𝑻𝑪𝑸(

Giả sử một hãng sản xuất 2 loại sản phẩm có hàm chi phí là:

𝑻𝑪 𝑸𝟏, 𝑸𝟐 = 𝒍𝒏 𝟏 + 𝟐𝑸𝟏 + 𝟑𝑸𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝑸𝟏, 𝑸𝟐 > 𝟎 .

Tính chi phí cận biên theo 𝑸𝟏, 𝑸𝟐 tại điểm 𝟓, 𝟑 và nêu ý

nghĩa của các con số nhận được.

BÀI 3

CỰC TRỊ

KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC

Cho hàm số 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 xác định trên miền 𝑫 ≠ ∅, 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 ∈ 𝑫.

1. Lân cận của điểm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎

𝟐 < 𝜹 .

Lân cận 𝜹 của điểm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 (với 𝜹 > 0 cho trước tùy ý) được kí hiệu và xác định như sau:

𝟐 + 𝒚 − 𝒚𝟎

𝑽𝜹 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 = 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫: 𝒙 − 𝒙𝟎

Như vậy 𝑽𝜹 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 là tập hợp các điểm nằm trong hình tròn tâm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , bán kính 𝜹, không kể biên.

2. Điểm cực trị

• Điểm 𝑴 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 được gọi là điểm cực tiểu địa phương của hàm 𝒇

nếu tồn tại một lân cận 𝑽𝜹 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 𝜹 > 𝟎 sao cho:

𝒇 𝒙, 𝒚 ≥ 𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑽𝜹 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 .

• Điểm 𝑴 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 được gọi là điểm cực đại địa phương của hàm 𝒇 nếu

tồn tại một lân cận 𝑽𝜹 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 𝜹 > 𝟎 sao cho:

𝒇 𝒙, 𝒚 ≤ 𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑽𝜹 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 .

• Điểm 𝑴 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 được gọi là điểm cực tiểu toàn cục, hay hàm 𝒇 đạt

giá trị nhỏ nhất trên 𝑫 tại điểm 𝑴 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 nếu:

𝒇 𝒙, 𝒚 ≥ 𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫.

• Điểm 𝑴 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 được gọi là điểm cực đại toàn cục, hay hàm 𝒇 đạt giá

trị lớn nhất trên 𝑫 tại điểm 𝑴 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 nếu:

𝒇 𝒙, 𝒚 ≤ 𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫.

3. Điểm dừng

_ .

Điểm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 được gọi là điểm dừng của hàm 𝒇 nếu: % 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 = 𝟎 𝒇𝒙 % 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 = 𝟎 𝒇𝒚

Cho hàm hai biến số 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 có tập xác định 𝑫 ≠ ∅. 1. Bài toán

Tìm 𝒙; 𝒚 sao cho ‘ hoặc ‘ 𝒇(𝒙, 𝒚) → 𝒎𝒊𝒏, 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫. 𝒇(𝒙, 𝒚) → 𝒎𝒂𝒙, 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫.

được gọi là bài toán tìm cực trị không có ràng buộc của hàm hai biến.

2. Phương pháp giải

Ø Bước 1: Tìm tập xác định 𝑫 của hàm số.

Ø Bước 2: Điều kiện cần (Định lý 12.3 trang 427) Tìm điểm dừng 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 .

𝒙𝒚 𝒙, 𝒚 𝒚𝒚 𝒙, 𝒚

. 𝑯𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒇%% 𝒇%% 𝒇%% 𝒇%% Ø Bước 3: Tính các đạo hàm riêng cấp hai và lập ma trận Hessian: 𝒙𝒙 𝒙, 𝒚 𝒚𝒙 𝒙, 𝒚

Ø Bước 4: Kiểm tra điều kiện đủ

v Tiêu chuẩn dùng cho cực trị địa phương: (Định lý 12.4 trang 428)

ü Nếu 𝑯𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 là ma trận xác định dương thì 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 là điểm cực tiểu địa phương của hàm 𝒇. ü Nếu 𝑯𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 là ma trận xác định âm thì 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 là điểm cực đại địa phương của hàm 𝒇. ü Nếu 𝑯𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 không xác định dấu thì hàm 𝒇 không đạt cực trị tại

𝒙𝟎, 𝒚𝟎 .

v Tiêu chuẩn dùng cho cực trị toàn cục: (Hệ quả 12.1 trang 429)

ü Nếu 𝑯𝒇 𝒙, 𝒚 là ma trận xác định dương ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫 thì hàm 𝒇 đạt giá trị

nhỏ nhất trên miền 𝑫 tại điểm dừng 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 .

ü Nếu 𝑯𝒇 𝒙, 𝒚 là ma trận xác định âm ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫 thì hàm 𝒇 đạt giá trị lớn

nhất trên miền 𝑫 tại điểm dừng 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 .

Chú ý: Tiêu chuẩn dùng cho cực trị toàn cục chỉ áp dụng trong trường hợp hàm hai biến có duy nhất một điểm dừng 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 trên miền 𝑫.

3. Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm cực trị địa phương của hàm số 𝒛 = 𝟑 𝒍𝒏 𝒙𝒚 − 𝒙𝒚 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚.

𝟐 + 𝟑𝟎 (đơn vị: 1000 USD).

Ví dụ 2: Một hãng sản xuất hai loại sản phẩm A, B và được bán với giá tương ứng 14 nghìn USD, 7 nghìn USD trên 1 đơn vị sản phẩm; số lượng sản phẩm không hạn chế. Hàm tổng chi phí theo số lượng sản phẩm 𝑸𝟏, 𝑸𝟐 có dạng:

𝑻𝑪 𝑸𝟏, 𝑸𝟐 = 𝟐𝑸𝟏

𝟐 − 𝑸𝟏𝑸𝟐 + 𝑸𝟐 Hãng phải sản xuất mỗi loại sản phẩm với số lượng bao nhiêu để có lợi nhuận tối đa.

BÀI 4

CỰC TRỊ CÓ RÀNG BUỘC

1. Bài toán

Tìm 𝒙; 𝒚 sao cho ‘ hoặc ‘ 𝒇(𝒙, 𝒚) → 𝒎𝒊𝒏, 𝒈( 𝒙, 𝒚) = 𝟎. 𝒇(𝒙, 𝒚) → 𝒎𝒂𝒙, 𝒈( 𝒙, 𝒚) = 𝟎.

được gọi là bài toán tìm cực trị của hàm hai biến với một ràng buộc dạng đẳng thức.

Phương pháp nhân tử Lagrange 2. Phương pháp giải

Ø Bước 1: Lập hàm Lagrange: 𝑳 𝝀, 𝒙, 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒚) + 𝝀. 𝒈( 𝒙, 𝒚).

Ø Bước 2: Điều kiện cần (Định lý 12.5 trang 442)

% = 𝟎. % = 𝟎

⇔ d d

𝒈( 𝒙, 𝒚) = 𝟎 % + 𝝀𝒈𝒙 𝒇𝒙 % + 𝝀𝒈𝒚 𝒇𝒚 Tìm điểm dừng 𝑴𝟎 = 𝝀𝟎, 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 của hàm Lagrange. Điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình: % = 𝟎 𝑳𝝀 % = 𝟎 𝑳𝒙 % = 𝟎 𝑳𝒚

2. Phương pháp giải

Ø Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ.

v Tiêu chuẩn dùng cho cực trị địa phương: (Định lý 12.6 trang 442)

Lập ma trận

𝑯𝑳 𝝀, 𝒙, 𝒚 = và tính 𝑯𝑳 𝑴𝟎 .

% 𝒈𝒙 %% 𝑳𝒙𝒙 %% 𝑳𝒚𝒙

% 𝒈𝒚 %% 𝑳𝒙𝒚 %% 𝑳𝒚𝒚

𝟎 % 𝒈𝒙 % 𝒈𝒚

ü Nếu 𝑯𝑳 𝑴𝟎 < 𝟎 thì 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 là điểm cực tiểu của hàm 𝒇 với ràng buộc đã cho. ü Nếu 𝑯𝑳 𝑴𝟎 > 𝟎 thì 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 là điểm cực đại của hàm 𝒇 với ràng buộc đã cho. ü Nếu 𝑯𝑳 𝑴𝟎 = 𝟎 thì chưa có kết luận gì tại điểm 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 .

2. Phương pháp giải

Ø Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ.

v Tiêu chuẩn dùng cho cực trị toàn cục: (Định lý 12.7 trang 447)

Lập ma trận

%% 𝑳𝒙𝒙 %% 𝑳𝒚𝒙

%% 𝑳𝒙𝒚 %% 𝑳𝒚𝒚

. 𝑯 𝝀𝟎, 𝒙, 𝒚 =

ü Nếu 𝑯 𝝀𝟎, 𝒙, 𝒚 là ma trận xác định dương ∀(𝒙, 𝒚) thuộc miền xác định của hàm 𝒇 thì 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 là điểm cực tiểu toàn cục của hàm 𝒇, hay hàm 𝒇 đạt GTNN tại 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 với ràng buộc đã cho.

ü Nếu 𝑯 𝝀𝟎, 𝒙, 𝒚 là ma trận xác định âm ∀(𝒙, 𝒚) thuộc miền xác định của hàm 𝒇 thì 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 là điểm cực đại toàn cục của hàm 𝒇, hay hàm 𝒇 đạt GTLN tại 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 với ràng buộc đã cho.

3. Các ví dụ

Ví dụ 1: Hãy xác định cực trị địa phương của

𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟔 − 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚

với điều kiện 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏.

𝟏 𝟑𝒚

Ví dụ 2: Hàm giá trị sản xuất của một hãng phụ thuộc hai yếu tố đầu

𝟐 𝟑, trong đó 𝒙 > 𝟎 là vào có dạng hàm Cobb - Douglas: 𝑼(𝒙, 𝒚) = 𝟐𝟎𝒙 số lượng của yếu tố đầu vào thứ nhất và 𝒚 > 𝟎 là số lượng của yếu tố đầu vào thứ hai. Cho biết giá của một đơn vị yếu tố đầu vào lần lượt là 5 và 6. Xác định số lượng các yếu tố đầu vào biết rằng hãng muốn tối đa hóa giá trị sản xuất trong điều kiện chỉ được dùng một lượng ngân sách là 180.

𝟐 𝟓𝒚

3. Các ví dụ

Ví dụ 3: Hàm giá trị sản xuất 𝑼 của một doanh nghiệp phụ thuộc hai yếu tố 𝟑 𝟓, trong đó 𝒙 > 𝟎, 𝒚 > 𝟎 lần lượt là số

đầu vào và cho bởi 𝑼 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝟎𝒙 lượng yếu tố đầu vào thứ nhất và thứ hai.

Để đạt được giá trị sản xuất bằng 𝟏𝟎𝟎 thì doanh nghiệp phải chi số tiền mua các yếu tố đầu vào tối thiểu là bao nhiêu? Cho biết giá mua một đơn vị yếu tố đầu vào thứ nhất, thứ hai tương ứng là 2 và 3.

𝟐 − 𝑸𝟏𝑸𝟐 + 𝟐𝑸𝟐

Ví dụ 4: Một hãng sản xuất 2 loại sản phẩm có hàm chi phí TC, giá bán 𝑷𝟏, 𝑷𝟐 phụ thuộc theo sản lượng và được cho bởi hàm số:

𝑻𝑪 = 𝑸𝟏