Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2): Chương 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2) - Chương 2: Giới hạn và liên tục của hàm số một biến số, cung cấp cho người học những kiến thức như giới hạn của hàm số một biến số; các phép toán về giới hạn; sự liên tục của hàm số một biến số. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2): Chương 2

CHƯƠNG 2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
I. CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 1: Xét giá trị của hàm số 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟐 tại các giá trị 𝒙 rất gần 2.
I. CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 2: 𝝅 Xét giá trị của hàm số 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 tại các giá trị 𝒙 rất gần 0. 𝒙 𝒇(𝒙) 𝒙 𝒇(𝒙) 1 0 2 1 1 0 2 1 2 5 1 0 2 1 10 41 1 0 2 1 100 101
1. Định nghĩa 1 Cho hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 xác định trong khoảng mở chứa điểm 𝒂 (có thể không xác định tại 𝒂). Ta nói hàm 𝒇 có giới hạn hữu hạn là hằng số 𝒃 khi 𝒙 dần tới 𝒂 nếu với mọi số 𝜺 > 𝟎, đều tồn tại số 𝜹 > 𝟎 sao cho với mọi 𝒙 thoả mãn: 𝟎< 𝒙− 𝒂 < 𝜹 thì 𝒇 𝒙 − 𝒃 < 𝜺. Kí hiệu: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒃. 𝒙→𝒂
Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, chứng minh: 𝐥𝐢𝐦 𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝟕. 𝒙→𝟑 Chú ý: • Số 𝜹 > 𝟎 (thường phụ thuộc vào 𝜺) tồn tại sẽ không duy nhất. • Giới hạn của hàm số nếu tồn tại thì duy nhất.
2. Định nghĩa 2 Cho hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 xác định trong khoảng 𝒄, 𝒂 (với 𝒄 < 𝒂). Ta nói hàm 𝒇 có giới hạn hữu hạn là hằng số 𝒃 khi 𝒙 dần tới 𝒂 từ bên trái, hay 𝒙 tăng dần tới 𝒂 nếu với mọi số 𝜺 > 𝟎, đều tồn tại số 𝜹 > 𝟎 sao cho với mọi 𝒙 thoả mãn: 𝒂− 𝜹< 𝒙< 𝒂 thì 𝒇 𝒙 − 𝒃 < 𝜺. Kí hiệu: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒃. ! 𝒙→𝒂
3. Định nghĩa 3 Cho hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 xác định trong khoảng 𝒂, 𝒅 (với 𝒂 < 𝒅). Ta nói hàm 𝒇 có giới hạn hữu hạn là hằng số 𝒃 khi 𝒙 dần tới 𝒂 từ bên phải, hay 𝒙 giảm dần về 𝒂 nếu với mọi số 𝜺 > 𝟎, đều tồn tại số 𝜹 > 𝟎 sao cho với mọi 𝒙 thoả mãn: 𝒂 < 𝒙 < 𝒂 +𝜹 thì 𝒇 𝒙 − 𝒃 < 𝜺. Kí hiệu: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒃. " 𝒙→𝒂
4. Định nghĩa 4 Cho hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 với miền xác định 𝑫 𝒇 khác rỗng và tồn tại hằng số 𝒄 sao cho (𝒄, +∞) ⊂ 𝑫 𝒇 . Ta nói hàm 𝒇 có giới hạn hữu hạn là hằng số 𝒃 khi 𝒙 dần tới + ∞ nếu với mọi số 𝜺 > 𝟎, đều tồn tại số ∆> 𝟎 sao cho với mọi 𝒙 > ∆ thì 𝒇 𝒙 − 𝒃 < 𝜺. Kí hiệu: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒃. 𝒙→() 𝟏 Ví dụ 4: Dùng định nghĩa, chứng minh: 𝐥𝐢𝐦 = 𝟎. 𝒙→() 𝒙
5. Định nghĩa 5 Cho hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 xác định trong khoảng mở chứa điểm 𝒂 (có thể không xác định tại 𝒂). Ta nói hàm 𝒇 có giới hạn vô hạn bằng +∞ khi 𝒙 dần tới 𝒂 nếu với mọi số 𝑴 > 𝟎, đều tồn tại số 𝜹 > 𝟎 sao cho với mọi 𝒙 thoả mãn: 𝟎< 𝒙− 𝒂 < 𝜹 thì 𝒇 𝒙 > 𝑴. Kí hiệu: 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = +∞. 𝒙→𝒂
6. Định nghĩa 6 (Tự đọc) 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝒃 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = −∞ 𝒙→#$ 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = +∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = −∞ 𝒙→𝒂! 𝒙→𝒂! 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = +∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = −∞ 𝒙→𝒂" 𝒙→𝒂" 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = +∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = +∞ 𝒙→&$ 𝒙→#$ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = −∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = −∞ 𝒙→&$ 𝒙→#$
Định lý: 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝒃 ⇔ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝒃 và 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝒃. " ! 𝒙→𝒂 𝒙→𝒂 𝒙→𝒂 𝟏 Ví dụ 5: Xét giới hạn của hàm số 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 khi 𝒙 → 𝟎.
BÀI 2 CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIỚI HẠN
1. Phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số Cho hai hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 , 𝒚 = 𝒈 𝒙 với miền xác định 𝑫 𝒇 và 𝑫 𝒈 khác rỗng. Giả sử tồn tại hai giới hạn hữu hạn: 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝒃 và 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) = 𝒄. Khi đó: 𝒙→𝒂 𝒙→𝒂 • 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙) = 𝒃 ± 𝒄. 𝒙→𝒂 • 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) O 𝒈(𝒙) = 𝒃𝒄. 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) 𝒃 • 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) = 𝒄 c≠ 𝟎 . 𝒙→𝒂
2. Phép toán có chứa giới hạn vô hạn của hàm số • 𝒇+ 𝒈 Giới hạn của 𝒇 Giới hạn của 𝒈 Giới hạn của 𝒇 + 𝒈 𝒎 ±∞ ±∞ ±∞ ±∞ ±∞ ±∞ ∓∞ ∞ − ∞: vô định • 𝒇O 𝒈 Giới hạn của 𝒇 Giới hạn của 𝒈 Giới hạn của 𝒇 O 𝒈 𝒎> 𝟎 ±∞ ±∞ 𝒎< 𝟎 ±∞ ∓∞ ±∞ ±∞(∓∞) +∞(−∞) 𝟎 ±∞ 𝟎 O ∞: vô định
2. Phép toán có chứa giới hạn vô hạn của hàm số 𝒇 • 𝒈 𝒇 Giới hạn của f Giới hạn của 𝒈 Giới hạn của 𝒈 𝒎≠ 𝟎 𝟎 ±∞ 𝟎 𝟎 𝟎 : vô định 𝟎 𝒎 ±∞ 𝟎 ±∞ 𝒏 ±∞ ∞ ±∞ ±∞ : vô định ∞ 𝟎 ) Như vậy: Ta có 4 dạng giới hạn vô định là ∞ − ∞, 𝟎 O ∞, , . 𝟎 )
3. Giới hạn của các hàm số sơ cấp (Tự đọc) a) Bảng giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản Hàm số Điểm lấy giới hạn Giá trị giới hạn 𝒚= 𝒄 𝒙 𝟎 , +∞, −∞ 𝒄 𝒙𝟎 > 𝟎 𝒙 𝟎𝜶 𝒚= 𝒙𝜶 +∞ +∞ 𝜶 > 𝟎 ; 𝟎 (𝟎 < 𝜶 < 𝟏) 𝒙𝟎 𝒂 𝒙𝟎 𝒚 = 𝒂 𝒙, 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏 +∞ +∞ 𝒂 > 𝟏 ; 𝟎 (𝟎 < 𝒂 < 𝟏) −∞ 𝟎 𝒂 > 𝟏 ; +∞ (𝟎 < 𝒂 < 𝟏) 𝒙𝟎 > 𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 𝟎 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 , 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏 +∞ +∞ 𝒂 > 𝟏 ; −∞ (𝟎 < 𝒂 < 𝟏) 𝟎( −∞ 𝒂 > 𝟏 ; +∞ (𝟎 < 𝒂 < 𝟏)
3. Giới hạn của các hàm số sơ cấp (Tự đọc) a) Bảng giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản Hàm số Điểm lấy giới hạn Giá trị giới hạn 𝒙𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟎 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 +∞, −∞ Không tồn tại 𝒙𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟎 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 +∞, −∞ Không tồn tại 𝝅 𝝅 − < 𝒙 𝟎< 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟎 𝟐 𝟐 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝝅 ( 𝝅 9 − , −∞, +∞ 𝟐 𝟐 𝟎< 𝒙𝟎 < 𝝅 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝟎 𝒚 = 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝟎( , 𝝅 9 +∞,−∞
3. Giới hạn của các hàm số sơ cấp (Tự đọc) a) Bảng giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản Hàm số Điểm lấy giới hạn Giá trị giới hạn −𝟏 < 𝒙 𝟎 < 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟎 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝝅 𝝅 −𝟏(, 𝟏9 − , 𝟐 𝟐 −𝟏 < 𝒙 𝟎 < 𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟎 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒙 −𝟏(, 𝟏9 𝟎, 𝝅 𝒙𝟎 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟎 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝝅 𝝅 −∞, +∞ − , 𝟐 𝟐 𝒙𝟎 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝟎 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 𝒙 −∞, +∞ 𝝅, 𝟎
3. Giới hạn của các hàm số sơ cấp b) Định lý: Nếu hàm sơ cấp 𝒚 = 𝒇 𝒙 xác định trên đoạn 𝒂, 𝒃 thì: 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙 𝟎 , ∀𝒙 𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 , 𝒙→𝒙 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒂 , " 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒃 . 𝒙→𝒃! Ví dụ 1: Cho hàm số 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟏 + 𝒍𝒏 𝟐 − 𝒙 . Tính 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 , 𝐥𝐢𝐦" 𝒇 𝒙 , 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 . ! 𝒙→𝟏 𝒙→9𝟏 𝒙→𝟐 Ví dụ 2: 𝟏 Cho hàm số 𝒇 𝒙 = 𝟏 . Tính 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 . 𝟐(𝒆 𝒙 𝒙→𝟎