Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2): Chương 2

CHƯƠNG 2

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

BÀI 1

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

MỘT BIẾN SỐ

I. CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 1:

Xét giá trị của hàm số 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐 tại các giá trị 𝒙 rất gần 2.

I. CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 2:

𝝅 𝒙 tại các giá trị 𝒙 rất gần 0.

Xét giá trị của hàm số 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏

𝒇(𝒙) 𝒇(𝒙) 𝒙 𝒙

2 1 0 1

0 1

1 2 1 10 1 100 2 5 2 41 2 101

1. Định nghĩa 1

Cho hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 xác định trong khoảng mở chứa điểm 𝒂 (có thể không xác định tại 𝒂). Ta nói hàm 𝒇 có giới hạn hữu hạn là hằng số 𝒃 khi 𝒙 dần tới 𝒂 nếu với mọi số 𝜺 > 𝟎, đều tồn tại số 𝜹 > 𝟎 sao cho với mọi 𝒙 thoả mãn:

𝟎 < 𝒙 − 𝒂 < 𝜹

thì

𝒇 𝒙 − 𝒃 < 𝜺.

𝒇(𝒙) = 𝒃. Kí hiệu: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂

Ví dụ 3:

𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝟕. Dùng định nghĩa, chứng minh: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑

Chú ý:

• Số 𝜹 > 𝟎 (thường phụ thuộc vào 𝜺) tồn tại sẽ không duy nhất. • Giới hạn của hàm số nếu tồn tại thì duy nhất.

2. Định nghĩa 2

Cho hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 xác định trong khoảng 𝒄, 𝒂 (với 𝒄 < 𝒂). Ta nói hàm 𝒇 có giới hạn hữu hạn là hằng số 𝒃 khi 𝒙 dần tới 𝒂 từ bên trái, hay 𝒙 tăng dần tới 𝒂 nếu với mọi số 𝜺 > 𝟎, đều tồn tại số 𝜹 > 𝟎 sao cho với mọi 𝒙 thoả mãn:

𝒂 − 𝜹 < 𝒙 < 𝒂

thì

𝒇 𝒙 − 𝒃 < 𝜺.

𝒙→𝒂! 𝒇(𝒙) = 𝒃.

Kí hiệu: 𝐥𝐢𝐦

3. Định nghĩa 3

Cho hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 xác định trong khoảng 𝒂, 𝒅 (với 𝒂 < 𝒅). Ta nói hàm 𝒇 có giới hạn hữu hạn là hằng số 𝒃 khi 𝒙 dần tới 𝒂 từ bên phải, hay 𝒙 giảm dần về 𝒂 nếu với mọi số 𝜺 > 𝟎, đều tồn tại số 𝜹 > 𝟎 sao cho với mọi 𝒙 thoả mãn:

𝒂 < 𝒙 < 𝒂 +𝜹

thì

𝒇 𝒙 − 𝒃 < 𝜺.

𝒇(𝒙) = 𝒃. Kí hiệu: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂"

4. Định nghĩa 4

Cho hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 với miền xác định 𝑫𝒇 khác rỗng và tồn tại hằng số 𝒄 sao cho (𝒄, +∞) ⊂ 𝑫𝒇. Ta nói hàm 𝒇 có giới hạn hữu hạn là hằng số 𝒃 khi 𝒙 dần tới + ∞ nếu với mọi số 𝜺 > 𝟎, đều tồn tại số ∆> 𝟎 sao cho với mọi 𝒙 > ∆ thì

𝒇 𝒙 − 𝒃 < 𝜺.

𝒇(𝒙) = 𝒃. Kí hiệu: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→()

𝟏 𝒙

= 𝟎. Ví dụ 4: Dùng định nghĩa, chứng minh: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→()

5. Định nghĩa 5

Cho hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 xác định trong khoảng mở chứa điểm 𝒂 (có thể không xác định tại 𝒂). Ta nói hàm 𝒇 có giới hạn vô hạn bằng +∞ khi 𝒙 dần tới 𝒂 nếu với mọi số 𝑴 > 𝟎, đều tồn tại số 𝜹 > 𝟎 sao cho với mọi 𝒙 thoả mãn:

𝟎 < 𝒙 − 𝒂 < 𝜹

thì

𝒇 𝒙 > 𝑴.

𝒇 𝒙 = +∞. Kí hiệu: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂

𝒇 𝒙 = 𝒃

𝒇 𝒙 = −∞

𝒇 𝒙 = +∞

𝒇 𝒙 = −∞

𝐥𝐢𝐦 𝒙→#$ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂! 𝒙→𝒂" 𝒇 𝒙 = +∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = +∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→&$ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→&$

𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂! 𝒙→𝒂" 𝒇 𝒙 = −∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = +∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→#$ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→#$

6. Định nghĩa 6 (Tự đọc)

Định lý:

𝒇 𝒙 = 𝒃. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 = 𝒃 và 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂! 𝒇 𝒙 = 𝒃 ⇔ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂"

𝟏 𝒙𝟐 khi 𝒙 → 𝟎.

Ví dụ 5: Xét giới hạn của hàm số 𝒇 𝒙 =

BÀI 2

CÁC PHÉP TOÁN VỀ

GIỚI HẠN

1. Phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

Cho hai hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 , 𝒚 = 𝒈 𝒙 với miền xác định 𝑫𝒇 và 𝑫𝒈 khác rỗng.

𝒈(𝒙) = 𝒄. Khi đó: Giả sử tồn tại hai giới hạn hữu hạn: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 = 𝒃 và 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙) = 𝒃 ± 𝒄. • 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) O 𝒈(𝒙) = 𝒃𝒄. • 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)

𝒃 𝒄

= c ≠ 𝟎 . • 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂

2. Phép toán có chứa giới hạn vô hạn của hàm số

• 𝒇 + 𝒈

Giới hạn của 𝒇

Giới hạn của 𝒈 ±∞ Giới hạn của 𝒇 + 𝒈 ±∞ 𝒎

±∞ ±∞ ±∞

∓∞ ±∞ ∞ − ∞: vô định

• 𝒇 O 𝒈

Giới hạn của 𝒇

Giới hạn của 𝒈 ±∞ Giới hạn của 𝒇 O 𝒈 ±∞ 𝒎 > 𝟎

±∞ ∓∞

±∞(∓∞) +∞(−∞) 𝒎 < 𝟎 ±∞

±∞ 𝟎 𝟎 O ∞: vô định

2. Phép toán có chứa giới hạn vô hạn của hàm số

𝒇 𝒈

•

𝒇 𝒈

Giới hạn của f Giới hạn của 𝒈 Giới hạn của

𝟎 ±∞ 𝒎 ≠ 𝟎

𝟎 𝟎 : vô định 𝟎 𝟎

±∞ 𝟎 𝒎

𝒏 ±∞ ±∞

±∞ ±∞ : vô định ∞ ∞

𝟎 𝟎

) )

, . Như vậy: Ta có 4 dạng giới hạn vô định là ∞ − ∞, 𝟎 O ∞,

3. Giới hạn của các hàm số sơ cấp (Tự đọc)

a) Bảng giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản

Hàm số Giá trị giới hạn

𝒚 = 𝒄 𝒄 Điểm lấy giới hạn 𝒙𝟎, +∞, −∞

𝒚 = 𝒙𝜶

𝜶 𝒙𝟎 +∞ 𝜶 > 𝟎 ; 𝟎 (𝟎 < 𝜶 < 𝟏) 𝒂𝒙𝟎

𝒙𝟎 > 𝟎 +∞

𝒚 = 𝒂𝒙, 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏 𝒙𝟎 +∞ +∞ 𝒂 > 𝟏 ; 𝟎 (𝟎 < 𝒂 < 𝟏)

−∞ 𝟎 𝒂 > 𝟏 ; +∞ (𝟎 < 𝒂 < 𝟏)

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟎 +∞ 𝒂 > 𝟏 ; −∞ (𝟎 < 𝒂 < 𝟏) 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 , 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏

𝒙𝟎 > 𝟎 +∞ 𝟎( −∞ 𝒂 > 𝟏 ; +∞ (𝟎 < 𝒂 < 𝟏)

3. Giới hạn của các hàm số sơ cấp (Tự đọc)

a) Bảng giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản

Hàm số Giá trị giới hạn

𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙

Điểm lấy giới hạn 𝒙𝟎 +∞, −∞

𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝒙𝟎 Không tồn tại 𝒄𝒐𝒔 𝒙𝟎 Không tồn tại

− 𝒕𝒂𝒏 𝒙𝟎 < 𝒙𝟎<

(

𝒚 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝝅 𝟐 9

−∞, +∞ , −

𝒙𝟎 +∞, −∞ 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐

𝒄𝒐𝒕 𝒙𝟎

𝒚 = 𝒄𝒐𝒕 𝒙

𝟎 < 𝒙𝟎 < 𝝅 𝟎(, 𝝅9 +∞,−∞

3. Giới hạn của các hàm số sơ cấp (Tự đọc)

a) Bảng giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản

Hàm số Điểm lấy giới hạn

𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝒙

−𝟏 < 𝒙𝟎< 𝟏 −𝟏(, 𝟏9 − ,

𝝅 𝟐

𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒙

−𝟏 < 𝒙𝟎< 𝟏 −𝟏(, 𝟏9 Giá trị giới hạn 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝒙𝟎 𝝅 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒙𝟎 𝟎, 𝝅

𝒙𝟎

𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙

−∞, +∞ − ,

𝝅 𝟐

𝒙𝟎 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙𝟎 𝝅 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 𝒙𝟎

𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕 𝒙

−∞, +∞ 𝝅, 𝟎

3. Giới hạn của các hàm số sơ cấp

b) Định lý: Nếu hàm sơ cấp 𝒚 = 𝒇 𝒙 xác định trên đoạn 𝒂, 𝒃 thì:

𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙𝟎 , ∀𝒙𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 ,

𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒂 ,

𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒃 . 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂" 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒃!

Ví dụ 1:

𝒙→𝟐! 𝒇 𝒙 .

𝒇 𝒙 , 𝐥𝐢𝐦 Cho hàm số 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟏 + 𝒍𝒏 𝟐 − 𝒙 . Tính 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝒇 𝒙 , 𝐥𝐢𝐦 𝒙→9𝟏"

𝟏

Ví dụ 2:

𝟏 𝟐(𝒆 𝒙

Cho hàm số 𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙 . . Tính 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎

Ví dụ 3:

Tính các giới hạn sau:

𝒙𝟐9𝒙9𝟐 𝒙𝟑9𝟔𝒙𝟐(𝟏𝟐𝒙9𝟖

𝟒(𝟑𝒙9𝟒 𝒙9𝟐

. , 𝑰𝟐 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝑰𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟒

Ví dụ 4:

Cho hàm số 𝒇(𝒙) = c

nếu 𝒙 ≤ 𝟎, nếu 𝒙 > 𝟎. 𝟏 − 𝒙𝟑 𝟓 + 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙

𝒇(𝒙). Tính 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑 𝒇(𝒙), 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎

Ví dụ 5:

𝟑𝒆𝒙 − 𝟐 nếu − 𝟐 < 𝒙 < 𝟎, Cho hàm số 𝒇(𝒙) = e

𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟏 nếu 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟐.

𝒙→𝟐! 𝒇(𝒙) , 𝐥𝐢𝐦 𝒙→9𝟐"

𝒇(𝒙), 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙). Tính 𝐥𝐢𝐦 𝒙→9𝟏 𝒇(𝒙), 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎

BÀI 3

SỰ LIÊN TỤC CỦA

HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

1. Định nghĩa 1

Cho hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) có tập xác định 𝑫𝒇 khác rỗng và điểm 𝒙𝟎 ∈ 𝑫𝒇 .

𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒙𝟎) thì hàm 𝒇 được gọi là liên tục tại điểm 𝒙𝟎. Nếu 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎

Ngược lại, nếu 𝒇 không liên tục tại 𝒙𝟎 thì ta nói 𝒇 gọi là gián đoạn tại 𝒙𝟎.

Như vậy:

Hàm 𝒇 liên tục tại điểm 𝒙𝟎 nếu nó thoả mãn đồng thời 3 điều kiện:

• Tồn tại 𝒇(𝒙𝟎),

𝒇 𝒙 , • Tồn tại 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎

𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒙𝟎). • 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎

Ví dụ 1:

a) 𝒚 =

𝟏 𝒙 tại 𝒙 = 𝟎.

Xét sự liên tục của các hàm số sau:

b) 𝒚 = e

nếu 𝒙 ≠ 𝟎,

𝟏 𝒙𝟐 1 nếu 𝒙 = 𝟎,

c) 𝒚 = j

tại 𝒙 = 𝟎.

d) 𝒚 = m

tại 𝒙 = 𝟏. 𝒙 ≥ 𝟏, nếu − 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟏, nếu 𝟑𝒙 − 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟏 + 𝟐𝒙

tại 𝒙 = −𝟏.

𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 nếu 𝒙 < −𝟏, nếu 𝒙 = −𝟏, 5 𝒆𝒙(𝟏 + 𝟐 nếu 𝒙 > −𝟏,

2. Định nghĩa 2

! 𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒙𝟎) thì hàm 𝒇 được gọi là liên tục trái tại điểm 𝒙𝟎.

Cho hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) có tập xác định 𝑫𝒇 khác rỗng và điểm 𝒙𝟎 ∈ 𝑫𝒇 .

• Nếu 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎

𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒙𝟎) thì hàm 𝒇 được gọi là liên tục phải tại điểm 𝒙𝟎.

• Nếu 𝐥𝐢𝐦 " 𝒙→𝒙𝟎

Như vậy:

Hàm 𝒇 liên tục tại điểm 𝒙𝟎 khi và chỉ khi nó đồng thời liên tục trái và

liên tục phải tại 𝒙𝟎 .

Ví dụ 2:

Xét sự liên tục, liên tục một phía của hàm số

𝒚 = j tại 𝒙 = 𝟏.

𝟐𝒙𝟐 + 𝟑 nếu − 𝟓 ≤ 𝒙 < 𝟏, 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒, 𝟓𝒙 − 𝟔 nếu

Ví dụ 3:

Tìm tham số 𝒂 để hàm số

𝒚 = e liên tục tại 𝒙 = −𝟏.

𝒙 + 𝟏 𝟑 − 𝒂𝒙𝟐 𝒏ếu 𝒙 ≥ −𝟏, nếu 𝒙 < −𝟏,

3. Định nghĩa 3

Cho hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) có tập xác định 𝑫𝒇 khác rỗng và chứa đoạn 𝒂, 𝒃 .

• Hàm 𝒇 được gọi là liên tục trên khoảng 𝒂, 𝒃 nếu nó liên tục tại

mọi điểm 𝒙𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 .

• Hàm 𝒇 được gọi là liên tục trên đoạn 𝒂, 𝒃 nếu nó liên tục trên

khoảng 𝒂, 𝒃 , đồng thời liên tục trái tại điểm 𝒙 = 𝒃 và liên tục phải

tại điểm 𝒙 = 𝒂.

Ý nghĩa hình học:

Nếu hàm số 𝒇 liên tục trên 𝒂, 𝒃 thì đồ thị hàm số 𝒇 trên khoảng 𝒂, 𝒃 là một đường cong liền nét.

Ví dụ 4: Cho hàm số 𝒇 có đồ thị như hình vẽ. Tìm các khoảng liên tục và các điểm gián đoạn của hàm số .

1. Sự liên tục của các hàm tổng, hiệu, tích và thương

Cho hai hàm số 𝒇, 𝒈 với miền xác định 𝑫𝒇 và 𝑫𝒈 khác rỗng. Giả sử 𝒇 và 𝒈 cùng liên tục tại 𝒙𝟎 ∈ 𝑫𝒇 ∩ 𝑫𝒈. Khi đó, các hàm

𝒇 ± 𝒈; 𝒇 O 𝒈; (𝒈 𝒙𝟎 ≠ 𝟎) 𝒇 𝒈

cũng liên tục tại 𝒙𝟎.

2. Sự liên tục của hàm hợp

Nếu hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) liên tục tại 𝒙𝟎 và hàm 𝒛 = 𝒈(𝒚) liên tục tại 𝒚𝟎= 𝒇(𝒙𝟎)

thì hàm hợp 𝒛 = 𝒈(𝒇 𝒙 ) cũng liên tục tại 𝒙𝟎.

3. Sự liên tục của hàm sơ cấp và hàm số phi sơ cấp

a) Sự liên tục của hàm sơ cấp Định lý 1: Nếu 𝒚 = 𝒇 𝒙 là hàm số sơ cấp xác định trên một trong các ]𝒃 , [𝒂, )𝒃 thì nó cũng liên tục trên các miền tương ứng. miền 𝒂, 𝒃 , 𝒂, 𝒃 , (𝒂,

b) Sự liên tục của hàm số phi sơ cấp

Định lý 2: Cho hai hàm số 𝒑, 𝒒 liên tục trên đoạn 𝒂, 𝒃 và điểm 𝒙𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 . Xét hàm số phi sơ cấp:

𝒇(𝒙) = m

𝒑 𝒙 𝒄 𝒒 𝒙 nếu 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒙𝟎, 𝒙 = 𝒙𝟎, nếu nếu 𝒙𝟎 < 𝒙 ≤ 𝒃.

Khi đó: hàm 𝒇 liên tục trên đoạn 𝒂, 𝒃 khi và chỉ khi 𝒑 𝒙𝟎 = 𝒒 𝒙𝟎 = 𝒄.

3. Sự liên tục của hàm sơ cấp và hàm số phi sơ cấp

Như vậy:

Để xét sự liên tục của hàm số phi sơ cấp ta thực hiện như sau: • Tại các điểm hàm số không phân nhánh: nếu là hàm sơ cấp xác định

thì sẽ liên tục.

• Tại các điểm phân nhánh: xét sự liên tục bằng định nghĩa hoặc sử dụng

định lý 2.

3. Sự liên tục của hàm sơ cấp và hàm số phi sơ cấp