Bài giảng Toán cao cấp A5 - Chương 3: Phương trình vi phân cấp 1

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

241
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp A5 - Chương 3: Phương trình vi phân cấp 1" cung cấp cho người học các kiến thức: Các ví dụ thực tế dẫn đến phương trình vi phân, bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân có dạng tách biến, phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp A5 - Chương 3: Phương trình vi phân cấp 1

10/3/2014 Chương 3. Phương trình vi phân cấp 1 3.1. Các ví dụ thực tế dẫn đến phương trình vi phân. CHƯƠNG 3 3.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 3.3. Phương trình vi phân có dạng tách biến. 3.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. 2 1. Các khái niệm cơ bản Nếu giải phương trình (1) theo y′ , ta được Phương trình vi phân (PTVP) cấp 1 là phương trình có dạng y′ = f ( x, y). (2) F ( x, y, y′) = 0, (1) Nghiệm của PTVP (1) hoặc (2) trên khoảng trong đó (a, b) là hàm số y = y ( x) xác định trên (a, b) dy y′ = . sao cho khi thay vào PTVP ta được một đẳng dx thức đúng. Ví dụ 3.1 y′ + 2 y = 2 x ; ( x + y)dy − 2 ydx = 0. Nghiệm y = y ( x) có thể cho ở dạng tường minh hoặc dạng ẩn. 3 4 Đồ thị của nghiệm y = y ( x) được gọi là Hàm số y = ϕ( x, C ) được gọi là nghiệm tổng đường cong tích phân của (1). quát của PTVP cấp 1 trong miền D ⊂ ℝ 2 nếu với mọi điểm ( x0 , y0 ) ∈ D, tồn tại duy nhất một Bài toán Cauchy (Côsi) (bài toán đầu) số C0 sao cho y = ϕ( x, C0 ) là nghiệm của Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện đầu y ( x0 ) = y0 . PTVP (1) hoặc (2) thỏa mãn điều kiện đầu Điều đó có nghĩa là tồn tại duy nhất C0 sao cho y ( x0 ) = y0 (3) i) y = ϕ( x, C0 ) là nghiệm trong lân cận x0 hay nói cách khác là tìm một đường cong tích ii) y0 = ϕ( x0 , C0 ). phân của (1) hoặc (2) đi qua điểm ( x0 , y0 ). 5 6 1
10/3/2014 Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng Ví dụ 3.2 Giải PTVP quát khi cho hằng số C một giá trị cụ thể y′ = cos x được gọi là nghiệm riêng. Tìm nghiệm riêng thỏa mãn y (0) = 1. Nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào ∫ Ta có y = cos xdx + C = sin x + C , được gọi là nghiệm kỳ dị. với C là hằng số tùy ý, là tất cả các nghiệm của phương trình. Vì 1 = y (0) = sin 0 + C , nên C = 1 và nghiệm riêng cần tìm là y = sin x + 1. 7 8 2. Một số dạng PTVP cấp 1 Ví dụ 3.3 Giải PTVP 2.1 Phương trình tách biến (có biến phân li) Dạng cơ bản xdx − y 2 dy = 0. f ( x)dx = g ( y)dy (4) Phương pháp giải Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình (4), ta được ∫ f ( x)dx = ∫ g ( y)dy + C , với C là hằng số tùy ý. 9 10 Chú ý - Các nghiệm khác tìm được bằng cách chia 1. Phương trình dạng hai vế cho g1 ( y ) f 2 ( x) rồi lấy tích phân f1 ( x) g1 ( y)dx = f 2 ( x) g 2 ( y )dy (5) f1 ( x) g 2 ( y) ∫ f 2 ( x) dx = ∫ g ( y) dy + C. 1 có thể đưa về dạng (4): trước hết cần lưu ý - Nếu g1 ( y ) = 0 tại b thì y = b là nghiệm 2. Phương trình của (5). y′ = f (ax + by + c) - Nếu f 2 ( x) = 0 tại a thì x = a là nghiệm có thể đưa về biến phân ly bằng cách đổi của (5) . biến z = ax + by + c. 11 12 2
10/3/2014 Ví dụ 3.4 Giải PTVP Bài tập 1 Giải các PTVP sau x(1 + y )dx + y (1 + x )dy = 0. 2 2 1. x(1 + y 2 ) 2 dx + y (1 + x 2 ) 2 dy = 0. 2. ( x 2 + 1) y′ = xy. 3. ( x 2 − yx 2 ) y′ + y 2 + xy 2 = 0. Ví dụ 3.5 Giải PTVP y′ = xy ( y + 2). 4. ( x − y 2 x)dx + ( y − x 2 y)dy = 0. 5. ydx = ( x 2 − a 2 )dy. 13 14 2.2 Phương trình tuyến tính cấp 1 Bài tập 2 Tìm nghiệm của PTVP thỏa mãn điều kiện ban đầu Dạng cơ bản xy + 3x y ′ + p ( x) y = q ( x ) (6) 1. y′ = , y (2) = 2. x2 + 1 π Phương pháp giải 2. y′ + cos( x + 2 y) = cos( x − 2 y), y (0) = . Bước 1: Giải phương trình thuần nhất 4 3. x( y 6 + 1)dx + y 2 ( x 4 + 1)dy = 0, y (0) = 1. y ′ + p ( x) y = 0 e2 x π được nghiệm 4. e1+ x tan ydx − dy = 0, y (1) = . y = C .e ∫ − p ( x ) dx 2 . x −1 2 15 16 Bước 2: Tìm nghiệm của (6) ở dạng Ví dụ 3.6 Giải PTVP y = C ( x).e ∫ − p ( x ) dx (7) y′ + y = 4 x. Thế (7) vào (6), ta được C ′( x) = q ( x).e ∫ p ( x ) dx Ví dụ 3.7 Giải PTVP ⇒ C ( x) = C1 + ∫ q ( x).e ∫ p ( x ) dx dx (8) ( x 2 + 1) y′ + xy = −2. với C1 là hằng số tùy ý. Thế (8) vào (7), ta được nghiệm của (6) − p ( x ) dx  y=e ∫ . C1 + ∫ q( x).e ∫ dx  p ( x ) dx   17 18 3
10/3/2014 Ví dụ 3.8 Giải PTVP y′ − x 2 y = 0, y(3) = −e9 . Ví dụ 3.9 Giải PTVP y′ + y cos x = e − sin x . 19 4