Bài giảng Toán cao cấp A5 - Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

177
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp A5- Chương 5: Lý thuyết chuỗi" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, chuỗi số không âm, chuỗi đan dấu, chuỗi lũy thừa. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp A5 - Chương 5: Lý thuyết chuỗi

10/3/2014 Chương 5. Chuỗi Chương 5. LÝ THUYẾT CHUỖI 5.1. Định nghĩa. I. Khái niệm về chuỗi số 5.2. Chuỗi số không âm. 1. Định nghĩa, ví dụ 5.3. Chuỗi đan dấu. Định nghĩa 1 5.4. Chuỗi lũy thừa. Cho dãy số thực un , n = 1, 2,... Biểu thức +∞ u1 + u2 + ... + un + ... = ∑ un (1) n =1 đgl một chuỗi số, un đgl số hạng tổng quát thứ n. +∞ Tổng S n = u1 + u2 + ... + un đgl tổng riêng thứ n Ví dụ 1 Chuỗi cấp số nhân ∑q n=0 n của chuỗi. +∞ - Nếu lim S n = S (hữu hạn) thì chuỗi (1) được gọi * Nếu q < 1 thì chuỗi ∑q n=0 n hội tụ và có tổng n →∞ 1 là chuỗi hội tụ và S được gọi là tổng của chuỗi Sn và bằng +∞ 1− q 1 ta viết: +∞ ∑q n = 1− q . S = ∑ un . n=0 +∞ n =1 * Nếu q ≥ 1 thì chuỗi ∑q n=0 n phân kỳ. - Chuỗi không hội tụ được gọi là chuỗi phân kỳ. Ví dụ 3 Xét sự hội tụ của chuỗi Ví dụ 2 Tính tổng của chuỗi +∞  1 +∞ 1 ∑ ln 1 + n  ∑ n =1 n ( n + 1) n =1 1
10/3/2014 2. Điều kiện cần để chuỗi hội tụ Ví dụ 4 Xét sự hội tụ của các chuỗi sau +∞ Định lý 1 Nếu chuỗi ∑u n =1 n hội tụ thì lim un = 0. n →∞ +∞ a) ∑ n −1 n =1 3n + 2 Hệ quả 1 +∞ Nếu lim un ≠ 0 (hoặc không tồn tại) thì chuỗi b) ∑ ( n 2 + 1); n →∞ n =1 +∞ ∑ un phân kỳ. n =1 +∞ c ) ∑ sin n n =1 3. Các tính chất của chuỗi +∞ +∞ Chuỗi un +1 + un + 2 + ... + um + ... (2) Định lý 2 Cho các chuỗi n =1 un , ∑ ∑v n =1 n hội tụ. đgl chuỗi dư của chuỗi (1). Khi ấy, các chuỗi +∞ +∞ ∑ cun , ∑u Định lý 3 Chuỗi (1) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi (2) n + vn hội tụ và hội tụ. n =1 n =1 +∞ +∞ ∑ cun = c.∑ un , n =1 n =1 Hệ quả 2 Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không đổi khi ta bớt đi hoặc thêm vào chuỗi số +∞ +∞ +∞ đó một số hữu hạn các số hạng đầu tiên. ∑u n =1 n + vn = ∑ u n + ∑ vn . n =1 n =1 II.Chuỗi số không âm (chuỗi số dương) Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương +∞ 1. Tiêu chuẩn so sánh 1.+∞ +∞ Định nghĩa 2 Chuỗi ∑u n =1 n được gọi là chuỗi số Cho hai chuỗi số dương un , ∑ vn thỏa mãn ∑ không âm nếu un ≥ 0, ∀ n ∈ ℕ. n =1 n =1 0 < un ≤ vn , ∀n ∈ ℕ. Khi đó: +∞ +∞ +∞ Nếu un > 0, ∀ n ∈ ℕ, thì ∑u n được gọi là i) Nếu ∑ vn hội tụ thì ∑u n =1 n hội tụ. n =1 n =1 +∞ +∞ chuỗi số dương (thực sự). ii) Nếu ∑ un phân kỳ thì ∑v n =1 n phân kỳ. n =1 2
10/3/2014 Ví dụ 5 Xét sự hội tụ của các chuỗi số 2. Tiêu chuẩn so sánh 2 +∞ +∞ 1. ∑ 2 n +1 +∞ Cho hai chuỗi số dương ∑ un , n =1 ∑v n =1 n và n =1 n u lim n = k . Khi đó: n →∞ v n +∞ +∞ +∞ 2. ∑ n 3n i) k = 0 : ∑ vn hội tụ thì ∑ un hội tụ. n =1 n =1 n =1 5 + 2 n +∞ +∞ ii) 0 < k < +∞ : ∑u , ∑v n =1 n n =1 n cùng bản chất. +∞ +∞ +∞ 6 + 2(−1) n 3. ∑ n =1 2 n +3 iii) k = +∞ : ∑u n =1 n hội tụ thì ∑v n hội tụ. n =1 Ví dụ 6. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau 3. Tiêu chuẩn tỷ số D’Alembert +∞ un+1 +∞ 1. ∑ 2 n +1 Cho chuỗi số dương ∑ u . Đặt: D = lim n n→∞ un . n =1 2 n +3 n =1 +∞ i) Nếu D < 1, thì ∑u n hội tụ. +∞ n +1 n =1 2. ∑ +∞ n =1 2n5 + 3 ii) Nếu D > 1, thì ∑u n =1 n phân kỳ. iii) Nếu D = 1, thì chưa thể kết luận. Ví dụ 7 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: 4. Tiêu chuẩn căn số Cauchy +∞ +∞ n 3 Cho chuỗi số dương ∑ u . Đặt: C = lim n un . ∑e n 1. n→∞ n n =1 n =1 +∞ i) Nếu C < 1, thì ∑u n =1 n hội tụ. +∞ 2 +∞ (n !) 2. ∑ n =1 (2 n )! ii) Nếu C > 1, thì ∑u n =1 n phân kỳ. iii) Nếu C = 1, thì chưa thể kết luận 3
10/3/2014 Ví dụ 8 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: 5. Tiêu chuẩn tích phân +∞ 1  1 n Cho hàm f là hàm liên tục, dương, giảm trên [ k , +∞). 1. ∑ n  1+  n =1 3  n Khi đó chuỗi số dương +∞ +∞ +∞ ∑ un = ∑ f ( n) nn n=k n= k 2.∑ n . +∞ n =1 3 và tích phân suy rộng ∫ k f ( x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.  4n + 3  +∞ n 3.∑   n =1  3n + 4  Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ 9 Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: +∞ +∞ 1. ∑ 1 3 • Chuỗi ∑u n =1 n với un ∈ ℝ được gọi là chuỗi có dấu n=2 n ln n tùy ý. +∞ +∞ 1 VD 19. ∑ sin (n ) = sin 1 + sin 4 + sin 9 + ... 2 2. ∑ α ,α ∈ ℝ. n =1 n =1 n +∞ n n 1 2 3 ∑ (−1) n =1 n +1 =− 2 + 3 − 4 + ... 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 22 Chuỗi có dấu bất kỳ Chuỗi có dấu bất kỳ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ Mệnh đề. Nếu ∑u hội tụ thì ∑u hội tụ. 2n + 1 n 1 n n Ta có: ∑ ∼∑ =∑ hội tụ n =1 +∞ n =1 n 2n + 1 n =1 n ( 3 n +14 ) n =1 3 n n 4 n =1 n 4/3 VD 20. Xét sự hội tụ của chuỗi ∑ (−1) . +∞ 2n + 1 n =1 n ( 3 n4 + 1) ⇒∑ hội tụ Giải n =1 n ( 3 n4 + 1 ) +∞ +∞ n 2n + 1 2n + 1 +∞ 2n + 1 Xét chuỗi: ∑ (−1) =∑ . ⇒ ∑ (−1) n hội tụ. n =1 n ( 3 4 n +1 ) n =1 n ( 3 n +14 ) n =1 n ( 3 n4 + 1 ) 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 23 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 24 4
10/3/2014 Chuỗi có dấu bất kỳ Chuỗi có dấu bất kỳ +∞ un +1 +∞ cos (n n ) VD 21. Chuỗi ∑ n2 hội tụ. Định lý. Cho chuỗi ∑u n =1 n . Đặt α = lim n →+∞ un n =1 +∞ +∞ hay α = lim n un . Khi đó Lưu ý. Khi chuỗi ∑u n =1 n có ∑u n hội tụ thì ta nói n →+∞ +∞ n =1 chuỗi ∑u n hội tụ tuyệt đối. • Nếu α < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ. n =1 • Nếu α > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ. 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 25 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 26 Chuỗi có dấu bất kỳ Chuỗi có dấu bất kỳ +∞ n +∞ (−3) n VD 22. Khảo sát tính hội tụ của chuỗi: ∑ . Chuỗi đan dấu: Dạng ∑ (−1) un , un > 0. n =1 n3 n =1 Giải Tiêu chuẩn Leibnitz 3 un +1 3n α = lim = lim = 3>1 Nếu {un } là dãy số dương, giảm và hội tụ về 0 thì 3 n →+∞ un n →+∞ (n + 1) +∞ n +∞ n chuỗi đan dấu ∑ (−1) un hội tụ. (−3) n =1 ⇒∑ phân kỳ. n =1 n3 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 27 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 28 Chuỗi có dấu bất kỳ Chuỗi có dấu bất kỳ n VD 23. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi: ∑ (−1) +∞ n VD 24. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi: ∑ (−1) +∞ . . n =1 n ln (n + 1) n =1 Giải Giải 1 1 Ta thấy dãy un = là dãy dương, giảm, tiến về 0 • Ta thấy un = > 0, ∀n ≥ 1. +∞ n n ln (n + 1) (−1) ⇒∑ chuỗi hội tụ. 1 n =1 n i lim un = lim = 0. n →+∞ n →+∞ ln (n + 1) 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 29 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 30 5
10/3/2014 Chuỗi có dấu bất kỳ Chuỗi hàm 1 1 • Cho dãy hàm số f1(x ),..., fn (x ),... cùng xác định trên i un +1 = < un = , ∀n ≥ 1. ln (n + 2) ln (n + 1) tập hợp D ⊂ ℝ. Ta gọi tổng +∞ Vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz, chuỗi đã cho hội tụ. f1(x ) + f2 (x ) + ... + fn (x ) + ... ≡ ∑ fn (x ), (1) n =1 là chuỗi hàm số (hay vắn tắt là chuỗi hàm). 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 31 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 32 Chuỗi hàm Chuỗi hàm +∞ VD 25. ∑x n =1 n = x + x 2 + x 3 + ... + x n + ... • Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm. +∞ ∑e n =1 −nx =e −x +e −2x + ... + e −nx + ... +∞ • Nếu tại x 0 ∈ D , ∑f n =1 n (x 0 ) là một chuỗi số hội tụ (phân kỳ) thì ta nói x 0 là điểm hội tụ (điểm phân kỳ) của chuỗi hàm (1). 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 33 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 34 Chuỗi hàm Chuỗi hàm +∞ +∞ VD 26. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ∑ nen =1 −nx . • Nếu x 0 > 0 ⇒ D < 1 . Khi đó, ∑ ne −nx 0 hội tụ. n =1 Giải +∞ +∞ Thay x = x 0 ∈ ℝ, ta được chuỗi số ∑ ne −nx0 . • Nếu x 0 = 0 thì chuỗi có dạng ∑n n =1 . Đây là chuỗi n =1 phân kỳ. D = lim n ne −nx 0 = lim n ne −x 0 = e −x 0 . n →+∞ n →+∞ +∞ Vậy, miền hội tụ của chuỗi là D = (0, +∞). • Nếu x 0 < 0 ⇒ D > 1 . Khi đó, ∑ ne n =1 −nx 0 phân kỳ. 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 35 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 36 6
10/3/2014 Chuỗi hàm Chuỗi hàm x 2n +∞ • Nếu x 0 ≠ 0 , ta có VD 27. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ∑ n =1 n ! .  x 2(n +1) x 02n  x 02 Giải C = lim  0 :  = lim = 0 < 1. n →+∞  (n + 1)! n !  n →+∞ n + 1  +∞ x 02n Thay x = x 0 ∈ ℝ, ta được chuỗi số ∑ n! n =1 Theo tiêu chuẩn tỷ số, ta suy ra chuỗi hội tụ. • Nếu x 0 = 0 thì chuỗi hội tụ. Vậy miền hội tụ của chuỗi là: D = ℝ. 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 37 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 38 Chuỗi hàm Chuỗi hàm +∞ 1 VD 28. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ∑n n =1 x . • Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm dạng +∞ n 2 Giải ∑ c (x − a ) n =0 n = c0 + c1 (x − a ) + c2 (x − a ) + ..., (2) • Với x > 1 , chuỗi đã cho hội tụ. với a, c1, c2 ,..., cn ∈ ℝ. • Với x ≤ 1 , chuỗi đã cho phân kỳ. • Điểm a được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa (2). Vậy miền hội tụ của chuỗi là: D = (1; +∞). • c1, c2 ,..., cn ,... được gọi là các hệ số của chuỗi (2). 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 39 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 40 Chuỗi hàm Chuỗi hàm • Bằng phép biến đổi tuyến tính, chuỗi lũy thừa trên Nếu chuỗi (3) phân kỳ tại x 2 thì nó sẽ phân kỳ tại mọi được viết lại dưới dạng: điểm x mà x > x 2 . +∞ ≡ c0 + c1x + c2x 2 + ... + cn x n + ... , (3) Định nghĩa ∑c x n =0 n n Nếu chuỗi (3) hội tụ tại mọi điểm x ∈ (−R, R ) và phân Định lý Nếu chuỗi (3) hội tụ tại x 1 thì nó sẽ hội tụ tại mọi điểm kỳ tại mọi điểm x mà x > R thì R được gọi là bán ( x ∈ − x1 ; x1 . ) kính hội tụ của chuỗi (3). 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 41 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 42 7
10/3/2014 Chuỗi hàm Chuỗi hàm Định lý Hệ quả +∞ an +1 • Nếu chuỗi (3) hội tụ với mọi x ∈ ℝ thì R = +∞. Cho ∑a x n =0 n n . Đặt r = lim n →+∞ an hay r = lim n an . n →+∞ Khi đó, bán kính hội tụ được cho bởi: • Nếu chuỗi (3) chỉ hội tụ tại x = 0 thì R = 0.    + ∞, r = 0, R =  0, r = +∞,   1  , 0 < r < +∞.  r 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 43 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 44 Chuỗi hàm Chuỗi hàm +∞ n (−1) n VD 29. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi ∑ n =1 n x . Thuật toán tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa +∞ Giải Cho chuỗi lũy thừa ∑a x n =0 n n . Để tìm miền hội tụ, ta tiến n n (−1) (−1) 1 Ta có an = ⇒ n an = n =n . hành các bước sau: n n n Bước 1. Tìm bán kính hội tụ R. 1 r = lim n an = lim =1 n →+∞ n →+∞ n n • Nếu R = 0 thì miền hội tụ là D = {0} . 1 Bán kính hội tụ R = = 1. • Nếu R = +∞ thì miền hội tụ là D = ℝ. r 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 45 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 46 Chuỗi hàm Chuỗi hàm • Nếu 0 < R < +∞ thì ta có khoảng hội tụ là (−R; R ) • Chỉ hội tụ tại x = −R thì miền hội tụ là D = [−R; R). Lúc này ta chuyển sang bước 2. • Không hội tụ tại x = ±R thì miền hội tụ là (−R; R ). Bước 2. Xét tính hội tụ của chuỗi tại x = −R, x = R. • Hội tụ tại x = ±R thì miền hội tụ là D = [−R; R ]. • Chỉ hội tụ tại x = R thì miền hội tụ là D = (−R; R ]. 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 47 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 48 8
10/3/2014 Chuỗi hàm +∞ n (−1) n VD 30. Tìm miền hội tụ của chuỗi ∑ n =1 n x . +∞ n (x − 1) VD 31. Tìm miền hội tụ của chuỗi ∑ n =1 n 2n . +∞ VD 32. Tìm miền hội tụ của chuỗi ∑2 n =1 n xn. ---------------------------------------- 04/11/2012 Mã MH: C01004- Chương 1 49 9