zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp A5 - Chương 1: Ma trận - Định thức

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Báo xấu

253
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp A5 - Chương 1: Ma trận - Định thức" cung cấp cho người đọc các kiến thức: Ma trận và các phép toán, định thức, ma trận nghịch đảo, hạng ma trận. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp A5 - Chương 1: Ma trận - Định thức

9/11/2013 NỘI DUNG Chương 1: Ma trận và định thức Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính Chương 3: Phương trình vi phân cấp 1 Chương 4: Phương trình vi phân cấp 2 Chương 5: Chuỗi Tài liệu Chương 1. Ma trận, định thức Giáo trình chính: [1] N.Đ. Trí, Toán cao cấp tập 1- Đại số và hình 1.1 Ma trận và các phép toán học giải tích, NXB GD 2011. 1.2 Định thức Tài liệu tham khảo: [2] N.Đ. Trí, Toán cao cấp tập 3- Phép giải tích 1.3 Ma trận nghịch đảo hàm nhiều biến số, NXB GD 2011. [3] Đ.C. Khanh, Toán cao cấp - Lý thuyết chuỗi và 1.4 Hạng ma trận phương trình vi phân, NXB ĐHQG TPHCM, 2003 [4] N.Đ. Trí, Toán cao cấp tập 3- Phép giải tích hàm một biến số, NXB GD 2011. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Chương 3. Phương trình vi phân cấp 1 2.1. Khái niệm chung. 2.2. Hệ Cramer. 3.1. Các ví dụ thực tế dẫn đến phương trình vi phân. 2.3. Định lý Kronecker – Capelli. 3.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân 2.4. Phương pháp Gauss. cấp 1. 2.5. Hệ thuần nhất. 3.3. Phương trình vi phân có dạng tách biến. Phần bổ sung (dành riêng cho ngành Hóa ứng dụng) 3.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Không gian Rn Không gian Rn. Độc lập và phụ thuộc. Cơ sở và số chiều. 1
9/11/2013 Chương 4. Phương trình vi phân cấp 2 Chương 5. Chuỗi 4.1. Các phương trình vi phân có thể giảm cấp. 5.1. Định nghĩa. 4.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ 5.2. Chuỗi số không âm. số hằng. 5.3. Chuỗi đan dấu. 5.4. Chuỗi lũy thừa. Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Kí hiệu: A = (aij ), i = 1, m ; j = 1, n , các phần tử I. Ma trận và các phép toán aij có thể là số thực, phức, hàm số… 1. Một số định nghĩa: hoặc A m×n . Định nghĩa 1.1.1: Một ma trận A loại m × n là một bảng hình chữ nhật m hàng n cột với m.n phần tử, Nếu m = n , thì A được gọi là ma trận vuông có dạng sau: cấp n .  a11 a12 … a1n  Trong mỗi ma trận vuông cấp n có một đường a a 22 … a 2 n  chéo chính (đường chéo) gồm các phần tử A =  21 a ii , i = 1, n và một đường chéo phụ gồm các ⋮ ⋮ ⋱ ⋮    phần tử a i ( n − i + 1) , i = 1, n .  a m 1 a m 2 … a mn  Ví dụ 1.1.1 Xét ma trận Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo 1 0 −3 2 chính đều bằng 0 ( aij = 0, ∀i ≠ j ; i , j = 1, n ).   5 4 1 0 Ví dụ 1.1.2 A= 1 2 1 −1  α1 0 0 0     α2  3 6 1 −4  A= 0 0 0  Các phần tử trên đường chéo chính: 1,4,1,-4  0 0 α3 0    Các phần tử trên đường chéo phụ: 2,1,2,3.  0 0 0 α4  2
9/11/2013 Một ma trận tam giác trên (tam giác dưới) là Nếu các phần tử trên đường chéo chính của một ma trận vuông mà tất cả hệ số nằm phía dưới ma trận chéo cấp n đều bằng 1 thì ma trận đó (phía trên) đường chéo chính đều bằng 0. đgl ma trận đơn vị cấp n. Kí hiệu: I n hay I . ( aij = 0, ∀1 ≤ j < i ≤ n ; aij = 0, ∀1 ≤ i < j ≤ n ) Ví dụ 1.1.3  1 0 0 0  Ví dụ 1.1.4 A, B t.ư. là ma trận tam giác trên   (dưới) 0 1 0 0  a11 a12 … a1n   a11 0 … 0 I = I4 =        0 0 1 0  0 a22 … a2n  a a … 0   A= B =  21 22  0 0 0 1  ⋮ ⋮ ⋱ ⋮  ⋮ ⋮ ⋱ ⋮      0 0 … ann   an1 an2 … ann  Định nghĩa 1.1.2: Các phép biến đổi sau đây đối Ví dụ 1.1.5 với hàng của ma trận đgl các phép biến đổi sơ 1 4 2 0  2 8 4 0  cấp đối với hàng:   h1→2h1   A =  2 −2 3 1  → 2 −2 3 1  1. Nhân tất cả các phần tử của một hàng với một số khác 0 (α ≠ 0, hi → α hi ) . 3 6 3 1  3 6 3 1      2. Cộng các phần tử của một hàng đã được nhân cho cùng một số vào các phần tử t.ư. của 1 2 2 0  1 2 2 0  hàng khác,   h3 →h3 −3h1   (h j → h j + α hi , i ≠ j ). B =  2 0 3 1  → 2 0 3 1  3 6 3 1   0 0 −3 1  3. Đổi vị trí hai hàng ( hi ↔ hk ).     Định nghĩa 1.1.3: Ma trận đgl có dạng bậc thang Ví dụ 1.1.6 Cho các ma trận sau nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Các hàng bằng 0 (nếu có) phải nằm dưới các 2 1 4  1 3 1     hàng khác 0. A = 0 1 1  B = 0 2 5 2. Phần tử cơ sở của một hàng phải nằm phía phải 0 0 − 3  0 0 0  so với phần tử cơ sở của hàng trên.   Hàng bằng 0: tất cả phần tử trên hàng đều bằng 0. 2 6 1 1 3 2 1      Hàng khác 0: có ít nhất 1 phần tử trên hàng khác 0. C = 0 0 8 D = 0 0 0 0  Phần tử cơ sở: phần tử khác 0 đầu tiên của hàng (tính 0 5 0   5  từ trái sang phải)  0 0 2 3
9/11/2013 Định nghĩa 1.1.4: Ma trận đgl có dạng bậc thang Ma trận A, B có dạng bậc thang; rút gọn nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: Ma trận C, D không có dạng bậc thang. 1. Nó có dạng bậc thang; Định lý 1.1.1: Mọi ma trận có thể đưa về dạng 2. Phần tử cơ sở của hàng bằng 1 và là phần tử bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với duy nhất khác 0 trong cột chứa nó. hàng. Ví dụ 1.1.8 Các ma trận sau có dạng bậc thang rút Ví dụ 1.1.7 Đưa các ma trận sau về dạng bậc gọn 1 0 3 1 2 0 0  thang  1 2 1 1   1 2 3     A = 0 1 2, B = 0 0 1 0  A = 1 3 5 3 , B =  1 −1 0 0 0 0 0 0 0 1  3 2 4 0   2 1 3         Định lý 1.1.2: Mọi ma trận có thể đưa về dạng 2. Các phép toán đối với ma trận bậc thang rút gọn nhờ các phép biến đổi sơ cấp 2.1 Các phép toán đối với hàng. Định nghĩa 1.1.5: Hai ma trận cùng loại A = (aik ), B = (bik ) đgl bằng nhau nếu a ik = bik với mọi i,k. Ví dụ 1.1.9 Đưa các ma trận sau về dạng bậc thang rút gọn Định nghĩa 1.1.6: Tổng của hai ma trận cùng loại 1 3 2 0 A = (aik ), B = (bik ) là một ma trận cùng loại với A,B 1 3 1     0 2 1 0 được kí hiệu là A+B, với phần tử ở hàng i cột k là A =  0 1 0 , B= a ik + bik ,  0 0 3 1 3 3 1     A + B = ( a ik + b ik ) 0 0 0 0 Định nghĩa 1.1.7: Tích của ma trận A = ( a ik ) với Định lý 1.1.3 Với các ma trận A, B, C và các số một số λ là một ma trận cùng loại được kí hiệu là λ , β ta có các mệnh đề sau (giả thiết các phép λ A với phần tử ở hàng i cột k là λ aik , λ A = (λ aik ) toán đều hợp lệ) Định nghĩa 1.1.8: Cho ma trận A = ( aik ) loại m × n 1. A + B = B + A ma trận B = (bkj ) loại n × p . Tích của hai ma trận A 2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) = A + B + C và B là ma trận loại m × p được kí hiệu là AB , với 3. ( AB )C = A( BC ) phần tử hàng i cột j là: n 4. ( A + B )C = AC + BC a i 1b1 j + a i 2 b2 j + ... + a i n bnj = ∑a k =1 ik bkj 5. A( B + C ) = AB + AC 4
9/11/2013 2.2 Các phép toán và phép biến đổi sơ cấp với . 6. (αβ ) A = α ( β A) ma trận Ví dụ 1.1.10 Xét các ma trận 7. α ( AB ) = (α A) B = A(α B )  1 −2 0 1 1 −2 0 1     8. α ( A + B ) = α A + α B A= 2 0 3 2 , B = 2 0 3 2  1 −1 4 1  2 −2 2  9. (α + β ) A = α A + β A   8 1 0 0 E =  0 1 0   0 0 2   Ta có: 1. Phép biến đổi sơ cấp thứ nhất: nhân hàng thứ i với α EA=B h3 → 2 h3 A → B 1 0 … … … 0  Vậy phép biến đổi sơ cấp thứ nhất tương đương   0 1 … … … 0  với việc nhân phía trái của A với một ma trận E.  … … … … … … Định lý 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp 1,2,3 đối E1 =   với hàng của ma trận A = (aik ) loại m× n tương 0 0 … α … 0  hàng i đương với nhân bên trái của A một ma trận vuông  … … … … … … (loại m× m) cấp m có các dạng tương ứng   0 0 … … … 1  sau: 2. Phép biến đổi sơ cấp thứ hai: cộng hàng i đã 3. Phép biến đổi sơ cấp thứ ba: đổi vị trí hàng i nhân α vào hàng j với hàng j 1 0 … … 0  … 1 0 … … … 0      0 1 … … … 0  0 1 … … … 0   … … … … …   … … … … … … E3 =   E2 =   0 0 0 1 … 0  0 0 … 1 … 0  hàng i 0 … 1 0 … 0   … … … α 1 0  hàng j     0 0 … … … 1  0 0 … … … 1  Các ma trận E1 , E 2 , E 3 đgl các ma trận sơ cấp. 5
9/11/2013 2.3 Ma trận chuyển vị Định lý 1.1.5 Đối với phép chuyển vị ma trận ta Định nghĩa 1.1.9. Cho ma trận A = (aik ) loại m × n có (giả thiết các phép toán có nghĩa) Ma trận chuyển vị của ma trận A là một ma trận loại n × m được kí hiệu là A với phần tử hàng i T 1. ( A T ) T = A cột k là aki , A = ( aki ) . T 2. ( A + B ) T = AT + B T Ví dụ 1.1.11 3 . ( AB ) T = B T A T 1 4  4. ( λ A ) T = λ A T 1 2 3    A= , A = 2 T 5  4 5 6  3  6  3. Ma trận nghịch đảo Định lý 1.1.6 Ta có các mệnh đề sau: 3.1 Khái niệm về ma trận nghịch đảo 1. Nếu A, B khả đảo thì tích AB khả đảo và (trong phần này chỉ xét tập các ma trận vuông cấp n) ( AB)−1 = B−1 A−1; Định nghĩa 1.1.10 Ma trận vuông I cấp n đgl ma 2. Nếu A khả đảo thì AT khả đảo và (AT )−1 = ( A−1)T ; trận đơn vị nếu AI = IA = A với mọi ma trận vuông −1 −1 −1 3. Nếu A khả đảo thì A khả đảo và (A ) = A. A cấp n. 4. Nếu A khả đảo và α ≠ 0 thì ma trận α A cũng Định nghĩa 1.1.11 Ma trận vuông B đgl ma trận khả đảo và 1 nghịch đảo của A (vuông cấp n), nếu AB = BA = I . (α A) −1 = A−1 Khi đó, A đgl khả đảo, và kí hiệu ma trận nghịch α đảo của nó là A −1 . 3.2 Tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp. sơ cấp đối với hàng. Định lý 1.1.7 Các ma trận sơ cấp thì khả đảo. Xét ma trận mở rộng ( A I ) Định nghĩa 1.1.12. Hai ma trận đgl tương đương Biến đổi → ( I A −1 ) ( A I )  hàng nếu từ ma trận này có thể biến thành ma trận kia nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. Ví dụ 1.1.12 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Định lý 1.1.8 Ma trận (vuông) A khả đảo khi và 1 1 1   chỉ khi nó tương đương hàng với ma trận đơn vị. A = 1 2 3 0 1 1   6
9/11/2013 Ví dụ 1.1.13 Xét ma trận Định lý 1.1.9 Cho ma trận vuông A (cấp n) khả đảo và Bn× p , Cm×n . Xét phương trình ma trận  1 2 −4 1 A X = B và YA = C . Khi đó   i ) AX = B ⇔ X = A − 1 B ; 2 1 2 3 A= ii ) YA = C ⇔ Y = CA −1 .  −1 1 1 1    3 0 1 2 A có khả đảo? Ví dụ 1.1.14 Giải các phương trình ma trận sau: II. Định thức 1. Một số định nghĩa: 1 2 3 5 1)   X =   Với ma trận vuông A, định thức của ma trận A 3 4 5 9 được kí hiệu là det A hay A . Định nghĩa 1.2.1. Ta có các định thức cấp 1, 2, 3: 3 −1   5 6  14 16  Cấp 1: A = (a) ⇒ det A = a. 2)  X =  5 −2   7 8   9 10  Cấp 2: 1 2 3 5 a a  3)   X =   A =  11 12  ⇒ det A = a11a22 − a12 a21 2 4 4 2  a21 a22  Cấp 3: Định nghĩa 1.2.2. Cho A = (aik ) là ma trận vuông cấp n . Định thức của ma trận A được tính bởi  a11 a12 a13  công thức sau:   A =  a21 a22 a23  det A = a11 A11 + a12 A12 + ... + a1n A1n , a a a   31 32 33  i+k trong đó, Aik = (−1) det M ik và M ik là ma trận ⇒ det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − vuông cấp (n-1) nhận được từ A bằng cách bỏ hàng thứ i và cột thứ k. − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 Đại lượng Aik đgl phần bù đại số của aik ; det M ik đgl định thức con bù của aik . 7
9/11/2013 Ví dụ 1.2.1 Tính det A, với Định lý 1.2.1 Với ma trận vuông cấp n≥ 2 ta có 1 3 0 2 thể khai triển định thức của nó theo một hàng bất kỳ hoặc một cột bất kỳ theo công thức sau:   4 1 2 −1  n det A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ai n = ∑ aij Aij A= 3 1 0 2 j =1 (theo hàng i , i = 1, n )   2 3 3 5 det A = a1k A1k + a2k A2k + ... + ank Ank = ∑ aik Aik n i =1 (theo cột k, k = 1, n ) Ví dụ 1.2.2 Tính det A, với 2. Các tính chất của định thức det A = det( AT ).  1 2 0 1   Khi nhân một số α vào trong một hàng (cột) nào 3 1 0 1 đó thì định thức cũng được nhân cho số α đó. A=  −1 2 4 5 Ví dụ 1.2.3 Xét ma trận    2 3 1 0 1 0 2    A =  3 1 −1   2 −1 2    Với ma trận vuông A cấp n, ta có: Ta có các tính chất sau (định thức bằng 0): i. Nếu ma trận có một hàng (cột) bằng 0 thì det A, i = j ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + ... + ain A jn =  định thức của nó bằng 0.  0, i≠ j ii. Nếu ma trận có hai hàng (cột) bằng nhau thì Định thức không đổi nếu ta cộng vào một hàng định thức của nó bằng 0. (cột) nào đó một hàng (cột) khác đã được nhân iii. Nếu ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau thì cho một số. định thức của nó bằng 0. Định thức đổi dấu nếu ta đổi vị trí hai hàng (cột). 8
9/11/2013 Cho ma trận A có tính chất: mỗi phần tử của Nếu ma trận A có dạng tam giác thì định thức hàng thứ i biểu diễn ở dạng: aik = aik(1) + aik( 2) của nó bằng tích các số nằm trên đường chéo, Kí hiệu: A1 là ma trận nhận từ A bằng cách thay (1) det A = a11a22 ...ann hàng thứ i bằng các phần tử aik , A2 nhận từ A (2) bằng cách thay hàng i bằng các phần tử aik . Khi ấy ta có: det A = det A1 + det A2 Định lý Laplace. Khai triển định thức theo r β là định thức của ma trận vuông cấp ( n − k ) hàng (cột). Cho ma trận vuông A cấp n . Xét k hàng nhận được từ A bằng cách bỏ đi k hàng và k cột i1 < i2 < ... < ik và k cột j1 < j2 < ... < jk trên đgl định thức con bù của δ . Kí hiệu: δ là định thức của ma trận vuông cấp k Đại lượng ∆ = β .(−1)i1 +...+ik + j1 +...+ jk đgl phần bù đại gồm các phần tử nằm trên giao của k hàng và k cột đó: số của định thức δ . ai1 j1 ai1 j2 … ai1 jk δ=⋮ aik j1 aik j2 … aik jk Ví dụ 1.2.4 Cho ma trận vuông cấp 5 Định lý 1.2.2 (Định lý Laplace) Định thức của một ma trận bằng tổng của tích mọi định thức 1 3 1 0 2 con rút ra từ k hàng (cột) với bù đại số tương   ứng của chúng. 2 3 2 1 1 Ví dụ 1.2.5 Tính định thức cấp 4: A = 4 1 0 2 3 1 2 1 0     2 −1 1 4 1 2 0 2 3 6 A=  2 1 1 2  4 1 3 2   7 0 1 0 9
9/11/2013 Ví dụ 1.2.6 Tính định thức cấp 5: Ví dụ 1.2.7 Dùng khai triển Laplace, tính định 1 2 0 0 0 thức sau:   2 3 0 0 1 −1 2 1 0 0 0 9 4 0 0 3 7 A = 5 3 1 1 2   4 5 1 −1 2 4 8 1 −2 3 5 3 8 3 7 6 9 4 3   2 1 2 1 −1 0 0 0 0 3 7 0 0 0 0 Ví dụ 1.2.8 Dùng các t/c của đth tính các định thức sau: 3. Công thức tính ma trận nghịch đảo. Định thức 1 a b+c a2 b2 c2 tích hai ma trận. a) 1 b c+a b) a b c 3.1 Ma trận biến đổi sơ cấp và định thức tích hai ma trận 1 c a+b 1 1 1 det E1 = α ; det E2 = 1; det E3 = − det I = −1 a 1 1 1 1 a 1 1 Định lý 1.2.3 Với ba ma trận biến đổi sơ cấp hàng c) E 1 , E 2 , E 3 ta có: 1 1 a 1 1 1 1 a det( Ei A) = (det Ei )(det A), i = 1, 2, 3. Định lý 1.2.4 Ma trận vuông A khả đảo khi và chỉ Định nghĩa 1.2.3 Ma trận vuông A đgl không suy khi det A ≠ 0. biến nếu det A ≠ 0. Ngược lại, A đgl suy biến. Định lý 1.2.5 Định lý 1.2.6 Ma trận vuông khả đảo khi và chỉ khi nó không suy biến. det AB = (det A)(det B) 10
9/11/2013 3.2 Công thức tính ma trận nghịch đảo Xét ma trận Cho ma trận  A11 A21 … An1   a11 a12 … a1n    A A22 … An 2    PA =  12 a a … a2n   …  A =  21 22   A1n A2 n … Ann    …    trong đó Aij là phần bù đại số của aij , ma trận  an1 an 2 … ann  PA đgl ma trận phụ hợp của A. Đinh lý 1.2.7 Ta có : Ví dụ 1.2.9 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: APA = PA A = (det A)I.  1 2 0   A =  3 1 4 Nếu A khả đảo, thì A−1 = 1 .PA  −2 1 2  det A   4. Hạng của ma trận Xét ma trận 4.1 Khái niệm hạng của ma trận 3 1  δ =  Xét Am×n . Các phần tử nằm trên giao của k  4 −2  hàng và k cột tạo một ma trận vuông loại k × k . Định thức của nó đgl định thức con cấp k. có định thức det δ = − 10 là một định thức con Ví dụ 1.2.10 Cho ma trận loại 3 × 4 cấp 2. 1 1 −1 2   A = 3 2 1 5 4 0 −2 1   11
9/11/2013 Định nghĩa 1.2.4 Hạng của một ma trận là cấp Ví dụ 1.2.11 Tính hạng của ma trận sau: cao nhất của các định thức con khác 0. Nói cách khác, hạng của ma trận A bằng r nếu 1 2 −2 3  tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 và   mọi định thức con cấp cao hơn r đều bằng 0. A=2 1 4 0  Kí hiệu: rA hoặc rank A là hạng của ma trận A. 1 −1 6 −3    Ví dụ 1.2.12 Cho ma trận dạng bậc thang Ví dụ 1.2.13 Cho ma trận dạng bậc thang 1 2 3 −1 0 1 2 3 −1 0     0 2 1 2 1 0 0 1 2 1 A=  B = 0 0 1 3 −2  0 0 0 3 −2      0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Định lý 1.2.8 Ma trận bậc thang có r hàng khác 0 Ví dụ 1.2.14 Tính hạng của ma trận sau: có hạng bằng r. 1 2 −2 3  Định lý 1.2.9 Các phép biến đổi sơ cấp không làm   thay đổi hạng ma trận. A=2 1 4 0  1 −1 6 −3    Để tìm rank A, đưa A → ma trận bậc thang B, rank A = rank B. 12
9/11/2013 Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ở đây: x1, x2 ,..., xn là các ẩn phải tìm. I. Khái niệm chung Nếu đặt 1. Hệ phương trình tuyến tính  a11 a12 … a1n   b1   x1  Hệ phương trình tuyến tính tổng quát (m phương a      a22 … a2n   b2  x trình, n ẩn) có dạng: A =  21 , b= , X = 2 a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 … … … …  ⋮  ⋮  a x + a x + … + a x = b        am1 am2 … amn   bm   xn   21 1 22 2 2n n 2  (1) ............................................ thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận: am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm AX = b. Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm của hệ phương trình Định lý 2.1.1 Các phép biến đổi sau đây chuyển (1) là một bộ n số : một hệ phương trình tuyến tính thành một hệ tương x1 = α1 , x2 = α 2 ,..., xn = α n thỏa mãn hệ trên. đương: 1) Nhân cả hai vế phương trình cho một số khác 0. Định nghĩa 2.1.2. Hai hệ phương trình có cùng 2) Cộng một phương trình đã được nhân cho một số số ẩn đgl tương đương nếu tập nghiệm của chúng vào một phương trình khác. trùng nhau (tức nghiệm của hệ này là nghiệm của 3) Đổi vị trí hai phương trình. hệ kia và ngược lại). 2. Hệ phương trình tuyến tính và ma trận Ví dụ 2.1.1 Giải hệ phương trình tuyến tính sau: Ma trận hệ số vế trái của hệ phương trình:  x1 + x2 + x3 = 2 1  1 1   3 2 1 3 x1 + 2 x2 + x3 = 7 2  1 5   2 x + x + 5 x = −5 Ma trận mở rộng:  1 2 3 1 1 1 2    3 2 1 7  (Nghiệm : 1,3,-2). 2 1 5 − 5   13
9/11/2013 Tổng quát: Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa Xét ma trận mở rộng của hệ (1): ( ) ma trận mở rộng A b về dạng:  a11 a12 … a1n b1   c11 c12 … c1n d1      a a … a2n b2   c21 c22 … c2n d2  ( A b) =  ⋮21 ⋮22 … ⋮ ⋮   ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮       am1 am2 … amn bm   cm1 cm2 … cmn dm  Khi đó, hệ (1) tương đương với hệ: Phương pháp Gauss: c11 x1 + c12 x2 + …+ c1n xn = d1 ( ) Đưa ma trận mở rộng A b → ma trận bậc thang… c x + c x + …+ c x = d  21 1 22 2 2n n 2 Lưu ý: Qua các phép biến đổi sơ cấp hạng của ma  trận không thay đổi. ........................................... cm1 x1 + cm2 x2 + …+ cmn xn = dm Định lý 2.1.2 (Định lý Kronecker – Capelli) 3. Số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi Định lý 2.1.3 Cho hệ phương trình AX = b . Khi ấy: 1) Nếu rank ( A b ) ≠ rank ( A ) thì hệ vô nghiệm rank ( A b ) = rank ( A) 2) Nếu rank ( A b ) = rank ( A ) ( = r ) thì hệ có nghiệm 2.1 Nếu ( r = n ) (số ẩn) thì hệ có một nghiệm duy nhất. 2.2 Nếu ( r < n ) thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc ( n − r ) tham số. 14
9/11/2013 Ví dụ 2.1.2 Giải hệ phương trình: Ví dụ 2.1.3 Giải hệ phương trình  2 x + 3 y + 5 z = 10  2 x1 + x 2 + 3 x3 =4  3 x + 7 y + 4 z = 3 2 x + x + 6 x  1 =6  x + 2 y + 2z = 3  2 3   4 x1 + 2 x 2 + 3 x3 =6  6 x1 + 3 x 2 + 9 x3 = 13 Ví dụ 2.1.4 Giải hệ phương trình VD 2.1.2 (Nghiệm : 3, -2, 2)  x1 + 2 x2 + 2 x3 = 3 VD 2.1.3 (Hệ vô nghiêm) VD 2.1.4  −3 − 4α 6 −α  2 x1 + x2 + 3 x3 = 0 Hệ có vô số nghiệm: x1 = 3 ; x2 = 3 ; x3 = α 4 x + 5 x + 7 x = 6 (với α là số bất kỳ).  1 2 3 4. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình Ví dụ 2.1.5 Giải và biện luận hệ phương trình sau ( ) - Bước 1: Đưa ma trận mở rộng A b về dạng bậc theo tham số m thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp với hàng.  x + 2y + z = 4 - Bước 2: Xét hạng ma trận bậc thang đó:  2 x + 3z = 1 r( Ab) ≠ rA : hệ vô nghiệm. 3x + 2 y + mz = 2  r( Ab) = rA = r : hệ có nghiệm: • r = n (số ẩn): hệ có nghiệm duy nhất. • r < n : xđ r ẩn cơ sở phụ thuộc (n-r) ẩn tự do (hệ có vô số nghiệm). 15
9/11/2013 Ví dụ 2.1.6 Giải hệ 1+ λ 1 (1 + λ ) 2 λ ≠ 1, λ ≠ −2 : r( A b ) = rA = 3, x = − ,y= ,z = λ x + y + z = 1 2+λ 2+λ 2+λ  x + λ y + z = λ λ = 1: r( A b ) = rA = 1, x = 1 − α − β , y = α , z = β . x + y + λ z = λ 2  λ = − 2 : r( A b ) = 3, rA = 2, hệ vô nghiệm. 5. Hệ phương trình thuần nhất Định lý 2.1.4 Hệ phương trình thuần nhất AX = 0 Là hệ phương trình có dạng: có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 rank A < n (số ẩn số).  a x + a x + ... + a x = 0  21 1 22 2 2n n  Hệ quả 2.1.1 Nếu hệ phương trình thuần nhất .......................................... có số phương trình ít hơn các ẩn số thì hệ có  am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0 nghiệm không tầm thường. Hệ luôn có nghiệm: x1 = x2 = ... = xn = 0. Nghiệm đó đgl nghiệm tầm thường. II. Hệ phương trình Cramer, pp định thức Định nghĩa 2.2.1 Hệ (2) đgl hệ Cramer nếu det A≠ 0. 1. Phương pháp ma trận nghịch đảo Xét n phương trình n ẩn: Định lý 2.2.1 Hệ Cramer AX = b có một nghiệm a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 −1 duy nhất X = A b. a x + a x + ... + a x = b  21 1 22 2 2n n 2  (2) .......................................... an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn với dạng ma trận AX = b . 16
9/11/2013 2. Công thức Cramer Xét định thức ∆ k nhận được từ định thức của A bằng cách thay cột thứ k bởi cột vế phải Ta có:  A11 A21 … An1   b1  a11 a12 … b1 … a1n    1  A12 A22 … An 2   b2  a21 a22 … b2 … a2n X = A−1b = ∆k = det A  … … … …  ⋮  … … … … … …     A1n A2 n … Ann   bn  an1 an2 … bn … ann Vậy ↑ 1 xk = ( A1k b1 + A2 k b2 + ... + Ank bn ) , k = 1, n (cột thứ k) det A Khai triển định thức ∆k theo cột thứ k : Định lý 2.2.2 Nếu hệ n phương trình n ẩn AX = b (phần bù đại số của bi chính là phần bù đại số của aik ) có định thức ∆ = det A ≠ 0 thì hệ có một nghiệm duy nhất được xác định bởi công thức : ∆ k = b1 A1k + b2 A2 k + ... + bn Ank ∆1 ∆ ∆ x1 = , x2 = 2 ,..., xn = n ∆ ∆ ∆ Vậy ∆k xk = , k = 1, 2,..., n trong đó ∆k là định thức nhận được từ ∆ bằng det A cách thay cột thứ k bởi cột vế phải. Định lý 2.2.3 Hệ n phương trình tuyến tính Ví dụ 2.2.1 Giải hệ phương trình thuần nhất n ẩn AX = 0 có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi det A = 0.  2 x + 3 y + 5 z = 10  3 x + 7 y + 4 z = 3  x + 2 y + 2z = 3  17
9/11/2013 Chương 3: KHÔNG GIAN VÉCTƠ thỏa mãn các điều kiện sau với mọi u, v, w ∈V và α, β ∈ K : I. Khái niệm về không gian véctơ 1. u + v = v + u 1. Định nghĩa 2. (u + v) + w = u + (v + w) Giả sử V là tập khác rỗng, K là một trường (R 3. ∃θ , u + θ = θ + u = u hoặc C). V đgl không gian véctơ (kgvt) trên trường K nếu có hai phép toán: 4. ∃u′ ∈ V , u + u′ = θ - Phép toán trong (+): V × V → V 5. 1.u = u (u , v ) ֏ u + v 6. α ( β u ) = (αβ )u - Phép toán ngoài (.): K × V → V 7. α (u + v) = α u + α v (α , v ) ֏ α v 8. (α + β )u = α u + β u. Mỗi phần tử của V đgl véctơ. Nếu K = R (hoặc C) 2. Ví dụ thì V đgl không gian véctơ thực (hoặc phức). Ví dụ 3.1.1 Giả sử K là một trường, xét tập { K n = x = ( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ K , i = 1, n } Ta định nghĩa: ( x1,..., xn ) + ( y1,..., yn ) = ( x1 + y1,..., xn + yn ) α.( x1,..., xn ) = (α x1,...,α xn ), ∀α ∈ K. Hai phép toán trên thỏa mãn 8 điều kiện của kgvt Ví dụ 3.1.2 Tập V = M m×n ( K ) : gồm các ma trận với phần tử không θ = (0,..., 0) , phần tử đối của loại m × n với các hệ số trong K là một kgvt trên K x = ( x1 ,..., xn ) là − x = (− x1 ,..., − xn ). với phép cộng véctơ là phép cộng ma trận thông Khi K = R, ta có kgvt thực R n . thường và nhân vô hướng với véctơ là phép nhân thông thường một số với ma trận, trong đó véctơ K = C, ta có kgvt phức C n . không là ma trận không và véctơ đối của A = (aij ) là −A=(−aij ). 18
9/11/2013 Ví dụ 3.1.3 Xét tập R X gồm các hàm số xác định 3. Tính chất trên tập con X ⊂ R, X ≠ ∅. Ta định nghĩa phép toán Định lý 3.1.1 Trong kgvt V ta có: cộng véctơ (là phép toán cộng hàm số thông 1. Phần tử không θ là duy nhất thường) và phép nhân vô hướng với số thực như sau: 2. Phần tử đối u ′ của u bất kỳ là duy nhất. ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ), ∀x ∈ X , 3. 0. x = θ (α f )( x ) = α f ( x ), ∀α ∈ R , ∀x ∈ X . 4. λ.θ = θ 5. Nếu λ.u = θ thì hoặc λ = 0 hoặc u = θ . với hai phép toán này R X là kgvt thực, với véctơ không là hàm hằng 0( x) = 0, ∀x ∈ X , phần tử đối 6. ( −1)u = u ′ (phần tử đối của u ). của f là –f xác định bởi (− f )( x) = − f ( x), ∀x ∈ X . II. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Một số tính chất 1. Định nghĩa 1. u là tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 ,..., u m khi và Định nghĩa 3.2.1. Tổ hợp tuyến tính của các véctơ chỉ khi phương trình α1u1 + α 2u2 + ... + α mum = u u1 , u 2 ,..., u m trong không gian véctơ V là một có nghiệm (α1 ,α2 ,..., αm ) ∈ K m . véctơ có dạng: 2. Tổng của hai tổ hợp tuyến tính, tích của một u = α1u1 + α 2u 2 + ... + α m u m số với một tổ hợp tuyến tính cũng là các tổ hợp với các số α 1 , α 2 ,..., α m bất kỳ. tuyến tính. 3. Véctơ không θ luôn là tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 ,..., u m vì θ = 0.u1 + 0.u2 + ... + 0.um . 4. Mỗi véctơ ui , i = 1, m là một tổ hợp tuyến tính 5. Mọi tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 ,..., um −1 , u m của u1 , u 2 ,..., u m vì đều là tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 ,..., u m −1 khi và ui = 0.u1 + ... + 0.ui −1 + 1.ui + 0.ui +1 + ... + 0.um . chỉ khi u m là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 ,..., um−1 . Tổng quát: Mọi tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 ,..., u j j = 1, m đều là tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 ,..., u j , u j +1,..., um vì α1u1 + ... + α j u j = α1u1 + ... + α j u j + 0.u j +1 + ... + 0.um . 19
9/11/2013 Hệ quả 3.2.1 Khi đó véctơ u = (b1 , b2 ,..., bn ) ∈ K n là tổ hợp tuyến Cho u1 , u 2 ,..., u m là m véctơ trong K n với tính của u1 , u 2 ,..., u m khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính UX = B có nghiệm X , trong đó u j = (u1 j , u2 j , ..., u nj ), j = 1, m :  u11 u12 … u1m   b1  α1  u1 = (u11 , u 21 ,..., un1 );       u u22 … u2m  b α u2 = (u12 , u 22 ,..., u n 2 ); U =  21 ; B =  2 ; X =  2  … … … … ⋮  ⋮  ................................       um = (u1m , u 2 m ,..., unm ).  un1 un2 … unm   bn   αm  Ví dụ 3.2.1 Trong R 4 , cho các véctơ Định nghĩa 3.2.2. Các véctơ u1 , u 2 ,..., um đgl phụ u1 = (1,1,1,1); u 2 = (2, 3, − 1, 0); thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số α 1 , α 2 ,..., α m u 3 = ( − 1, − 1,1,1); u 4 = (1, 2,1, − 1). không đồng thời bằng không sao cho: α1u1 + α 2 u 2 + ... + α m u m = 0 (*) Tìm điều kiện để véctơ u = (a1 , a2 , a3 , a4 ) là một Ngược lại, chúng đgl độc lập tuyến tính. tổ hợp tuyến tính của : Vậy, độc lập tuyến tính có nghĩa là (*) chỉ đúng a ) u1 , u 2 , u 3 ; trong một trường hợp duy nhất là : b ) u1 , u 2 , u 3 , u 4 . α 1 = α 2 = ...α m = 0. Ví dụ 3.2.2 Trong R3 , xét các véctơ Ví dụ 3.2.4 Trong không gian P2 [ x], xét các đa thức sau: u1 = (2,1,1); u 2 = (1, 3,1); u 3 = (1, 0, 3). f1 = 2x2 + x + 1; f 2 = x2 + 3x + 2; f3 = x2 + x + 1 Chứng tỏ u1 , u2 , u3 độc lập tuyến tính. Kiểm tra f1 , f 2 , f3 độc lập tuyến tính. Ví dụ 3.2.3 Trong R3 , xét các véctơ u1 = (2, − 3, 0); u 2 = (0,1, 2); u 3 = (1, 0, 3). Chứng tỏ u1 , u2 , u3 phụ thuộc tuyến tính. 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.