9/11/2013
NỘI DUNG
Chương 1: Ma trận và định thức
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Chương 3: Phương trình vi phân cấp 1
Chương 4: Phương trình vi phân cấp 2
Chương 5: Chuỗi
Chương 1. Ma trận, định thức
Tài liệu Giáo trình chính: 1.1 Ma trận và các phép toán [1] N.Đ. Trí, Toán cao cấp tập 1- Đại số và hình học giải tích, NXB GD 2011. 1.2 Định thức Tài liệu tham khảo: 1.3 Ma trận nghịch đảo
1.4 Hạng ma trận
[2] N.Đ. Trí, Toán cao cấp tập 3- Phép giải tích hàm nhiều biến số, NXB GD 2011. [3] Đ.C. Khanh, Toán cao cấp - Lý thuyết chuỗi và phương trình vi phân, NXB ĐHQG TPHCM, 2003 [4] N.Đ. Trí, Toán cao cấp tập 3- Phép giải tích hàm một biến số, NXB GD 2011.
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
Chương 3. Phương trình vi phân cấp 1 3.1. Các ví dụ thực tế dẫn đến phương trình vi
phân. 3.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1.
3.3. Phương trình vi phân có dạng tách biến. 3.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
2.1. Khái niệm chung. 2.2. Hệ Cramer. 2.3. Định lý Kronecker – Capelli. 2.4. Phương pháp Gauss. 2.5. Hệ thuần nhất. Phần bổ sung (dành riêng cho ngành Hóa ứng dụng) Không gian Rn Không gian Rn. Độc lập và phụ thuộc. Cơ sở và số chiều.
1
9/11/2013
Chương 5. Chuỗi 5.1. Định nghĩa. 5.2. Chuỗi số không âm. 5.3. Chuỗi đan dấu. 5.4. Chuỗi lũy thừa.
Chương 4. Phương trình vi phân cấp 2 4.1. Các phương trình vi phân có thể giảm cấp. 4.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng.
Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC
=
i
),
1,
m j ;
1,
n
Kí hiệu: , các phần tử
= = A a ( ij ija có thể là số thực, phức, hàm số… m nA · .
m n·
hoặc
m n=
…
n
…
22
21
2
n
=
A
, thì A được gọi là ma trận vuông I. Ma trận và các phép toán 1. Một số định nghĩa: Định nghĩa 1.1.1: Một ma trận A loại là một bảng hình chữ nhật m hàng n cột với m.n phần tử, có dạng sau:
a 12 a ⋮
a 11 a ⋮
a 1 a ⋱ ⋮
=
n= 1, a
1,
n
i
(cid:1) Nếu cấp n . Trong mỗi ma trận vuông cấp n có một đường chéo chính (đường chéo) gồm các phần tử iia i , phần tử
- + i n i (
1) ,
…
a
a
a
m
1
m
2
mn
và một đường chéo phụ gồm các .
=
Ví dụ 1.1.1 Xét ma trận
= i ,
1,
n
(
;
i
j
j
(cid:1) Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo ). 0, chính đều bằng 0
ija
1
0
3
2
5
4
1
0
" „ -
=
A
a
Ví dụ 1.1.2
0
0
0
1
2
1
1
a
0
-
3
6
1
4
=
A
a
1 0 0
2 0
0 0
a
0
0
3 0
4
(cid:1) Các phần tử trên đường chéo chính: 1,4,1,-4 (cid:1) Các phần tử trên đường chéo phụ: 2,1,2,3.
2
-
9/11/2013
I
(cid:1) Nếu các phần tử trên đường chéo chính của ma trận chéo cấp n đều bằng 1 thì ma trận đó đgl ma trận đơn vị cấp n. Kí hiệu:
nI
£ < £
= "
(cid:1) Một ma trận tam giác trên (tam giác dưới) là một ma trận vuông mà tất cả hệ số nằm phía dưới (phía trên) đường chéo chính đều bằng 0. i i n (
£ < £ j
0, 1
0, 1
j n
)
;
= " a ij
a ij
hay .
…
…
0
0
=
=
I
I
4
…
…
=
=
B
A
a 11 a 21 ⋮
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 a 22 ⋮ ⋱ ⋮ …
a a 1 n 12 a a n 2 22 ⋮ ⋱ ⋮ …
0
0
a n
a nn
a n 1
2
Ví dụ 1.1.3
a nn
Ví dụ 1.1.4 A, B t.ư. là ma trận tam giác trên (dưới) a 11 0 ⋮
Ví dụ 1.1.5
h 1
h 12
=
A
fi - (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi -
a (
)
0,
1 2 3
4 2 0 2 3 1 6 3 1
2 2 3
8 4 0 2 3 1 6 3 1
h i
h i
1 2 2 0
1 2
2 0
Định nghĩa 1.1.2: Các phép biến đổi sau đây đối với hàng của ma trận đgl các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng: 1. Nhân tất cả các phần tử của một hàng với một a „ fi số khác 0 .
2. Cộng các phần tử của một hàng đã được nhân cho cùng một số vào các phần tử t.ư. của hàng khác,
h 3
h 3
h 13
=
B
a
(
h
j
).
j
+ h j
h i , i
2 0 3 1 3 6 3 1
0 2 0 0
3 3
1 1
3. Đổi vị trí hai hàng
(
).
h i
h k
fi - (cid:190) (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi fi „ - «
2
1
4
1
3
1
Ví dụ 1.1.6 Cho các ma trận sau
=
=
A
B
2. Phần tử cơ sở của một hàng phải nằm phía phải
Định nghĩa 1.1.3: Ma trận đgl có dạng bậc thang nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Các hàng bằng 0 (nếu có) phải nằm dưới các hàng khác 0.
0 0
1 0
1 3
0 0
2 0
5 0
2
6
1
1
3
2
1
=
=
C
0
0
8
D
0
0
0
0
0
5
0
0
0
2
5
(cid:1) Hàng bằng 0: tất cả phần tử trên hàng đều bằng 0. (cid:1)Hàng khác 0: có ít nhất 1 phần tử trên hàng khác 0. (cid:1)Phần tử cơ sở: phần tử khác 0 đầu tiên của hàng (tính từ trái sang phải)
3
- so với phần tử cơ sở của hàng trên.
9/11/2013
(cid:1) Ma trận A, B có dạng bậc thang; (cid:1) Ma trận C, D không có dạng bậc thang.
Định nghĩa 1.1.4: Ma trận đgl có dạng bậc thang rút gọn nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Nó có dạng bậc thang; 2. Phần tử cơ sở của hàng bằng 1 và là phần tử duy nhất khác 0 trong cột chứa nó. Định lý 1.1.1: Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.
1 2 0 0
=
=
A
B
=
=
Ví dụ 1.1.8 Các ma trận sau có dạng bậc thang rút gọn Ví dụ 1.1.7 Đưa các ma trận sau về dạng bậc thang
A
B
0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 3 0 1 2 , 0 0 0
1 2 1 1 1 3 5 3 , 3 2 4 0
1 2 3 1 1 0 2 1 3
-
),
)
= A a ( ik
= B b ( ik
b=
Định lý 1.1.2: Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang rút gọn nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.
ik
ik
2. Các phép toán đối với ma trận 2.1 Các phép toán Định nghĩa 1.1.5: Hai ma trận cùng loại a với mọi i,k. đgl bằng nhau nếu
),
)
Ví dụ 1.1.9 Đưa các ma trận sau về dạng bậc thang rút gọn
= B b ( ik
1 3 2 0 0 2 1 0
=
=
A
B
là một ma trận cùng loại với A,B
b+
ik
ik
+
=
+
0 0 3
A
B
(
a
b
)
1 3 1 0 1 0 ,
ik
ik
1 3 3 1 0 0 0 0
A
a= (
)ik
l
l
l= (
A
Định nghĩa 1.1.6: Tổng của hai ma trận cùng loại = A a ( ik được kí hiệu là A+B, với phần tử ở hàng i cột k là a ,
,ikal
A
a= (
với phần tử ở hàng i cột k là Định nghĩa 1.1.7: Tích của ma trận một số Al với là một ma trận cùng loại được kí hiệu là a )ik Định lý 1.1.3 Với các ma trận A, B, C và các số ,l b ta có các mệnh đề sau (giả thiết các phép toán đều hợp lệ)
= + +
= +
+ +
b= (
n p·
m n· )ik . Tích của hai ma trận A
+ B C
(
)
A B C
1. 2.
m p·
(
= + A B B A + A B C A ( ) = AB C A BC
3.
) +
n
+
+
+
...
= ∑
a b 1 1 i
j
a b 2 i
2
j
a b i n
nj
a b ik
kj
)
4. 5.
) ( + = ( ) A B C AC BC + = + ( AB AC A B C
=
k
1
4
loại loại được kí hiệu là AB , với Định nghĩa 1.1.8: Cho ma trận B )kj ma trận và B là ma trận loại phần tử hàng i cột j là:
9/11/2013
= a b A
)
(
A )
= a A B A B
)
1
1
2
0
1
1
2
0
=
=
ab ( a a
= a ( = a
+
B
2
0
3
2
A
2
0
3
2.2 Các phép toán và phép biến đổi sơ cấp với ma trận Ví dụ 1.1.10 Xét các ma trận - -
( (
( B
1
2
2
8
2
1
1
4
2 ,
AB ) + A B + b
=
+
9
.
a (
)
) a A
) a A b A
A
1 0 0
=
E
0 1 0
0 0 2
.6. 7. 8. - -
a
h 32
B
… … …
0
0
1
… … …
0
1
E 1
…
…
1. Phép biến đổi sơ cấp thứ nhất: nhân hàng thứ i với fi (cid:190) (cid:190) (cid:190) fi Ta có: (cid:1) EA=B h (cid:1) A 3
0
0
m n·
a= (
)ik
m m·
… … …
0
1
0
=
0 … … … … … … a 0 … … … … … …
hàng i loại
Vậy phép biến đổi sơ cấp thứ nhất tương đương với việc nhân phía trái của A với một ma trận E. Định lý 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp 1,2,3 đối với hàng của ma trận tương A đương với nhân bên trái của A một ma trận vuông ) cấp m có các dạng tương ứng (loại sau:
a
… … …
1
0
0
… … …
1
0
0
1
0
… … …
1
0
… … … 0 … … … … …
E 3
…
0
0
1
0
E 2
…
…
0
0 …
1 a
0 0 … … …
3. Phép biến đổi sơ cấp thứ ba: đổi vị trí hàng i 2. Phép biến đổi sơ cấp thứ hai: cộng hàng i đã với hàng j nhân vào hàng j
1
… 1 0 … … …
0 0
0
0 1
=
… … …
0 1
0
0
=
0 … … … … … …
hàng i hàng j
,
,
E E E 2
1
3
5
Các ma trận đgl các ma trận sơ cấp.
9/11/2013
a= (
A
m n·
)ik
=
1.
(
A
TA
T
T
T
A =
+
Định lý 1.1.5 Đối với phép chuyển vị ma trận ta có (giả thiết các phép toán có nghĩa) loại
T A
ki
2.
(
T T ) + A B
A
B
n m· kia
T
T
) =
3
.
(
)
T B A
2.3 Ma trận chuyển vị Định nghĩa 1.1.9. Cho ma trận Ma trận chuyển vị của ma trận A là một ma trận loại với phần tử hàng i cột k là được kí hiệu là a= ) ( , .
T
T
1
4
AB l
l =
4. (
A
)
A
1
2
3
T
=
=
A
,
A
4
5
6
2 3
5 6
Ví dụ 1.1.11
1
1
=
(
AB
)
1 B A
;
Định lý 1.1.6 Ta có các mệnh đề sau: 1. Nếu A, B khả đảo thì tích AB khả đảo và - - -
1
1
T ) ;
=
AI
IA
A
( (
- -
TA 1A- a
T A A thì ma trận
-= A ( ) - = 1 1 ) . A Aa cũng
1
1
=
=
AB BA I
.
=
a (
)A
A
1 a
1A-
3. Ma trận nghịch đảo 3.1 Khái niệm về ma trận nghịch đảo (trong phần này chỉ xét tập các ma trận vuông cấp n) Định nghĩa 1.1.10 Ma trận vuông I cấp n đgl ma = trận đơn vị nếu với mọi ma trận vuông A cấp n. „ khả đảo và khả đảo và 0 2. Nếu A khả đảo thì 3. Nếu A khả đảo thì 4. Nếu A khả đảo và khả đảo và - -
Định nghĩa 1.1.11 Ma trận vuông B đgl ma trận nghịch đảo của A (vuông cấp n), nếu Khi đó, A đgl khả đảo, và kí hiệu ma trận nghịch đảo của nó là .
)A I
(
1
3.2 Tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Định lý 1.1.7 Các ma trận sơ cấp thì khả đảo. Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. Xét ma trận mở rộng
(
A I
)
I A-
(
)
(cid:190) (cid:190) fi Biến đổi
Định nghĩa 1.1.12. Hai ma trận đgl tương đương hàng nếu từ ma trận này có thể biến thành ma trận kia nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.
1
1
=
Ví dụ 1.1.12 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 1
A
1 0
3 1
2 1
6
Định lý 1.1.8 Ma trận (vuông) A khả đảo khi và chỉ khi nó tương đương hàng với ma trận đơn vị.
9/11/2013
m n
C YA C=
B B=
, n p và =
i AX )
B
1 A B
;
2 1
1 2
4 2
1 3
1
=
=
A
ii YA C
)
= X = Y CA
.
1 3
1 0
1 1
1 2
. Xét phương trình ma trận · · - . Khi đó Định lý 1.1.9 Cho ma trận vuông A (cấp n) khả đảo và A X - (cid:219) - (cid:219) -
A có khả đảo?
Ví dụ 1.1.13 Xét ma trận
=
1)
X
A
1 2 3 4
3 5 5 9
Ví dụ 1.1.14 Giải các phương trình ma trận sau:
3
1
5 6
14 16
= ⇒ ( ) a
= A a .
det
A
=
2)
X
5
2
7 8
9 10
- II. Định thức 1. Một số định nghĩa: Với ma trận vuông A, định thức của ma trận A được kí hiệu là det A hay . Định nghĩa 1.2.1. Ta có các định thức cấp 1, 2, 3: Cấp 1: -
⇒
=
A
det
= A a a
3)
X
11 22
a a 12 21
a 11 a 21
a 12 a 22
1 2 2 4
3 5 4 2
A a= (
Cấp 2: = -
)ik
=
Cấp 3:
+
A
det
,
+ + .. .
A a A 11 11
a A 12 12
a A 1 n 1 n
+
k
= - (
)i 1
M
Định nghĩa 1.2.2. Cho là ma trận vuông cấp n . Định thức của ma trận A được tính bởi công thức sau: =
i
k
A ik
ikM
+
=
+
⇒
det
và -
a a a 11 12 13 a a a 21 22 23 a a a 31 32 33 A a a a 11 22 33 a a a 13 22 31
a a a 12 23 31 a a a 12 21 33
a a a 13 21 32 a a a 11 23 32
ika
det
det trong đó, là ma trận vuông cấp (n-1) nhận được từ A bằng cách bỏ hàng thứ i và cột thứ k. ikA Đại lượng ikM
7
- - - ; đgl định thức con bù của . đgl phần bù đại số của ika
9/11/2013
2n‡
n
4 1 2
1
=
+
det
+ + ...
= ∑
A a A i
i 1
1
a A 2 i i
2
a A in i n
a A ij ij
=
A
= 1
j
3 1 0
2
=
1,
n
i
Ví dụ 1.2.1 Tính det A, với 2 1 3 0 Định lý 1.2.1 Với ma trận vuông cấp ta có thể khai triển định thức của nó theo một hàng bất kỳ hoặc một cột bất kỳ theo công thức sau: -
n
2 3 3
5
=
+
det
+ + ...
= ∑
A a A 1 k 1 k
a A 2 2 k
k
a A nk
nk
a A ik ik
= 1
i
k
n= (theo cột k, ) 1,
(theo hàng , ) i
=
A
det
det(
Ví dụ 1.2.2 Tính det A, với
1 3
2 1
0 0
1 1
a
=
A
1 2
2 3
4 1
5 0
0
2
1
=
vào trong một hàng (cột) nào đó. -
A
-
1 1
1 2
3 2
(cid:1) Với ma trận vuông A cấp n, ta có:
(cid:1) Ta có các tính chất sau (định thức bằng 0):
=
det
A i ,
j
- 2. Các tính chất của định thức ).T A (cid:1) a (cid:1) Khi nhân một số đó thì định thức cũng được nhân cho số Ví dụ 1.2.3 Xét ma trận
+
+ + ...
a A 1 i
j
1
a A 2 i
j
2
a A in
jn
0,
i
j
=
i. Nếu ma trận có một hàng (cột) bằng 0 thì định thức của nó bằng 0. „ ii. Nếu ma trận có hai hàng (cột) bằng nhau thì định thức của nó bằng 0.
(cid:1) Định thức không đổi nếu ta cộng vào một hàng (cột) nào đó một hàng (cột) khác đã được nhân cho một số.
(cid:1) Định thức đổi dấu nếu ta đổi vị trí hai hàng
iii. Nếu ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau thì định thức của nó bằng 0.
8
(cột).
9/11/2013
A
(cid:1) Cho ma trận
+
(cid:1) Nếu ma trận A có dạng tam giác thì định thức của nó bằng tích các số nằm trên đường chéo,
1A
det
= A a a
11 22
a ... nn
= a ik A là ma trận nhận từ (1) ika ,
A .
=
+
det
A
det
det
A 1
A 2
b
(
n
k-
)
có tính chất: mỗi phần tử của (1) ( 2) a a ik ik bằng cách thay 2A nhận từ (2) ika hàng thứ i biểu diễn ở dạng: Kí hiệu: hàng thứ i bằng các phần tử bằng cách thay hàng i bằng các phần tử Khi ấy ta có:
là định thức của ma trận vuông cấp
<
<
<
<
<
d
i
j
j
i
nhận được từ A bằng cách bỏ đi k hàng và k cột
j 1
2
2
k
k
... d
+ + + + +
...
...
i k
j 1
j k
D =
b
trên đgl định thức con bù của .
i .( 1) 1 d
- Đại lượng đgl phần bù đại
…
a i j 1 2
a i j 1
k
d =
a i j 1 1 ⋮
…
j
a i k
j 1
a i k
2
a i j k k
3
2
1
0
1
2
3
2
1
1
Định lý Laplace. Khai triển định thức theo r hàng (cột). Cho ma trận vuông A cấp n . Xét k hàng < ... i và k cột 1 Kí hiệu: là định thức của ma trận vuông cấp k gồm các phần tử nằm trên giao của k hàng và k cột đó: . số của định thức
=
A
4
2
1
3
0
1
2
1
0
Định lý 1.2.2 (Định lý Laplace) Định thức của một ma trận bằng tổng của tích mọi định thức con rút ra từ k hàng (cột) với bù đại số tương ứng của chúng. Ví dụ 1.2.5 Tính định thức cấp 4:
2
0
2
3
2
1
4
1
1
=
A
3
2
4
1
6
1
1
2
2
-
7
0
1
0
9
Ví dụ 1.2.4 Cho ma trận vuông cấp 5
9/11/2013
2
1
0
0
0
1
2
0
0
0
=
A
2
1
1
3
5
-
2
3
5
1
8
1
3
2
4
2
- -
3 4 5 8 1
0 0 1 3 0
1 7 4 9 0
1 3 2 6 0
0 0 1 7 0
3
7
0
0
0
0
- Ví dụ 1.2.6 Tính định thức cấp 5: Ví dụ 1.2.7 Dùng khai triển Laplace, tính định thức sau: 2 9 4 3 1
2
2
2
+ +
b
)
a a
b b
c c
1 ) 1
a
a b
b c
c a
+
1
1
1
1
c
a
b
a=
= -
=
1; det
; det
det
= - I
1
3. Công thức tính ma trận nghịch đảo. Định thức Ví dụ 1.2.8 Dùng các t/c của đth tính các định thức sau: tích hai ma trận.
E 2
E 3
1 a
a 1
1 1
1 1
c
)
3.1 Ma trận biến đổi sơ cấp và định thức tích hai ma trận E det 1
,
,
1
2
3
a
1
1
1
=
=
det(
)
(det
E
)(det
A i ),
1, 2, 3.
E A i
i
a
1
1
1
det
A „
0.
Định lý 1.2.3 Với ba ma trận biến đổi sơ cấp hàng E E E ta có:
Định lý 1.2.4 Ma trận vuông A khả đảo khi và chỉ khi „ „ Định nghĩa 1.2.3 Ma trận vuông A đgl không suy biến nếu det A „ „ 0. Ngược lại, A đgl suy biến.
=
det
AB
(det
A
)(det
B
)
10
Định lý 1.2.5 Định lý 1.2.6 Ma trận vuông khả đảo khi và chỉ khi nó không suy biến.
9/11/2013
…
A
A 11
21
A n
1
…
A
A n
A 12
22
2
=
P A
… …
a 11 a 21
a 12 a 22
a 1 n a 2
n
=
A
…
A
A 1
n
A 2
n
nn
Xét ma trận
ijA
ija
… … …
a n 1
a n
2
a nn
, ma trận là phần bù đại số của 3.2 Công thức tính ma trận nghịch đảo Cho ma trận đgl ma trận phụ hợp của A. trong đó AP
=
= AP P A
(det
A I ) .
A
A
1
2 0
=
1 4
A
3
- = 1
Đinh lý 1.2.7 Ta có :
A
.
P A
2 1 2
1 det
A
-
Nếu A khả đảo, thì Ví dụ 1.2.9 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:
3
1
d
Xét ma trận
m nA ·
4
2
=
k·
.
d = -
- . Các phần tử nằm trên giao của k k
det
10
4·
3
là một định thức con 4. Hạng của ma trận 4.1 Khái niệm hạng của ma trận Xét hàng và k cột tạo một ma trận vuông loại Định thức của nó đgl định thức con cấp k. Ví dụ 1.2.10 Cho ma trận loại có định thức cấp 2.
=
A
-
1 3 4
1 2 0
1 1 2
2 5 1
11
-
9/11/2013
Ví dụ 1.2.11 Tính hạng của ma trận sau: Định nghĩa 1.2.4 Hạng của một ma trận là cấp cao nhất của các định thức con khác 0.
2
2
3
A
-
Ar
1 1
4 6
0 3
1 = 2 1
Nói cách khác, hạng của ma trận A bằng r nếu tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức con cấp cao hơn r đều bằng 0. rank A Kí hiệu: là hạng của ma trận A. hoặc - -
Ví dụ 1.2.12 Cho ma trận dạng bậc thang Ví dụ 1.2.13 Cho ma trận dạng bậc thang
1 2 3
1
0
1 2 3
1
0
0 2 1
2
1
0 0 1
2
1
=
=
A
B
- -
0 0 1
3
2
0 0 0
3
2
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
- -
Ví dụ 1.2.14 Tính hạng của ma trận sau: Định lý 1.2.8 Ma trận bậc thang có r hàng khác 0 có hạng bằng r.
2
2
3
-
A
Định lý 1.2.9 Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận.
1 1
4 6
0 3
1 = 2 1
- -
= rank A rank B
.
12
Để tìm rank A, đưa A fi ma trận bậc thang B,
9/11/2013
… …
a 12 a 22
Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I. Khái niệm chung 1. Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính tổng quát (m phương trình, n ẩn) có dạng:
=
=
=
A
b
,
,
X
=
+
+
+
…
…
+
+
+
…
x x x 2, ,..., n ở đây: là các ẩn phải tìm. 1 (cid:1) Nếu đặt a a n 1 11 a a n 2 21 … … … …
a mn
a m
a m 1
2
b 1 b 2 ⋮
x 1 x 2 ⋮
b m
x n
a x 11 1 a x 21 1
a x 12 2 a x 22 2
a x 1 n n a x 2 n n
(1)
b=
.
+
+
…
b 1 = b 2 ............................................ = + b a x m 1 1 m
a x 2 2 m
a x mn n
a =
=
=
a
,...,
x
thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận: AX
a n
n
2
1
2
thỏa mãn hệ trên. Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm của hệ phương trình (1) là một bộ n số : x x , 1
Định lý 2.1.1 Các phép biến đổi sau đây chuyển một hệ phương trình tuyến tính thành một hệ tương đương: 1) Nhân cả hai vế phương trình cho một số khác 0. 2) Cộng một phương trình đã được nhân cho một số
vào một phương trình khác. 3) Đổi vị trí hai phương trình. Định nghĩa 2.1.2. Hai hệ phương trình có cùng số ẩn đgl tương đương nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau (tức nghiệm của hệ này là nghiệm của hệ kia và ngược lại).
+
+
=
x
2
x 1
+
+
=
2 x
3
2
2
1 3 2
1 1 5
+
+
7 = -
x
2
5
5
x 1 x 1
2
x 3 x 3 x 3
1 2 1 (cid:1) Ma trận mở rộng: 1
1
1 2
Ví dụ 2.1.1 Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 2. Hệ phương trình tuyến tính và ma trận (cid:1) Ma trận hệ số vế trái của hệ phương trình:
3 2
1 7 5
5
2 1
13
(Nghiệm : 1,3,-2). -
9/11/2013
(
)A b
Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận mở rộng
2
=
về dạng: …
)
(
A b
c 11 c 21 ⋮
b a a 1 12 1 n … a b a 22 2 n 2 ⋮ … ⋮ ⋮ …
d c c 1 12 1 n … c d c 22 2 n ⋮ … ⋮ ⋮ …
d
a m
2
a m 1
c mn
c m
2
c m 1
a b mn m
m
Tổng quát: Xét ma trận mở rộng của hệ (1): … a 11 a 21 ⋮
(
)A b
Khi đó, hệ (1) tương đương với hệ:
=
+
+ + …
+
+ + …
d 1 = d
c x 12 2 c x 22 2
c x 1 n n c x 2 n n
2
Phương pháp Gauss: Đưa ma trận mở rộng fi ma trận bậc thang…
+
+ + …
c x 11 1 c x 21 1 ........................................... = c x d 1 1 m
c x 2 2 m
c x mn n
m
Lưu ý: Qua các phép biến đổi sơ cấp hạng của ma trận không thay đổi.
=
rank A b (
)
rank A
(
)
=
=
Định lý 2.1.2 (Định lý Kronecker – Capelli) Hệ phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi „
rank A b ) ( rank A b ( )
( (
r
)
3. Số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính AX b= Định lý 2.1.3 Cho hệ phương trình . Khi ấy: rank A ) 1) Nếu thì hệ vô nghiệm rank A ) ( 2) Nếu thì hệ có
n=
)
r
nghiệm 2.1 Nếu (số ẩn) thì hệ có một nghiệm
( duy nhất. ( thuộc
r (
n< ) r n
)
14
2.2 Nếu - thì hệ có vô số nghiệm phụ tham số.
9/11/2013
+
+
=
2
x
3
x
4
2
3
+
+
=
2
x
6
x
6
+ + +
= = =
y y y
10 3 3
3 7 2
Ví dụ 2.1.3 Giải hệ phương trình
+
+
=
2 x
3 x
4
2
3
6
2
3
+
+
=
x
x
6
3
9
13
x 1 x 1 x 1 x 1
2
3
Ví dụ 2.1.2 Giải hệ phương trình: + 5 2 z x + z x 4 3 + x z 2
+
+
=
2
x
2
x
3
2
3
a
Ví dụ 2.1.4 Giải hệ phương trình
6
=
;
;
+
+
=
x 2
x 3
2
x
3
x
0
a 3 4 3
3
a
- - -
+
+
=
4
5
7
6
2 x
x 1 x 1 x 1
2
3 x 3
(
VD 2.1.2 (Nghiệm : 3, -2, 2) VD 2.1.3 (Hệ vô nghiêm) VD 2.1.4 = = a x Hệ có vô số nghiệm: 1 (với là số bất kỳ).
)A b
2
y
- Bước 2: Xét hạng ma trận bậc thang đó:
(cid:1)
r„
4. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình - Bước 1: Đưa ma trận mở rộng về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp với hàng.
A
Abr ( )
+ = z 4 = 1 z 3 = + y mz 2
x x x
2
2 3
(cid:1)
: hệ vô nghiệm. Ví dụ 2.1.5 Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m + + +
Abr ( ) •
r
: hệ có nghiệm:
= = r r A n= n<
r
•
(số ẩn): hệ có nghiệm duy nhất.
15
: xđ r ẩn cơ sở phụ thuộc (n-r) ẩn tự do (hệ có vô số nghiệm).
9/11/2013
2
)
l
=
(cid:1)
l 1,
2 :
= - 3,
x
,
y
,
z
r A
= A br (
)
+ +
l = l
1 = + l
1 2
2
+ l (1 + l 2
+ + =
1
y
(cid:1)
l
=
=
=
a b
Ví dụ 2.1.6 Giải hệ „ „ -
1:
1,
x
= - 1
= a , y
= b , z
.
r A
A br
(
)
z l + = z
2
l
l =
z
(cid:1)
l = -
l x + l x y + + x y
-
2 :
3,
2,
= r A
A br
(
= )
AX =
0
=
hệ vô nghiệm.
0 =
+
(số ẩn số). Định lý 2.1.4 Hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi rank A n<
0
a x 1 n n a x 2 n n
a x 12 2 a x 22 2
a x 11 1 a x 21 1
+
5. Hệ phương trình thuần nhất Là hệ phương trình có dạng: + + + ... + + ...
+ + ...
0
.......................................... = a x 1 1 m
a x 2 2 m
a x mn n
=
=
= = ...
.0
x 2
x 1
x Hệ luôn có nghiệm: n Nghiệm đó đgl nghiệm tầm thường.
det
0.A„
Hệ quả 2.1.1 Nếu hệ phương trình thuần nhất có số phương trình ít hơn các ẩn số thì hệ có nghiệm không tầm thường.
AX
b=
Định nghĩa 2.2.1 Hệ (2) đgl hệ Cramer nếu
=
X A b-= 1 .
+
+ + ... + + ...
a x 11 1 a x 21 1
a x 12 2 a x 22 2
a x 1 n n a x 2 n n
b 1 = b 2
(2)
+
+ + ...
.......................................... = b a x n 1 1 n
a x 2 2 n
a x nn n
AX
b=
II. Hệ phương trình Cramer, pp định thức 1. Phương pháp ma trận nghịch đảo Xét n phương trình n ẩn: + Định lý 2.2.1 Hệ Cramer có một nghiệm duy nhất
16
với dạng ma trận .
9/11/2013
k
…
…
…
A
21
…
…
A
D nhận được từ định thức của A Xét định thức bằng cách thay cột thứ k bởi cột vế phải 2. Công thức Cramer Ta có:
A n 1 A n
22
2
b 1 b 2
a 12 a 22
=
=
X
1 A b
D = k
1 det
A
A
A 2
A 1
nn
n
n
b A 1 11 … b A 2 12 … … … … ⋮ …
b n
a a 1 n 11 a a 2 n 21 … … … … … … …
…
a n 1
a n
2
a nn
b n ›
+
=
(
)
-
+ + ...
,
k
1,
n
k
A b 1 1 k
A b 2 2 k
A b nk n
1 det
A
(cột thứ k) Vậy = x
AX
b=
k
D =
0A
)
ika
b A 1 1
D = k
chính là phần bù đại số của + + ... b A 2 2 k
b A n nk
n
1
2
=
=
=
,
x
,...,
x
x 1
2
n
D theo cột thứ k : „ thì hệ có một nghiệm Định lý 2.2.2 Nếu hệ n phương trình n ẩn det có định thức duy nhất được xác định bởi công thức : Khai triển định thức ib (phần bù đại số của + k D D D
=
=
,
k
1, 2,...,
n
kx
k
k det
A
D D D Vậy D D D bằng trong đó là định thức nhận được từ cách thay cột thứ k bởi cột vế phải.
0.
Ví dụ 2.2.1 Giải hệ phương trình
+ + +
= = =
3 7 2
y y y
z 5 4 z z 2
10 3 3
+ x 2 + 3 x + x
17
Định lý 2.2.3 Hệ n phương trình tuyến tính AX = thuần nhất n ẩn có nghiệm không tầm 0 A = det thường khi và chỉ khi
9/11/2013
,u v w V˛ ,
và
Chương 3: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
:K
+ = +
1.
u v +
v u + = +
+ v w )
2.
q
˛ thỏa mãn các điều kiện sau với mọi a b ,
,
u
3.
$
) u v w u ( ( + = + = q q u u q
= + u V u u ,
4.
¢ ¢ $ ˛
= u u
= ab
V V u v ( , )
V +֏ u v
5. 1. a b (
6.
( = a
a
· fi I. Khái niệm về không gian véctơ 1. Định nghĩa Giả sử V là tập khác rỗng, K là một trường (R hoặc C). V đgl không gian véctơ (kgvt) trên trường K nếu có hai phép toán: - Phép toán trong (+):
v
7.
V
a ֏
=
+
u ) + a u b
K V a ( v , )
v
u ) + u v ( + a b (
8.
) a ) u
u
. u
· fi - Phép toán ngoài (.):
K R=
n
=
=
2. Ví dụ (hoặc C) Mỗi phần tử của V đgl véctơ. Nếu thì V đgl không gian véctơ thực (hoặc phức). Ví dụ 3.1.1 Giả sử K là một trường, xét tập
˛
{
K
x
(
,...,
)
1,
n
}
x n
= , x K i i
x x , 1 2
=
+
+
,...,
)
,...,
)
,...,
)
y 1
y n
( a
Ta định nghĩa: +
x 1 .(
x n ,...,
)
( y 1 a = (
y n a ,...,
x n .
K
x 1
x n
x 1
( x 1 a x ), n
=
(
V M K·
m n
q =
" ˛
=
,...,
x 1(
- là
A a= (
)ij
, phần tử đối của (0,..., 0) - = - x x ).n x ( 1 .nR .nC Hai phép toán trên thỏa mãn 8 điều kiện của kgvt với phần tử không x x )n ,..., Khi K = R, ta có kgvt thực K = C, ta có kgvt phức
(
a ).ij
18
Ví dụ 3.1.2 Tập gồm các ma trận ) : m n· với các hệ số trong K là một kgvt trên K loại với phép cộng véctơ là phép cộng ma trận thông thường và nhân vô hướng với véctơ là phép nhân thông thường một số với ma trận, trong đó véctơ không là ma trận không và véctơ đối của là - = - A
9/11/2013
XR
X
R X ,
q
(cid:204) „ ˘
=
+
+
g x
( ),
x X
,
)( ) g x = a
( f a (
f
x )( )
( ) f x a ( ),
f x
R x X
,
.
l =
u q=
.
là duy nhất của u bất kỳ là duy nhất. gồm các hàm số xác định Ví dụ 3.1.3 Xét tập trên tập con Ta định nghĩa phép toán . cộng véctơ (là phép toán cộng hàm số thông thường) và phép nhân vô hướng với số thực như sau: " ˛ 3. Tính chất Định lý 3.1.1 Trong kgvt V ta có: 1. Phần tử không u¢ 2. Phần tử đối q= 3. q= " ˛ " ˛
0. x .lq 4. 5. Nếu 6.
0 thì hoặc (phần tử đối của
q= u¢
.ul = ( 1)u
x X = - )( ) x
x X
XR với hai phép toán này = " x 0( ) 0, không là hàm hằng f ( của f là –f xác định bởi
a
u u , 1 u 2 2
u ,..., m khi và 2 a = + + ... u u m m
- hoặc u ). ˛ - " ˛ là kgvt thực, với véctơ , phần tử đối f x ( ), .
,
.m
u 1 1 m K )
a a ( 1
2
u ,..., m
2
u m m
u 2 2
+ a u 1 1 a ,...,
+ + a ... bất kỳ.
˛ Một số tính chất 1. u là tổ hợp tuyến tính của a + chỉ khi phương trình a có nghiệm ,..., trong không gian véctơ V là một
m
2
q
với các số II. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính 1. Định nghĩa Định nghĩa 3.2.1. Tổ hợp tuyến tính của các véctơ u u , 1 véctơ có dạng: = a u a a , 1 2. Tổng của hai tổ hợp tuyến tính, tích của một số với một tổ hợp tuyến tính cũng là các tổ hợp tuyến tính.
+ +
+
u 0.
u ,..., m
2
u ... 0. .m
u 0. 1
2
luôn là tổ hợp tuyến tính của q = 3. Véctơ không u u , vì 1
2
,m
1
u u , 1 u u , 1
2
u ,..., u - ,..., m là một tổ hợp tuyến tính của
+
+
+ +
u m khi và ,...,
mu
u ... 0.
.
2
1 u u , 1
- là một tổ hợp tuyến tính
m= , iu i 1, ,..., m u vì + + u ... 0. i
u 1. i
u 0. + i
m
1
1
2
j
,..., ,...,
u u
, u u 1 u u , 1
2
,j
=
+
a
+ +
+ + a ...
- 4. Mỗi véctơ u u , của 1 2 = u u 0. 1 i 5. Mọi tổ hợp tuyến tính của đều là tổ hợp tuyến tính của chỉ khi 1 .mu -
u
u 0.
.
u 1 1
a j
j
j
j
+ 1
j
u ... 0. m
19
vì u Tổng quát: Mọi tổ hợp tuyến tính của m= 1, j đều là tổ hợp tuyến tính của u u 1,..., + m j + + a u ... 1 1
9/11/2013
n
,...,
)
K
b là tổ hợp tuyến n khi và chỉ khi hệ phương
˛
nK
u ,..., m
2
= u b b ( , Khi đó véctơ 1 2 u u , ,..., m u tính của 2 1 UX B= trình tuyến tính
=
=
j
1,
m
:
u
u
,
(
,
...,
u
),
j
2
n
a
…
1
=
j ,...,
u
j );
a
…
u 12 u 22
2
=
=
=
=
U
;
B
;
X
u 1 u
(
,
21 u
n 1 u
,...,
);
u 1 j u u ( , 11 u 12
2
2
u u 11 1 m u u 21 2 m … … … …
…
b 1 b 2 ⋮
⋮ a
u n 1
u n
2
u nm
b n
m
=
u
,
n ............ ,...,
u
).
22 .................... u u ( 1
m
m
2
nm
m
với Hệ quả 3.2.1 u u , Cho là m véctơ trong 1 có nghiệm X , trong đó
2
m
đgl phụ a ,..., - , cho các véctơ (2, 3, 1, 0);
,..., m u u u , Định nghĩa 3.2.2. Các véctơ 2 1 a a , thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số 1 không đồng thời bằng không sao cho:
= = -
(1,1,1,1); 2 ( 1, 1,1,1);
4R = = u 4
3
a
a +
=
a + + ...
0 (*)
u 1 1
u 2 2
u m m
(1, 2,1, 1). =
(
,
,
u
)
- - Ví dụ 3.2.1 Trong u u 1 u
a a a a , 1 2 4
3
,
)
;
a u u u , 1
3
)
,
,
,
.
a
= a
= a
=
2 b u u u u 2
1
3
4
...
0.
1
2
m
là một Tìm điều kiện để véctơ tổ hợp tuyến tính của : chỉ đúng Ngược lại, chúng đgl độc lập tuyến tính. (*) Vậy, độc lập tuyến tính có nghĩa là trong một trường hợp duy nhất là :
P x 2[ ],
=
3R =
u
(2,1,1);
u
(1, 3,1);
u
(1, 0, 3).
1
2
3
2
2
2
=
=
+
+
=
2
x
+ + x
1;
f
x
3
x
2;
x
+ + x
1
f
f 1
2
3
,
,
Ví dụ 3.2.2 Trong xét các đa thức Ví dụ 3.2.4 Trong không gian sau: , xét các véctơ =
u u u 1 2 3
,
f
,
f
f 1
2
3
Chứng tỏ độc lập tuyến tính. Kiểm tra độc lập tuyến tính.
=
Ví dụ 3.2.3 Trong , xét các véctơ
u
(2, 3, 0);
(0,1, 2);
u
(1, 0, 3).
u
1
= 3
3R = 2
-
,
,
u u u 1 2 3
20
Chứng tỏ phụ thuộc tuyến tính.
9/11/2013
Một số tính chất
2
u ,..., m
u u , 1
u ,..., m
2
u u , 1
2
u ,..., m
. trong
2
rank A m= rank A m<
Định lý 3.2.1 Các véctơ của kgvt V là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi một véctơ trong chúng là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại.
u u , 1 u u , 1
2
q
i) Nếu ii) Nếu thì thì độc lập tt. phụ thuộc tt. Kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các véctơ nK u u , 1 - Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp thành các dòng. - Bước 2: Xác định hạng của A (rank A) ,..., m u u ,..., m
u ,..., m
u u , 1
2
v ,..., m Nếu
2
2, v v 1 u u u .k , 1 phụ thuộc tuyến tính.
v v 2, 1
ii) Khi thêm véctơ vào một tập phụ thuộc tuyến
Định lý 3.2.2 Trong kgvt V các mệnh đề sau đúng: i) Nếu trong các véctơ có véctơ (không) thì chúng phụ thuộc tuyến tính; thì các véctơ Định lý 3.2.3(Bổ đề cơ bản) Cho m véctơ ,..., là tổ hợp tuyến tính của k véctơ m k> v ,..., m
iii) Khi bớt véctơ từ một tập độc lập tuyến tính ta
tính ta được tập phụ thuộc tuyến tính;
H H
H
được tập độc lập tuyến tính.
=
,...,
u
2
H
H }m có hạng bằng r nếu tồn tại r véctơ ) độc lập tuyến tính, và mọi (r+1) véctơ ) đều phụ thuộc tuyến tính.
có hạng bằng r khi độc lập tuyến tính đều là tổ hợp tuyến tính của r III. Hạng của hệ véctơ – Hạng ma trận Định nghĩa 3.3.1 Trong kgvt V, cho hệ véctơ: u u { , 1 Định lý 3.3.1 Hệ các véctơ và chỉ khi tồn tại r véctơ của và mọi véctơ của véctơ đó.
21
Ta nói hệ H (của H (của Nói cách khác, hạng của hệ véctơ là số tối đa các véctơ độc lập tuyến tính của hệ ấy.
9/11/2013
3 ,R
=
Ví dụ 3.3.1 Trong tìm hạng của hệ véctơ sau:
(1, 2, 1);
u
(0,3,3);
=
-
u 1 u
(2,3, 3);
(1,1, 2).
3
= 2 = u 4
n
… …
a 12 a
22
=
A
- -
…
a m 1
a m
2
a mn
=
=
(
a
,
a
, ...,
a
i
m
.
j
A i =
1, =
-Véctơ hàng: A -Véctơ cột:
i ,
1 a
2 i ,...,
a
(
), in T ) ,
j
1,
n
.
2
a 1
j
mj
j
Định lý 3.3.2 (về hạng ma trận) Hạng ma trận A bằng hạng của hệ các véctơ hàng và bằng hạng của hệ các véctơ cột. a a 11 1 a a 21 2 n … … … …
=
=
(1, 0, 0);
(0,1, 0);
(0, 0,1)
e 1
e 2
e 3
Ví dụ 3.4.1 • Tập các véctơ =
3 .R
2
3
• Tập các đa thức =
=
=
=
1;
f
f
t
;
t
;
f
t
f
2
1
3
4
là tập sinh của IV. Cơ sở – số chiều 1. Cơ sở, tập sinh Định nghĩa 3.4.1 Tập các véctơ M (của kgvt V) đgl tập sinh của V nếu mọi véctơ của V có thể biểu điễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véctơ thuộc M.
3[ ].P t
là tập sinh của Khi M là tập sinh của kgvt V, ta nói tập M sinh kgvt V hoặc V được sinh bởi M.
=
S
, ...,
u
u u { , 1
}m
=
Định nghĩa 3.4.2 Tập các véctơ Ví dụ 3.4.2 Trong xét tập M gồm các véctơ
(1,1, 0);
(2,1, 1);
(3,1, 2)
3 ,R = u
u 1
= u 3
2
-
3 .R
2 đgl cơ sở của kgvt V nếu S độc lập tuyến tính và sinh kgvt V.
=
=
=
;
; ...;
e 2
e 1
e n
Chứng tỏ M là tập sinh của
0 0 ⋮ 1
Ví dụ 3.4.3 Các véctơ 0 1 1 0 ⋮ ⋮ 0 0
nR
nR
22
là cơ sở của , nó đgl cơ sở chính tắc của .
9/11/2013
=
=
=
=
M
{ u
(1,1, 2);
u
(1, 2,1);
u
(2, 2, 2)}
1
2
3
Ví dụ 3.4.4 Xét hệ véctơ
2. Số chiều và cơ sở Định lý 3.4.1 Trong kgvt hữu hạn chiều số véctơ trong mọi cơ sở đều bằng nhau.
3.R
Chứng tỏ M là cơ sở của
Định nghĩa 3.4.3 Số véctơ trong một cơ sở của kgvt V đgl số chiều của V (dim V).
Định nghĩa 3.4.4 Kgvt V đgl vô hạn chiều nếu với mọi số tự nhiên n, V chứa n véctơ độc lập tuyến tính.
ii) Bất kỳ tập có số véctơ nhỏ hơn n đều không
Định lý 3.4.2 Trong kgvt n chiều i) Bất kỳ tập có số véctơ lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến tính. Hệ quả 3.4.2 i) Số chiều là số tối đại các véctơ độc lập tuyến tính. ii) Số chiều là số tối thiểu các véctơ của các tập sinh.
iii) Mọi tập n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ
là tập sinh của không gian.
=
,...,
u
S
iv) Mọi tập n véctơ sinh không gian đều là cơ sở.
2
{ u u , 1
Định lý 3.4.3 (bổ sung cơ sở) Có thể bổ sung (n-k) véctơ vào một tập k véctơ độc lập tuyến tính để được cơ sở của kgvt n chiều. sở. là tập sinh
}m Định lý 3.4.4 Nếu tập không gian V, thì S chứa một cơ sở của V.
23
