intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 1a - Nguyễn Văn Tiến (2017)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST
Báo xấu
81
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 1: Toán cho tài chính" cung cấp cho người học các kiến thức: Dãy số, định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn vô cực của dãy số, tính chất, cấp số nhân, lãi đơn, gãi gộp,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 1a - Nguyễn Văn Tiến (2017)

  1. 14/09/2017 CHƯƠNG 1 Dãy số • Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tự TOÁN CHO TÀI nhiên khác 0. u : N*  R CHÍNH n  u n  • Ta thường ký hiệu dãy số là (un). • un gọi là số hạng thứ n của dãy. Bài giảng Toán cao cấp 1 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 2 Nguyễn Văn Tiến Dãy số Dãy số • Cho dãy số: n 1 u n   • 10 giá trị đầu của dãy: • Các giá trị tiếp theo: 2n  1 n un n un • Ta có: 1 2 100 0.507537688 2 1 11 4 101 0.507462687 u1   2; u2  1; u3  ;... 3 0.8 2.1  1 5 4 0.714285714 9999 0.500075011 5 0.666666667 • Hỏi: 6 0.636363636 10000 0.500075004 u100  ? u999  ? u9999999  ? 7 0.615384615 8 0.6 10000000 0.500000075 • Khi n rất lớn thì giá trị của dãy số là bao nhiêu? 9 0.588235294 100000000 0.500000008 10 0.578947368 10^ 9 1000000000 0.500000001 Bài giảng Toán cao cấp 1 3 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 4 Nguyễn Văn Tiến Dãy số Định nghĩa giới hạn dãy số • Nhận xét: n 1 • Dãy số (un) có giới hạn là a nếu: u n   2n  1 • Chênh lệch (un) và a có thể nhỏ tùy ý khi n đủ lớn. • Giá trị của dãy càng ngày càng gần với số 0.5.   0, n 0  0 : n  n 0  un  a  . • Khi n càng lớn thì chênh lệch giữa dãy số và 0.5 nhỏ tùy ý n đủ lớn Chênh lệch càng nhỏ (tại số hạng thứ 1 tỷ chênh lệch là 10- 9). • Ký hiệu: • Độ chênh lệch này có thể nhỏ hơn nữa nếu tăng n  lim un  a hay un  a n lên và có thể nhỏ tùy ý miễn là n đủ lớn. n  • Vậy ta nói giới hạn của dãy số là 0.5. hay lim un  a Bài giảng Toán cao cấp 1 5 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 6 Nguyễn Văn Tiến 1
  2. 14/09/2017 Ví dụ Ví dụ • Chứng minh: • Bước 4. Chọn n0, viết lại dưới dạng định nghĩa và kết luận. n 1 1 lim  0, 5  • Giải. n  2n  1 2 • Với mọi >0. Ta có: n 1 1 3 • Bước 1. Lấy >0 un  a     2n  1 2 2 2n  1 • Bước 2. Lập hiệu: un  a 3 3 1 • Bước 3. Tìm điều kiện của n để: (nếu có)  2n  1   n     2  4 2   un  a   Bài giảng Toán cao cấp 1 7 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 8 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Hệ quả • Chọn • Số a không là giới hạn của dãy (un) nếu: 3 1 n 0      2 2    0, n0  0 : n1  n0 và un  a  . 1 • Ta có: • Tồn tại >0 sao cho với mọi n0 đều tồn tại n1>n0 3 1 1 để chênh lệch giữa un1 và a lớn hơn .   0, n0     : n  n 0  un     2 2  2 • Nói cách khác luôn tồn tại một khoảng cách Vậy theo định nghĩa: giữa dãy (un) và a. Độ chênh lệch giữa (un) và a 1 không thể nhỏ tùy ý. lim un  n  2 Bài giảng Toán cao cấp 1 9 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 10 Nguyễn Văn Tiến Giới hạn vô cực của dãy số. Giới hạn vô cực của dãy số. • Ta nói dãy (un) tiến đến + khi và chỉ khi: • Ta nói dãy (un) tiến đến - khi và chỉ khi: A  0, n 0  0 : n  n 0  un  A. A  0, n0  0 : n  n0  un  A. • (un) có thể lớn hơn một số dương tùy ý khi n đủ • (un) có thể nhỏ hơn một số âm tùy ý khi n đủ lớn. lớn. • Ký hiệu: • Ký hiệu: lim un   lim un   n  n  Bài giảng Toán cao cấp 1 11 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 12 Nguyễn Văn Tiến 2
  3. 14/09/2017 Tính chất Tính chất • 1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.   vn lim vn e) lim un  lim un n  , lim un  0 • 2. Cho lim un ; lim vn tồn tại hữu hạn. Khi đó: n  n  n  n  n  f ) lim un  0  lim un  0 n  n  a ) lim un  vn   lim un   lim vn  n  n  n  • Định lý giới hạn kẹp: Cho ba dãy số thỏa: b) lim un .vn   lim un . lim vn  n  n  n  un  vn  zn n  n 0   u  lim un  c) lim  n   n n   v   n  nlim  , lim v   0 vn  n n  • Nếu:  d ) lim un  lim un  lim un  lim zn  a thì lim v  a n  n  n  n  n  n Bài giảng Toán cao cấp 1 13 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 14 Nguyễn Văn Tiến Minh họa Ví dụ un  vn  zn n  n  0 • Tìm giới hạn dãy số: sin n 5n a)un  2 b)vn  n 1 nn • Ta có: sin n 1 0  un   0 n2  1 n2  1 a • Vậy: lim un  0  lim un  0 n  n  Bài giảng Toán cao cấp 1 15 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 16 Nguyễn Văn Tiến Cấp số nhân Cấp số nhân • Cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện: • Ta có: • xn  x1q n1 xn 1  xn q, n  1, 2,3... x1 (1  q n ) Sn  x1  x2   xn  • với q không đổi. 1 q • q được gọi là công bội của cấp số nhân. • Khi |q|
  4. 14/09/2017 Chuỗi số Chuỗi số • Cho {an} là một dãy số vô hạn. • Tổng riêng thứ n của dãy: • Tổng vô hạn sau được gọi là một chuỗi số: Sn  a1  a2  ...  an a1  a2  ...  an  ..... • Nếu dãy {Sn} hội tụ tới S hữu hạn thì ta nói chuỗi số (a1+a2+a3+…) là hội tụ và gọi S là tổng của • Ký hiệu chuỗi số: chuỗi số, ký hiệu.   S   ai a n 1 n i 1 • Nếu dãy {Sn} không hội tụ ta nói chuỗi là phân kỳ. Bài giảng Toán cao cấp 1 19 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 20 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 Ví dụ 2 1 • Cho dãy số: an  n • Xét chuỗi số có dạng 2  • Ta có chuỗi số:   an  a1  a2  ...  1  1 1   ... q n  1  q  q 2  q 3  ...  q n  ... n 0 n0 2 4 • Đây là tổng của cấp số nhân có công bội q • Tổng riêng thứ n: n • Tổng riêng thứ n: 1 1 1 1 Sn    ...  n  1    1 qn 2 4 2 2 Sn  1  q  ...  q n1  1 q q  1 • Do lim S n  1 nên chuỗi hội tụ và có tổng bằng 1 n  Bài giảng Toán cao cấp 1 21 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 22 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 2 1 • Nếu |q|1 thì chuỗi số phân kỳ • Nếu q=1 thì Sn=n nên chuỗi phân kỳ • Nếu q=-1 thì LÃI ĐƠN, LÃI GỘP  0 n chan Sn     1 n le  Dãy số Sn không tồn tại giới hạn nên chuỗi phân kỳ Bài giảng Toán cao cấp 1 23 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 24 Nguyễn Văn Tiến 4
  5. 14/09/2017 Lãi suất Lãi đơn • Định nghĩa. Thể hiện quan hệ tỷ lệ giữa lãi • Lãi đơn là lợi tức chỉ tính trên số vốn vay ban đầu trong một đơn vị thời gian với vốn gốc trong trong suốt thời hạn vay. Nói khác đi, số lãi tính thời gian đó. theo tỷ lệ phần trăm trên vốn gốc chính là lãi đơn. Trong khái niệm này, chỉ có vốn sinh lời còn lãi ã ộ đơ ị ờ không sinh lợi. ã ấ = . % ố ố ờ đó • Lãi đơn thường được áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính ngắn han. • Ví dụ. Đầu tư 100 triệu đồng sau một năm thu • Giá trị đạt được (hay giá trị cuối cùng, giá trị tương được 112 triệu đồng. Như vậy sau 1 năm nhà lai): tổng số tiền thu được khi kết thúc đợt đầu tư. đầu tư lãi là 12 triệu đồng và lãi suất là Giá trị đạt được gồm 2 phần: vốn gốc và lãi thu 12%/năm. được. Bài giảng Toán cao cấp 1 25 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 26 Nguyễn Văn Tiến Công thức tính lãi đơn Ví dụ 1 • a) Gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo phương thức Vn  V0 1  n.i  gửi có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 1%/tháng. Xác định giá trị đạt được và số lãi vào cuối đợt đầu tư 6 • V0 là vốn gốc tháng? • Vn là giá trị cuối tính đến thời điểm n • b) Đầu tư 100 triệu, lãi suất 12%/năm (tính theo lãi đơn), sau một thời gian thu được cả vốn lẫn lời • i là lãi suất 118 triệu vào cuối đợt đầu tư. Hỏi thời gian đầu tư • Lãi thu về: bao lâu? • c) Với lãi suất 12%/năm thì phải bỏ số vốn ban đầu I  V0 .n.i là bao nhiêu để thu được 28,4 triệu trong 3 năm 6 tháng (tính theo lãi đơn)? Bài giảng Toán cao cấp 1 27 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 28 Nguyễn Văn Tiến Chú ý Lãi suất ngang giá (tương đương) • Nếu đơn vị thời gian của lãi suất i và thời điểm n • Hai lãi suất i và ik tương ứng với 2 chu kỳ khác nhau không đồng nhất thì trước tiên ta phải biến đổi để được gọi là tương đương nhau khi cùng một số vốn, chúng đồng nhất với nhau rồi mới áp dụng công đầu tư trong cùng một thời gian thì cho cùng mức lãi thức. như nhau (giá trị đạt được bằng nhau). • Ví dụ. i • a) Đầu tư 100 triệu (tính theo lãi đơn), sau 6 tháng Vn  V0 1  i.n   V0 1  ik .n.k   i  ik .k  ik  thu được tổng số tiền là 105,6 triệu. Hỏi lãi suất k đầu tư là bao nhiêu? • Giả sử có hai lãi suất i (chu kỳ 1 năm) và ik (chu kỳ 1/k • b) Đầu tư 100 triệu với lãi suất 12%/năm. Sau một của năm) thời gian rút hết ra thu được 106 triệu. Hỏi thời gian đầu tư mất bao lâu? Bài giảng Toán cao cấp 1 29 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 30 Nguyễn Văn Tiến 5
  6. 14/09/2017 Ví dụ Tỷ suất lợi tức bình quân • Ví dụ. Đầu tư 20 triệu trong vòng 9 tháng với lãi • Tỷ suất lợi tức bình quân trong lãi đơn được suất 12%/năm theo phương thức lãi đơn. Kết tính theo phương pháp bình quân có trọng số. thúc đợt đầu tư, giá trị đạt được là: k • Theo lãi suất hàng tháng: = 12 = 1%  n .i j 1 j j i k n j Vn  20.1  9.1%   21,8 j 1 • Trong đó: • Theo lãi suất hàng năm:  9  • ij là các mức lãi suất khác nhau trong các Vn  20. 1  .12%   21,8 khoảng thời gian nj khác nhau.  12  Bài giảng Toán cao cấp 1 31 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 32 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Lãi kép • Một doanh nghiệp vay với lãi đơn 100 triệu • Việc tính lãi bằng cách lấy lãi của kỳ trước nhập đồng với lãi suất thay đổi như sau: 8%/năm vào vốn để tính lãi cho kỳ sau đó là phương trong 6 tháng đầu; 10%/năm trong 3 tháng tiếp pháp tính theo lãi kép. Số tiền lãi thu được theo theo và 12%/năm trong 4 tháng cuối cùng. phương pháp này gọi là lãi kép. • Tính: • Lãi kép thường áp dụng trong các nghiệp vụ tài • a) Lãi suất trung bình của số vốn vay. chính dài hạn. • b) Tính tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khi đáo hạn Bài giảng Toán cao cấp 1 33 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 34 Nguyễn Văn Tiến Lãi kép Hệ quả • Công thức cơ bản: • Vốn đầu tư ban đầu: n n n Vn  V0 1  i   V0  Vn 1  i  Vn  V0 1  i  • Thời gian đầu tư: • Trong đó: log Vn / V0  n – i: mức lãi suất Vn  V0 1  i   n  log 1  i  – V0: vốn gốc – n: thời gian đầu tư (tương ứng với i) • Lãi suất đầu tư: – Vn: giá trị đạt được sau đầu tư n Vn Vn  V0 1  i   i  n 1 V0 Bài giảng Toán cao cấp 1 35 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 36 Nguyễn Văn Tiến 6
  7. 14/09/2017 Ví dụ Lãi suất ngang giá (tương đương) • a) Đầu tư một khoản tiền với lãi suất 10%/năm. • Hai lãi suất i và ik tương ứng với hai chu kỳ khác Sau 4 năm thu được cả vốn lẫn lời là 146,41 triệu nhau được gọi là tương đương nhau khi với cùng đồng (tính theo lãi kép). Hỏi vốn đầu tư ban đầu là một số vốn, đầu tư trong cùng một thời gian sẽ cho bao nhiêu? cùng mức lãi như nhau (cùng giá trị đạt được). • b) Đầu tư một khoản 100 triệu đồng với lãi suất 10%/năm. Sau một thời gian thu được cả vốn lẫn • Giả sử lãi suất i tính theo năm, lãi suất ik tương ứng lời là 161,051 triệu đồng (tính theo lãi kép). Hỏi với chu kỳ 1/k của năm (1 quý, 6 tháng …) là tương thời gian đầu tư là bao lâu? đương nhau thì: • c) Đầu tư một khoản tiền 100 triệu với lãi suất 10%/năm. Sau 8 năm thu được cả vốn lẫn lời là n nk n nk ik  1  i  1 k 214,358881 triệu (tính theo lãi kép). Hỏi lãi suất Vn  V0 1  i   V0 1  ik   1  i   1  ik    k đầu tư (tỷ lệ sinh lời của đầu tư) là bao nhiêu? i  1  ik   1 Bài giảng Toán cao cấp 1 37 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 38 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Lãi suất bình quân trong lãi kép. • Ông A gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo lãi • Ví dụ. Người ta đầu tư 150 triệu đồng tính lãi suất 6%/6 tháng. Ông B cũng gửi ngân hàng 100 kép với lãi suất lũy tiến. triệu đồng với lãi suất 12,36%/năm. Hãy tính số tiền lãi mà ông A và ông B nhận được sau 1 • 8%/năm trong vòng 2 năm đầu tiên; năm gửi. Cho nhận xét. • 9%/năm trong vòng 3 năm tiếp theo; • Giải 2 • 11%/năm trong vòng 4 năm cuối. I A  100 1  0,06   100  12,36 • a) Vào cuối năm thứ 9 tổng lãi là bao nhiêu? I B  100 1  0,1236   100  12,36 • b) Lãi suất trung bình hàng năm là bao nhiêu? • Điều này chứng tỏ rằng hai lãi suất 6%/6 tháng và 12,36%/1 năm là tương đương nhau. Bài giảng Toán cao cấp 1 39 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 40 Nguyễn Văn Tiến Lãi suất bình quân trong lãi kép. So sánh lãi đơn và lãi kép. Ta có: • Lãi đơn: Lãi kép: n1 n n2 n nk n i i  1 n n 1 i i  1 1 1 1 2 11 ik ik   1 1 i2 i2  ...... k Vn  V0 1  n.i  Vn  V0 1  i  n Với • Ta có: ã kép = + +. . . + là tổng thời gian đầu tư. ) ã đơ ik là mức lãi suất trong các khoảng thời gian nk. ) =1⇒ = ) >1⇒ < 0 1 Bài giảng Toán cao cấp 1 41 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 42 Nguyễn Văn Tiến 7
  8. 14/09/2017 So sánh lãi đơn và lãi kép. Lãi kép liên tục • Ví dụ. Đầu tư 200 triệu đồng theo lãi suất thực • Ví dụ. Đầu tư 1000$ trong 5 năm với mức lãi 12%/năm. Hãy tính : suất 8%/năm, tính theo lãi kép. Hãy tính lãi thu a) Lãi đơn và giá trị đạt được sau khoảng thời được nếu ghép lãi theo: gian: 6 tháng; 1 năm; 3 năm. • a) Năm b) Nửa năm b) Lãi kép và giá trị đạt được sau khoảng thời • c) Quý d)Tháng gian: 6 tháng; 1 năm; 3 năm c) Vẽ đồ thị của các lãi suất. Bài giảng Toán cao cấp 1 43 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 44 Nguyễn Văn Tiến Lãi kép liên tục Lãi kép liên tục • Đáp số: • Tính lãi không kỳ hạn n 5 n .i a )Vn  V0 1  i   1000.1  0,08   1.469,33  $  n .t n. t / r . r  t / i  n  i  1  1   Vn  V0 1  i   V0  1    V0  1    V0   1     t / i   10 n  0,08   t  t/i b)Vn  V0 1  i   1000.1    1.480, 24  $     2  20 • Nếu số lần ghép lãi trong năm tăng lên vô hạn  0,08  n c)Vn  V0 1  i   1000.1   1.485,95  $  thì:  4  20 n  0,08    t /i   n.i d )Vn  V0 1  i   1000.1    1.485,95  $  1   4  lim Vn  lim V0   1    ??? t  t    t / i     • Nhận xét. Bài giảng Toán cao cấp 1 45 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 46 Nguyễn Văn Tiến Lãi kép liên tục Ví dụ n .i   t /i  • Ta có: 1   • Ví dụ 1. Tính giá trị tương lai của số tiền 5000$ đầu tư lim Vn  lim V0  1    V0 .e n.i t  t    t / i   2 năm với mức lãi suất 8%/năm theo phương thức lãi   kép và thời gian ghép lãi: a) Theo ngày b) Liên tục • Trong ví dụ trên nếu • Đáp số: a) 5.867,45 ($) b) 5.867,55 ($) tính lãi liên tục thì: • Ví dụ 2. Bạn cần đầu tư bao nhiêu để mua một chiếc xe hơi sau 5 năm. Giả sử giá của chiếc là 8.000$ và lãi suất hàng năm là 10%, tính theo lãi kép với thời gian Vn  V0e n.i  1000.e5.0,08 ghép lãi: a) Hàng quý b) Ghép lãi liên tục • Đáp số: a) 4.882,17 b) 4.852,25  1.491,8247  $  Bài giảng Toán cao cấp 1 47 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 48 Nguyễn Văn Tiến 8
  9. 14/09/2017 Giá trị thời gian của tiền tệ Giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền • Giá trị hiện tại PV • Giá trị tương lai của tiền tệ là giá trị tại một • Giá trị tương lai FV thời điểm nhất định trong tương lai của một • Giá trị hiện tại ròng NPV khoản đầu tư ở hiện tại với một mức lãi suất cho trước. • Tỷ lệ hoàn vốn nội bộ IRR • Giá trị hiện tại của tiền tệ là giá trị tính đổi về thời điểm hiện tại của dòng tiền tệ tương lai. Bài giảng Toán cao cấp 1 49 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 50 Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai của tiền tệ Giá trị tương lai của khoản tiền đơn • Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn 1.Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn (khoản tiền duy nhất): là giá trị của số tiền này 2.Giá trị tương lai của dòng tiền ở thời điểm hiện tại cộng với số tiền lãi mà nó sinh ra trong khoảng thời gian từ hiện tại cho 2.1. Giá trị tương lai của dòng tiền đều đến một thời điểm trong tương lai. 2.2. Giá trị tương lai của dòng tiền không đều i Bài giảng Toán cao cấp 1 51 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 52 Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai của khoản tiền đơn Giá trị hiện tại của khoản tiền đơn • Tính theo lãi đơn • Tính theo lãi đơn FV FV  PV 1  i.n  PV  1  i.n  • Tính theo lãi kép • Tính theo lãi kép n FV FV  PV 1  i  PV  n 1  i  Bài giảng Toán cao cấp 1 53 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 54 Nguyễn Văn Tiến 9
  10. 14/09/2017 Ví dụ Ví dụ • Giả sử một người cha đã mở tài khoản tiết kiệm • Một người muốn để dành tiền cho tuổi già 5 triệu VNĐ cho con trai của ông ta vào ngày bằng cách gửi tiết kiệm vào ngân hàng, lãi suất đứa trẻ chào đời, để 18 năm sau cậu bé có tiền ngân hàng là 13%/năm. Người đó phải gửi vào vào đại học. Lãi suất hàng năm là 6%. Vậy số ngân hàng bao nhiêu tiền ở thời điểm hiện tại, tiền mà người con trai sẽ nhận được khi vào đại để 20 năm sau nhận được số tiền 20 triệu VNĐ? học là bao nhiêu? (tính theo lãi kép) (tính theo lãi kép) • Đ/S: FV 20.000.000 n 18 PV  n  20  1.736.000 FV  PV 1  i   5.000.000 1  6%   14.271.695 1  i  1  0,13 Bài giảng Toán cao cấp 1 55 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 56 Nguyễn Văn Tiến NGUYÊN TẮC 72 Dòng tiền (chuỗi tiền tệ) Nếu lấy số 72 chia cho tốc độ tăng trưởng, thì kết quả là • Dòng tiền tệ (gọi tắt là dòng tiền) là một chuỗi một ước lượng gần đúng với số năm cần thiết để con số các khoản tiền (thu nhập hoặc chi trả) xảy ra ban đầu tăng gấp đôi. qua một số thời kỳ nhất định 72/6 = 12 khoảng 72 chia cho 8 được 9. 2028 thì thu nhập bình • Phân loại:  sẽ mất 9 năm để quân đầu người của tăng gấp đôi số tiền Việt Nam sẽ đạt 4.430 • - Dòng tiền đều của bạn với lãi suất đô-la (từ mức 2.215 hằng năm là 8%. đô-la hiện nay). • - Dòng tiền không đều Bài giảng Toán cao cấp 1 57 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 58 Nguyễn Văn Tiến Dòng tiền đều Dòng tiền không đều • Khái niệm. Dòng tiền đều là dòng tiền bao gồm các Dòng tiền không đều (mixed cash flows) khoản tiền bằng nhau được phân bố đều đặn theo thời gian. Dòng tiền không đều là dòng tiền bao gồm các 3 loại dòng tiền đều : khoản tiền không bằng nhau phát sinh qua một • Dòng tiền đều thông thường (ordinary annuity) – xảy ra vào cuối kỳ số thời kỳ nhất định. • Dòng tiền đều đầu kỳ (annuity due) – xảy ra vào đầu kỳ • Dòng tiền đều vĩnh cửu (perpetuity) – xảy ra cuối kỳ và không bao giờ chấm dứt Bài giảng Toán cao cấp 1 59 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 60 Nguyễn Văn Tiến 10
  11. 14/09/2017 Giá trị tương lai của dòng tiền Giá trị tương lai của dòng tiền • Giá trị tương lai của một dòng tiền sau n năm • Giá trị tương lai của một dòng tiền sau n năm chính chính là tổng giá trị tương lai của từng khoản là tổng giá trị tương lai của từng khoản tiền xảy ra ở tiền xảy ra ở từng thời điểm khác nhau trong n từng thời điểm khác nhau trong n năm. • FVA( Future Value of Annuity) : Giá trị tương lai của năm. dòng tiền thông thường • FVAD : Giá trị tương lai của dòng tiền đầu kỳ • CF (Cash Flow) : Dòng tiền (các khoản tiền cấu thành) • i : lãi suất yêu cầu • n: kỳ hạn (thường là năm) Bài giảng Toán cao cấp 1 61 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 62 Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai dòng tiền đều Ví dụ • Trường hợp cuối kỳ • Một người muốn có số tiền học phí 35.000 USD cho con trai đi du học vào 4 năm sau thì anh ta phải gửi tiết kiệm hàng năm một khoản cố định là bao nhiêu? Biết lãi suất tiền gửi là 6%/năm. CF 1  i  n3 CF 1 i  n 2 CF 1 i  n 1 CF 1  i   1  i n  1  FVA  CF    i  Bài giảng Toán cao cấp 1 63 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 64 Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai dòng tiền đều Giá trị hiện tại của dòng tiền • Trường hợp đầu kỳ • Giá trị hiện tại của dòng tiền là tổng giá trị hiện tại của các khoản tiền cấu thành • PVA( Present Value of Annuity): Giá trị hiện tại của dòng tiền thông thường CF 1  i  • PVAD : Giá trị hiện tại của dòng tiền đầu kỳ CF 1  i  n 2 • CF (Cash Flow) : Dòng tiền cấu thành n 1 • i : lãi suất yêu cầu CF 1  i  CF 1  i  n • n: kỳ hạn ( thường là năm) n FVAD  FVA. 1  i   CF 1  i  1 1  i  i Bài giảng Toán cao cấp 1 65 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 66 Nguyễn Văn Tiến 11
  12. 14/09/2017 Ví dụ Giá trị hiện tại của dòng tiền đều • Một người quyết định dành tiền để mua mở nhà a. Trường hợp cuối kỳ 1  1  i  n hàng sau 7 năm nữa. Hiện tại trong tài khoản người PVA  CF đó đã có 30.000USD và người đó quyết định trong i vòng 6 năm vào cuối mỗi năm sẽ tiết kiệm và gửi vào tài khoản số tiền 30.000USD. Nếu lãi suất tiết kiệm là b. Trường hợp đầu kỳ PVAD  PVA 1  i  7%/năm thì sau 7 năm người này có thể mở nhà hàng với số tiền tối đa là bao nhiêu? c. Trường hợp dòng tiền vô hạn: n 1  i  1 1,07 7  1 CF FVAD  CF 1  i   30.000 1, 07  PVA  i 0,07 i Bài giảng Toán cao cấp 1 67 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 68 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Tính giá trị của một • Giải • Một trái phiếu vô • Đ/S: 12,5 tr thiết bị sản xuất nếu hạn được trả lãi nó được bán trả góp PVAD  PVA 1  i  cuối mỗi năm là 1 với lãi suất 12%/năm n 1  1  i  triệu VNĐ, biết lãi và thời gian là 5 năm,  CF 1  i  i suất bình quân là mỗi năm trả 50 triệu 5 8%/năm. Hãy xác 1  1,12 VNĐ. Biết rằng việc  50 1,12  201,867 0,12 định hiện giá của trả tiền được tiến trái phiếu ? hành vào đầu năm. 69 70 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai chuỗi tiền tệ bất kỳ Giá trị tương lai của dòng tiền không đều Tổng quát • Công ty Nam Phong dự định mở rộng một phân xưởng sản xuất bánh kẹo. Công ty dự kiến đầu tư liên tục n trong 5 năm vào mỗi cuối năm lần lượt các khoản tiền n t FVA   CFt 1  i  sau: 50 triệu VNĐ, 40 triệu VNĐ, 25 triệu VNĐ, 10 triệu t 0 VNĐ và 10 triệu VNĐ. Lãi suất là 10%/năm. Vậy tổng giá trị đầu tư của công ty tính theo thời giá của năm FVA : giá trị tương lai của dòng tiền cuối kỳ thứ 5 là bao nhiêu ? CFt: giá trị của dòng tiền ở cuối kỳ t 71 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 72 Nguyễn Văn Tiến 12
  13. 14/09/2017 Giá trị hiện tại chuỗi tiền tệ bất kỳ Bài tập • Hiện tại, một người gửi vào ngân hàng số Tổng quát tiền 10 triệu đồng, đầu năm thứ 3 tính từ n PV   CFt 1  i  t hiện tại người đó gửi vào ngân hàng tiếp số tiền 20 triệu đồng. Cuối năm thứ 5 tính từ t 0 năm thứ 3, người đó lại tiếp tục gửi vào ngân hàng số tiền 25 triệu đồng. Nếu lãi suất là PV : giá trị hiện tại của dòng tiền 10%/năm thì hỏi sau bao lâu, tài khoản CFt: giá trị của dòng tiền ở cuối kỳ t người đó có số tiền 200 triệu đồng? 73 74 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Trả nợ dần – Trả góp Trả nợ dần n • Amortization • Từ công thức: PVA  CF 1  1  i  • Thanh toán khoản vay bao gồm khoản tiền được i dùng để thanh toán lãi suất phát sinh trên khoản vay cùng với số tiền gốc còn lại. • Ta có: i • Cùng với thời gian, phần lãi suất giảm khi số dư CF  PVA n nợ giảm và khoản tiền gốc đã thanh toán tăng để 1  1  i  trả hết nợ (trả dần) theo đúng thời gian đã định. • Công thức này gọi là công thức tính khoản tiền trả nợ dần của một khoản tiền vay trong hiện tại và trả đều trong tương lai. Bài giảng Toán cao cấp 1 75 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 76 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Kế hoạch trả nợ dần • Giả sử bạn mua 01 ti vi giá 800$ và trả góp • Amortization Schedule trong vòng 18 tháng với mức lãi suất là • Bảng kế hoạch thể hiện từng khoản thanh toán 1,5%/tháng. cho khoản vốn vay và khoản lãi suất trong toàn bộ thời gian vay. Kế hoạch trả dần cũng thể hiện • A) Số tiền trả hàng tháng là??? (51,04$) khoản dư nợ được giảm dần cho đến khi bằng • B) Tổng số lãi trả là??? (118,72$) 0. • Ví dụ. Giả sử bạn vay 500$ và đồng ý trả góp trong vòng 6 tháng với số tiền góp bằng nhau. Lãi suất là 1% mỗi tháng trên số tiền chưa trả. Hãy lập kế hoạch trả nợ dần cho khoản vay? Bài giảng Toán cao cấp 1 77 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 78 Nguyễn Văn Tiến 13
  14. 14/09/2017 Kế hoạch trả nợ dần Ví dụ • Lập bảng khấu hao cho khoản vay 1000$, trả góp hàng tháng, trong vòng 6 tháng với lãi suất 1,25%/tháng trên dư nợ. Số Số Lãi Khấu Dư lần tiền tức trừ nợ trả trả dư nợ Bài giảng Toán cao cấp 1 79 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 80 Nguyễn Văn Tiến Giá trị hiện tại ròng NPV Định nghĩa 2 • Net Present Value • Giá trị hiện tại ròng là tổng các giá trị hiện tại riêng lẻ sau khi đã chiết khấu, theo nghĩa trên. • NPV là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền n sẽ thu về trong tương lai và chi phí chi phí triển t khai dự án. NPV    CI t  COt  1  i   t 0   NPV  B (1  i )  n  C • • CI: cash in (luồng tiền thu về) CO: cash out (luồng tiền chi) • n: số năm hoạt động của dự án • t: năm bắt đầu thực hiện dự án được coi là năm gốc Bài giảng Toán cao cấp 1 81 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 82 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa 2 Ví dụ • Giá trị hiện tại ròng là tổng các giá trị hiện tại riêng Thu nhập hàng năm ($) Giá trị hiện tại ròng NPV ($) Năm lẻ sau khi đã chiết khấu, theo nghĩa trên. Dự án A Dự án B Dự án A Dự án B CF1 CF2 CFn 0 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 NPV  CF0   2  ...  n 1 700 0 666,667 0 1  i 1  i  1  i  2 500 0 453,515 0 • CF0: tiền đầu tư 3 600 2.000 518,303 1.727,675 • CFi: tiền thu về năm thứ i Tổng 800 1000 638,485 727,675 • n: số năm hoạt động của dự án • Chọn dự án có NPV>0 và cao hơn. • t: năm bắt đầu thực hiện dự án được coi là năm gốc • Mức lãi suất đang tính là bao nhiêu? Bài giảng Toán cao cấp 1 83 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 84 Nguyễn Văn Tiến 14
  15. 14/09/2017 Tỷ suất hoàn vốn nội bộ Tỷ lệ hoàn vốn nội bộ • IRR – Internal rate of return (tỷ suất hoàn vốn IRR có được bằng phương pháp thử sai như sau: nội bộ): mức lãi suất mà dự án có thể đạt được • - Tìm mức chiết khấu sao cho NPV nhỏ và dương; đảm bảo cho tổng các khoản thu của dự án cân • - Tìm mức chiết khấu lớn hơn sao cho NPV nhỏ bằng với các khoản chi và âm • - Sử dụng nội suy tuyến tính giữa hai giá trị trên  lãi suất chiết khấu làm cho NPV = 0 để tìm mức chiết khấu sao cho NPV=0 n n  CI 1  i  t0 t t    CO t0 t 1  i  t  Bài giảng Toán cao cấp 1 85 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 86 Nguyễn Văn Tiến Tỷ lệ hoàn vốn nội bộ Tỷ lệ hoàn vốn nội bộ • Hãy tính IRR cho dự án sau: • Ta có: Thời gian Tổng dòng tiền PV (5%) PV (10%) Thời gian 0 1 2 3 4 0 -80 -80 -80 Dòng tiền -80 40 30 20 5 1 40 38,095 36,364 2 30 27,211 24,793 • Hãy tính NPV với mức 5% và 10% 3 20 17,277 15,026 4 5 4,114 3,415 NPV 6,697 -0,402 Bài giảng Toán cao cấp 1 87 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 88 Nguyễn Văn Tiến Tỷ suất hoàn vốn nội bộ Tỷ suất hoàn vốn nội bộ • Theo phương pháp nội suy ta có: • Phương pháp NPV1 nội suy IRR  R1   R2  R1  NPV1  NPV2 NPV1 IRR NPV1 IRR  R1   R2  R1  6,697 NPV1  NPV2 R2 IRR  5%  10%  5%   9,7% 6, 697  0, 402 0 R1 IRR  R1 NPV1  • Kết quả tính toán theo Excel: 10%  R2  R1  NPV1  NPV2 NPV2 Bài giảng Toán cao cấp 1 89 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 90 Nguyễn Văn Tiến 15
  16. 14/09/2017 Ví dụ Tỷ suất hoàn vốn nội bộ • Điều kiện chọn dự án: chọn IRR cao nhất hoặc IRR  Rmin • Hãy xác định IRR của dự án sau: • Rmin là lãi suất đi vay nếu phải vay vốn đầu tư. Thời gian 0 1 2 3 • Nếu IRR lớn hơn lãi suất chiết khấu (chi phí cơ hội) thì dự án đáng 11% giá. Dòng tiền -100 50 50 20 • Tỉ lệ hoàn vốn nội bộ càng cao thì khả năng thực thi dự án là càng cao. IRR còn được sử dụng để đo lường, sắp xếp các dự án có triển vọng theo thứ tự, từ đó có thể dễ dàng hơn trong việc cân nhắc nên • Sử dụng hàm IRR trong Excel thực hiện dự án nào. • Nói cách khác, IRR là tốc độ tăng trưởng mà một dự án có thể tạo ra • Cú pháp: IRR(values, guess) được. Nếu giả định rằng tất cả các yếu tố khác của các dự án là như nhau thì dự án nào có tỉ suất hoàn vốn nội bộ cao nhất thì dự án đó có thể được ưu tiên thực hiện đầu tiên. Bài giảng Toán cao cấp 1 91 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 92 Nguyễn Văn Tiến Bài tập BÀI TẬP NPV • Có hai phương án (A) mua máy photocopy và (B) thuê 1. Công ty bạn mua 1 máy photocopy giá 6000USD sử máy photocopy. Hãy tính NPV, IRR của từng phương án. dụng trong 5 năm. Luồng tiền công ty thu được trong các Từ đó quyết định xem nên mua hay thuê? Biết rằng đơn vị năm như sau, lãi suất chiết khấu là 10%: tính là triệu đồng. (A) Mua (B) Thuê máy máy Thu nhập hàng năm (triệu/năm) 160 160 Hãy tính NPV? Đầu tư ban đầu (triệu) 30 0 Chi phí hàng năm (triệu/năm) 50 100 2. Tính giá trị hiện tại ròng của một dự án mà bạn bỏ vốn Giá trị còn lại (triệu) 5 0 ban đầu là 200 triệu VND. năm 1 bạn thu về 20 triệu VND, Tuổi thọ (năm) 10 10 năm 2 bạn chi ra 50 triệu VND. Đến năm 3 bạn thu được Suất thu lợi tối thiểu 20%/năm 100 triệu VND và năm 4 là 170 triệu VND. Với lãi suất là 10% Bài giảng Toán cao cấp 1 93 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 94 Nguyễn Văn Tiến BÀI TẬP NPV BÀI TẬP • 3. Bạn đang dự định đầu tư xây dựng trang trại mà có • Bạn có một ngôi nhà hiện đang được định giá là 1 tỷ 2. thể chịu lỗ 55 triệu VND vào cuối năm thứ nhất, nhưng sau đó sẽ thu lại 95 triệu VND, 140 triệu VND, 185 triệu Bạn đang muốn cho thuê trong dài hạn thì bạn sẽ cho VND vào cuối năm thứ 2 thứ 3 thứ 4, và sẽ phải trả chi thuê bao nhiêu một năm với mức lãi yêu cầu của bạn phí ban đầu là 250 triệu VND, với tỷ lệ lãi suất là 12% là 18%/năm. Với chi phí quản lý bạn bỏ ra là 6 năm. Hãy đánh giá việc đầu tư này. triệu/năm • 4. Bạn đánh giá thế nào về hai dự án sau: • Đ/S: 222 triệu/năm • Dự án 1: bạn bỏ ra 200 triệu VND để nhận được 250 triệu VND vào 2 năm sau • Dự án 2: bạn bỏ ra 400 triệu VND để nhận được 500 triệu vào 3 năm sau Bài giảng Toán cao cấp 1 95 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 96 Nguyễn Văn Tiến 16
  17. 14/09/2017 Bài tập 1,2 Bài tập 3,4 1. Một người thuê nhà $1000/năm, thuê trong 3 năm 3. Công ty A có một khoản nợ 500 triệu phải trả sau 1 (trả vào cuối mỗi năm). Nhưng người cho thuê đòi lấy năm. Hiện tại công ty A muốn trả nợ hàng tháng với trước 1 lần. Vậy giá thương lượng nên là bao nhiêu, những khoản tiền bằng nhau. Nếu lãi suất là biết rằng lãi suất bình quân thị trường là 18%/năm 2%/tháng thì số tiền trả mỗi tháng là bao nhiêu? 2. Bạn cho thuê nhà với giá là 6000$ /năm, thanh toán 4. Bạn dự định sửa nhà, ước tính 38 triệu. Mỗi tháng vào 01/01 hàng năm trong thời hạn 5 năm. Toàn bộ bạn tích cóp được 2tr mang gửi vào ngân hàng với tiền cho thuê được ký gửi vào ngân hàng với lãi suất lãi suất 1%/tháng. Biết bao giờ đủ số tiền 38 tr để 6%/năm, trả lãi kép hàng năm. Sau 5 năm số tiền bạn sửa nhà? (Bắt đầu gửi vào tháng tới) có được cả gốc và lãi là bao nhiêu? Bài giảng Toán cao cấp 1 97 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 98 Nguyễn Văn Tiến Bài tập 5,6 Bài tập 7,8 • 5. Ngày 15/01/2012 bạn gửi vào tài khoản tiết • 7. Bạn mua một chung cư với mục đích cho kiệm hưởng lãi 14%/năm số tiền 500 ngàn VND. thuê trong dài hạn. Bạn kỳ vọng có thể thu Tương tự, vào 15/01 năm 2013, 2014, 2015, 2016 và 2017 bạn cũng gửi vào tài khoản này 500 ngàn được 120 triệu VNDmột năm. Vậy bạn sẵn sàng VND. Hỏi vào này 15/01/2019 bạn có bao nhiêu chi trả bao nhiêu để mua nó nếu mức lãi suất tiền trong tài khoản? yêu cầu của bạn là 18%/năm • 6. Bạn mua một laptop với hình thức trả góp. Theo • 8. Trong kế hoạch 5 năm tới của A, A sẽ gửi tiết đó, bạn sẽ trả cho người bán 2 triệu VND mỗi kiệm 5 triệu VND vào ngày 02/01 hàng năm vào tháng trong vòng 1 năm, bắt đầu từ lúc mua. Hỏi tài khoản hưởng lãi 14%/năm. Hỏi cuối năm giá của laptop này là bao nhiêu, với lãi suất trả góp lúc này là 2%/tháng? thứ 5 A có bao nhiêu tiền trong tài khoản? Bài giảng Toán cao cấp 1 99 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 100 Nguyễn Văn Tiến Bài tập 9 Trái phiếu • Giả sử, bây giờ là 01/01/2017, bạn gửi vào ngân hàng 50 • Trái phiếu (bond) là công cụ nợ dài hạn do triệu VND với lãi suất 11% (lãi nhập gốc 1 năm 1 lần) chính phủ hoặc công ty phát hành nhằm huy • a. Vào 01/01/2019 bạn có bao nhiêu tiền trong tài khoản? động vốn dài hạn. • b. Giả sử bạn gửi thành 5 lần là 10 triệu VND vào ngày • Là một chứng khoán có kỳ hạn từ 1 năm trở lên 01/01 các năm 2017, 2018, 2019, 2020 và 2021. Bạn sẽ trong đó chứng nhận người vay nợ một khoản có được bao nhiêu tiền trong tài khoản vào thời điểm 01/01/2021? (lãi suất không đổi, không rút tiền trong tiền được xác định cụ thể cùng với các điều suốt thời gian trên) khoản liên quan tới việc hoàn trả khoản tiền • c. Để có được 100 triệu VND vào 01/01/2023 bạn phải này và lãi trong tương lai. gửi mỗi lần bao nhiêu tiền tại các thời điểm như câu b? Bài giảng Toán cao cấp 1 101 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 102 Nguyễn Văn Tiến 17
  18. 14/09/2017 Trái phiếu Trái phiếu • Mệnh giá trái phiếu (face or value): số tiền ghi trên trái phiếu • Lãi suất trái phiếu (coupon rate): lãi suất mà trái phiếu được hưởng • Ngày đáo hạn : Là ngày trái phiếu hết hạn, đến kỳ thanh toán • Lãi suất huy động (kD) – suất coupon : Là lãi suất mà công ty phát hành trái phiếu hứa thanh toán cho các trái chủ. • Giá trái phiếu (Vb): là giá khi nhà đầu tư mua trái phiếu • Lãi suất thị trường (kDM): là mức lãi mà thị trường đòi hỏi đối với một khoản vay cụ thể Bài giảng Toán cao cấp 1 103 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 104 Nguyễn Văn Tiến Phân loại Rủi ro khi đầu tư trái phiếu • Trái phiếu chính phủ • Rủi ro lãi suất • Trái phiếu doanh nghiệp • Rủi ro tái đầu tư • Rủi ro tín dụng • Rủi ro lạm phát • Rủi ro tỷ giá • Rủi ro thanh khoản • Rủi ro thuế Bài giảng Toán cao cấp 1 105 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 106 Nguyễn Văn Tiến Trái phiếu thông thường • Mệnh giá trái phiếu: M • Lãi suất định kỳ cố định hàng năm: i • Kỳ hạn (năm): n • Trả lãi: 1 lần/năm vào cuối kỳ • Trả nợ gốc: trả 1 lần bằng mệnh giá trái phiếu vào ngày đáo hạn. • Dòng tiền ra: V (số tiền bỏ ra mua trái phiếu) • Dòng tiền vào: – Lãi vay: I=i.M – Nợ gốc: M Bài giảng Toán cao cấp 1 107 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 108 Nguyễn Văn Tiến 18
  19. 14/09/2017 Trái phiếu thông thường Trái phiếu M=100.000 • Trái phiếu kho bạc phát hành bởi kho bạc để tài trợ cho thiếu hụt ngân sách của chính phủ i=8,5%/năm • Trái phiếu đô thị phát hành bởi chính quyền địa n=5 phương nhằm mục đích huy động vốn tài trợ cho ngân I=8.500 sách của chính quyền địa phương V=??? Phát hành: 21/10/2003 Đáo hạn: 21/20/2008 Bài giảng Toán cao cấp 1 109 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 110 Nguyễn Văn Tiến Trái phiếu Định giá trái phiếu • Trái phiếu vĩnh cửu (perpetual bond): là trái phiếu • Lãi suất trên thị trường của một khoản đầu tư có lãi định kỳ nhưng không bao giờ đáo hạn cùng rủi ro và kỳ hạn như trái phiếu là kd. • Trái phiếu không hưởng lãi (non-coupon bond): • Nhà đầu tư vào trái phiếu sẽ yêu cầu trái phiếu bán rất thấp so với mệnh giá, còn gọi là trái phiếu có suất sinh lợi tối thiểu là kd vì đó là mức mà chiết khấu. Khi đáo hạn, trái chủ được hoàn trả lại họ có được nếu đi đầu tư trên thị trường. số tiền bằng mệnh giá. • Giá trái phiếu được định ở mức bằng với giá trị • Trái phiếu thông thường (trái phiếu có lãi trả hàng hiện tại của toàn bộ thu nhập nhận được từ trái kỳ): Là loại trái phiếu mà trái chủ được trả lợi tức phiếu trả trong tương lai với suất chiết khấu là hàng kì đã ấn định trước và trả gốc (bằng mệnh giá) khi đáo hạn. kd. Bài giảng Toán cao cấp 1 111 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 112 Nguyễn Văn Tiến Định giá trái phiếu Định giá trái phiếu không có thời hạn • Giá trị của trái phiếu được xác định bằng cách xác định • Giá trị của loại trái phiếu này được xác định bằng giá trị hiện tại của toàn bộ thu nhập nhận được trong giá trị hiện tại của dòng tiền vô hạn mà trái phiếu thời hạn hiệu lực của trái phiếu. này mang lại. • Nguyên tắc: Giá trị của trái phiếu được xác định bằng • Gọi: I giá trị hiện tại của toàn bộ thu nhập mà trái phiếu này V  mang lại. • V: giá của trái phiếu kd • I: mức lãi cố định được hưởng mãi • kd: tỷ suất lợi nhuận theo yêu cầu của nhà đầu tư. Bài giảng Toán cao cấp 1 113 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 114 Nguyễn Văn Tiến 19
  20. 14/09/2017 Ví dụ Ví dụ Giả sử bạn mua một trái phiếu được hưởng lãi 50 $ một Chính phủ Anh phát hành trái phiếu vô hạn có mệnh giá năm trong khoảng thời gian vô hạn. Bạn đòi hỏi tỷ suất lợi 1.000 bảng Anh. Lãi suất huy động 12%/năm. Nếu lãi suất nhuận đầu tư là 12%. theo yêu cầu của nhà đầu tư là 10%/năm thì giá trái phiếu Hiện giá của trái phiếu này sẽ là: này được bán trên thị trường là bao nhiêu ? I 1000.12% I 50 V   1.200 V   416, 67  $  kd 10% kd 12% Chú ý: Lãi I = Mệnh giá x lãi suất. Bài giảng Toán cao cấp 1 115 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 116 Nguyễn Văn Tiến ĐG trái phiếu có kỳ hạn, hưởng lãi hàng kỳ Ví dụ I: lãi cố định được hưởng từ trái phiếu • Bạn cần quyết giá của một trái phiếu mệnh giá 1 triệu V: giá của trái phiếu đồng, được hưởng lãi suất 10% trong thời hạn 9 năm i: lãi suất của trái phiếu trong khi nhà đầu tư đòi hỏi tỷ suất lợi nhuận là kd: tỷ suất lợi nhuận yêu cầu của nhà đầu tư 12%/năm. Ta có: M: mệnh giá trên trái phiếu I  1.000.000 10$  100.000 n: số năm cho đến khi đáo hạn 100.000 100.000 100.000  1.000.000 V   2  ...  9  9  I I I I  M  1  0,12 1  0,12 1  0,12  1  0,12 V   2  ...  n 1  n  n 1  i 1  i  1  i  1  i  1  i V  893.800(VND)   Bài giảng Toán cao cấp 1 117 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 118 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Định giá trái phiếu khi phát hành • Giá 893,8 ngàn đồng là giá trị lý thuyết của trái phiếu • Suất sinh lợi của nhà (tức là giá trị ta có được khi áp dụng mô hình định giá) đầu tư cao hơn 2,25% so với lợi suất trái phiếu • Nếu trên thị trường giá trái phiếu cao hơn mức này thì chính phủ cùng kỳ hạn ta nên bán trái phiếu. • Lợi suất trái phiếu chính • Nếu trên thị trường giá trái phiếu thấp hơn mức này phủ kỳ hạn 5 năm vào thì ta nên mua trái phiếu. Giả sử có nhiều người định ngày 20/9/2007: giá và quyết định như bạn thì kết quả là trái phiếu lên 8%/năm giá. Khi đó ta lại bán và kiếm lợi nhuận kỳ vọng. V  1.001.880.000 VND  Bài giảng Toán cao cấp 1 119 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 120 Nguyễn Văn Tiến 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2