zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PPTX | Số trang:103

Báo xấu

650
lượt xem 47
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 5: Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương" cung cấp cho người học các kiến thức: Trị riêng - vector riêng, chéo hóa ma trận vuông, dạng toàn phương (khái niệm cơ bản, đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, luật quán tính, xác định dấu của dạng toàn phương,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương

Ø Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương §2. TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG 2.1. Ma trận đồng dạng  Định nghĩa Hai ma trận vuông A, B cấp n được gọi là đồng dạng với nhau nếu tồn tại ma trận khả nghịch P thỏa: –1 B  P A P . 1 0   1 0     VD 1. A    và B    là đồng dạng với 6  1  0 1  0 1    1 nhau vì có P    khả nghịch thỏa B  P A P . 1 3 1
Ø Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương  Định lý Hai ma trận vuông cùng biểu diễn một PBĐTT (trong hai cơ sở tương ứng) thì đồng dạng với nhau. 2.2. Đa thức đặc trưng  Định nghĩa • Cho A  M n (¡ ). Đa thức bậc n của  : PA ( )  det(A   I n ) được gọi là đa thức đặc trưng (characteristic polynomial) của A và phương trình PA ( )  0 được gọi là phương trình đặc trưng của A . 2
Ø Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương n • Cho PBĐTT f : ¡  ¡ n . Đa thức bậc n của  : Pf ( )  det(A   I n ) được gọi là đa thức đặc trưng của f ( A là ma trận biểu diễn f trong một cơ sở nào đó) và Pf ( )  0 được gọi là phương trình đặc trưng của f . 1 2   VD 2. Cho ma trận A    , ta có:  3 4 1  2 2 PA ( )     5  2. 3 4  3
Ø Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương  Định lý Hai ma trận đồng dạng thì có cùng đa thức đặc trưng. VD 3. Cho PBĐTT f (x ; y ; z )  (x  y ; y  z ; z  x ). Hãy tìm phương trình đặc trưng của f ?  1  1 0     Giải. Gọi A  [f ]E , ta có: A   0 1  1 .    1 0 1  4
Ø Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương 1   1 0 Pf ( )  0  0 1   1  0  1 0 1  3 2     3  3  0. Chú ý Từ đây về sau, ta gọi đa thức (phương trình) đặc trưng chung cho PBĐTT f và ma trận A biểu diễn f . 5
Ø Chương 5. Chéo hóa ma trận Dạng toàn phương 2.3. Trị riêng, vector riêng a) Trị riêng, vector riêng của PBĐTT  Định nghĩa n n Cho PBĐTT f : ¡  ¡ . • Số   ¡ được gọi là trị riêng (eigenvalue) của f nếu tồn tại vector x  ¡ n , x   : f (x )   x (1). • Vector x   thỏa (1) được gọi là vector riêng (eigenvector) của f ứng với trị riêng  . 6
Ø Chương 5. Chéo hóa ma trận Dạng toàn phương VD 4. Cho PBĐTT f (x 1; x 2)  (4x 1  2x 2; x 1  x 2). Xét số   3 và vector x  (2; 1), ta có: f (x )  f (2; 1)  (6; 3)  3(2; 1)   x . Vậy x  (2; 1) là vector riêng ứng với trị riêng   3. 7
Ø Chương 5. Chéo hóa ma trận Dạng toàn phương b) Trị riêng, vector riêng của ma trận  Định nghĩa Cho ma trận vuông A  M n (¡ ). • Số   ¡ được gọi là trị riêng của A nếu tồn tại vector x  ¡ n , x   : A[x ]   [x ] (2). • Vector x   thỏa (2) được gọi là vector riêng của A ứng với trị riêng  . 8
Ø Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương  Định lý • Số thực  là trị riêng của PBĐTT f khi và chỉ khi  là trị riêng của ma trận A biểu diễn f trong một cơ sở B nào đó. • Vector x  ¡ n \ { } là vector riêng của f ứng với  khi và chỉ khi [x ]B là vector riêng của A ứng với  . • Các vector riêng của f (hay A ) ứng với trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính. 9
Ø Chương 5. Chéo hóa ma trận Dạng toàn phương Nhận xét A [x ]   [x ]  (A   I n )[x ]  [ ] (3). Để x   là vector riêng của A thì (3) phải có nghiệm không tầm thường. Suy ra det(A   I n )  0. Vậy  là nghiệm của phương trình đặc trưng.  Phương pháp tìm trị riêng và vector riêng • Bước 1. Giải phương trình đặc trưng A   I  0 để tìm giá trị riêng  . • Bước 2. Giải hệ phương trình (A   I )[x ]  [ ], nghiệm không tầm thường là vector riêng 10 .
Ø Chương 5. Chéo hóa ma trận Dạng toàn phương VD 5. Cho PBĐTT f : ¡ 2  ¡ 2 có ma trận biểu diễn  4  2   là A    . Tìm trị riêng và vector riêng của f ?  1 1  Giải. Phương trình đặc trưng A   I  0 4   2 2   0    5  6  0 1 1    1  2,  2  3 là hai trị riêng của f (hay A ). 11
Ø Chương 5. Chéo hóa ma trận Dạng toàn phương • Ứng với  1  2, ta có: 2  2x  0    1   (A   1I )[x ]  [ ]         1  1 x 2  0  2x  2x  0  x      1 2    1 ,   0.  x 1  x 2  0  x 2   Suy ra vector riêng có dạng  (1; 1) (  0). 12
Ø Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương • Ứng với  2  3, ta có: 1  2 1  2     A   2I       1  2  0 0   (A   2I )[x ]  [ ]  x 1  2x 2  0. Suy ra vector riêng có dạng  (2; 1) (  0). 13
Ø Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương  0 0 1     VD 6. Cho ma trận A   0 1 0.   1 0 0 Tìm trị riêng và vector riêng của A ? Giải. Phương trình đặc trưng:  0 1 2 0 1  0  0  (1  )(  1)  0 1 0    1   1,  2  1 là hai trị riêng của A . 14
Ø Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương •  1   1: 1 0 1 1 0 1       0 1 0 A   1I   0 2 0      1 0 1 0 0 0   x  x  0  (A   1I )[x ]  [ ]   1 3  x 2  0 Suy ra vector riêng có dạng  (1; 0; 1) (  0). 15
Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương •  2  1:  1 0 1   1 0 1        0 0 0 A   2I   0 0 0        1 0  1  0 0 0    (A   2I )[x ]  [ ]  x 1  x 3  0. Suy ra vector riêng có dạng ( ;  ;  ) ( 2   2  0). Ta có: ( ;  ;  )   (1; 0; 1)   (0; 1; 0). Vậy ma trận A có các vector riêng dạng:  (1; 0; 1) (  0) ứng với  1   1;  (1; 0; 1) và  (0; 1; 0) ( ,   0) ứng v 16 ới  2  1.
Ø Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương 2.4. Không gian con riêng  Định lý n n Cho PBĐTT f : ¡  ¡ . Tập hợp tất cả các vector n x  ¡ thỏa f (x )   x ,   ¡ (kể cả vector không) là một không gian con của ¡ n . Ký hiệu là E ( ).  Định nghĩa Không gian con E ( )  x  ¡ n  f (x )   x được gọi là không gian con riêng (eigenvector space) của ¡ n ứng với trị riêng  . 17
Ø Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương Chú ý • Các nghiệm cơ bản đltt của hệ phương trình thuần nhất (A   I )[x ]  [ ] tạo thành 1 cơ sở của E ( ). • Số chiều của không gian con riêng là: dimE ( )  n  r (A   I ). • Nếu  là nghiệm bội k của phương trình đặc trưng thì: dimE ( )  k . 18
Ø Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương VD 7. Xét tiếp VD 6, ta có: • Nghiệm cơ bản của (A   1I )[x ]  [ ] là (1; 0; 1) nên E ( 1)  (1; 0; 1) và dimE ( 1)  1. • E (1)  (1; 0; 1), (0; 1; 0) và dimE (1)  2. 19
Ø Chương 5. Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương 2 4 3      VD 8. Cho ma trận B   4  6  3.    3 3 1  Tìm số chiều của các không gian con riêng ứng với các giá trị riêng của B ? Giải. Phương trình đặc trưng: 2  4 3 B   I  0  4  6   3  0 3 3 1  20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.