Ø Ch ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ươ ậ ạ
ph ngươ
§2. TR RIÊNG Ị– VECTOR RIÊNG
2.1. Ma tr n đng d ngậ ồ ạ
Đnh nghĩaị
Hai ma tr n vuôngậ ,A B c p ấ
n
đc g i là ượ ọ đng dồngạ
v i nhau n u t n t i ma tr n kh ngh ch ớ ế ồ ạ ậ ả ị P th aỏ:
–1
.B P A P
VD 1.
1 0
6 1
A
và
1 0
0 1
B
là đng d ng v iồ ạ ớ
nhau vì có
0 1
1 3
P
kh ngh ch th a ả ị ỏ
1
B P A P
.
1
Ø Ch ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ươ ậ ạ
ph ngươ
Đnh ịlý
Hai ma tr n vuôngậ cùng bi u di n m t PBĐTT (trong ểễộ
hai c s t ng ng) thì đng d ng v i nhau.ơ ở ươ ứ ồ ạ ớ
2.2. Đa th c đc tr ngứ ặ ư
Đnh nghĩaị
• Cho
( )
n
A M¡
. Đa th cứ b c ậ
n
c a ủ
:
( ) det( )
A n
P A I
đc g i là ượ ọ đa th c đc tr ngứ ặ ư (characteristic
polynomial) c a ủ
A
và ph ng trìnhươ
( ) 0
A
P
đc ượ
g i là ọph ng trình đc tr ngươ ặ ư c a ủ
A
. 2
Ø Ch ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ươ ậ ạ
ph ngươ
• Cho PBĐTT
:
n n
f¡ ¡
. Đa th cứ b c ậ
n
c a ủ
:
( ) det( )
f n
P A I
đc g i là ượ ọ đa th c đc tr ngứ ặ ư c aủ
f
(
A
là ma tr n ậ
bi u di n ể ễ
f
trong m t c s nào đó) và ộ ơ ở
( ) 0
f
P
đc g i là ượ ọ ph ng trình đc tr ngươ ặ ư c a ủ
f
.
VD 2. Cho ma tr n ậ
1 2
3 4
A
, ta có:
2
1 2
( ) 5 2
3 4
A
P
.
3
Ø Ch ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ươ ậ ạ
ph ngươ
Đnh lýị
Hai ma tr n đng d ng ậ ồ ạ thì có cùng đa th c đc tr ng.ứ ặ ư
VD 3. Cho PBĐTT
( ; ; ) ( ; ; )f x y z x y y z z x
.
Hãy tìm ph ng trình đc tr ngươ ặ ư c a ủ
f
?
Gi i.ả G i ọ
[ ]
E
A f
, ta có:
1 1 0
0 1 1
1 0 1
A
.
4
Ø Ch ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ươ ậ ạ
ph ngươ
1 1 0
( ) 0 0 1 1 0
1 0 1
f
P
3 2
3 3 0
.
Chú ý
T đây v sau, ta g i đa th c (ph ng trình) đc ừ ề ọ ứ ươ ặ
tr ng chung cho PBĐTTư
f
và ma tr nậ
A
bi u di n ể ễ
f
.
5