Chương 3:
KHÔNG GIAN VECTOR
Ngày 27 tháng 9 năm 2024
1
2
Vectơ n-chiều
Định nghĩa 1.1. Một vectơ n−chiều là một bộ nsố thực có thứ tự
x= (x1, x2, . . . , xn)với xi∈R.
Vectơ không được kí hiệu là 0 = (0,0,...,0).
Định nghĩa 1.2. Cho hai vectơ x= (x1, x2, . . . , xn)và y= (y1, y2, . . . , yn)
x=y⇔xi=yi,∀i
x+y= (x1+y1, x2+y2, . . . , xn+yn)
kx = (kx1, kx2, . . . , kxn)với k∈R
Tổng quát, ta có: ax +by = (ax1+by1, ax2+by2, . . . , axn+byn)
Ví dụ: Cho hai vectơ x= (1,−2,2) và y= (−1,−3,1),ta có:
x+y= (0,−5,3)
−2x= (−2,4,−4)
2x−3y= (2,−4,4) + (3,9,−3) = (5,5,1)
3
Vectơ n-chiều
Tính chất 1.1.
1x+y=y+x
2(x+y) + z=x+ (y+z) = x+y+z
3x+ 0 = x
4x+ (−x) = 0
5k(lx) = (kl)x
6(k+l)x=kx +lx
7k(x+y) = kx +ky
81.x =x
4
Không gian vectơ Định nghĩa - Tích vô hướng
Định nghĩa 2.1 (Không gian vectơ n−chiều). Tập hợp các vectơ
n−chiều xây dựng trên Rđược trang bị 2 phép toán trên được gọi là không
gian vectơ Rn.
Định nghĩa 2.2 (Không gian Euclide n−chiều). Không gian
Euclide Rnlà không gian vectơ Rnđược trang bị thêm một tích vô hướng
của 2 vectơ x= (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn)được định nghĩa:
x.y =x1.y1+x2.y2+··· +xn.yn
Tính chất 2.1. Với mọi vectơ x, y, z ∈Rn, ta có:
i) x.y =y.x
ii) x.x ≥0; x.x = 0 ⇔x= 0
iii) (x+y).z =x.z +y.z
iv) x.(ky) = (kx).y =k(x.y)
5