Bài giảng Toán cao cấp 1

NGUYỄN QUỐC TIẾN

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 1

GIẢNG VIÊN: NGUYỄN QUỐC TIẾN

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÁNG 10/2011

NGUYỄN QUỐC TIẾN

1 CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC

1.1 Giới hạn dãy số

1.1.1 Dãy số Một dãy số thực là một ánh xạ x từ tập các số tự nhiên  đến tập các số thực R . :

   n x n ( ) : 



x n thường được ký hiệu là ( )

nx gọi là số hạng thứ n của dãy. Một dãy số với các số hạng là

)nx

...,

,...

. thường được viết gọn là (

x 1

x 2

x 3

)nx với



1 n

. Khi đó: Ví dụ 1): (

1...,

( 1)n

n ( 1) ,...

x 1

)nx với

 



 

nx  

2): ( . Khi đó:

1.1.2 Giới hạn của dãy số Dãy (xn) được gọi có giới hạn là a nếu:

0 :

n 0

x n

  

n      0



 

)nx

x hội tụ về a. Kí hiệu lim n

a , n   . Nếu dãy

 hoặc



(

Khi đó ta cũng nói dãy (

)nx không hội tụ thì ta nói dãy (

)nx

phân kỳ.

)nx với

x n



 1



Ví dụ Cho dãy số ( . Chứng minh lim 

x n

1  



Ta có

nx gần 1 bao nhiêu cũng được ta đặt:

    1 , 0  

do đó khi muốn

,     



1 1

  



hay

n 0

nx gần 1 bao nhiêu cũng được.



n  

 ). Khi đó



 1  

x n

1      1

thì Chọn ( phần nguyên của

Hay lim 

NGUYỄN QUỐC TIẾN

)nx

hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

1.1.3 Định lí. Nếu dãy (

b a ,





 theo định nghĩa về

a và



 khi n   , chọn

a b  2

Chứng minh. Giả sử

,n n 01

N sao cho:

n n

giới hạn của dãy tồn tại

x n

    

a  2

b  2

và .

max(

)

n 0

n n , 01



n n

a b

x n



 

a  

b        2 2

a b  2

ta có: Đặt . Khi đó với

a b

b .

 

a b  2

), (

)

suy ra . Điều này vô lí. Vậy a

x n

. Nếu

1.1.4 Định lí . Cho ba dãy (



   và lim n N



a 



lim n 

 a



(

)

thì lim n y

n n 0

x n

n   0

    

a  



 nên

lim n 

 2

n n 0

x n

    

a  

    .



a   2 2

do đó Chứng minh. Vì lim 

 a



Vậy lim n y

(

x 0

0x là khoảng số thực có dạng

),  

x , 



0  .

R ,  -lân cận của

Cho

1.2 Giới hạn của hàm số

f x xác định trong một lân cận của ( )

1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số

0x (có thể trừ tại

0x ). Số L được gọi là giới

f x khi x dần đến ( )

0x nếu:

x D

: (0

f x ( )

x 0



) 

      

x  

  





hạn của hàm số

f x ( )

L khi

x .

 hay

x 0

lim ( ) f x x 

f x khi x dần đến ( )

và được kí hiệu

0x còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số

Giới hạn của hàm số

)

x n

f x ( n

  

x   0

L 

:n x 



f x lim ( ) x x  0

như sau:

NGUYỄN QUỐC TIẾN

1.2.2 Giới hạn một phía f x xác định trong khoảng ( ) Cho hàm số

0x ). Số

1L được gọi là giới

]x (có thể trừ tại (

]

f x khi x dần đến ( )

0x (

x ( ,

hạn trái của hàm số )nếu:

] : (0

f x ( )

)

x 0

L 1



( , 



      

x  

  





f x ( )

L khi

x  .

)

f x xác định trong khoảng ( )

hay . Kí hiệu L 1  f x lim ( )  x x 0

0x ). Số

2L được gọi là giới

x  (có thể trừ tại 0[

)

Cho hàm số

f x khi x dần đến ( )

0x (

x  0[ ,

hạn phải của hàm số ) nếu:

[

) : (0

f x ( )

)

x 0

L 2







      

x  

  





f x ( )

L khi

x  .

hay Kí hiệu L 2  f x lim ( )  x x 0

1.2.3 Định lí





x 0

L     L lim ( ) f x x x  0 lim ( ) f x x  lim ( ) f x x 



 5

lim(2 x

1 

f x

( ) - 5

3- 5

x 2 -1

-1

Ví dụ Chứng minh

  

  



  

  2

0 :

f x

( ) 5

Ta có



 5

0,    







   

  . Vậy 

lim(2 x

1 

 2

Chọn = khi đó



lim 2 x 

 2



Ví dụ Chứng minh

0, 4

Ta có











2) 16 

    



  



 2

x ( 4



4 2 x  



24 x x

 2



0, x 2, x 2 Vậy   0,             4  4

1.2.4 Giới hạn vô tận- Giới hạn ở vô cực Cho hàm số

f x xác định trong một lân cận của ( )

f x có giới hạn là ( )

0x . Hàm số

0x trừ tại

0x nếu với mọi

 khi x dần đến

0M  lớn tùy ý tồn tại

0, 0

( )

x 0





x  

  

f x M 

 

x 0

f x lim ( ) x 

. Kí hiệu

0x nếu với mọi

f x có giới hạn là  khi x dần đến ( )

0M  lớn tùy ý tồn tại

0, 0

f x ( )

Hàm số

x 0





x  

  

 

 

x 0

f x lim ( ) x 

. Kí hiệu

0  tùy ý tồn tại

f x được gọi là có giới hạn L khi x dần đến  nếu với mọi ( )

Hàm số

x M

f x ( )

 . L

L 

   



 . Kí hiệu lim ( ) f x



NGUYỄN QUỐC TIẾN

f x được gọi là có giới hạn L khi x dần đến  nếu với mọi ( )

0  tùy ý tồn tại

x M

f x ( )

L 

L 

    



f x  . Kí hiệu lim ( )



Hàm số





 lim 1  x  

  

Ví dụ Chứng minh

  

  





Ta có

x M

    . Chọn x

      



1 x



Khi

x M

     . Chọn



       



1 x



Khi

1.2.5 Định lí f x u x ( ), Cho

( ),

v x xác định trong một lân cận của ( )

0x có thể trừ tại

0x .

f x ( )

v x ( )

u x Nếu ( )



 thì



x 0

u x lim ( ) x 

v x lim ( ) x 

 L

x 0

f x lim ( ) x 

sin

với mọi x thuộc lân cận đó và

 1

lim x



sin

cos

Vidụ Chứng minh

 1



 , mà

x 



 suy ra

lim x 

lim cos x 0 

x   2

Thật vậy ta có bất đẳng thức

i) Nếu

1.2.6 Một số tính chất của giới hạn hàm số  thì giới hạn đó là duy nhất

f x lim ( ) x 

x 0

C C 

lim x x  0

g x

( ),

f x iii) Nếu ( )

0x hoặc ở vô cực thì



 thuộc một lân cận nào đó của

ii) (C : hằng số)



f x lim ( ) x 

g x lim ( ) x x  0

f x ( )

g x ( )

h x

( ),

(nếu các giới hạn này tồn tại).

0x hoặc ở vô cực và



 thuộc một lân cận nào đó của

iv) Nếu

 L

L  

lim ( ) g x x 

f x lim ( ) x 

x 0

h x lim ( ) x x  0

( )

thì

f x g x có giới hạn khi ( ),

x khi đó ta có các kết quả sau :

f x ( )

g x

( ))







f x lim ( ) x 

g x lim ( ) x 

lim ( x x  0

x 0

v) Giả sử các hàm số



kf x lim ( ) x 

f x lim ( ) x 

x o

f x



f x g x lim ( ). ( ) x 

g x lim ( ). lim ( ) x x 



x o

x 0





x 0

lim x x  0

g x lim ( ) x 

f x ( ) g x ( )

NGUYỄN QUỐC TIẾN





x 0

f x lim ( ) x  g x lim ( ) x 

1.3 Vô cùng bé-vô cùng lớn Giả sử ta xét các hàm trong cùng một quá trình, chẳng hạn khi

x . (Những kết quả đạt

được vẫn đúng trong một quá trình khác)

1.3.1 Vô cùng bé.

x nếu

 0

( )x được gọi là một vô cùng bé (VCB) trong quá trình

x lim ( ) x x  0

x tgx

x , 1 cos

Hàm

x  , còn 0



x 2 x

1 2

 

Ví dụ sin , là những VCB khi là VCB khi x  

1.3.2 So sánh hai VCB

x ). Khi đó tốc

( )x và

( )x là hai VCB trong một quá trình nào đó (chẳng hạn khi

Cho

lim

độ tiến về 0 của chúng đôi khi có ý nghĩa quan trọng. Cụ thể ta có các định nghĩa:

 thì ta nói

( )x là VCB bậc cao hơn VCB

( )x trong quá trình đó (

( )x dần

( ) x x ( )

 

Nếu

( )x khi

x )

lim

tới 0 nhanh hơn

( )x và

( )x là hai VCB ngang cấp trong quá trình đó (

( )x và

  thì ta nói

x ( ) x ( )

 

( )x dần tới 0 ngang nhau khi

x .

Nếu

x ( )

1L  ta nói

( )x và

( )x là hai VCB tương đương, kí hiệu là





. Đặc biệt khi

x  0

)

(

)

Ví dụ Một số VCB tương đương cơ bản khi

sin

;

tgx

; arcsin

;

arctgx

;





1 cos 



log (1 a

1 a ln

ax 2



;

)

a ;

-1

a ln ;

-1

;

x 



1  





1 



1 

, (

p a ,

a x n

a x p

...  







a x  1 n

; ln(1

Sinh viên có thể tự kiểm tra các tương đương này (xem như bài tập)

Ví dụ So sánh cấp của các VCB:

x ( )

sin

;

x  0







x tgx 

( ) 1 cos x  

, khi

Ta có:

sin



tgx

sin

x ( )

sin



  



lim x 0 

cos x

cos

x ( )

   1 cos 

 1 cos 

lim x 0 

NGUYỄN QUỐC TIẾN

( )x là VCB cấp cao hơn

( )x

x ( )

Do đó,





( ) 1 cos , x x  



 0

x ( )

1 cos 



Ví dụ So sánh cấp của các VCB:



 0

lim x 

x ( )

lim x 

Ta có:

( )x và

( )x là hai VCB cùng cấp.

x ( )

Do đó,

và

1.3.3 Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao x ( )

x ( )

 1





 1

x ( )



 1

lim



x ( )



 1

i) Nếu trong cùng một quá trình thì trong quá trình ấy

( )x và

( )x là hai VCB trong một quá trình và

( )x có cấp cao hơn

( )x . Khi đó

x ( )

ii) Cho









Từ hai kết quả trên ta suy ra quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao:

( )x và

( )x là hai VCB trong một quá trình nào đó.

( )x và

( )x đều là tổng của

x ( )



Giả sử

x ( )



( )x và

( )x .

bằng giới hạn của tỉ số hai VCB cấp thấp nhất trong nhiều VCB . Khi đó giới hạn của tỉ số

3sin



Ví dụ Tìm các giới hạn sau:

x 3

4 sin 8

lim 0 x 



3sin





x 3

4 sin 8

lim 0 x 



Ta có

lim x 

x   x  

1 3

1 2

1 (1

)

1 (1

)

. 2)

   

1  

   

1  

x  ta có 0

1 3

1 2

Khi ; 3





lim x 

x   x  

tgx

Suy ra . Vậy

lim x 0 

sin  x

x  , ta có:

Khi

tgx

2 khi





 . Do đó

 2

lim x 0 

sin  x

 x

sin  x

tgx

sin





NGUYỄN QUỐC TIẾN

lim 0 x 

sin x 3 x

. 4) Tính

x .

Ta có

sin

tgx

x  0







x sin (1 cos )  cos

1 2 1

1 2

tgx

sin

khi

x  0











3 2

1 2

tgx

sin





khi Do đó

x  0



x sin 3 x

3 2 x

3  khi 2

tgx

sin





Suy ra

lim x x  0

x sin 3 x

3  2

Vậy

1.3.4 Vô cùng lớn.

f x được gọi là một vô cùng lớn (VCL) trong một quá trình nào đó nếu ( )

 

x 0

lim ( ) f x x 

, cot

2, 2

Hàm

x  còn 0

x  là những VCL khi x  

sin

là những VCL khi Ví dụ

1.3.5 So sánh hai VCL

f x và ( )

( )g x là hai VCL trong một quá trình nào đó (chẳng hạn khi

x ). Khi đó

( ) f x

lim

Cho

f x là VCL cấp (bậc) cao hơn ( )

( )g x (theo nghĩa

  thì ta nói

f x tiến tới  ( )

g x ( )

lim

f x và ( )

( )g x ). Nếu

( )g x là hai VCL ngang cấp trong

nếu

  thì ta nói

( ) f x ( ) g x

nhanh hơn

1L  ta nói

( )x và

( )x dần tới  ngang nhau). Đặc biệt khi

( )x và

( )x là

quá trình đó (

x ( )





. hai VCL tương đương, kí hiệu là

f x ( )

g x ( )

x x ;

Ví dụ





 

1) So sánh cấp của các VCL

2 x Ta có x x      lim x  lim x  lim x  ( ) f x ( ) g x  x 2 x      

f x ( )

g x ( )

Do đó f (x) là một VCL có cấp cao hơn g(x)





1  và







 khi x  

2) So sánh cấp của các VCL:

NGUYỄN QUỐC TIẾN



2 2

lim x 

( ) f x g x ( )

 4 x

 2







2 5 x

1 6 x



lim x 

1 4 2







4 6 x

2 7 x

1 8 x

f x ( )

g x ( )

Ta có:





1  và





 là hai VCL cùng cấp



Do đó,

1.3.6 Qui tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

f x và

( )

f x ( )

f x ( ) 1

( )g x là hai VCL trong một quá trình nào đó, (chẳng hạn x   ) và



g x ( )

Cho ,



g x ( ) 1

f x ( )

lim



g x ( )

f x ( ) 1 g x ( ) 1

. Khi đó trong cùng một quá trình ấy

f x và

( )

f x và

( )

Từ đó ta rút ra quy tắc sau:

( )g x là hai VCL trong quá trình nào đó.

( )g x đều là tổng của nhiều

f x ( )

f x và ( )

Giả sử

g x ( )

( )g x .





bằng giới hạn của tỉ số hai VCL cấp cao nhất trong VCL. Khi đó giới hạn của tỉ số



lim x 

 2



Ví dụ

1.4 Hàm số liên tục

f x (

)

1.4.1 Các định nghĩa f x ( )



0x gọi là điểm liên

D nếu



lim ( ) f x x x  0

f x . ( )

được gọi là liên tục tại . Khi đó Hàm số

f x ( )

tục của hàm

f x liên tục tại mọi điểm thuộc ( , )a b ( )



f x ( )

được gọi là liên tục trên ( , )a b nếu Hàm số

0x D nếu



f x (

)

f x (

)

Hàm số được gọi là liên tục bên trái (bên phải)



f x lim ( )  x x 0

f x lim ( )  x x 0

( ).

f x được gọi là liên tục trên [ , ]a b nếu ( )

f x liên tục trên ( , )a b và liên tục bên phải tại a, ( )

Hàm

bên trái tại b.

f x liên tục tại ( )

f x liên tục bên phải và bên trái tại ( )

NGUYỄN QUỐC TIẾN

0x . Nếu

0x D khi và chỉ khi

Nhận xét:

f x có miền xác định là D thì ( )

f x liên tục trên D. Nếu ( )

f x liên tục trên ( )

( ))

( ,

B b f b .

( ))

( ,

[ , ]a b thì đồ thị của nó là một đường nối liền từ điểm

A a f a đến điểm

hàm số sơ cấp

Hình 1.6

1.4.2 Tính chất của hàm số liên tục

( )

f x g x là hai hàm liên tục trên [ , ]a b . Khi đó: ( ),

f x ( )

Giả sử

f x ( )

g x ( )

f x g x liên tục trên [ , ]a b , nếu ( ) ( )



g x  thì ( ) 0

g x ( )

và i) liên tục trên [ , ]a b .

f x liên tục trên [ , ]a b . ( )

ii)

)

f u liên tục tại ( )

0x và

u 0

u x 0(

0x .

f u x liên tục tại 0 ( )



thì hàm iii) Nếu ( )u x liên tục tại

f x liên tục trên [ , ]a b thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất trên đoạn đó. ( )

iv)

Nếu

1.4.3 Điểm gián đoạn f x không liên tục tại ( )

f x gián đoạn tại ( )

0x và điểm

0x gọi là điểm gián

0x D thì ta nói

đoạn.

f x gián đoạn tai ( )

0x nhưng tồn tại giới hạn của f(x) tại

0x được gọi là điểm

x , x  thì 0 0

Hàm

gián đoạn loại 1. Các điểm gián đoạn khác gọi là điểm gián đoạn loại 2.



( ) f x

Ví dụ Xét tính liên tục của hàm

sin 2





1,    

(1)

sin 2

(0)







 . 1

f x lim ( ) x 

lim 0 x 

Ta có

f x gián đoạn tại

x  ,và 0

x  là điểm gián đoạn loại 1



( ) f x

Vậy ( )



 -1





1   

(2)

NGUYỄN QUỐC TIẾN

x  và 0

f x

  1





lim ( ) 1, lim ( ) f x  x 



Hàm số gián đoạn tại

x  là điểm gián đoạn loại 1

f x ( )

nên



x  2

 2



(3) , có điểm gián đoạn tại

  và

 

f x lim ( )  2 x

f x lim ( )  2 x

Ta có

x  là điểm gián đoạn loại 2.

Suy ra

BÀI TẬP CHƯƠNG I

Hàm số Câu 1. Tìm miền xác định của hàm số

arctan

ln 1

)









b) a) ; ds (1; ; ds ( 1;1)

1 e   ; ds (

) ;  

; )  

1 2

1 x

d) c) ; ds (

x  x   sin 2





c) ; ds ( 3;1) 



x

b) Câu 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: 4 a) y 



  2

2 4  e  2

c) d)



e  2

Giới hạn hàm số Câu 1. Tính giới hạn của các dãy số sau:

)

n  

lim n 

lim ( n 

1 2

n   2 1 n 

a) b) ; ds ;ds 1

lim n

n 3 2

 

d) c) ;ds 0  ...   lim n  1 1.2 1 2.3 1 n n .( 1)       

4 7 Câu 2. Tính giới hạn sau: x 2

lim 1 x 



1  4 x 4

x 4

1 x x a) ;ds 1/ 2 b) ;ds 1 lim x  2  x  3 x 

lim a x 

4 3

x x

 a a

lim x 1 x

 

1  1 

x 2 )

d) ;ds 1/6 e) ;ds 2 x 2



lim( x 

f) ; ds : không tồn tại giới hạn

x 2 )



lim(2 x 

g) ;ds 

Câu 3. Tính giới hạn sau:



NGUYỄN QUỐC TIẾN

lim 0 x 

tgx

; ds 1 ; ds 1/4 b) a)

cos 2 2 x sin 3

lim 0 x 

lim x 0 

sin  x

x (1 cos ) 2 x x sin tan sin 3 x x 1)

ln(2

cot

c) ; ds 3/2 ; ds 1/2 d)

x cos )

 Câu 4. Tính giới hạn sau: a) 

lim(s in x 0 

x lim ln  x 0

1) 

; ds 0 ; ds e b)

1 lim x 2( x 1 x 

; ds 0 d) ; ds e c) lim x xe 

lim x 0 

sin x

x 2 x

tan 6 x 9



;ds 1/3 e)

  3  Hàm số liên tục Câu 1. Tìm a để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng.

(



(

1 2 x a



(



a) ; ds 2

      1 cos   x  

(





; ds 1 b)

x x

x ( 0)



a   2  x ln    a ( 

(



sin x

Câu 2. Tìm các điểm gián đoạn của hàm số và chúng thuộc loại nào



x x 2

1 5

 

x   2 x 

(



     

b) a) c) y x x 0 0   0    1 

NGUYỄN QUỐC TIẾN

2 CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2.1 Đạo hàm

2.1.1 Đạo hàm tại một điểm

f x ( )

f x (

)



f x ( )

0x và tại lân cận

0x . Khi đó nếu tỉ số





Cho hàm số xác định tại

f x khả vi tại ( )

f x có đạo hàm tại ( )

0x hay

0x và giới

x thì ta nói

)

f x tại ( )

có giới hạn khi

0x . Ký hiệu là

x hay 0

y x '( 0

f x ( )

)

f x ( 0



x '( )

.Vậy hạn đó được gọi là đạo hàm của





lim x 



x  

x 0

x 0 x 0

   

      

Nếu đặt

f x (

)

f x (

)



lim 0 x  

x    x 

Lúc đó

y  a b ( , )

f x ( ) . Khi đó đạo hàm của hàm số y

f x ( )

'( )

f x hoặc



f x ( )

f x (

)

x '( )

Hàm số x 0 được gọi là có đạo hàm trên khoảng ( , )a b nếu nó có đạo hàm tại mọi f x là một hàm số xác định trên ( , )a b . Cho ( ) trên ( , )a b là điểm nên ký hiệu của đạo hàm của



lim 0 x  

x    x 

f x ( )

Vậy



Ví dụ Xét hàm số

)

(

)

( ) f x

( f x

x  





lim 0 x  

x 

(

)

x    x  )( x x x   

x   

)



x   

lim 0 x  

lim (2 0 x  

x 

x '( )

(

Ta có miền xác định của hàm số là R . Đạo hàm của hàm số trên tập xác định là



) ' 2 



Do đó

2.1.2 Đạo hàm trái, đạo hàm phải

f x (

)

f x tại ( )

 0

0x là:





lim x 0  

x    x



f x (

)

Đạo hàm trái của

f x tại ( )

 0

0x là





lim x 0 

x    x



Đạo hàm phải của

Nhận xét:

)

NGUYỄN QUỐC TIẾN

x  0

0x khi và chỉ khi



)

f x có đạo hàm tại ( )

f x liên tục tại ( )

tại . Khi đó

0x thì

'( x  0 0x .

f x có đạo hàm ( ) x x '(   0 0



f x ( )

. Nếu Hàm số x f 0

x  0

x

Ví dụ Xét tính liên tục và tính có đạo hàm của hàm số tại

)

(0)



0  



Xét tính liên tục:



f x lim ( ) x 

lim x 0 

(0)

0  



lim ( x 0  x lim( ) x 0 

  

Ta có

f x liên tục bên trái và liên tục bên phải tại ( )

f x liên tục tại ( )

x  . Do đó

x  . 0

Suy ra

'(0)

: Xét sự tồn tại

)

( f x

)

(0)

(

(0)

( f x 0



lim 0 x  

x    x 

) x   x 

 '(0 )



1   



lim x 0  



lim x 0  

x  x 

 '(0 )

1  



lim x 0  

    

x  x  x  x 

f x không có đạo hàm tại ( )

Ta có:

x  0

Do đó

x |

x  0

Vậy hàm số ( ) f x liên tục nhưng không có đạo hàm tại

2.1.3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm tại một điểm

)C tại

M x y ( 0

) C ( ) )C tại 0x và phương trình tiếp tuyến của đường cong (

. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến của (

y y -

) : f x ( ) C y  f x tại điểm ( ) f x ) )( - '(

(

x x 0



Cho đường cong ( bằng đạo hàm của M x y là ) , . Minh họa hình 2.1

)

const

' 0 ( 



(

) '

x 

x 

, 



R  



1 





n n x







1 x

(log

) '



1 ln

( ) ' e



Sau đây là bảng các đạo hàm cơ bản

Hình 2.1

(sin ) ' x (cos )' x

 

(

2 tg x

tgx



1  

cos x -sin x 1 2 cos

(cot

) '

(1 cot

2 g x

)

 

  

1 2 sin

NGUYỄN QUỐC TIẾN

2.1.4 Các quy tắc tính đạo hàm

u x và ( )

v x có đạo hàm tại điểm x thì tổng, hiệu, tích, thương của chúng ( )

) '

(

( u v  ) ' ku

' u   ', ku

k R



( . ) ' u v

(

) '

v ,





  ' u v uv   - u v uv 2

Nếu hai hàm cũng có đạo hàm tại điểm x và:

2.1.5 Đạo hàm của hàm hợp

y u ( )

u x

( )



y x '( )

y u u x '( ). '( )

Xét hàm hợp nếu hàm có đạo hàm đối với u và có đạo hàm

 có đạo hàm đối với x và



y u x ( )  y u x ( ) 

 

3 10 )

đối với x thì

y 



Ví dụ Xét hàm số

3 9 ) (1

) '

' 10(1 



 2

10(1

3 9 ) 3

2 x 30 (1

3 9 )







x ( )

x ( ),

Ta có

x ( )

  có đạo hàm với mọi x R . Tính đạo hàm của hàm x ( )

2 



 

x ( )

Ví dụ Giả sử

2 



 

u

khi đó y Đặt

Ta có

y x '( )

y u u x '( )

'( ).







1 x x '( ) 2 ( ) x   x '( ) 2 ( )    2



x '( ) x '( ) u x ( )  

 

2 

x ( )    ( ) ( ) x x



1 x

 1  

  

Ví dụ Tính các đạo hàm của hàm số sau:

ln(1

)





1 x

ln(1

)

Ta có







y y

1 x



Lấy đạo hàm hai vế ta được:

NGUYỄN QUỐC TIẾN

ln(1

)









1 x

  

x      

1   1 

Suy ra

2.1.6 Đạo hàm của hàm ngược

f x

( )

-1( ) y

0x và



có hàm ngược là , nếu y có đạo hàm tại Giả sử hàm số

x y '(

)

-1( ) y

y 0

f x 0(



y x  thì hàm ngược '(



)

y x '( 0

arctgx

f x ( )

và có đạo hàm tại



Ví dụ Tính đạo hàm của

arctgx

tgy

x y

'( ) 1

2 tg y



  

 

y x '( )

. Ta có



2 tg y

x y '( )



Do đó:

Tương tự ta tính được đạo hàm của các hàm số ngược:

(arcsin ) '

; (arccos ) '



 



(

arctgx

) '

; (

arc

cot

) '



 



;

2.1.7 Đạo hàm cấp cao

'( )

f x có đạo hàm ( )

f x được gọi là đạo hàm cấp một của

f x . Hàm số '( )

f x được gọi là đạo hàm cấp hai của

f x . ( ) f x và ký hiệu ( )

''( )

'( ) f x khả vi thì đạo hàm của '( ) x . Vậy x ''( )





x '( ) ' 

f x ( )

f x được gọi là đạo hàm cấp n của ( )

n ( )

(

1) 

x ( )

) ( )

nf (

x vậy

Cho hàm số Nếu f là

f x ( )

Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp 1n  của ký hiệu ( ) ' x  

   Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n của



) x e







 x

x e )



(1  





...

n ( )

(

Ta có



n x e ) 

Chứng minh bằng quy nạp ta đi đến kết quả sau

2.2 Vi phân

2.2.1 Định nghĩa

f x ( )



a b ( , )



xác định trên ( , )a b và , nếu hàm số khả vi tại Cho hàm số

f x ( )

f x (

) -

f x ( )

f x '( )





 



( x o x )   

)

điểm x thì số gia của hàm số tại x có thể viết được dưới dạng

x  .

o x là VCB cấp cao hơn x khi (

với

( )

f x

'( ).

f x tại x . Ký hiệu: ( )

df x hoặc

dy x tức là

NGUYỄN QUỐC TIẾN

x được gọi là vi phân của df x ( )

f x

'( ).



Biểu thức

( ) f x

( ) df x



x  nên '( ) 1



x      từ đó ta có x

df x ( )

f x

'( ).

f x dx '( ).

 ta có f x dx '( ).

Xét hàm



x  



. Để ngắn gọn ta viết

f x x ( ),

t ( )



t f ( ) 



là là các hàm số khả vi, khi đó vi phân hàm Giả sử

f x ( )

(

x x t dt

'( ) '( )

'( )



f  

t ( ) ) ' 

x dx df  thay đổi dù x là biến độc lập hay là x là hàm khả vi theo biến t . Tính chất này

không . Vậy dạng vi phân của hàm

gọi là tính bất biến của dạng vi phân.



x (ln )

Ví dụ Tìm vi phân của hàm



dx x

Áp dụng định nghĩa dạng vi phân ta được

2.2.2 Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng

f x ( )

0x là :



) -

0x . Theo định nghĩa vi phân ta có số gia của hàm tại )

x o x

( )

f x ( 0

Cho hàm

f  

 



 

)

khả vi tại f x f x '( ) ( 0

f x ( 0

x   

x  

Do đó khi x khá bé ta có công thức gần đúng. x '( 0

Ví dụ Tính gần đúng 122



 121 1

Ta thấy 122

f x ( )



)

Xét hàm

f x ( 0

x 0

f x ( 0

x   

x  

121,

suy ra Áp đụng công thức gần đúng

x 0



x   ta được

122





121 0, 0454 11 11, 0454 



2 121

. Chọn x 0 x 0 x    x .   2 1 x 0

Ví dụ Tính gần đúng sin 29o

f x ( )

x sin

sin 29

sin



   6 180

  

  

. Xét hàm Ta thấy

sin(

)

cos

sin

x 0



x  

x   

. x  

 6

 180

Ta có , áp dụng cho ta được

sin 29 sin sin cos . 0, 484         6 180  6  6  180 1   2 3  . 2 180            

NGUYỄN QUỐC TIẾN

2.2.3 Vi phân cấp cao

f x dx '( )

f x ( )



khả vi trên ( , )a b thì

Nếu hàm được gọi là vi phân cấp một df f x , nó là một hàm số của x trên ( , )a b trong đó dx không đổi. Vi phân của vi phân

f x trên ( , )a b ký hiệu: ( )

2d f tức là:

2 d f

d df (

)

d f x dx '( )

[

]

[

f x dx dx

'( )

"( )(

x dx

)



f x ( )

của ( ) cấp một gọi là vi phân cấp hai của hàm



n d f

-1)n ( ) ( )( n

được gọi là vi phân

f x . Ký hiệu ( )

nd f tức là :



n d f

( ) ( )( n

x dx

)

của hàm n x dx ) Một cách tổng quát, vi phân của vi phân cấp ( f cấp n của



f x ( )

Chú ý : Công thức chỉ đúng cho x là biến độc lập.





1 

Ví dụ 4. Xét hàm

dx d f ;

6 (

x dx

2 ) ;

3 d f

3 ) ;

4 d f







0 

Ta có

2.3 Ứng dụng đạo hàm

2.3.1 Định lí ( Quy tắc L’Hospital).

( )

Cho

0x ( 0x hữu hạn hoặc  ).

f x g x  là hai hàm liên tục và khả vi tại lân cận ( ),

Giả sử lim ( ) f x

g x  với mọi x thuộc lân cận 0x . Khi đó nếu



 và '( )

x o



lim ( ) 0 g x x 

x '( )

x o f x ( )

thì



 L

lim x x  o

g x '( )

g x ( )



0 0

 x a 

1 

(

) (dạng Ví dụ Tính lim

a a 



lim a x 

a ax  1

) ' ) '

x a  ( x a 

a a 



Ta có: .

a x  x a 

Vậy lim a 

2.3.2 Định lí .

g x  , với mọi x thuộc lân cận 0x . Khi đó:

f x g x  ( ) ( ), 0   và g x lim ( )  x x  o

x '( )

f x ( )

liên tục và khả vi tại lân cận 0x . Giả sử là hai hàm '( ) Cho f x lim ( ) x x  o

 thì L

 L

lim x x  o

g x '( )

g x ( )

Nếu

)

x Ví dụ Tính lim x e

(dạng  

 0



 . Vậy lim

x x

1 x

lim x 

e

(

) '

Ta có:

x '( )

NGUYỄN QUỐC TIẾN

0x ), nếu

lim x x  0

g x '( )

f x ( )

Chú ý : Khi x tiến tới một quá trình nào đó (chẳng hạn x tiến tới

lim x x  0

g x ( )

không tồn tại thì không kết luận được cho . Nếu áp dụng quy tắc L’Hospital mà giới

0 hoặc  

thì có thể áp dụng quy tắc L’Hospital một lần nữa và hạn vẫn còn dạng vô định 0

tiếp tục cho đến hết dạng vô định.

1 cos  2

lim x 1 

 x





Ví dụ Tính

sin

Áp dụng liên tiếp hai lần quy tắc L’Hospital ta được



lim x 1 

lim 1 x 

lim x 1 

sin    x 2 2

  2

 1

cos      2 2 1





1 cos  2

lim 1 x 

 x

 2





Vậy

lim x 0 

sin



Ví dụ Tính



lim 0 x 

sin

cos



1 cos 

Áp dụng liên tiếp quy tắc L’Hospital ta có:



lim x 0 

sin



, 0.

0 , 0 ,

Vậy

  



 và 1 ta phải đưa các dạng vô định đó về

Đối với các dạng vô định

0 hoặc  

một trong hai dạng 0 sau đó lại áp dụng quy tắc L’Hospital.

x lim .ln  0 x

Ví dụ Tính ( dạng 0. )



 





ln 1

x lim ln x 

lim x 0 



x 1 2

Ta biến đổi để đưa giới hạn về dạng  

-  )



lim x 0 

1 1x 

  

  

(dạng Ví dụ Tính

0 sau đó áp dụng liên tiếp quy tắc L’Hospital





1   x

lim 0 x 

( x e



1  



  

  

Ta biến đổi giới hạn để đưa về dạng 0

NGUYỄN QUỐC TIẾN

-  )





x x ln (dạng Ví dụ Tính  lim x 

(1-

)





ln x

3ln

x .

1 x



0 

lim x 

lim 3 x 

lim x 

lim 6 x 

ln x

6 ln x

1 x

và Ta có:





.1    

x lim 1- x

lim x 







ln x

  

sin

Vậy:

   ( dạng 00)



lim 0 x 

sin

x sin ln

sin

Ví dụ Tính





sin

lim sin ln x 

x sin ln e





lim x 0 

Ta có . Do đó

lim sin ln  0 x

Bây giờ ta đi tính (dạng 0.  )



sin

lim sin ln x 

x x x 0     lim sin ln x  lim 0 x  lim 0 x  lim 0 x  x  2 x x x sin cos  x x x ln 1 sin 1 x cos 2 sin



 1



lim x 0 

)

Vậy



lim (1 x 0 

1)ln

x  

lim ln 

lim (1  0



)

( dạng 1) Ví dụ Tính







lim (1 0 x 

Ta có :

)

 (đã xét ). Vậy





 1



x lim ln x 

lim (1 x 0 

2 xx

mà

lim x 

2 x

ln x

1 x 1

2 x

2 lim x

lim ln 



Ví dụ Tính ( dạng 



 1

lim x 

Ta có

liên tục trên [ , ]a b và có đạo hàm hữu hạn trên ( , )a b , khi đó ta có các

2.3.3 Sự biến thiên của hàm số f x ( ) Cho hàm số



a b ( , )

) (

f x    ) thì trên [ , ]a b hàm

'( ) 0, f x a b ( , )

'( ) 0,

f x

f x luôn tăng (giảm) trên [ , ]a b thì ( ) a b f x ( , ) '( ) 0,   

  

(

kết quả sau : '( ) 0, a b ( , ) Nếu    f x đơn điệu tăng (giảm) ( ) Nếu Việc chứng minh hai kết quả trên dựa vào định nghĩa hàm số tăng (giảm), định nghĩa đạo hàm và định lí Lagrange. Sinh viên tự chứng minh như bài tập.

f x có đạo hàm đồng nhất bằng 0 trên [ , ]a b thì ( )

NGUYỄN QUỐC TIẾN

f x ( )

Từ hai kết quả trên ta có nhận xét : Nếu hàm f x là hàm hằng trên [ , ]a b . ( )

f x đạt giá ( )

liên tục trên [ , ]a b theo tính chất của hàm số liên tục thì

2.3.4 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Cho hàm số



f x ( ) f x trên đoạn [ , ]a b và tính các giá trị cực trị. So sánh các giá trị cực trị với ( )

f x trên đoạn [ , ]a b , số bé ( )

f x trên đoạn [ , ]a b

liên tục trên [ , ]a b như sau :

trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [ , ]a b . Nếu giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đạt được tại một điểm 0x hàm sẽ có cực trị. Từ đó ta có phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất thì tại x a b ( , ) 0 y của một hàm số  Tìm các cực trị của f a f b . Số lớn nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn nhất của ( ) ( ), nhất là giá trị bé nhất của ( )

)

f x trên đoạn [ , ]a b trước tiên ta phải ( ) 0x 0x như vậy gọi là các điểm tới hạn của

x  hoặc không tồn tại đạo hàm, các điểm

Như vậy để tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của

tìm các cực trị của hàm. Định lí Ferma cho phép ta giới hạn việc tìm cực trị tại những điểm mà f '( f x . ( )

Kết quả sau cho ta điều kiện đủ để một điểm tới hạn là cực trị của hàm số

2.3.5 Định lí . f x liên tục trên một lân cận của ( ) Giả sử

0x có đạo hàm trong lân cận đó (có thể trừ

0x ) và

0x là điểm tới hạn của f x . Khi đó : ( ) i) Nếu '( ) f x đổi dấu từ âm sang dương khi f x đạt cực tiểu tại ( ) 0x thì x đi qua '( ) f x đổi dấu từ dương sang âm khi ii) Nếu f x đạt cực đại tại ( ) 0x thì x đi qua f x không đổi dấu khi x đi qua '( ) iii) Nếu f x không đạt cực trị tại ( ) thì

f x ( )

(





Ví dụ Tìm cực trị của hàm số y Miền xác định của hàm số là R



x 5 - 2 3

2  5

, với các điểm tới hạn là : Bảng xét dấu của đạo hàm :

x  và đạt cực tiểu tại

2 x  5

y  a b f ( , ),

''(



a b f ( , ),

)

Ta có hàm số đạt cực đại

liên tục trên [ , ]a b và khả vi liên tục đến cấp hai trên ( , )a b , khi đó: ) f x đạt cực đại tại ( ) f x đạt cực tiểu tại ( )

2.3.6 Định lí . Cho hàm số x i) Nếu tại 0 ii) Nếu tại x 0

( ) f x x '( 0 x 0



x  thì ) 0 x  thì 0 ''(

0  và  và 0 )

f x ( )

)





'( ) 0

'( ) x

trên [-1,1] Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

'( )

f x không xác định tại



  



1 

1 27

1 3

1 3  2 (1

)



Ta có ,

(1)

NGUYỄN QUỐC TIẾN

f x có ba điểm tới hạn ( )

(0) 0, 



f    ( 1)

4 3

so Như vậy trên [-1,1]

f x đạt giá trị lớn nhất là ( )

x  , đạt giá trị nhỏ nhất

3 4

1 3

1 ( ) 3 3 4 3

x   1

tại tại sánh các giá trị ta có

2.3.7 Tính lồi, lõm và điểm uốn của đường cong Giả sử hàm f x khả vi trên khoảng ( , )a b và có đồ thị trên ( , )a b ( ) là cung đường cong (

)C được gọi là lồi trên ( , )a b nếu mọi điểm của

Cung đường cong (

)C được gọi là lõm trên ( , )a b nếu mọi điểm

cung này đều nằm bên dưới tiếp tuyến bất kì của cung. (Hình 2.2)

Hình 2.2 Cung đường cong ( của cung này đều nằm bên trên tiếp tuyến bất kì của cung. Hình 2.3

Điểm phân chia giữa cung lồi và cung lõm kề nhau của một đường cong được gọi là điểm uốn

của đường cong đó Để xét tính lồi , lõm của đường cong ta có định lí sau:

2.3.8 Định lí . ( ) f x khả vi đến cấp hai trên khoảng ( , )a b . Khi đó x

a b ( , )

''( ) 0,

f x lõm trên khoảng ( )

  

''( ) 0,

a b ( , )

thì cung đường cong Hình 2.3

f x lồi trên khoảng đó ( )

0x ) và

0x ( có thể trừ tại f x ( )

(

thì cung đường cong

f x ( 0

x 0

0x khả vi đến cấp hai tại một lân cận của )) 0x thì điểm

Giả sử hàm f i) Nếu đó x ii) Nếu    Từ định lí 2.3 ta suy ra hệ quả sau đây : f x liên tục tại ( ) Giả sử x đổi dấu khi x đi qua ''( ) là điểm uốn của đường cong



;

)

 

'' 4( 



1 2

'' 0

   

''y

2 2 Bảng xét dấu của

(

)

(

)

y e Ví dụ Xét tính lồi lõm và điểm uốn của đường cong Ta có



,  

2 2

(

)

(

), (

)

 . Các điểm uốn là :



2 2

e e

2 2

e e

f x gọi là có nhánh vô cực nếu ( )

x 0

)C của hàm

)

và Như vậy: đường cong lồi trên khoảng , lõm trên các khoảng

2.3.9 Tiệm cận của hàm số Đồ thị của hàm số lim ( ) f x x  đường tiệm cận của đường cong ( M x y ( , cách từ điểm

  . Trong trường hợp đó đường thẳng d được gọi là f x nếu khoảng ( ) đến d dần đến 0 khi M chạy ra vô

C (

Hình 2.4

)C . Hình 2.4

NGUYỄN QUỐC TIẾN

)

 

  thì đường thẳng





f x ( lim ( ) x

f x ); lim ( ) a

tận trên (



 thì đường thẳng y b là tiệm cận ngang của (

ax b

)

(

)C , trong trường hợp này

Nếu lim ( ) f x a x 



 là tiệm cận xiên của (

ax b 



 thì y



a là tiệm cận đứng của ( Nếu lim ( ) f x x  lim ( ) f x  x 

;







lim x 

f x lim ( )  x 

( ) f x x

Nếu

f x ( )

Ví dụ

y  2

x   , tiệm cận ngang



2 - 3 x x 1



1) Đường cong có tiệm cận đứng

x y TXD D : , 0) (2, ( ) 2) Đường cong      x 2  Ta có :

x  2

x : đường cong có tiệm cận đứng   lim  2 x x

a 1



lim x 

( ) f x x

x  x

(



a x 1

b 1









lim x 

f x lim ( )  x 

x x ( 2(

x 2

2) x

 x



x   x 



   

2  3 x : đường cong không có tiệm cận ngang   lim x  2 x 

     x  là một tiệm cận xiên của đường cong khi x  





 

lim x 

lim x 

( ) f x x

x  x



b 2

a x 2





1  







lim ( ) f x  x 

lim x 



   

Vậy

    x   là tiệm cận xiên thứ hai của đường cong khi x  

Vậy



 2 x

Ví dụ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

\ 0  

TXD R 4

  : đường cong có tiệm cận đứng

lim x 0 

  : đường cong không có tiệm

 2 x x  0 x 4  lim 2 x x  cận ngang

Ta có :

NGUYỄN QUỐC TIẾN

4 x 1 a   lim x  lim x  ( ) f x x  3 x



   ' 0 x 2

' 1  

8 3 x

 : đường cong luôn lõm.



24 4 x

4 x 0 b ax x      lim ( ) f x  x  lim x   2 x    đường cong có tiệm cận xiên y    x

 3

4,0)



x  và min Giao điểm của đồ thi với trục hoành ( Vẽ đồ thị

Ta có bảng biến thiên Hàm số đạt cực tiểu tại

sin



x 2

BÀI TẬP CHƯƠNG II Đạo hàm

Câu 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) b)

y y

cos( x 2 x ln(

 

3 ) x  x 3 ) 

x  ; ds 2



1   tại

sin x

5 7 14 x

sin x

x

e

y e) Câu 2.

g) f)

'(1)

f x ( )

 ;ds 2

2, x x x 2

 1,

1 x

. 1



a) Cho Tính

f x ( )

1x  ; ds -2

 2 x x , 2

x m x









        

 4 Câu 3: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau

b) Cho . Tìm m để hàm số có đạo hàm tại

sin



b) a)

1 ax b  x x ln

sin



c) d)

Ứng dụng đạo hàm

Câu 1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau

1 arctan

 





x 2

b) a)



xe



c) d)

2 4 

NGUYỄN QUỐC TIẾN

2 4 



e ; ds y không có cực trị





 e) 3  Câu 2. Tìm cực trị của các hàm số sau a) 1/ b) Câu 3. Tính các giới hạn sau bằng quy tắc L’hospital



; ds y đạt cực tiểu tại 2 sin

lim x 0 

2  sin x

a) b)



lim x 0 

lim  1 x

1 2 x

x ln(cos 2 ) sin 1 ln

x ln

 x  1 sin

  

x ln

sin

c) d)

   x





lim  0 x

   lim 1   0 x

f) e)

NGUYỄN QUỐC TIẾN

3 CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3.1 Tích phân xác định

3.1.1 Định nghĩa.

,a b . Chia 

,...,

x 1



 , mỗi phép chia như vậy gọi là một phân hoạch trên 

,a b thành n phần bất kỳ bởi các ,a b .Trên mỗi

f x xác định trên  ( ) x  2 lấy điểm

iM tùy ý. Khi đó tổng

 x x ,i i



Cho hàm số

 1

1 

(

)

điểm đoạn 

x i

x i , i



f M x  i i

x   i





 1

1 



1 

ix  nếu 0

iM thì giới hạn S gọi là tích phân xác định của

với

f x ứng với phân hoạch trên. Cho số điểm chia n tăng lên ( ) nS dần đến giới hạn S không phụ thuộc vào cách chia đoạn ,a b và ký

f x trên  ( )

f x dx ( )

được gọi là tổng tích phân của hàm vô hạn sao cho max ,a b và cách lấy điểm 



f x dx ( )



max



lim x   i ( n

)

0 

,a b và 

,a b gọi là khoảng lấy tích phân; a là cận

f x là hàm dưới dấu tích phân; x là biến tích phân. Trong trường hợp ( )

( ) f x được gọi là hàm khả tích trên  Khi đó dưới; b là cận trên; b

a ta định nghĩa :

f x dx ( )

:  



hiệu . Vậy theo định nghĩa :

a ta định nghĩa

f x dx  ( )



nếu b

Bây giờ ta xét hình thang cong giới hạn bởi trục Ox ,

a x b

các



 và đường cong

f x  và liên ( ) 0

đường thẳng

,...,

Hình 3.1

x 2

x 1





điểm tục trên [ , ]a b . Chia  ,a b thành n phần bất kỳ bởi các x  , mỗi phép chia như vậy gọi là

iM tùy ý, dựng các hình chữ nhật

x x ,i i



1

f M . Khi đó tổng diện tích các hình chữ nhật (

lấy điểm một phân hoạch trên [ , ]a b . Trên mỗi đoạn 

x i

x   i

 , x i

n 1,

1  và

1 

1 

(

)

có các kích thước



f M x  i i



1 

này là ta thấy rằng nếu phân hoạch đoạn [ , ]a b sao cho n khá lớn,

x i

nS xấp xỉ bằng diện tích hình thang cong. Từ đó ta đi đến định

x   i

 khá bé thì diện tích

1 

NGUYỄN QUỐC TIẾN

nghĩa diện tích hình thang cong như sau:

nS dần đến giới hạn S khi n   thì S được gọi là diện tích hình thang cong. Như vậy diện

Nếu

f x dx ( )



tích hình thang cong nói trên chính là . Đây cũng chính là ý nghĩa hình học của tích

phân xác định. Hình 3.1

3.1.2 Định lí . (Điều kiện tồn tại tích phân xác định)

f x liên tục trên [ , ]a b thì nó khả tích trên đoạn đó ( )

cdx

Nếu hàm



với c là hằng số Vídụ Tính

f x ( )

c liên tục trên [ , ]a b nên khả tích. Ta thành lập tổng tích phân của

c với một

Hàm

(

)

phân hoạch bất kì:

f M x  i i



x   i

c b a ( 





1 

cdx

)



c b a ( 

lim n 



2 x dx

. Khi đó



Ví dụ Tính

Ta có hàm số tính tích phân liên tục trên đoạn [0,1] nên khả tích trên đoạn đó. Ta phân hoạch

M x  i i

1 n

1   thì n

-1

đoạn [0,1] thành n đoạn nhỏ bằng nhau và bằng , chọn

(

x i

x   i



1 

1 n

i n

)

2 x dx



2 M x )   i i



lim n 

i n

1 n

1 3 n



n lim (  n  1 i 

( n n



)



...  



lim n 

 1  1 3

lim (  n  1 i  1 2 lim (1 3 n n 

1)(2 3 6 n

và . Suy ra

3.1.3 Các tính chất của tích phân xác định

( )

f x g x là các hàm khả tích trên  ( ),

,a b khi đó:

)

kf x dx ( )

f x dx ( )

(

const

)





Giả sử

)

[

f x ( )

g x dx ( )]

f x dx ( )

g x dx ( )







 )

iii

f x ( )

g x

( ),

 a b [ , ]

 f x dx ( )

g x dx ( )



x  





)

f x dx ( )

 f x dx ( )

a b ,





 c  







( )

f x dx ( )



v f x khả tích trên  )

,a b và



NGUYỄN QUỐC TIẾN

3.1.4 Nguyên hàm

( )F x được gọi là một nguyên hàm của ( )

f x trên ( , )a b nếu

F x '( )

f x

( ),

a b ,

Hàm



x  





100

( )

1 tg x

tg x là một nguyên hàm của



x 



1 

 2

   

  

trên , sin là một nguyên hàm Ví dụ

( )F x là một nguyên hàm của

f x trên ( , )a b thì mọi nguyên ( )

của cos x …

( )F x C với C là một hằng số. Họ vô số

f x dx ( )

f x ký hiệu ( )

hàm của Có thể chứng minh được: nếu f x trên khoảng đó đều có dạng ( )



( )

f x dx F x C ( ) 





f x là hàm dưới dấu tích phân, ( )

f x dx là biểu thức ( )

. Vậy các nguyên hàm đó được gọi là tích phân bất định của hàm

trong đó dấu  được gọi là dấu tích phân, dưới dấu tích phân và x là biến số tích phân.

f x ( )

f x dx ( )

'   

i  ) 

( )

)

Từ định nghĩa ta có thể rút ra một số tính chất của tích phân bất định:

 C f x dx C f x dx 

f x ( )

f x dx ( )

g x dx ( )

 )

iii







.  g x dx ( ) 



, C là hằng số

Việc chứng minh các tính chất trên xem như bài tập.

3.1.5 Định lí (Công thức Newton–Leibnitz)

( )F x là một nguyên hàm của

f x trên đoạn đó. Khi ( )

f x liên tục trên 

,a b và

Cho hàm số ( )

f x dx F x ( )

( )

F b ( )

F a ( )







đó

f x dx ( )

f u du ( )

...





Nhận xét: Theo công thức Newton–Leibnitz tích phân xác định không phụ thuộc vào ký hiệu của biến dưới dấu tích phân, nghĩa là

NGUYỄN QUỐC TIẾN

2 x dx

Công thức Newton–Leibnitz chỉ ra mối quan hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định của một hàm số. Ap dụng công thức này ta có thể tính tích phân xác định mà không phải dựa vào việc phân hoạch khoảng lấy tích phân.



Ví dụ Tính

f x ( )

x

x 3

x dx 



x 3

1 3



 4

tgxdx

Ta có là một nguyên hàm của theo công thức Newton–Leibnitz



]

ln(cos )x

Ví dụ Tính



 hàm số 4

 4

ln(

)

ln(1)

ln 2

tgxdx

ln(cos ) x

 





2 2



là một nguyên hàm của tgx nên Ta có trên đoạn [0,

Như vậy để tính tích phân xác định bằng cách sử dụng công thức Newton–Leibnitz ta phải tìm được một nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân, sau đây là các phương pháp để tìm nguyên hàm của hàm số đã cho.

kdx



kx C 



1 

x 

x dx 

, (







 







, (









1 

x 

dx x 



1  1  

 

ln |



x C | 

dx x



x a dx

, (









a ln



e 

x e dx 

, (













cos(

)

sin(

ax b C )

, (

ax b dx 







1 a



sin(

)

cos(

ax b C )

, (

ax b dx 

 





1 a



2 tg x dx )





tgx C 

dx 2 cos

x 



Tích phân bất định của một số hàm số cơ bản có được liệt kê như sau:

g x dx )

cot

(1 cot 

 

gx C 

x 

dx 2 sin



arcsin



x C 





arcsin

(











arctgx









arctg

(



















NGUYỄN QUỐC TIẾN











a C 

1 2





2 x dx

arcsin









a dx









a C 







1 sin

x 2



1 ln ( 0) dx a   x a 1 a 2  x a  x a 



tg ax b C a )

, (

(







)

1 a

2 cos (



1 ax b 

, (

(

)

 

cotg ax b C a 





)

2 sin (

1 a



1 ax b 

ax b C a

, (

 







ax b 

ax b

C a , (

x d

 







dx tg C ln   1 cos x x    4 2    

Trong nhiều trường hợp hàm dưới dấu tích phân không đơn giản, không có dạng như những hàm cơ bản nêu trên, ta phải biến đổi hàm dưới dấu tích phân sao cho có thể áp dụng được các tích phân cơ bản. Có hai phương pháp để biến đổi tích phân trong trường hợp này.

NGUYỄN QUỐC TIẾN

3.1.6 Phương pháp đổi biến số

Phương pháp đổi biến trong tích phân bất định có thể chia làm hai dạng

( )t là hàm khả vi và đơn điệu đối với biến t . Ta có:

t ( )

f x dx ( )

t dt

[ ( )] '( ) t  





3 sin x

, trong đó Dạng 1: Đặt



'( ) x t dt

2 3 t dt

Ví dụ Tính



t , x khả vi và đơn điệu với mọi t , suy ra

tdt

3cos



 

t C 

 

x C 



sin 3

2 t 3 sin 2 t



3 sin 

2 1 x dx

Đặt

t sin ,

x arcsin , ( 1

Ví dụ Tính 

x t dt '( )

cos

tdt





  



 2

   

       2 

cos





1 sin 



t cos (cos

)







 

 t 2

 2



. Ta có Đặt

cos

sin 2

2 x dx

tdt





t C 

1 cos 2 t 2

t   2

1 4



2 x dx

arcsin

Suy ra









1 2

   u x ( )

thay



f x dx ( )

f u x u x dx [ ( )] '( )

f u du ( )





trong đó ( )u x là hàm khả vi. Ta có Dạng 2: Đặt



Ví dụ Tính

5 x e dx 2 x e  1 e

'( ) u x dx

x e dx

  



(



1  



1 2

5 x e dx 2 x e 1

du ) 1





4 u du 2 u 1 3

 x

u arctg u

arctg e (

)



 







 u 3

u e 3

. Suy ra Đặt

sin 2 4 cos



Ví dụ Tính

xdx x  4 2 x

du u x dx

xdx

cos

'( )

x 2sin cos



 

 

. Suy ra Đặt

du 2



 

u u

1 4

2 2

xdx sin 2 4 x 4 cos







 

1 4

  cos cos

2 2

x x

 

NGUYỄN QUỐC TIẾN



x x 2  dx Ví dụ Tính I 1  1  1 x

du 2



u 2 2 u

1 2

   1   1

1  1 2



 



arctgu C

ln(



1)  



arctg x

ln(

(

)



1)  



udu 1 2  2 u 2 1 2 1 2

u 1 2 1 2

 xdx , khi đó: Đặt

Áp dụng phương pháp trên khi tính tích phân xác định ta có thể thực hiện như sau:

( )  



 khi t biến thiên

, b

( )  

với Đặt

]  và [ f x dx ( )

t dt '( )



( ( )) t  





2 x dx

trong [ Đối với dạng 1: t ( )t có đạo hàm liên tục trên [ ( ) ]  thì x biến thiên trong [ , ]a b . Khi đó ,







t sin , (0

cos

tdt

Ví dụ Tính



)    

 2

Đặt

   , t

  

t  2

Ta có



sin

2 1 sin .cos

sin

cos

2 x dx

tdt















2 sin 2

(1 cos 4 )

tdt

t dt











1 4

1 8

sin 4 t 4

 16



  

  

Do đó:

u x ( )

Đối với dạng 2:

( )u x đơn điệu, khả vi liên tục trên [ , ]a b và

f x dx trở thành ( )

( )g u du thỏa



u b ( )

f x dx ( )

g u du ( )

( )g u liên tục trên [ ( ), ( )]

u a u b . Khi đó





u a ( )

 2

với Đặt

cos 3

 

sin

 4

Ví dụ Tính

 2

cos

1 sin 

xdx

x dx

cos

NGUYỄN QUỐC TIẾN



x 1



sin

(sin ) x

 4

xdx

sin

cos

)

u , (

Ta có



du  



 . Khi đó ) 1

 ( 4

2 2

 2



1  3

(

5 u du ) 3





u 1



và Đặt

3.1.7 Phương pháp tích phân từng phần

u x v ( ),

v x ( )



vdu





là hai hàm khả vi liên tục trên một khoảng nào đó, khi đó: Nếu



udv 

công thức này gọi là công thức tích phân từng phần, thay vì tính tích phân biểu thức udv ta

đi tính tích phân biểu thức vdu có thể đơn giản hơn.

f x dx ( )

f x ( )

g x h x ( ) ( )





sau bằng phương pháp tích phân từng phần ta cần phân tích

Để tính đó đặt

h x dx ( )

g x ( ) h x dx ( ) u   dv  

'u đơn giản và

 

Việc chọn u và dv ở trên, cần thực hiện sao cho dễ tính.

( )sin

axdx

( ) cos

( )

u P x ( )

Các dạng tích phân sau đây được tính bằng phương pháp tích phân từng phần với cách đặt tương ứng:

P x n

P x e dx : n





xdx

( ) ln

 ( )

cot

( )

( ) arcsin

( ) arccos

xdx

,...:

đặt

P x n

gxdx P x , 

xdx P x 

( )

 P x arctgxdx P x arc  n với

 dv P x dx n

 nP x là đa thức bậc n theo x



2 x e dx

đặt







x 2



Ví dụ Tính



 x 2 e dx



u   

 1 2

   v  2

(

2 x e dx













 2

u x

v x là hai hàm khả vi liên tục trên [ , ]a b . Khi đó ( )

Đặt

udv

vdu







Áp dụng vào tích phân xác định ta tiến hành như sau: Nếu ( ),

Cách đặt u và dv tương tự như trong tích phân bất định.

NGUYỄN QUỐC TIẾN

Ví dụ Tính các tích phân sau:



ln ) i I xdx  

dx x



 dv





u   

     v

 2

ii J )

cos

xdx

 

 2

sin

xdx

ln ln 1) 1 ( I x x dx e e e . Khi đó: Đặt      





 2 0

 

cos

xdx

du v

x e dx x

 sin



u    dv  

  

 2

sinx

xdx

. Đặt . Khi đó:

 

, ta tiếp tục tích phân từng phần Đặt



sin

xdx

du v

x e dx x cos

  

u    dv  

  

 2

cos

xdx

 



 



 2 0





sin

cos









 . Vậy ta được



sin

cos





1 2

e 

(

e 

J  



1 2

1   2

1 2

Đặt

Như vậy ta đã xây dựng khái niệm và chỉ ra cách tính tích phân trong trường hợp các cận lấy tích phân là hữu hạn và hàm lấy tích phân liên tục . Dưới đây chúng ta sẽ mở rộng khái niệm tích phân với trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn và trường hợp hàm dưới dấu tích phân không xác định, ta gọi chung là tích phân suy rộng. 3.2 Tích phân suy rộng

3.2.1 Tích phân suy rộng loại một

)

b a

f x xác định trên [ , ( )

a b a  , khả tích trên mọi đoạn [ , ],

  . Ta định nghĩa



Xét hàm số

f x dx ( )

f x trên [ ,

( )

a  là lim )  





f x dx ( )

. tích phân suy rộng của và ký hiệu:



lim b 



Vậy



f x dx ( )

NGUYỄN QUỐC TIẾN



hội tụ, nếu giới hạn Nếu giới hạn trên là hữu hạn ta nói



f x dx ( )

vô hạn hoặc không tồn tại ta bảo tích phân phân kì.



Về phương diện hình học tích phân suy rộng biểu thị

diện tích hình thang cong vô hạn như hình 3.2 Hình 3.2









lim b 

b 1

dx 2 x

1 x

1 1   b 1



  

  

  



Ví dụ



1 hội tụ và Vậy  dx 2 x dx 2 x





lim b 

dx x







 



ln1 

lim ln  b 

b 1

 lim ln  b  

  



Ví dụ





Vậy phân kỳ dx x



R ) Ví dụ  dx ( x 

1 



Nếu

x dx  



 



lim b 

1   x 1

1   b 1

dx x 







1    

  



Suy ra phân kỳ. dx x

1  thì



phân kỳ Nếu dx x

1 



x dx  



lim b 

1   x 1

dx x 











lim b 

1 b   1





  

  

Nếu



1 .  lim b   1 ( 1 1) b 1         1     



Suy ra hội tụ dx x

NGUYỄN QUỐC TIẾN

, )   f x trên ( ( )

, ]b và ( Tích phân suy rộng của

, ]b là

Tương tự ta cũng định nghĩa tích phân suy rộng với khoảng lấy tích phân là (

f x dx a b , (

( )

)







. f x dx ( ) và ký hiệu lim a 

f x dx ( )



lim a 





, Hình 3.3 Vậy





phân f x dx ( ) f x dx ( ) nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói hội tụ, ngược lại ta bảo tích phân





f x dx ( ) biểu thị diện tích hình thang cong vô kì, về phương diện hình học tích phân suy rộng

f x dx ( )

f x trên (

( )

hạn như hình 3.3

)   là lim



a b

 



Tích phân suy rộng của và được kí hiệu:

f x khả tích trên mọi khoảng [ , ]a b , như vậy ta có thể viết ( )







f x dx ( ) . Với giả thiết

f x dx ( )





c 







f x dx ( )





xe dx

x e dx

Tích phân và f x dx ( ) f x dx ( ) hội tụ cùng hội tụ.  





) 1 

lim a 

lim (1 a 







Ví dụ . Vậy hội tụ.





c 

1 x







(

)

(

)



arctgc arctga 



arctgb arctgc 

lim a 

lim b 

arctgc







    

     2 2 



Ví dụ

Suy ra dx hội tụ. 1   1 x

3.2.2 Định lí (Tiêu chuẩn hội tụ thứ nhất)

( ),

)

a  , khả tích trên mọi khoảng [ , ]a b và

f x g x là hai hàm không âm trên [ , g x ( )

( ) . Khi đó





g x dx ( )

f x dx ( )

Cho f x ( )



i) Nếu hội tụ thì hội tụ



f x dx ( )

g x dx ( )

NGUYỄN QUỐC TIẾN





phân kỳ thì phân kỳ ii) Nếu





1 dx Ví dụ Xét x x 

]



[1,   

1 2 x







1 mà dx Ta thấy: hội tụ suy ra hội tụ x x 



1 1 1

 



Ví dụ Xét





1 1 1

1 x

1 1 1

 



 

Ta có phân kì nên phân kì. , mà

3.2.3 Định lí (Tiêu chuẩn so sánh thứ hai)

f x g x là hai hàm không âm trên [ ,

( ),

( )

)

a  , khả tích trên mọi khoảng [ , ]a b . Khi đó



, 0

Cho

f x dx ( )

g x dx ( )



   thì các tích phân

lim x 

f x ( ) g x ( )



và i) Nếu sẽ cùng hội tụ hoặc



g x dx ( )

f x dx ( )

cùng phân kỳ.

 thì 0

lim x 

f x ( ) g x ( )





g x dx ( )

f x dx ( )

hội tụ suy ra hội tụ ii) Nếu

  thì

lim x 

( ) f x g x ( )



iii) Nếu phân kỳ suy ra phân kỳ



Ví dụ Xét sự hội tụ của các tích phân sau





1 0

i ) dx x 2 x 1  

( ) f x

( )g x

  mà



lim x 

( ) f x ( ) g x

1 2

1 3 x









, . Ta có Đặt chọn hội tụ dx 3 x

dx x 2









Suy ra tích phân hội tụ.





( )g x

f x ( )

5 ii ) dx x 2 x 1  

 . Ta có



 , mà

lim x 

1 x

f x ( ) g x ( )









x 5

phân kì. Suy ra tích , chọn Đặt dx x





)

iii



x x  

phân dx phân kì x 2 x 1  



NGUYỄN QUỐC TIẾN

 

lim x 

1 x



   

   

x x   f x có dấu tùy ý ta có kết quả sau ( )

, mà Ta có dx phân kì nên tích phân đã cho phân kì Trường hợp 1 x

3.2.4 Định lí (Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ)



f x dx ( )





f x dx ( )

hội tụ thì hội tụ. Nếu





Khi đó ta nói hội tụ tuyệt đối còn nếu phân kỳ nhưng hội tụ thì

f x dx ( )





ta nói bán hội tụ.





Ví dụ Xét sự hội tụ của cos 2 x x dx 1 





1 2

cos 2 x

x 1

1 2 x







Ta có nên dx hội tụ, vậy hội tụ tuyệt đối cos 2 x x 1 cos 2 x x dx 1  





Chú ý. Các tích phân f x dx ( ) , f x dx ( ) cũng có những định lý tương tự.

3.2.5 Tích phân suy rộng loại hai

a c

c a c b

f x khả tích trên [ , ], ( )

f x   và lim ( )



  . Khi đó, ta định nghĩa

 b

f x dx ( )

Xét hàm số

f x trên [ , )a b là lim ( )   b

tích phân suy rộng của ký hiệu

f x dx ( )



f x dx ( )

là



hữu hạn thì ta nói hội tụ, ngược lại Nếu lim   b c

f x dx ( )

ta nói tích phân phân kỳ. Về phương diện hình học tích phân suy

 a vẽ 3.4

biểu thị diện tích hình thang cong vô hạn như hình rộng

Hình 3.4

1x  )



1 x

Ví dụ Xét (hàm gián đoạn tại



lim arcsin  1 c 

lim  1 c

c   2



 lim arcsin  1 c 

0



1 x

. Suy ra Ta có :

hội tụ.

c b

c a c b

f x khả tích trên [ , ], ( )

NGUYỄN QUỐC TIẾN



  và , ký f x dx ( )

  . Khi đó, ta định nghĩa tích phân suy rộng của

f x tên ( , ]a b là lim ( )   a

f x dx ( )

lim ( ) f x  a x hiệu là



f x dx ( )

Tương tự như trên ta xét tích phân với



f x dx ( )

hữu hạn thì ta nói hội tụ, ngược lại ta Nếu lim   a c



nói phân kỳ. Về phương diện hình học tích phân suy rộng

biểu thị diện tích hình thang cong vô hạn như hình 3.5

x  ) 0

dx x

Hình 3.5 Ví dụ Xét (gián đoạn tại

ln ) c





 



lim c 0 

lim ( c 0 

1 c

dx x

dx x



  

a b c

, (

( , ))

 lim ln  c 0   f x xác định trên [ , ] \ ( )

. Suy ra Ta có phân kỳ.

a b

  , định nghĩa

f x và lim ( ) c x 

Bây giờ ta xét hàm số

f x trên [ , ]a b là tổng của hai tích phân suy rộng như sau: ( )

f x dx ( )

f x dx c

( )

a b ( , )

: 







tích phân suy rộng của

f x dx ( )



và được gọi là hội tụ nếu

f x dx ( )



 thị diện tích hình thang cong vô hạn như hình 3.6

và cùng hội tụ. Về phương diện hình học tích phân suy rộng biểu

Ví dụ Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng





1) dx 2 x





dx 2 x



1 



Ta có dx 2 x









 



lim 0 c 

dx 2 x

1 c



  

11   c x 

  

  

dx x 2



1 



dx x 

Suy ra phân kỳ, vậy phân kỳ dx 2 x Hình 3.6







dx x



Ta có

2 3





 

lim  1 c 

3 2



dx x



3  lim (  2  1 c  

 1  

2 3







lim  1 c 

3 2



dx x



3  lim 1 (   2  1 c  

  

NGUYỄN QUỐC TIẾN

3     2

3 2



dx x

dx x 



hội tụ và Vậy

f x trên khoảng [ , )a b . ( ) ta

c b

c a , (

)

f x với ( )

f x gián đoạn tại a hoặc ( )

 

Dưới đây là các tiêu chuẩn so sánh cho tích phân suy rộng của hàm

Các trường hợp tích phân suy rộng của cũng có những tiêu chuẩn tương tự.

3.2.6 Định lí (Tiêu chuẩn so sánh thứ nhất)

f x g x là hai hàm không âm,

( )

f x ( )

g x ( )

a c

)



a c b  

( ), mọi khoảng [ , ]a c . Khi đó

g x dx ( )

f x dx ( )

Cho trên [ , ], ( , và khả tích trên



f x dx ( )

g x dx ( )

hội tụ thì hội tụ i) Nếu



ii) Nếu phân kỳ thì phân kỳ.

3.2.7 Định lí (Tiêu chuẩn so sánh thứ hai)

a  , khả )

a c [ , ], (

( ) ( ), f x g x . Khi đó c b )

 

, 0

là hai hàm không âm trên [ , tích trên mọi khoảng Cho a

f x dx ( )

g x dx ( )



   thì các tích phân suy rộng

lim  b x

f x ( ) g x ( )



và i) Nếu sẽ cùng hội

g x dx ( )

f x dx ( )

tụ hoặc cùng phân kỳ.

0  thì

lim  b x

f x ( ) ( ) g x



g x dx ( )

f x dx ( )

ii) Nếu hội tụ suy ra hội tụ

  thì

lim x 

( ) f x g x ( )



( )

phân kỳ suy ra phân kỳ iii) Nếu

f x g x có dấu tùy ý ta có ( ),

Trong trường hợp

3.2.8 Định lí (Sự hội tụ tuyệt đối)

f x dx ( )



hội tụ thì hội tụ. Nếu

f x dx ( )

NGUYỄN QUỐC TIẾN



hội tụ tuyệt đối, còn nếu phân kỳ nhưng hội tụ thì ta Khi đó ta nói

f x dx ( )



nói bán hội tụ.



f x dx ( )

Thông thường đối với tích phân suy rộng dạng này , người ta thường so sánh với các tích phân sau:

(



dx x a  )

dx b x  )



f x dx ( )

a thì

nếu gián đoạn tại a và gián đoạn tại nếu gián đoạn tại b . Nếu







, tích phân ban đầu hội tụ nếu hai tích phân sau đồng

thời hội tụ.

dx  1 ln

f x ( )

g x ( )

Ví dụ Xét sự hội tụ

1x 



 , 0





1 ln



f x ( )

(

, Ta có



 (quy tắc L’hospital)



lim  1 x 

g x ( )

 x ln

Suy ra

1  ) do đó

dx  1 ln

1 x 

mà phân kỳ phân kỳ (



dx 1x e 

( ) f x

( ) g x

Ví dụ Xét sự hội tụ







x  

1 x

1 2

1 1x 

(



f x ( )

Ta có . Chọn



   ). Do đó 1



lim x 0 

g x ( )



1 2

x 1x 

dx 1x e 

mà hội tụ hội tụ (

3.3 Ứng dụng tích phân

3.3.1 Tính diện tích hình phẳng ( ) f x  trên [ , ]a b . Khi đó diện tích hình thang cong giới hạn ( ) 0 f x liên tục và Cho hàm số f x và hai đường thẳng ( ) bởi đường cong

 và trục Ox là



a x b b

f x dx ( )

 

f x và

( )

f x liên tục [ , ]a b thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong ( )

f x dx ( ) |

a x b

Hàm số



 và trục Ox là

 

hai đường thẳng

f x và ( )

( )g x liên tục trên [ , ]a b và hai

NGUYỄN QUỐC TIẾN

f x ( )

g x dx ( ) |

a x b







 cho bởi công thức sau

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong b đường thẳng

x t ( ),

y t ( ),

x t '( )

 a x   y 

]

là các hàm liên Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số với x t ( ) y t ( )

t [ , 1



a x b 

. Khi đó diện tích phẳng giới hạn bởi đường cong và các đường thẳng

y t x t dt ( ) '( ) |

x t (

)

tục trên và trục Ox cho bởi công thức :

x t ( ), 1



 

t 1

với

Trong quá trình tính diện tích hình phẳng ta nên chú ý đến tính chất đối xứng của hình

phẳng để việc tính diện tích đơn giản hơn.

Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đườn

x 2

y 

x

x 2

, và .

[0, 2]

[2, 4]

Để tính diện tích này ta chia nó làm hai phần, phần thứ nhất ứng với

x 

(

dx )

S 1







x 2

x 6

4 3



phần thứ hai ứng với



 . Hình 3.7

 2

Hình 3.7 Diện tích hình phẳng đã cho là



 1

x a

S 1 y b

Ví dụ tính diện tích hình elip

f x dx ( )





x a



2 x dx







Đường elip chính tắc đối xứng qua các trục tọa độ nên diện tích là :

b a 4  4 a

Hình 3.8

 b 4  a ab

. Hình 3.8

(Hình 3.9)

 

t  2

2 

t a (1 cos ) (1 cos )

t dt







2 

(1 2cos

cos

t dt )









t sin ) a t (  t (1 cos ) a  . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường t  2   Vậy S Ví dụ Cho phương trình tham số của đường cycloid: x    y   Với 0 cycloid với trục hoành trên 0

Hình 3.9

2 



[(

]

2 2sin ) |  0





t 1 cos 2 2

 

NGUYỄN QUỐC TIẾN

(

]

2 sin 2 ) |  0



  









] 3 



1 2

3.3.2 Tính thể tích vật thể Cho một vật thể giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt

(

a x b a b





( )S x ,

) phẳng thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại x là là một

. Giả sử diện tích thiết diện của vật ( )S x

hàm liên tục trên đoạn [ , ]a b . Khi đó thể tích vật thể được tính

S x dx ( )

1 



y b

z c

.( Hình 3.10) như bằng công thức Hình 3.10

  a Ví dụ Tính thể tích vật thể giới hạn bởi elipsoid x a Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ là x thiết diện nhận





x    a

z c

(

)

(

)



x a

được là một elip có phương trình y b

S x ( )

)





x a x a

. Diện tích của elip này là :

S x dx ( )

dx )

(

2 x dx )



 







x a

bc 2  2 a





Thể tích của vật thể là

(

)

(

)

2 a x











a 3

abc 4  3

bc 2  2 a

x 3 Trường hợp vật thể tròn xoay ta có :

Hình 3.11 . Hình 3.11

f x liên ( ) a x b , 



S x ( )

Cho hình thang cong giới hạn bởi đường cong x

x f ( )

tục trên đoạn [ , ]a b , trục Ox và hai đường thẳng xoay quanh trục Ox . Khi đó ta thu được một vật thể tròn xoay. Các thiết diện vuông góc với trục Ox tại điểm x đều là f x , diện ( ) các hình tròn có tâm nằm trên Ox với bán kính là . Vậy thể tích vật tích của các thiết diện này là

2 ( )

x dx

 

. Hình 3.12 thể tròn xoay là : Hình 3.12



 khi nó quay quanh trục Ox

x a

y b

Ví dụ Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi elip

(

)

x ( )

NGUYỄN QUỐC TIẾN





b a a

(

2 ) x dx

( ) x dx







b a





(

)

2 ) x dx

2 a x

2 













x 3

4 3

b a



Ta có . Theo công thức ta có

Hình 3.13

f x có đạo hàm liên tục trên [ , ]a b . ( )

3.3.3 Tính độ dài cung Cho cung đường cong AB có phương trình



f x ( ) b

x '( )]

1 [ 





t ( ) ( ) , t

t 1

t  

. Hình 3.13 Khi đó độ dài cung AB được tính theo công thức :

t ( ),

t ( )

]

x   y   Trong đó

Trường hợp cung đường cong AB cho bởi phương trình tham số :  

t [ , 1

  là các hàm số có đạo hàm liên tục

t  

t 2

. Độ dài cung AB được tính

' 2 t

' 2 y dt t







t 1

, 0

theo công thức :



  x 1

x 2

Ví dụ Tính độ dài cung

2 x '( )]



1 [ 







[

ln(

)]







( 2 ln 2) 

1 2

Ta có b

Hình 3.14

2 

t (1 cos )

sin

t dt

sin

' 2 t

' 2 y dt t













t 2



t 1

, 0 . Theo công thức ta có t   2  x y sin ) ( t a t t a (1 cos )   Ví dụ Tính độ dài cung của đường cycloid: (Hình 3.14)      t

3.3.4 Diện tích mặt tròn xoay

f x

( ) 1

2 ' ( )

x dx

2 





Xét mặt tròn xoay sinh ra do cung AB là biểu diễn của hàm f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [ , ]a b quay xung quanh ( ) 0 trục Ox . Hình 3.15. Diện tích mặt tròn xoay này tính theo công thức :

( ), y t a t

( ), x t y

  thì diện tích mặt tròn xoay được tính



Trường hợp cung AB ở trên cho bởi phương trình tham số x Hình 3.15

y t ( )

[

x t

2 '( )]

[

y t

2 '( )]

2 





NGUYỄN QUỐC TIẾN

t (1 cos )

a t (

t y









t  2

 

sin ), quay quanh Ox . Theo công thức trên diện tích cần tính là :

2 

t (1 cos )

sin

t dt







2 



2 

sin

8 



t 2

a  3



khi , 0 Ví dụ Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung

BÀI TẬP CHƯƠNG III Tích phân bất định

sin

Câu 1: Tính các tích phân sau:

ln(cos + cos x



 C





cos

xdx 2 x 

; ds a)





b) ; ds cos(ln )x C 

4  

  C

c) ; ds ln

4 sin(ln )x dx x dx 2 x 8 6 x  2 )x dx (2 3cot 

5x 

 x C

d) ; ds 3cot

2xe

  I

C  



e x

e) ; ds ln

ln tan



2 tan 

 x C

2 2 x 2



ln 1

f) ; ds dx x



1 2



g) ; ds

ln(

)



C 



 e  1 tan  2 tan  x x 3  2 x 2   x e dx 2 e

x arctgx dx .

ln xdx

; ds h) 1

xdx

cos

. 2

 

x arctgx dx . x

,A B C sao cho

f x ( )

d) c)





(

C x

1  3 1) 



f x dx ( )

Câu 3. Cho hàm số . Xác định rồi Câu 2. Tính các tích phân sau a)   x 2 ( x



tính .

cos

Câu 3. Tính các đạo hàm

f x ( )

cos(

2 t dt )

2 t dt

f x ( )





 

sin

b) a)

 0 Tích phân xác định Câu 1: Tính tích phân sau:

 

a) ; ds 1 b) xdx I ln ; ds 1/ ln 2  

NGUYỄN QUỐC TIẾN



 4

2 2

x cos(arctan ) x



 2

; ds I d) ; ds c)  x x ) dx (1 ln 







x Câu 2: Tính tích phân sau:

 2

e) ; ds 2( 2 1)

x xe dx

cos

xdx

(

ee e  1)

 

1 1



a) b) ; ds I  



2 x dx 





x x d) c) I x cos I dx  arcsin 2   1 x 



Tích phân suy rộng Câu 1. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau:

xdx x 2





 x ln(

 dx 1)

a) b) ; ds  ; ds  x

 2



; ds c) d) ; ds phân kỳ  x dx  1 5 2 dx  0 1 x



 0 1 2

a) b) ; ds ; ds 2 Câu 2. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau: 4  3 1

sin



dx x dx x

1 ln

d) c) ; ds phân kỳ ; ds hội tụ xdx x  xdx 1x 

Ứng dụng tích phân

Câu 1. Tính diên tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

2 ,

x x





4   ; ds 1/6

4 3

a) ; ds b)

Câu 2. Tính thể tích các vật thể cho bởi:





 xoay quanh trục Ox ; ds



16 15





 xoay quanh trục Oy ; ds

1 2

4(3 2

nằm giữa các giao điểm của nó với trục tung.

 2

 x

 nằm giữa các giao điểm của nó với trục hoành.

Câu 3.Tìm độ dài của đường cong 2 ) a) b)

NGUYỄN QUỐC TIẾN

4 CHƯƠNG IV. LÝ THUYẾT CHUỖI 4.1 Chuỗi số

,...,

...

Ta gọi tổng vô hạn là một chuỗi số, ký

4.1.1 Các định nghĩa Cho dãy số vô hạn

a 1

a n

...n

a a , 1



...  



hiệu là

na được gọi là số hạng tổng quát của

a  n n 1  a a a , ,... ,... 1 2 chuỗi. n

a i

  được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số .

1 



a n

được gọi là các số hạng của chuỗi số,

 thì ta nói chuỗi



 hội tụ và S gọi là tổng của chuỗi, ký

1 



Nếu tồn tại hữu hạn lim n S

a n

 phân kỳ.

1 

hiệu

  . Ngược lại, ta nói chuỗi Ví dụ Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:



n 1

1 1 ... 1 ...

    



1 



1 1 ... 1

     nên lim n S

  hay chuỗi



 phân kỳ

1 



...







1 

1 1 ...       

1 

 1 n  Ta có

Ta có

nS  với n chẵn và

S nS   với n lẻ suy ra lim n





không xác định do đó chuỗi

1 n 

 

1 











1 





phân kỳ.



1  1



Đây là cấp số nhân vô hạn với công bội là q nên

q  thì chuỗi phân kỳ như đã xét ở trên. a

Nếu

q  thì 1

 ). Do đó chuỗi hội tụ.





lim n 

q 1



 n

Nếu (vì lim n 

q  thì 1

  ). Do đó chuỗi phân kỳ.





 

lim n 

q 1



     

     



Nếu (vì lim n q n 

q  , phân kỳ khi

q  . 1









1 

Vậy chuỗi số hội tụ khi

NGUYỄN QUỐC TIẾN

4.1.2 Định lí (Điều kiện cần của chuỗi số hội tụ)



a n

0 



 hội tụ thì lim

1 



a n

 thì chuỗi

Nếu chuỗi

 phân kỳ.

1 



Từ định lí có thể suy ra: nếu lim 

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

n  1 3 n  nên chuỗi đã cho phân kỳ. 0

a n



lim n 

n n 3

1   3





Ta có

  



Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi





1 



  

1  

1  

Ta có











1  





1  

a n







lim n 

1  

  

  

Suy ra nên chuỗi đã cho phân kỳ.

4.1.3 Các tính chất của chuỗi số hội tụ



a n

ca n

 hội tụ và có tổng là S thì chuỗi

 ( c : hằng số) cũng hội tụ và có

1 



i) Nếu chuỗi

ca  n

 ). a n

1 



1  



tổng là cS (nghĩa là

b n

,S S thì chuỗi 1



a  

  hội tụ và có tổng lần lượt là

1 



ii) Nếu chuỗi cũng hội

b n

a n

S 1





S







  b  n

1 



tụ và tổng là . Tức là:

a n

a n k 

 hội tụ thì

 cũng hội tụ và ngược lại. Tức là tính hội tụ của chuỗi không

1 

iii) Nếu

1 



thay đổi khi ta thêm vào hoặc bớt ra một số hữu hạn các số hạng.

n 3 2 



 n 4

1 



Ví dụ Tính tổng (nếu có) của chuỗi





n 3 2 



 n 4



1      2 

1  3 3   16 4 

  

   

1 1     16 2    n



Ta có . Vì chuỗi hội tụ có tổng là



S 



1 2





3      4 

. và chuỗi hội tụ có tổng là

S 



1 16

3 16

3 4 7  . 8

Suy ra chuỗi đã cho hội tụ và có tổng là

NGUYỄN QUỐC TIẾN

4.2 Chuỗi số dương



na được gọi là chuỗi số dương nếu

0,   .

1n

Chuỗi 

Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương ta có các tiêu chuẩn sau:

4.2.1 Định lí (Tiêu chuẩn so sánh 1)



,n a

b n

0n sao cho

  . Nếu tồn tại số nguyên dương

1 

Cho hai chuỗi dương

b n

n 0

,   



b n

thì:

a n

 hội tụ suy ra chuỗi

 hội tụ

1 



b n

i) chuỗi

a n

 phân kỳ

 phân kỳ suy ra chuỗi

1 



ii) chuỗi

1 .3n n



Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi



1   và

1 n 3

 1 3n

1 .3n n

1 n n .3

 hội tụ theo định lý trên chuỗi





Ta có hội tụ.



Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

n    . Do

1 n

1 3 n

1  3 n 1  phân kỳ ( tự chứng minh) suy ra n n 1

 phân kỳ.



Ta có



Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

 . Do



1 n ln

1 n

1  phân kỳ. n ln

Ta có:

1  ln n 1  phân kỳ suy ra n n 1 4.2.2 Định lí (Tiêu chuẩn so sánh 2)



a ,n

b n

 . Khi đó:

a   . Giả sử tồn tại lim n b n

1 



b n

Cho hai chuỗi dương

a n

k  thì chuỗi

 hội tụ suy ra

 hội tụ

1 



b n

a n

i) nếu

 phân kỳ suy ra

 phân kỳ

1 



b n

ii) nếu k   thì chuỗi

k   thì hai chuỗi

 có cùng tính chất .

a  và n

1 

iii) nếu 0



)

NGUYỄN QUỐC TIẾN

ln(1 

1 n

1 



)

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

ln(1

)

, n





 

ln(1 

1 n

1  phân kỳ nên n n 1 

1 



sin

. Mà Ta có phân kỳ



 2n

1 



sin

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi





 



 n 2

1 2

 2n

   n 2 2

1 

  

  

. Mà Vì sin hội tụ nên hội tụ.

4.2.3 Định lí (Tiêu chuẩn D’Alembert)



1 

a n

1D  thì chuỗi hội



 . Giả sử tồn tại

a lim n a x 

1 

. Khi đó nếu Cho chuỗi số dương

1D  thì chuỗi phân kỳ.

tụ, nếu

n n 0

1D  thì chưa có kết luận nhưng nếu tồn tại

n  sao cho

a n a

1 1,     n

Nếu thì chuỗi



phân kỳ.

1 

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

0 1



 

lim n 

10  n ! n ! n 1)!10

10 n (

10 n 1

a n a n





Ta có . Vậy chuỗi hội tụ.

1 

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi





lim n 

n !  n n n n

n ( n

1 e

(

a n a n

1)!  1 n 1)  



  

  

)



1 1 n

Ta có



Vậy chuỗi hội tụ.

1 

(

1 

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi



lim n 

e (

!n e n  n n n n 1)!  n 1 n 1) e n 

e e

a n a n



  

  

)



e 1 n

Ta có





1 n

  

  

là dãy số tăng và hội tụ về số e nên Hơn nữa dãy số





0  

  

1 n

a n 1     . Vậy chuỗi đã cho phân kỳ. a n

  

  



e 1 n

  

  

hay

NGUYỄN QUỐC TIẾN

4.2.4 Định lí. (Tiêu chuẩn Cauchy)



a n

1D  thì chuỗi hội



 . Giả sử tồn tại lim n

D Cho chuỗi số dương . Khi đó nếu a n 

1D  thì chuỗi phân kỳ.

tụ, nếu

n n 0

1D  thì chưa có kết luận nhưng nếu tồn tại

  

n  sao cho

thì chuỗi



Nếu phân kỳ.



n 2 n 3

1 2

1 

 

  

  

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

a n



lim n 

n 2 n 3

1 2

n 2 n 3

1 2

2   3

 

  

  

1 



Ta có . Vậy chuỗi đã cho hội tụ

1 5

1 

3 n     n 2 

  

1 



1 n

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

a n





lim n 

9 4

1 5

1 2

3 n 2 n

2 n 3 n

 

  

  

  

  

2 n 3 n 2 n 3 n

1  2  1  2 

     

    1/   

Ta có

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.

4.2.5 Định lí. (Tiêu chuẩn tích phân)



f n ( )

f x

( )





1 



Cho hàm số liên tục, không âm và giảm trên [1,+ ) . Khi đó chuỗi số





f x dx ( ) cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. và tích phân suy rộng

1  (chuỗi Riemann). n n 1



Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

1  ; phân kỳ khi

1  và

1 x





1  ; phân kỳ khi

1  .

hội tụ khi Ta đã biết liên tục, không âm và giảm



trên [1,+ ) . Do đó

1  hội tụ khi n n 1 1 ln

 n n 1



Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

1 ln

1 lnx





với Xét tích phân suy rộng giảm và liên tục trong [2,+ ) . Ta có

ln 2)





 

lim b 

lim (ln b 

1 ln



NGUYỄN QUỐC TIẾN

Vậy tích phân suy rộng phân kỳ do đó chuỗi đã cho phân kỳ.

4.3 Chuỗi có dấu bất kỳ

4.3.1 Định lí. (Chuỗi hội tụ tuyệt đối)



a n

a a ,n n





1 

 hội tụ thì chuỗi

 đã cho cũng hội

. Nếu chuỗi số Cho chuỗi số



tụ.

a n

 ở định lý trên được gọi là hội tụ tuyệt đối. Nếu chuỗi

 phân kỳ mà



Khi đó chuỗi

a n

 hội tụ thì chuỗi



 gọi là bán hội tụ. n

chuỗi

cos 2 n





Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

1 n 2

cos 2 n

1  hội tụ (theo định lý so sánh) nên chuỗi 2 n n 1





cos 2 n n

Ta có và hội tụ suy ra

cos 2 n





hội tụ tuyệt đối.

a n

 phân kỳ thì chuỗi



Chú ý: Nếu chuỗi

a n

 chưa chắc phân kỳ. Tuy nhiên, nếu dùng  cũng phân

 phân kỳ thì chuỗi

tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy để có chuỗi



kỳ.

( 2)n  3 n



1 

1 



1 

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi

2 1



 

lim n 

 

n n 2

( 2)  3 n

2 n

( 2)n  3 n

(



1 

2 n 

1 

a n a n 

nên . Ta có Xét chuỗi

( 2)n  3 n



1 



( 1)n

1 a

phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert. Suy ra phân kỳ.

a n

n    . Ta



1 

Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng hoặc với

có kết quả sau về sự hội tụ của chuỗi dan dấu

4.3.2 Định lý (Leibnitz )



,...,

,...

( 1)n

1 a

a n

a a , 1 2



1 

giảm hoặc . Nếu dãy số dương Cho chuỗi đan dấu

a 1

S  

n và dần tới 0 khi n   thì chuỗi đan dấu hội tụ. Gọi S là tổng của chuỗi này thì

1 



...

NGUYỄN QUỐC TIẾN



( 1)  n

1 1      2 3



1 

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi số

1 



Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu, các số hạng giảm dần tới 0 khi n   nên chuỗi này hội tụ.



( 1)  n

1 n



 phân kỳ. Vậy chuỗi đã cho bán hội tụ.

1 

Hơn nữa chuỗi

4.4 Chuỗi hàm

4.4.1 Các định nghĩa

( ),...,

( ),...

( ), a x a x 1

a x n



Cho dãy các hàm số cùng xác định trên miền D . Khi đó tổng

xa ( ) n





)

được gọi là chuỗi hàm.

xa ( ) n

xa ( n

0x D nếu chuỗi số





 hợp tất cả các điểm tại đó chuỗi

Chuỗi hàm được gọi là hội tụ tại hội tụ. Tập

xa ( ) n



hội tụ được gọi là miền hội tụ của chuỗi đó.



Có một số chuỗi hàm mà ta có thể tìm được miền hội tụ của nó bằng cách sử dụng các định lý ở phần trước.

1x  nên miền hội tụ của chuỗi hàm này là

1  hội tụ khi và chỉ khi x n n 1

(1,+ ) .



Ví dụ Chuỗi hàm

Ví dụ Tìm miền hội tụ của chuỗi

x  x  nên miền hội tụ của chuỗi này là (-1,1)

Chuỗi này hội tụ khi và chỉ khi

Sau đây ta xét một loại chuỗi hàm thông dụng nhất là chuỗi lũy thừa.

4.4.2 Chuỗi luỹ thừa



)

(1)

(2)

x 0

xa n

a ( x  n

1 



. hoặc Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng

x 0

x  

Bằng cách đặt chuỗi (1) thành chuỗi (2). Vậy ta chỉ cần khảo sát chuỗi (2).

4.4.3 Định lý (Abel)



xa n

x

 thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm

 hội tụ tại

)

Nếu chuỗi luỹ thừa

x 0





xa n

x

 thì chuỗi phân kỳ

 phân kỳ tại

(

)

(

Từ định lí trên suy ra: nếu chuỗi luỹ thừa

x 0

  



 . )

tại mọi

NGUYỄN QUỐC TIẾN

4.4.4 Bán kính hội tụ



(

r r , )

xa n

  

r  sao cho chuỗi hội tụ

 . Nếu tồn tại số

(

)

n 1 r ( ,

và Cho chuỗi lũy thừa

phân kỳ

      thì r được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi. r  . 0

r  như trên ta nói bán kính hội tụ của chuỗi là

Nếu không tồn tại số

r x ,

 

 . Sau đây là phương pháp tìm bán kính hội tụ.

Như vậy, để tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa ta tìm bán kính hội tụ r , rồi khảo sát sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút

4.4.5 Định lý



1 

a n



xa  n

a lim n a n  n được xác định như sau:

thì bán kính hội tụ r của chuỗi luỹ thừa Nếu hoặc lim n n 

D , 0   

r D  D ,   0 



1   D  0,    

x  n

1 

Ví dụ Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi

1r 



n . 1 1

a lim n a n  n





Ta có suy ra

x   ta có chuỗi

( 1)n  n



1 



Tại là chuỗi đan dấu có các số hạng giảm và dần về 0 nên

[1,1)

1x  ta có chuỗi

D 

1  là chuỗi phân kỳ. Vậy miền hội tụ là n n 1

. chuỗi hội tụ. Tại

BÀI TẬP CHƯƠNG IV

Câu 1. Tìm tổng của các chuỗi sau

...





... 







... 



1  !1

1 !2

1 !3

1 n !

1  !1

1 !2

1 !3

1 n !

...

2ln

...

b) a)













1 2

1 3

1 4

1 n

1 2

1 4

1 8

1 n 2

...

c) d)











1 2

1 4

1 8

2 3

1 3

1 5

1 7

1 n

 4

1 n 2



...

e) f)



... 





1 21 

1 32 

1 43 

1 ( nn 



NGUYỄN QUỐC TIẾN



... 

... 

1 2

1 2()1

1 31 

1 53 

1 75 





...



... 





(

3 4

1 31 

1 42 

1 53 

1 ()1 



...



... 







1 13 11

1 4()1

1 2

 8

1 53 

1 97 







)1 Câu 2. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau :



1  

a) ; ds 2 b)

2      3  

1 

3 n  ; ds  1  n n n ( 1 



 ; ds phân kỳ



n 3

1 



3 n



c) ; ds 1 d) ; ds phân kỳ 1) 1 n n ( n e) f) ; ds hội tụ  n  3 n



n n

2 n 2 n 3

1 

1   2  



g) h) ; ds hội tụ



 ; ds hội tụ 4 ( !) n n (2 )!

1 

k) l) ; ds bán hội tụ ; ds phân kỳ

   ( 1)   n n n ln 1  Câu 3. Bán kính hội tụ của các chuỗi sau:





n 3

x n n .3

1 

x  ; ds 2 1 2 

x  1 2 

1 



a) ; ds 3 b) ; ds 3 c) d) ; ds 1 x 2 1 n 

e e ; )



x n



1 



1 

( 1)

a) b) ; ds ( ; ds ( 1;1)

(







x n

1 1

1 



  

c) c) ; ds ( 1;1]  Câu 4. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau: n n x .  n ( n    n 2  

NGUYỄN QUỐC TIẾN

5 CÁC ĐỀ THI MẪU ĐỀ THI GIỮA KÌ MÔN: TOÁN CAO CẤP A1

Lớp/nhóm: ĐH

Mã đề: 01......... Thời gian làm bài: 75 phút Lưu ý: Sử dụng tài liệu khi làm bài thi  Được  Không được

lim x 

x 2 2 x

  

3   1  

Câu 1: Tính giới hạn sau:

1 e

f x ( )

' ( ) f x khi

C. A. D. e B. đáp án khác





Câu 2: Hàm số A. 2

3 | x B. 2

0x  là: C. 0

3x 





n N 

( ) f x

D. 3 2x

nx ) x a



Câu 3: Tìm a để hàm số liên tục trên R

0a 

A. D. C. đáp án khác

| 2  có 3x  (1        B. a n

1  n

x 2

 

Câu 4: Tính giới hạn sau:

2 lim x x 2 B. e

1 

n 3 5

A. đáp án khác D. ln 2 1 C. 4(ln 2 1)

  n

lim n 

2 5

5 2  100 2 

 

Câu 5: Tính giới hạn sau:



15 2

)

/(1 

( ) 3x f x 

x 1,

C. D. A. 0 B. 

x x

1 1

x 1, x 1,

A. C. và cho biết nó thuộc loại nào   , loại 1 B. D. x  , điểm nhảy

f x ( )

' (0)





là:

' (0)

 có | 2 f ' (0) 3 

' (0) 0 

A. Câu 6: Tìm điểm gián đoạn của hàm số   , loại 2   , khử được 3 | x B. C. D. không tồn Câu 7: Hàm số   f 1

cos

3 t t sin ,

(0,

/ 2)

'( ) y x là:



a  



có

3 sinb

cos

sint

tan



t y b ,   b a

1/(1 cos ) x 

B. D. C. A. tại Câu 8: Hàm số b a



lim cosh  x 

Câu 9: Tính giới hạn sau:

1 5

cos

(0,

/ 2)



a  



C. A. e B. 0 D. đáp án khác

, t y B.

b   3 sinb

3 sin , t t 2 t

'( ) y t là: b 3 sin

cos



 2 t

D. có C. Câu 10: Hàm số t sint cos t cos A. b 3 sin

NGUYỄN QUỐC TIẾN



lim n 

2 2

3  n 3

Câu 11: Tính giới hạn sau:

D. C. 0

 n  B. đáp án khác

1 2

A. 

lim n 

1) 1)

n ln( 10 ln( n

n   n  

Câu 12: Tính giới hạn sau:

1 2

1 5

C. D. A. 0 B. đáp án khác



x cos

và cho biết nó thuộc loại nào Câu 13: Tìm điểm gián đoạn của hàm số ( ) f x



n 





0x  , loại 2 n x / 2 







, loại 2 A. C. , khử được

x , ( ) f x Câu 14: Tìm a để hàm số liên tục trên (-1,1) 0 0 (arcsin ) cot x a ,

x / 2 B. D. x  , điểm nhảy x  x 



1a 

0a 

1  4

1/ e

C. D. B. A.     1 a  4



lim x 

  

Câu 15: Tính giới hạn sau:

2e 

C. D. A. e

' (0)

f x ( )



   

có là: Câu 16: Hàm số

'(0)

 

 



A. B. C. D. Đáp án khác

lim n 

n ( 2 n

n n

Câu 17: Tính giới hạn sau:

1   x  B. ln 2 e xe 1/ , x 0  x 0 0,  ' (0) 1  1) 1)

(

( (

1) 1)

 

 

 2 

1 5

A. D. 0 B. 1 C. 

x 2

lim x 2 

 x  

Câu 18: Tính giới hạn sau:

x 4 3

4  3

cos

3 t t sin ,

(0,

/ 2)



t y b ,  



B. D. C. 0 A. e

sin

/ 2)

A. có B.

t t

a   t 0, t 0,

(0,  / 2)

'( ) x t là: 2 t cos a 3 cos

sin 2 t

t sin

t (0,    t t 0,

 (0,

/ 2)



 

  

 

  

cot(

/ 4

)

C. D. Câu 19: Hàm số a 3 sin a 3 cos







t    (0,  lim cot 2 / 4 x 



Câu 20: Tính giới hạn sau:

1 2

f x ( )

A. 2 B. 1 C. D. 0



ln |

Câu 21: Tìm điểm gián đoạn của hàm số

A. B.

1 x  C.

/ 2

1| x



n 







 2



 1



e

2 x 1/ sin (2 )

D. x



lim 1 tan   x 

Câu 22: Tính giới hạn sau:

1/ 4

NGUYỄN QUỐC TIẾN

e 

1/ 4e x    

B. D. A. 1 x x / 2  f x ( ) Câu 23: Tìm a để hàm số liên tục trên 0,| x cot(2 ), a , C. 0 x |   0 

(

/ 2)

/ 2,   

1/ 2

a 

0a 

1 a  4

A. B. D. C. đáp án khác

lim 0 x 

x 2   x

Câu 24: Tính giới hạn sau:

1 80

4  3

1  80

B. C. D. A. 0

f x ( )

'(0)



 có | 2



là: Câu 25: Hàm số

A. 2

x 3 |  B. 3

3x 

1/|

C. 0 D. 3

e

0x  , khử được

0x  , loại

e , loại 1

Câu 26: Tìm điểm gián đoạn của hàm số A. và cho biết nó thuộc loại nào D. C. x B. x  , điểm nhảy 2



n 2

lim n 

n n



  

  

Câu 27: Tính giới hạn sau:

1 5

sin



C. A. 0 D. đáp án khác B. 1

f x ( )

' (0)

1 x



  

   0,



    

là: có Câu 28: Hàm số

' (0)

' (0) 1 

'(0) 0 

C. D. A. B. Không tồn tại

 

  . Khẳng định nào sau đây đúng nhất? ) và nghịch biến (

 ,1)

Câu 29: Cho hàm số

x A. Hàm số đồng biến trên (1, B. Hàm số có điểm cực đại là (0,1) C. Hàm số có điểm cực tiểu là (0,1) D. Hàm số luôn đồng biến

Câu 30: Đạo hàm cấp n của hàm sin(

sin(

)

sin(

)



)ax là : ax n  2

ax   2

sin(

)



x n  2

C. D. B. A. kết quả khác

'(0)

f x ( )



 có | 2



là: Câu 31: Hàm số

A. 2

3 | x  B. 0

3x 

C. 3 D. 3

' (0)

f x ( )

1/ , xe 0,

   

có là: Câu 32: Hàm số

' (0)

1  

' (0) 1 

B. C. D. A. không tồn tại

x 0  x 0  '(0) 0  axe là : ax

a e

e 

a e

Câu 33: Đạo hàm cấp n của hàm n C. D. B. A. kết quả khác

NGUYỄN QUỐC TIẾN

21/ x 

1/ 2

Câu 34: Tính giới hạn sau:

e 

D. C. 0 A. 1

lim cos  x 0  B. 

f x ( )



1 x



Câu 35: Tìm tiệm cận của hàm số:

1 x  4

x 1 y   2 2

1 x y   2 4

x 1 y   2 4

B. C. D. A.

'(0)

( ) f x



1/ , xe 0,

   

là: có Câu 36: Hàm số

0 x  0 x  '(0)

'(0) 0 

' (0) 1 



B. C. D. A. Đáp án khác

  1 Câu 37: Đạo hàm cấp n của hàm ln x là :

(

( 1)n 

1 (  

e 

1)!  n x

cos 3

cos 7

C. D. A. B. kết quả khác

lim x 0 

 2 x

Câu 38: Tính giới hạn sau:

1  80

f x ( )

'( ) f x khi

B. A. 0 C. 10 D. 20



 có | 2

Câu 39: Hàm số A. 2

3 | x  B. 0

3x 

3x 

D. 2

f x ( )





x 3

trên [-3,0] Câu 40: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

0x  là: C. 3 2x 23 x 2

1  2

-----------------------------------------------

D. B. -1 C. -2 A. 0

----------- HẾT ----------

PHIẾU ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B C D

2 1

2 2

2 3

2 4

2 5

2 6

2 7

2 8

2 9

3 0

3 1

3 2

3 3

3 4

3 5

3 6

3 7

3 8

3 9

4 0

A B C D

NGUYỄN QUỐC TIẾN

ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN: TOÁN CAO CẤP A1

Lớp/nhóm: ĐH

Mã đề: 02......... Thời gian làm bài: 75 phút Lưu ý: Sử dụng tài liệu khi làm bài thi  Được  Không được

f x là hàm lẻ thì ( )

f x dx ( )

 





a  a

Câu 1: Nếu a A. B.

f x dx ( )









D. C.

là : Câu 2: Bán kính hội tụ của chuỗi

x  1 2 n  r  1



e

B. A. C. r D. 

f x dx ( )



Câu 3: Tích phân bằng với tích phân

f x dx a

c b

f x dx ( )

;

( )

;

f x dx ( )



c R 

 





a b

A. B.

f t dx ( )

f x dx a

c b

f x dx ( )

( )

;



 





D. C.



1 dx Câu 4: Tính tích phân suy rộng ( x x 2)( x 3)   

ln 5

ln 2

ln 5

ln 2





1 4

2 3

2 3 f x là hàm chẵn thì: ( )

A. D. B. C. 1)( 2 3

f x dx ( )



 



a  a

0 a / 2

Câu 5: Nếu a A. B.

f x dx ( )





/ 2





D. C.





1 

Câu 6: Tính tích phân suy rộng

1 5

1 8

 1 1 64

A. B. C. D. 



 quay quanh Oy

x a

y b

Câu 7: Tính thể tích tròn xoay do

2ba

ba

1 3

2 3

4 3

u u ,

,...

,..

A. B. C. D.

u n 59

.Phát biểu nào sau đây là đúng nhất Câu 8: Cho dãy vô hạn các số thực 1

NGUYỄN QUỐC TIẾN

...



...  

 được gọi là một dãy số

u 1 n

u i

...

2 2

n ,..

...   2 ,... u

 được gọi là một chuỗi số được gọi là một chuỗi số dương

 được gọi là một chuỗi số i 1  u  1 2 , u u 1





1 

2      3 

Câu 9: Cho . Chọn phát biểu đúng:

S  2

S  3

S  0

2008



B. C. D. A. S  

sin(2008

sin )

x dx





Câu 10: Tính tích phân

 2

A. C. 1 D. 0 B. 1

a b ,

f x ( )

g x ( )

f x dx ( )

g x dx ( )

x  

















a b

Câu 11: Mệnh đề nào sau đây đúng b A.

a b ,

f x ( )

g x ( )

f x g x dx ( ) ( )

g x dx ( )

x  

















a b

a b ,

f x ( )

g x ( )

f x dx ( )

g x dx ( )

x  

















f x ( )

g x ( )

f x dx ( )

g x dx ( )







 f x là hàm tuần hoàn với chu kì T thì: ( )

a T 

f x dx ( )

 





0 a

a a T 

Câu 12: Nếu a T  B. A.

f x dx ( )







D. C.

1 1)(

(







Câu 13: Tính tích phân suy rộng

ln 2



2 3

ln 3

B. C. A. D. ln 2



dx 1x e 

Câu 14: Tính tích phân

2 1  3

2 1  3( 2 1) 



B. ln C. D. A. 0 2 1  2 1 









Câu 15: Tính tích phân suy rộng

1 5

1 10

A. D. C. 0 B. 



NGUYỄN QUỐC TIẾN



dx Câu 16: Tính tích phân suy rộng ( x x x ( 1)  3 1) 

ln 2

ln 6

1 5

12 5

C. D. A. 1 ln 2  B. 1 ln 2 



dx 2 x 

2 ln

Câu 17: Tính tích phân





3 7



C. A. D. B. 0



n n

1 



Câu 18: Cho . Chọn phát biểu đúng:

4 ( A. Chuỗi đan dấu

22 x

B. Chuỗi phân kỳ C. Chuỗi hội tụ D. Chuỗi có

 



x  .

và đường

dấu bất kỳ Câu 19: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong thẳng y A. 9 C. 8 B. 6 D. 7



Câu 20: Chọn phát biểu đúng:

1  

1  là chuỗi phân kỳ 3 n n 1  



B. A. là chuỗi phân kỳ

 là chuỗi hội tụ

1 

1  1n 3 4 n  2 3 n

C. D. là chuỗi hội tụ

) 1



Câu 21: Tính tích phân suy rộng

 15

 1 (4  15

B. A. D. đáp án khác C. 





Câu 22: Tính tích phân dx 1xe 

1  e

1   2 e

C. D. A. 1 B. 0

Câu 23: Tính tích phân suy rộng 1 dx x x 



 4

  2

 2





3 x dx

B. C. A. D. 0

Câu 24: Tính tích phân suy rộng

 0 625 187

25 187

C. B. A. đáp án khác D. 



1 

  ( n n

Câu 25: Cho . Chọn phát biểu đúng:



S  0



C. D. B. không tồn tại S A. S 



NGUYỄN QUỐC TIẾN

dx Câu 26: Tính tích phân suy rộng 1 2 x x (ln 1) 



 2

 1  2

A. D. 2 ln 2 B. C. 0

Câu 27: Bán kính hội tụ của chuỗi

x  là : 1 5 n  1/ 5

r  3

r  5

r 





B. C. D. A. kết quả khác



Câu 28: Tính tích phân suy rộng



1  4

 2

1 4

C. B. A. D. 0



x x

Câu 29: Tính tích phân



141 20

14 20



D. B. A. C. 0



a  2 1 4 n 

Câu 30: Cho . Chọn phát biểu đúng:

1 B.

/ 2

S  0

a

a 2

C. D. không tồn A. tại S

Câu 31: Tính tích phân

dx B.

-b a





C. A. 0 D. a b





Câu 32: Tính tích phân suy rộng

ln 2

1 5

x 2 ,

A. 2 ln 2 B. C. 1 ln 2  D. 2 2 ln 2 

 0



Câu 33: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :





1 ln 2

2 , 1 ln 2

B. C. A. 2 ln 2  D. 2 ln 2 



cos(ln ) x dx Câu 34: Tính tích phân

A. 1 C. sin1 D. 0

x B. os1c Câu 35: Mệnh đề nào sau đây đúng

a b ,

f x

(

) 0

f x dx ( )

x  

( ) 0 & 

x   0

 









a b f x  0







a b ,

) 0

f x dx ( )

f x ( 0

x   0

 









a b ,

f x

(

) 0

f x dx ( )

x  

( ) 0 & 

x   0

 









a b f x  0







NGUYỄN QUỐC TIẾN

a b ,

f x ( )

f x dx ( )

x  

0  

















Câu 36: Tính tích phân suy rộng ln xdx 3 x

1 8

1 4

1 5

A. B. D. C. 

Câu 37: Tính tích phân

dx B.

-b a





C. D. 0 A. a b

 1 (1

Câu 38: Tính tích phân suy rộng dx x ) x 

 2

A. B. đáp án khác C.  D. 

Câu 39: Tính tích phân suy rộng 1 dx 2 x x 



 3

  4

 2



B. D. A. C. 0

 . Phát biểu nào sau đây là sai:

1 

Câu 40: Cho chuỗi số

nu có giá trị tăng khi n tiến ra 

A. Các số

  dãy n

  là dãy tăng

1 

B. Nếu

nu được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi số.

C. Biểu thức của

 được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số.

1 

-----------------------------------------------

----------- HẾT ----------

PHIẾU ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B C D

2 1

2 2

2 3

2 4

2 5

2 6

2 7

2 8

2 9

3 0

3 1

3 2

3 3

3 4

3 5

3 6

3 7

3 8

3 9

4 0

A B C D

NGUYỄN QUỐC TIẾN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Đình Trí, Toán học cao cấp, Tập 2NXBGD, 2006

[2] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi tích phân, Tâp1, NXBGD, 1996

[3] Đỗ Công Khanh, TCC giải tích hàm một biến, NXBĐHQG, 2006

[4] Nguyễn Phú Vinh, Giáo trình toán CC, Lưu hành nội bộ trường ĐHCN. TPHCM

MỤC LỤC

4.1 4.2 4.3 4.4

1 CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC..................................... 1 1.1 Giới hạn dãy số ..................................................................................................... 1 1.2 Giới hạn của hàm số ............................................................................................. 2 1.3 Vô cùng bé-vô cùng lớn ........................................................................................ 5 1.4 Hàm số liên tục ..................................................................................................... 8 2 CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN...................... 12 Đạo hàm .............................................................................................................. 12 2.1 2.2 Vi phân................................................................................................................ 15 2.3 Ứng dụng đạo hàm ............................................................................................. 17 3 CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN ................ 25 Tích phân xác định ............................................................................................. 25 3.1 3.2 Tích phân suy rộng ............................................................................................. 33 3.3 Ứng dụng tích phân ............................................................................................ 40 4 CHƯƠNG IV. LÝ THUYẾT CHUỖI ................................................... 46 Chuỗi số .............................................................................................................. 46 Chuỗi số dương................................................................................................... 48 Chuỗi có dấu bất kỳ............................................................................................ 51 Chuỗi hàm........................................................................................................... 52 5 CÁC ĐỀ THI MẪU ................................................................................. 55

Bài giảng Toán cao cấp 1

Bài giảng Toán cao cấp 1 trình bày các nội dung chính sau: Giới hạn và tính liên tục; Phép tính vi phân hàm một biến; Phép tính tích phân hàm một biến; Lý thuyết chuỗi; Các đề thi mẫu giữa kì môn Toán cao cấp A1.

Chủ đề:

Toán cao cấp A1 A2

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 1

GIẢNG VIÊN: NGUYỄN QUỐC TIẾN

1.1 Giới hạn dãy số

1.1.1 Dãy số Một dãy số thực là một ánh xạ x từ tập các số tự nhiên  đến tập các số thực R . :

1.1.2 Giới hạn của dãy số Dãy (xn) được gọi có giới hạn là a nếu:

1.1.3 Định lí. Nếu dãy (

1.1.4 Định lí . Cho ba dãy (

1.2 Giới hạn của hàm số

1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số

1.2.2 Giới hạn một phía f x xác định trong khoảng ( ) Cho hàm số

1.2.3 Định lí

1.2.4 Giới hạn vô tận- Giới hạn ở vô cực Cho hàm số

1.2.5 Định lí f x u x ( ), Cho

1.2.6 Một số tính chất của giới hạn hàm số  thì giới hạn đó là duy nhất





1.3 Vô cùng bé-vô cùng lớn Giả sử ta xét các hàm trong cùng một quá trình, chẳng hạn khi

1.3.1 Vô cùng bé.

1.3.2 So sánh hai VCB

1.3.3 Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao x ( )

1.3.4 Vô cùng lớn.

1.3.5 So sánh hai VCL

1.3.6 Qui tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

1.4 Hàm số liên tục

1.4.1 Các định nghĩa f x ( )

1.4.2 Tính chất của hàm số liên tục

1.4.3 Điểm gián đoạn f x không liên tục tại ( )

  3  Hàm số liên tục Câu 1. Tìm a để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng.

2 CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2.1 Đạo hàm

2.1.1 Đạo hàm tại một điểm

2.1.2 Đạo hàm trái, đạo hàm phải

2.1.3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm tại một điểm

2.1.4 Các quy tắc tính đạo hàm

2.1.5 Đạo hàm của hàm hợp

2.1.6 Đạo hàm của hàm ngược

2.1.7 Đạo hàm cấp cao

   Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n của

2.2 Vi phân

2.2.1 Định nghĩa

2.2.2 Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng

2.2.3 Vi phân cấp cao

2.3 Ứng dụng đạo hàm

2.3.1 Định lí ( Quy tắc L’Hospital).

2.3.2 Định lí .

x Ví dụ Tính lim x e

2.3.3 Sự biến thiên của hàm số f x ( ) Cho hàm số

2.3.4 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Cho hàm số

2.3.5 Định lí . f x liên tục trên một lân cận của ( ) Giả sử

2.3.6 Định lí . Cho hàm số x i) Nếu tại 0 ii) Nếu tại x 0

2.3.7 Tính lồi, lõm và điểm uốn của đường cong Giả sử hàm f x khả vi trên khoảng ( , )a b và có đồ thị trên ( , )a b ( ) là cung đường cong (

2.3.8 Định lí . ( ) f x khả vi đến cấp hai trên khoảng ( , )a b . Khi đó x

2.3.9 Tiệm cận của hàm số Đồ thị của hàm số lim ( ) f x x  đường tiệm cận của đường cong ( M x y ( , cách từ điểm

3 CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3.1 Tích phân xác định

3.1.1 Định nghĩa.

3.1.2 Định lí . (Điều kiện tồn tại tích phân xác định)

3.1.3 Các tính chất của tích phân xác định

3.1.4 Nguyên hàm

3.1.5 Định lí (Công thức Newton–Leibnitz)

3.1.6 Phương pháp đổi biến số

3.1.7 Phương pháp tích phân từng phần

3.2.1 Tích phân suy rộng loại một

3.2.2 Định lí (Tiêu chuẩn hội tụ thứ nhất)

3.2.3 Định lí (Tiêu chuẩn so sánh thứ hai)

3.2.4 Định lí (Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ)

3.2.5 Tích phân suy rộng loại hai

3.2.6 Định lí (Tiêu chuẩn so sánh thứ nhất)

3.2.7 Định lí (Tiêu chuẩn so sánh thứ hai)

3.2.8 Định lí (Sự hội tụ tuyệt đối)

3.3 Ứng dụng tích phân

3.3.1 Tính diện tích hình phẳng ( ) f x  trên [ , ]a b . Khi đó diện tích hình thang cong giới hạn ( ) 0 f x liên tục và Cho hàm số f x và hai đường thẳng ( ) bởi đường cong

3.3.2 Tính thể tích vật thể Cho một vật thể giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt

  a Ví dụ Tính thể tích vật thể giới hạn bởi elipsoid x a Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ là x thiết diện nhận

3.3.3 Tính độ dài cung Cho cung đường cong AB có phương trình

3.3.4 Diện tích mặt tròn xoay

 0 Tích phân xác định Câu 1: Tính tích phân sau: