zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 4 - Nguyễn Văn Tiến (2017)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Báo xấu

78
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 4: Tích phân hàm một biến và ứng dụng" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa nguyên hàm, tính chất, sự lan truyền tin đồn, tính chất cơ bản, định lý giátrị trung bình,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 4 - Nguyễn Văn Tiến (2017)

18/10/2017 CHƯƠNG 4 Định nghĩa nguyên hàm • Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b). Ta nói F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu: TÍCH PHÂN HÀM MỘT F  x   f x ,  x  a , b  • Ví dụ: BIẾN & ỨNG DỤNG   tan x laø moät nguyeân haøm cuûa 1  tan 2 x     treân R \  2n  1      2     a x laø moät nguyeân haøm cuûa a x ln a treân R. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân bất định Tính chất • Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu:  i )   f x dx   f x     f x dx ii )  k . f x dx  k  f x dx iii )   f x   g x  dx   f x dx   g x dx • Được xác định như sau:    f x dx  F x   C • F(x) là một nguyên hàm của f(x). • C: hằng số tùy ý. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức nguyên hàm cơ bản Ví dụ • Tính các tích phân sau 1.  k dx  2. x  dx  2x  1 dx dx a . x x  1 dx   b . e x e 2 x 1  3 dx 3.  4.  x x 2 x  3x  1 c . dx x 5. a x dx  6. e x dx  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1
18/10/2017 Ví dụ Ví dụ • Tính các tích phân sau • Tính các tích phân sau  a . x 3 cos x 4  2 dx  b . 2x  1dx 2 1 x a)  4  x 2 dx b)  dx c . 2 1  x .x dx 5 0 0 1 x2 1 2 dx dx c ) d ) 0 1 x2 2 x x2 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Tích phân hàm mũ • Tính các tích phân sau • Công thức: i   e dx  e  C x x 1 a )  x ln xdx b )  2x  1 sin xdx ii   e dx  a e ax b ax b C c )  x cos xdx d )  x arctan xdx iii   e du  e  C u u • Ví dụ. Tính các tích phân sau: x4 a)A   3e 4 x dx b) B  e 4 x 3dx I0 2 c )C   xe  x dx d ) D  a . e Tx dx 0 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết nó đi 1. Tìm phương trình đường cong y=y(x) đi qua qua điểm (1;0) và: điểm (2;5) và có hệ số góc là dy/dx=2x tại mọi dy điểm.  e x 3 dx 2. Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vị • Đáp án: sản phẩm cho bởi: C’(x)=0,3x2+2x. Biết chi phí cố định là 2000$. Hãy tìm hàm chi phí C(x) và y 2  e x 3  e 2  tính chi phí để sản xuất ra 20 sản phẩm. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 2
18/10/2017 Ví dụ Ví dụ • Một đài phát thanh vệ tinh đang đưa ra một chiến • Bộ phận nghiên cứu thị trường của một chuỗi siêu dịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng người thị xác định rằng, đối với một cửa hàng, giá biên tế nghe hàng ngày. p’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh răng mỗi • Hiện tại đài phát thanh có 27.000 người nghe 1 ngày và nhà quản lý mong muốn số lượng người tuần cho bởi: nghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là: p ' x    0, 015e  0,01x S’(t)=60t1/2 người mỗi ngày. • Hãy tìm phương trình đường cầu biết rằng khi giá • Trong đó t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầu chiến dịch. là 4,35$/tuýp thì nhu cầu hàng tuần là 50 tuýp. • Chiến dịch kết thúc khi nào biết rằng đài phát • Hãy xác định nhu cầu khi giá của một tuýp là 3,89$ thanh muốn số lượng người nghe hàng ngày tăng p x   1, 5e • Đáp số:  0,01x lên đến 41.000 người.  3, 44 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân Phương trình vi phân • Tăng trưởng giới hạn • Khái niệm • Tăng trưởng không giới hạn dy  6x 2  4 x y '   400e  0,01x dx dy dy  ky y " xy ' x 2  5  2xy dx dx • Nghiệm của PTVP là hàm số??? Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân Phương trình vi phân • Bài toán lãi kép liên tục • Ta có mô hình: dA 1 dA 1 dA • Gọi P là số tiền đầu tư ban đầu  r .A  r   dt   rdt • A là số tiền có được sau thời gian t dt A dt A dt 1 • Giả sử tốc độ tăng trưởng của số tiền A tại thời điểm t   dA  rt  ln A  rt  C  A t   e rt .e C A bất kỳ tỷ lệ thuận với số tiền hiện tại trong khoảng thời • Mặt khác: gian đó. A 0   e r 0 .e C  P  A t   P .e rt • Ta có mô hình: dA  r .A A 0   P A, P  0 • Ta có được công thức tính lãi kép liên tục với lãi suất r dt và t là thời gian đầu tư. • R: hằng số phù hợp Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 3
18/10/2017 Luật tăng trưởng theo hàm mũ Phân rã phóng xạ • Định lý. Nếu = và (0) = thì = • Năm 1946, Willard Libby (người sau này nhận được giải 0 0 Nobel Hóa học) nhận thấy rằng nếu cây hoặc động vật còn sống, chất phóng xạ cacbon-14 vẫn được giữ ở mức không • Trong đó: đổi trong mô của nó. • Tuy nhiên, khi thực vật hoặc động vật chết, carbon-14 sẽ • Q0: khối lượng tại t=0 giảm đi do sự phân rã phóng xạ với tỷ lệ tương ứng với • r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối lượng hiện có. Tốc độ phân rã là 0,0001238 • t: thời gian • Ví dụ. Một mảnh xương người được tìm thấy tại một địa điểm khảo cổ ở Châu Phi. Nếu 10% lượng chất phóng xạ • Q: khối lượng tại thời điểm t cacbon-14 ban đầu có mặt, hãy ước lượng tuổi của xương • Chú ý. Nếu r
18/10/2017 Ví dụ Một số mô hình tăng trưởng mũ • Đối với một người học bơi, khoảng cách (m) mà người đó có thể bơi trong 1 phút sau t giờ luyện tập được xấp xỉ bởi:  y  50 1  e  0,04 t  • Tốc độ phát triển sau 10 giờ luyện tập là? • Đ/S: 1,34m cho mỗi giờ luyện tập Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tăng trưởng mũ Tăng trưởng mũ Đặc điểm Mô hình PT Ứng dụng Đặc điểm Mô hình PT Ứng dụng Tăng trưởng không = . Tăng trưởng ngắn hạn Tăng trưởng giới hạn = (1 − ) Bán hàng thời trang = = ( − ) giới hạn (người, vi khuẩn) Tốc độ tăng trưởng tỷ Khấu hao thiết bị Tốc độ tăng trưởng tỷ , > 0; Tăng trưởng của tiền khi lệ với hiệu của lượng , > 0; Tăng trưởng công ty lệ với lượng hiện tại 0 = tính lãi liên tục hiện tại và một giá trị 0 = Học tập cố định Phân rã theo hàm mũ = . Cạn kiệt tài nguyên thiên =− Tăng trưởng Logistic Tăng trưởng dân số Tốc độ phân rã tỷ lệ nhiên = ( − ) = với ượng hiện tại , >0 Phân rã phóng xạ Tốc độ phân rã tỷ lệ 1+ dài hạn 0 = Hấp thụ ánh sáng (trong với lượng hiện tại và , >0 Bán hàng mới nước) hiệu của lượng hiện Sự lan truyền của 0 = Áp suất khí quyển (t là chiều tại và một giá trị cố 1+ tin đồn cao) định Tăng trưởng công ty Bệnh dịch Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Sự lan truyền tin đồn Sự lan truyền tin đồn • Nhà xã hội học phát hiện rằng tin đồn có xu hướng lan dx  0, 001x 400  x  x 0   1 truyền với tốc độ tỷ lệ với số người đã nghe tin đồn x và số dt người chưa nghe tin đồn (P-x). Trong đó P là tổng số người. 400 x t   Một một sinh viên trong kí túc xá có 400 sinh viên nghe 1  399e  0,4 t được tin đồn rằng có bệnh lao ở trường thì P=400 và: 400 dx x 5    7, 272889  0, 001x 400  x  x 0   1 1  399e  0,4*5 dt 400 • Gọi t là thời gian tính theo phút. x 20    352, 7805 1  399e  0,4*20 • A) Tìm công thức x(t) lim x t   400 t • B) Sau 5 phút có bao nhiêu người đã nghe được tin đồn. • C) Tìm giới hạn: lim x t  • Sau bao nhiêu phút thì một nửa số sinh viên trong KTX t   nghe được tin đồn? Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 5
18/10/2017 Tích phân xác định Diện tích dưới đường cong • Diện tích dưới đường • Tổng bên trái - Left Sum cong • Tổng bên phải – Right Sum • Diện tích phần hình được tô màu là bao nhiêu? • Tính xấp xỉ bằng tổng diện tích hình chữ nhật • Ta có: 11,5=L4
18/10/2017 Tổng tích phân Tổng Riemann • Cho hàm số f(x) xác định trên [a;b] • Ta có: n • Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau với các S n  f c1 . x  f c 2 . x  ...  f c n . x   f c . x k điểm chia như sau: k 1 a  x 0  x 1  x 2  ...  x n  b • ck là điểm thuộc các khoảng [xk-1;xk] • Khi này: n Ln  f x 0  . x  f x 1  . x  ...  f x n 1  . x   f x . x k 1 k 1 n Rn  f x 1  . x  f x 2  . x  ...  f x n  . x   f x . x k k 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Một số tổng quan trọng Ví dụ n n n a) C  n .C b)  Ca i  C  ai • Tính tổng Riemann cho hàm số = 3−6 i 1 i 1 i 1 n n n n n n trên đoạn [0;3] với n=6 và ck là điểm biên bên c)  a i  bi   a i  b i d)  a i  bi   a b i i phải của mỗi đoạn. i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n n n  1 n n n  12n  1 • Lập tổng Riemann cho hàm số trên trong e)  i  2 f) i 2  6 i 1 2 i 1 trường hợp tổng quát và tính giới hạn của tổng n  n n  1 g )  i   3   đó khi n∞ 2 i 1   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định Tích phân xác định • Định lý. Nếu f là hàm số liên tục trên đoạn [a,b] khi này tổng Riemann trên đoạn [a,b] có giới hạn hữu hạn I khi ∞ n • Giới hạn này được gọi là tích phân xác định của  f c   x k i 1 hàm số f(x) trên đoạn [a,b] b a x  • Ký hiệu: b n I   f x dx a b n  f x dx  lim  f c   x k n a k 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 7
18/10/2017 Ý nghĩa hình học Tích phân xác định • Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là: • Là tổng tích lũy của các diện tích đại số giữa đồ b n thị hàm f, trục Ox và 2 đường thẳng x=a, x=b.  f x dx  lim n  f c   x i 1 k a (nếu giới hạn này tồn tại). • Khi đó ta nói hàm f khả tích trên [a,b]. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý Ví dụ b  e dx x • Tính tích phân:  : daáu tích phaân f x  : haøm laáy tích phaân a b a a, b : caùc caän laáy tích phaân dx : bieán ñoäc laäp x . • Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau  x  h n b • Lập tổng tích phân với ck là các điểm bên phải. Tích phaân  f x dx laø moät soá, khoâng phuï thuoäc vaøo x . • Ta có: a n n b b b f x dx  f t dt  f r dr  f c   x   f a  i.h  h  h . e  e a 2 h  ...  e a n .h  a h    i 1 k i 1 1  e h  ...  e n 1.h   e a h .h 1  e n .h  a a a n S  h . ea h     1  eh Toång Riemann:  f x  x * i h i 1 S  e a h . 1  eh  . 1  e b a  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ 2 • Cho n tiến đến vô cùng ta có: • Tính diện tích miền có diện tích bằng giới hạn h S e . 1  eh a h . 1  e b a   dưới đây (không tính giới hạn) 10 2 2i    n  n 5  n  n  S   e a 1  e b a  e b  e a h0 a ) lim n  i 1 • Như vậy: n  i b b ) lim n   4n tan 4n i 1  e x dx  e b  e a a Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 8
18/10/2017 Ví dụ Bài b 10 • Biểu diễn tích phân sau dưới dạng tổng   x  4ln x  dx 1 Riemann. Không tính giới hạn n n 9  9 n  9 9  9   Rn   f  xi  x   f 1  i.    1  i.   4ln 1  i.   i 1 i 1  n  n i 1  n  n  n 6 10 x n 1 n 1 a)  1  x5 dx b)   x  4ln x  dx  9  9 n 1  9  9  9 Ln   f  xi  x   f  1  i.    1  i.   4ln  1  i.   2 1 i 0 i 0  n  n i  0  n  n  n  10 9 6 Rn  Ln  S n  S0  f  xn  x  f  x0  x   f 10   f 1  c)  sin 5 xdx a) x dx n 0 2 n M n   f  ci  x i 1 n  9 9  9 n  9 9  9 9  9 M n   f 1   i.     1   i.   4ln 1   i.   i 1Caocấp 12 n n  n i 1  2n Nguyễn n  2n n  n Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Văn Tiến Ví dụ Tính chất cơ bản • Biểu diễn tổng sau dưới dạng tích phân xác Cho f và g là hai hàm khả tích trên [a;b] khi đó: định trên khoảng cho trước. • Hàm (α.f+β.g) cũng khả tích trên [a;b] n • Hàm f.g cũng khả tích trên [a;b] a ) lim n x i  ln 1  x i2  x  , 2; 6    i 1 b b b n cos x i b ) lim n  i 1 xi x ,  ; 2     f ( x)   g ( x) dx    f ( x)dx    g ( x)dx n a a a c ) lim n i 1 2c i  c i2  x , 1; 8  n  5   4  3 x    2 d ) lim *  6 xi*  x ,  0; 2   n i i 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất Tính chất Cho hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]. Ta có: • Tính chất cộng. Cho ba đoạn [a,b]; [a;c] và [c;b]. b Nếu f(x) khả tích trên đoạn lớn nhất thì nó cũng i ) f  x   0 x   a; b    f  x  dx  0 a khả tích trên các đoạn còn lại và: b b c b ii ) f  x   0 x   a; b    f  x  dx  0  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a a a c b b • Tính khả tích và giá trị của tích phân không thay iii) f  x   g  x  x   a; b   f  x  dx   g  x  dx a a đổi nếu ta thay đổi giá trị hàm số tại một số Hệ quả: b b hữu hạn điểm.  f  x  dx   f  x  dx a a Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 9
18/10/2017 Tính chất Định lý giá trị trung bình • Nếu m  f  x   M , x   a, b  • Giả sử f(x) khả tích trên [a;b] và giả sử: b m  min f M  max f • Khi này tồn tại µ sao cho m    M • thì: m  b  a    f  x  dx  M  b  a  a b • Ví dụ. Chứng minh rằng: • Và:  f  x  dx  . b  a  a 1 • Hệ quả. Nếu f liên tục trên [a;b] thì tồn tại c thuộc 1 2   e x dx  1 [a;b] sao cho: b e 0  f  x  dx  f  c  . b  a  a Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức đạo hàm theo cận trên Chứng minh • Cho hàm f(x) khả tích trên [a;b]. Với a
18/10/2017 Công thức Newton - Leibnitz Ví dụ • Do ( ) là một nguyên hàm nên ta có: • Tính chính xác diện tích dưới đường cong y=1- x x2, giữa x=0,5 và x=1 và trục Ox.  x    f t dt  F x   C a • Giải. • Ta có:  a   0  F a   C  C  F a  • Ta có: • Vậy: b  b    f t dt  F b   C  F b   F a  1 1  x3 S   1  x dx x   2 a 0,5   3  b 0,5  3  3  f x dx  F b   F a   1     1     0, 5  3   0, 5 3      0, 208333 a  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Tích phân hàm đối xứng • Tính chính xác diện tích dưới đường cong • Cho f liên tục trên [-a; a]. y=x2+1, giữa x=0 và x=4 và trục Ox. i) Neáu f laø haøm chaün f x   f x  thì: • Giải. a a • Ta có:  f x dx  2  f x dx a 0 4 x 3  4 ii) Neáu f laø haøm leû f x    f x  thì:  S   x 2  1 dx    x  a  3 0  43 0   03   76  f x dx 0    4     0   a  3   3  3 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Một số ứng dụng của tích phân Chiều dài của cung • Tính chiều dài của một cung • Ta cần tính • Diện tích hình phẳng chiều dài cung • Thể tích khối tròn xoay từ a đến b. • Giá trị trung bình của hàm số b 2 L   1   f ' x  dx   a n n n 2  x  x i 1   y i  y i 1    x 2   f ' c i   x  2 2  PP i 1 i i 1  i 1 i i 1   n b 2 2 L  lim  1   f ' c i  . x   1   f ' x  dx n i 1     a Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 11
18/10/2017 Chiều dài của cung Chiều dài của cung • Định lý. Nếu f’(x) liên tục trên [a,b] thì chiều dài • Định lý. Nếu đường cong có phương trình dạng của dây cung y=f(x) trên đoạn [a,b] là: x=g(y) và g’(y) liên tục trên [c,d] thì chiều dài b 2 của đường cong trên đoạn [c,d] là: L   1   f ' x  dx d   2 a L   1   g' y  dy   • Ví dụ. Tìm độ dài cung của y2=x3 từ điểm (1;1) c đến điểm (4;8) • Ví dụ. Tìm độ dài cung của y2=x từ điểm (0;0) đến điểm (1;1) L  1 27  80 10  13 13  L  5  ln  5 2  2 4 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Diện tích mặt tròn xoay Diện tích mặt tròn xoay • Diện tích hình trụ Diện tích mặt nón Diện tích mặt nón cụt A  2 r .h A  r . A   r1  r2   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Diện tích mặt tròn xoay Diện tích mặt tròn xoay • Ta có: • Xung quanh Ox nếu y=f(x) có dấu tùy ý n A  lim n   y i 1  y i  Pi 1Pi b A  2   f x  1   f ' x  dx 2 i 1   a b 2 A  2   f x  1   f ' x  dx • Xung quanh Oy nếu x=g(y) có dấu tùy ý   a n n 2 d   y i 1  y i  Pi 1Pi    y i 1  y i  1   f ' c k   x   A  2   g y  1  g ' y  dy 2 i 1 i 1   n 2 c   2 .f c  k 1   f ' ck   x   i 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 12
18/10/2017 Ví dụ Giá trị trung bình của hàm số 1) Tính diện tích mặt tạo nên khi xoay đường • Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] parabol y=x2 từ điểm (1;1) đến (2;4) • Giá trị trung bình của hàm f là: • A) Quanh trục Oy. b 1 • B) Quanh trục Ox b a  f x dx a 2) Tính diện tích của mặt cầu bán kính R Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ứng dụng tích phân trong kinh tế • 1) Tìm giá trị trung bình của hàm f(x)=x-3x2 trên • Tìm hàm khi biết hàm cận biên. Giả sử tìm hàm đoạn [-1;2] chi phí, hàm doanh thu. • 2) Cho hàm cầu như sau: • Xác định quỹ vốn K(t) khi biết hàm đầu tư I(t) P  D  1 Q   100e  0,05Q • Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất • Hãy tìm giá trung bình (theo $) theo lượng cầu trong đoạn [40, 60] • Đáp số: 1) -5/2 2) 8,55$. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng tích phân trong kinh tế Ứng dụng tích phân trong kinh tế • Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên • Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên là: là: MC Q   90  120Q  27Q 2 MC Q   50  18Q  45Q 2  4Q 3 • Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C0=200. • Giả sử Q=1 thì chi phí là 60. Tìm hàm chi phí. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 13
18/10/2017 Ứng dụng tích phân trong kinh tế Ứng dụng tích phân trong kinh tế • Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cận • Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là: biên là: MR P   4 P 3  3P 2  24P  15 MR Q   3Q 2  8Q  30 • Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) thì R=10,4 • Giả sử Q=1 thì R=37. Tìm doanh thu và hàm giá (triệu đồng). Tìm doanh thu và hàm sản lượng theo sản lượng. theo giá. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân trong phân tích kinh tế Xác định quỹ vốn • Ví dụ 1. Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức • Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung quỹ vốn) và quỹ sản lượng Q là MC=8e0,2Q và chi phí cố định là vốn K là hàm theo biến thời gian t. FC=50. Xác định hàm tổng chi phí và chi phí khả • Ta có: I=I(t); K=K(t) biến • Giữa quỹ vốn và đầu tư có quan hệ: (lượng đầu tư tại thời điểm t biểu thị tốc độ tăng quỹ vốn tại thời điểm • Ví dụ 2. Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi đó) mức sản lượng Q là MR=50-2Q-3Q2. Xác định I(t)=K’(t) hàm tổng doanh thu. • Vậy nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta xác định hàm quỹ vốn như sau: K  t    K   t  dt   I  t  dt Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tích phân trong phân tích kinh tế Thặng dư tiêu dùng • Ví dụ 3. Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2 (nghìn đô la • Thặng dư tiêu dùng đo lường phúc lợi kinh tế của một tháng) và quỹ vốn tại thời điểm t=1 là người mua. K(1)=10 (nghìn đô la). Hãy xác định hàm quỹ • Thặng dư sản xuất đo lường phúc lợi kinh tế của người vốn K(t) và lượng vốn tích lũy được từ tháng 4 bán. đến tháng 9 • Mức sẵn lòng trả là mức giá tối đa mà người mua chấp nhận mua sản phẩm. • Đây là mức giá trị mà người mua đánh giá một sản phẩm hay dịch vụ, • Thặng dư tiêu dùng là mức sẵn lòng trả của người mua trừ đi mức giá mà họ thực sự trả. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 14
18/10/2017 Mức sẵn lòng trả của 4 người mua Đo lường CS bằng đường cầu • Đường cầu thị trường mô tả các mức sản lượng mà người tiêu dùng sẵn lòng và có thể mua tại những mức giá khác nhau. John 100 Paul 80 George 70 Ringo 50 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Biểu cầu và đường cầu Đo lường thặng dư tiêu dùng Price of Album (a) Price = $80 $100 John ’s willingness to pay Price of Album 80 Paul’s willingness to pay $100 John ’s consumer surplus ($20) 70 George’s willingness to pay 80 70 50 Ringo’s willingness to pay 50 Demand Demand 0 1 2 3 4 Quantity of Albums 0 1 2 3 4 Quantity of Albums Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đo lường thặng dư tiêu dùng Đo lường thặng dư tiêu dùng (a) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P1 (b) Price = $70 Price Price of A • Diện tích Album $100 phía dưới John ’s consumer surplus ($30) đường 80 Paul ’s consumer Consumer cầu và 70 surplus ($10) surplus P1 trên mức Total B C 50 consumer giá chính surplus ($40) là thặng Demand Demand dư tiêu 0 1 2 3 4 Quantity of dùng. Albums 0 Q1 Quantity Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 15
18/10/2017 Tác dụng của mức giá đến thặng dư tiêu dùng Thặng dư tiêu dùng (b) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P2 • Consumer’s Surplus Price A • Nếu ( ; ) là điểm trên đường cầu p=D(x) khi này thặng dư tiêu dùng CS tại mức giá là: Initial consumer x D x  p  dx CS      surplus P1 C Consumer surplus  B to new consumers 0 x F • CS thể hiện tổng tiết kiệm của người CS   D x dx  x .p 0 P2 D E Additional consumer Demand tiêu dùng sẵn sàng trả mức giá lớn Q surplus to initial hơn cho sản phẩm nhưng vẫn mua  D Q dQ  Q .P 1 consumers CS  được sản phẩm ở mức giá . 0 0 Q1 Q2 Quantity Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Thặng dư sản xuất Chi phí của 4 người bán • Producer’s Surplus • Thặng dư sản xuất là mức giá người bán được trả trừ đi chi phí cho sản phẩm. • Đây là lợi ích của người bán khi tham gia thị trường. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dùng đường cung đo lường PS Biểu cung và đường cung • Thặng dư tiêu dùng liên quan đến đường cầu. • Thặng dư sản xuất liên quan đến đường cung. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 16
18/10/2017 Dùng đường cung đo lường PS Đo lường PS bằng đường cung (a) Price = $600 (b) Price = $800 Price of • Diện tích Price of House House Painting Supply phía dưới Painting Total Supply mức giá và producer $900 $900 surplus ($500) 800 trên đường 800 cung chính 600 600 500 là thặng dư 500 Georgia’s producer surplus ($200) Grandma’ s producer surplus ($100) sản xuất. Grandma’s producer surplus ($300) 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 Quantity of Quantity of Houses Painted Houses Painted Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất (a) Thặng dư sản xuất ở giá P1 (b) Thặng dư sản xuất ở giá P2 Price Price Supply Additional producer Supply surplus to initial producers D E P2 F B B P1 P1 C Initial C Producer Producer surplus surplus producer to new producers surplus A A 0 Q1 Quantity 0 Q1 Q2 Quantity Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Thặng dư sản xuất Thặng dư tiêu dùng và sản xuất khi cân bằng thị trường Price A • Producer’s Surplus D • Nếu ( ; ) là điểm trên đường cung Supply p=D(x) khi này thặng dư sản xuất PS tại mức giá là: Consumer surplus x  p  S x  dx   Equilibrium E PS    price Producer 0 x surplus PS  x .p   S x dx • PS thể hiện tổng tăng thêm của nhà 0 Demand sản xuất sẵn sàng cung cấp sản phẩm B Q ở mức giá thấp hơn nhưng vẫn bán PS  Q .P   S  1 Q dQ C được sản phẩm ở mức giá . 0 0 Equilibrium Quantity quantity Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 17
18/10/2017 Ví dụ Ví dụ • Sản lượng cân bằng là nghiệm của pt: • Cho các hàm cung và hàm cầu: Q  3 D 1 ( Q )  S 1 ( Q )   QS  P  2  1 ; QD  43  P  2.  P  18 • Thặng dư của nhà sản xuất: • Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng 3 dư của người tiêu dùng.  2 PS  18.3    Q  1  2 dQ  27  0 • Thặng dư người tiêu dùng: 3  2  CS   43   Q  2  dQ  18.3 0 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Dòng thu nhập liên tục 1) Tìm thặng dư tiêu dùng tại mức giá 8$ biết hàm cầu • Continuous Income Stream đảo có phương trình: • Cho f(t) là tốc độ của một dòng thu nhập liên tục, khi P  D 1  Q   20  0, 05Q đó tổng thu nhập thu về trong khoảng thời gian từ a 2) Tìm thặng dư sản xuất tại mức giá 20$ biết hàm cung đến b là: đảo có phương trình: P  S 1  Q   2  0,0002Q 2 b 3) Tìm mức giá cân bằng và tìm thặng dư tiêu dùng, Total Income   f  t  dt thặng dư sản xuất tại mức giá tiêu dùng nếu biết: a D 1  Q   20  0,05Q; S 1  Q   2  0,0002Q 2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến FV của dòng thu nhập liên tục Lập tổng tích phân • Theo công thức lãi kép liên tục: • Chia khoảng thời gian T A  Pe rt thành n phần, mỗi phần là • Nếu dòng thu nhập liên tục được đầu tư với mức lãi Δt. suất r, ghép lãi liên tục thì giá trị tương lai của dòng • Thu nhập trong khoảng thứ thu nhập liên tục này sau T năm là??? k (từ tk-1 đến tk) xấp xỉ với: • Chú ý. f  ck  .t r . T t  – Trong công thức lãi kép liên tục thì P là cố định • Giá trị tương lai của nó: FVk  f  ck  t.e – Chỉ tính cho một khoản đầu tư P duy nhất • Tổng thu nhập sau T năm: – Làm sao tính tổng thu nhập cho một dòng thu nhập liên tục. n T r .T  ck  r T t  FV  lim  f  ck  t.e   f t  e dt n k 1 0 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 18
18/10/2017 FV của dòng thu nhập liên tục Ví dụ • Nếu f(t) là tốc độ dòng thu nhập đều liên tục. • Tốc độ biến thiên lợi nhuận thu về từ một máy bán hàng tự động cho bởi: • Giả sử thu nhập được đầu tư liên tục với mức f  t   5000e0,04 t lãi suất r, ghép lãi liên tục. • Trong đó t (năm) là thời gian tính từ thời điểm lắp máy. • Khi này, giá trị tương lai của cả dòng thu nhập • A) Tìm tổng lợi nhuận nhập của máy sau 5 năm tính từ sau T năm đầu tư là: khi lắp đặt. T T • B) Giả sử lợi nhuận của máy được đầu tư liên tục với lãi r T t  suất 12%. Tính giá trị tương lai của tổng lợi nhuận của FV   f  t  e dt  e rT  f  t  e  rt dt máy sau 5 năm. 0 0 • C) Tìm tổng lãi thu về của dòng lợi nhuận của máy sau 5 năm đầu tư. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 19

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.