zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - Nguyễn Văn Tiến

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Báo xấu

83
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 2: Phép tính vi phân hàm 1 biến" cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm tại 1 điểm, đạo hàm phải - trái, hàm số đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm 2, đạo hàm của hàm ngược,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - Nguyễn Văn Tiến

03/04/2017 CHƯƠNG 2 Đạo hàm tại một điểm • Định nghĩa: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệu f’(a) là: f x   f a  PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM f ' a   lim x a x a MỘT BIẾN (nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn). • Chú ý: đặt h=x-a, ta có: f a  h   f a  f ' a   lim h 0 h Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Đạo hàm phải – trái • Tìm đạo hàm của hàm: f x   x 2  8x  9 • Đạo hàm trái của f(x) tại a là: tại a=2 theo định nghĩa. f x   f a  f a  h   f a    f ' a   lim x a x a  lim h0 h f 2  h   f 2  Ta xét giới hạn sau: lim h0 h • Đạo hàm phải của f(x) tại a là: 2  h   8 2  h   9  3 2 2 h  4h f x   f a  f a  h   f a  lim h0 h  lim h0 h  4   f ' a   lim x a x a  lim h 0 h Vậy: f ' 2    4 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Ví dụ • Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và • Cho hàm số: chỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và  e 1/x ,x  0 Tìm f ' 0  ; f ' 0  hai đạo hàm này bằng nhau. f x       0 ,x  0    f ' a   L  f ' a   f ' a   L   Ta có: f 0  h   f 0  e 1/h  0 u • Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm   f ' 0   lim h0 h  lim h0 h  lim u  0 u   e số liên tục tại a. Chiều ngược lại có thể không f 0  h   f 0  e 1/h  0 đúng.   f ' 0   lim h0 h  lim h0 h   f ' a   L  lim f x   f a  x a Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1
03/04/2017 Hàm số đạo hàm Hàm số đạo hàm • Với a cố định ta có: • Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x). f a  h   f a  • Ký hiệu: f ' a   lim df dy d h0 h f '; y '; ; ; f x  • Thay a bằng x ta có: dx dx dx f x  h   f x  • Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho f ' x   lim f’(x) tồn tại. Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x). h h0 • Với mỗi giá trị khác nhau của x ta tính được f’(x) nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. Như vậy giá trị của f’(x) phụ thuộc vào biến độc lập x nên có thể xem f’ là một hàm theo x và gọi là đạo hàm của hàm f. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 Ví dụ 2 • Tìm hàm số đạo hàm của hàm y=x2. • Tìm đạo hàm của hàm: f x   x • Ta có: • Ta có: f x  h   f x  x  h  2  x2 f x  h   f x  x h  x 1 lim  lim  2x f ' x   lim  lim  h0 h h0 h h0 h h0 h 2 x • Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc • Vậy: 1 TXĐ. f ' x   2 x .  TX D : 0;    • Vậy đạo hàm của hàm số: y '  2x • Chú ý: tập xác định của hàm f(x) là: [0; ) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Qui tắc tính đạo hàm 1 Qui tắc tính đạo hàm 2 • Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đó đạo hàm theo x của • Đạo hàm của hàm hợp: các hàm sau là: y  f0 g x   y x  fg. g x i . u  v  '  u ' v ' ii . ku  '  k .u '  u  u ' .v  u .v ' • Ví dụ: Hàm y  ln cos x  là hàm hợp của 2 hàm: iii . u .v  '  u ' .v  u .v ' iv .     v  v2 f x   ln x ; g x   cos x  • Đạo hàm dạng:uv Vậy:   u   u v v v ' . ln u  v . u '  1   u   y x  fg. g x  .  sin x    tan x cos x • Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số: y  uv Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 2
03/04/2017 Công thức tính đạo hàm 1 Công thức tính đạo hàm 2 Đạo hàm hàm hợp 1.C   0    .x 2. x   1 Đạo hàm hàm hợp    a . ln a  9. a x   x 9. a u     e 3. e x x    e 3. e u u .u '  10. log x   1   1 a x . ln a 10.log u   4. ln x   1 4. ln u   .u ' 1 a x u 11. arcsin x     5. sin x   cos x 1 x 2 11.arcsin u   5. sin u   u ' . cos u   1 12. arccos x    6. cos x    sin x 6. cos u   u ' . sin u 1x2 12.arccos u   1  1  7.  tan x   7. tan u   1 .u ' 13. arctan x   13.arctan u   cos 2 x cos u 2 1  x2 14.arc cot u    1  1 8. cot x   8. cot u   1 .u ' 14. arc cot x   sin 2 x s in 2 u 1  x2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Tìm f’(x) biết: • Tìm f’(x) biết: 1  x2 ex f x   y f x   ln 3 • Ta có: 3 x 4 . sin 7 x 1  cos x • Ta có: 4 1 ln y  ln 1  x 2    ln x  7 ln sin x  y  x  ln 1  cos x  3 3   y' 2x 4 7 cos x 1   sin x  1 sin x     y '  1  1   y 1 x2 3x sin x 3  1  cos x  3  1  cos x  • Vậy: 1 x2  2x 4 7 cos x  y' .     3  x 4 . si n 7 x  1  x 2 3x s in x  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm số cho bởi tham số Công thức đạo hàm tham số x  x t    • Hàm số y=f(x) thỏa điều kiện: • Cho hàm y=f(x) dạng tham số:  y  y t  x  x t         y  y t  dy dy / dt y   • Khi đó: y x    t dx dx / dt x t • Khi đó hàm số đã cho gọi là hàm cho bởi phương trình • Ví dụ: tham số.   x  et   x   et ln x ln x     t • Ví dụ: Cho hàm y  y    t  1t x x y  t  y t    x  et      et    e t  1t Đặt: x  e ta có dạng tham số sau:  t  y  t t 1t  y x  e t  2t  1  ln x    e e e x2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 3
03/04/2017 Đạo hàm của hàm ngược Đạo hàm của hàm ngược • Hàm số y  f x  có hàm ngược là: x  f  1 y  • Ví dụ 2: Hàm y=arcsinx có hàm ngược x=siny • Khi đó: 1 1 1 1 y x     x y cos y 1  sin 2 y 1 x2 1 1   x y  y x  do    y    y x x y  2 2  • Ví dụ 1: Hàm y=arctanx có hàm ngược x=tany • Ví dụ 3: Hàm y=arccosx có hàm ngược x=cosy 1 1 1 1 1 1 1 y x     y x    x y  sin y 1  cos 2 y 1 x2 x y 1  tan 2 y 1  x2 do 0y   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm ẩn Đạo hàm hàm ẩn • Hàm y=f(x) với x(a;b) là hàm ẩn cho bởi phương • Cho phương trình: F(x;y)=0 trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng • Để tính: y’x thức đúng. • B1. Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x. • Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b). Chú ý y là hàm theo x. • B2. Giải phương trình tìm y’. • Ví dụ: Phương trình: F x , y   x 2  y 2  1 • B3. Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình. xác định hai hàm ẩn: Ví dụ: Cho phương trình: y1  1  x 2 , x   1;1   x 3  ln y  x 2e y  0 y 2   1  x 2 , x   1;1   Tính đạo hàm của y theo x. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm hàm ẩn Đạo hàm hàm ẩn • B1. Lấy đạo hàm theo x • B3. Tính y’(0).  x 3  ln y  x e 2 y  0 x 3  ln y  x 2e y  0 x  0  ln y  0  y  1  y 0  x y'  3x 2  y   2x .e y  e y .y ' .x 2  0  * • Ta có: • B2. Giải tìm y’ y' 3x y  2xy .e  2 y *  3x  2  y  y ' 2xy .e y  x 2ye y .y '  0 x ye  1 2 y  3x y  2xy .e   y ' 1  x ye   0 2 y 2 y • Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có:  y' 3x y  2xy .e  2 y y ' 0   3.0 .1  2.0 .1 .e   0 1 x ye  1 2 y 0.1 .e  1 1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 4
03/04/2017 Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao • Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm (nếu có) của f’ gọi • Đạo hàm cấp n của hàm f là đạo hàm của đạo là đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x). hàm cấp (n-1).  f  d n f      dxd dx n 1 • Ký hiệu: f n   f n 1 d    d  df  d 2 f  dx n f    f    n 1   dx  dx  dx 2 • Ví dụ: Cho hàm: f x   x .e x • Đạo hàm cấp 3 của hàm f là đạo hàm của đạo Tìm đạo hàm cấp n của hàm số. hàm cấp 2. Giải:  d  d 2 f  d 3 f f    f         dx  dx 2  dx 3   f  x   x  .e x  x . e x  e x  x .e x  x  1e x Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao thường gặp • Ta có:    n   n i ) x  a       1 ...   n  1x  a     f  x   x  1e x   e x  x  1e x  x  2 e x  1   n   ii )     1 n ! n 1   x  a  n 1 x  a  • Tương tự: n    iii ) e ax  a n .e ax f  x   x  3 e x ; f 4  x   x  4 e x iv ) ln x  n    1 n 1 n  1 ! xn  n   • Tổng quát: v ) sin ax   a . sin ax  n   n  2  n  f x   x  n e x n    vi ) cos ax   a . cos ax  n  n   2  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý Ví dụ   n  • Tính đạo hàm cấp n của: i ) ax  b       1 ...   n  1ax  b  .a n  n   1 1 n  n 1 n  1 ! a ) f x   b )g x    iv ) ln ax  b     1 .a n x 1  x  x 2  3x  2 ax  b  n n     v ) sin ax  b    a n . sin ax  b  n   2  n     vi ) cos ax  b    a . cos ax  b  n  n   2  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 5
03/04/2017 Đạo hàm cấp cao hàm ẩn Đạo hàm cấp cao tham số 4 4 48x 2 • Biết: x  y  16 . CM: y    7 • Ta đã biết: y x  x t  • Đạo hàm 2 vế theo x:   y'  y x  t 3 x  4 x 3  4 y 3 .y '  0  y '   y3 y  y t   x 't • Do đó:    x 3  3x 2y 3  3x 3y 2 .y ' 3x 2 xy ' y  • Theo công thức đạo hàm hàm hợp: y    3      y  y6 y4 y x t • Thay y’ vào: y   x t  y x  . x t  y x. x t  y x  x x t  x  3 • Do đó: 3x 2 x 3  y  y t. x t  y . x t y    y    3x 2 x 4  y 4   48 x 2   y x  x   3 y4 y7 y7 t Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Công thức Leibnitz   • Tìm y’’ biết: x  sin t • Dễ thấy:   y  t2    f .g   f .g  g .f x t  cos t ; x t   sin t • Ta có:  f .g    f .g  g .f   f .g  2 f g   f .g  y t  2t ; y t  2 • Vậy: • Mở rộng: 2t n  n k  n k  y x  cos t ;  f .g   C k n .f g 2. cos t  2t  sin t  k 0 2. cos t  2t sin t y x   cos t  3 cos 3 t Gần giống khai triển nhị thức Newton Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ VI PHÂN 3  3  2 2  3   f .g   f g  3 f .g  3 f .g   g f • Vi phân tại một điểm  4  3  2  2  3 4   f .g   3 f g  4f .g   6 f .g  4 f .g g f • Vi phân trên một khoảng • Tính đạo hàm: • Ứng dụng vi phân tính gần đúng  f x   x 2  1 sin x  f 10  x   ??? Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 6
03/04/2017 Vi phân tại một điểm Vi phân tại một điểm • Định nghĩa. Hàm số f(x) gọi là khả vi tại x0 nếu: • Cho hàm f khả vi tại x0. Khi đó A.h gọi là vi phân của hàm số f(x) tại x0. f x 0  h   f x 0   A.h  0 h  Ký hiệu: df x 0   A. h A: haèn g soá höõu haïn hay df x 0   A.  x   0 h   0 h  : VCBù baäc cao hôn h .  lim  0   h  0 h  Định lý: Hàm y= f(x) khả vi tại x0 khi và chỉ khi tồn Ngöôøi ta coøn kyù hieäu h laø  x . tại f’(x0). • Định nghĩa. Hàm số f(x) gọi là khả vi tại x0 nếu: f x 0   x   f x 0   A. x  0  x  Ta chứng minh được: A  f ' x 0  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân tại một điểm Vi phân của hàm hợp • Vi phân của hàm số f(x) tại x0. • Cho hàm hợp: df x 0   f ' x 0  . h hay df x 0   f ' x 0  .  x   f u x  hay  f u x  0 • Tính chất: i ) d C   0 • Vi phân: ii ) d  f   df df  f  x  .dx  f  u  . u ' x  dx  f ' u  .du iii )d  f  g   df  dg • Hai công thức này có dạng giống nhau iv )d  fg   gdf  fdg • Vậy vi phân cấp 1 có tính bất biến. f  gdf  fdg v )d     g  g2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng vi phân Ứng dụng vi phân tính gần đúng y f x 0   x   f x 0  • Cho hàm f(x) khả vi trong lân cận của x0. Ta có: f x 0   x  f x 0   x   f x 0   f ' x 0 . x f • Hay công thức: f ' x 0  . x f x 0  x f x   f x 0   f ' x 0  . x  x 0  x0 x 0  x 0  f  f ' x 0 . x khi  x  0 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 7
03/04/2017 Ví dụ Ví dụ • Cho hàm số: f x   x  3 • Cho hàm số: f x   x  3 a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 b) Tính gần đúng: 4, 03 b) Tính gần đúng: 4, 03 Giải: Giải: 1 1 f  x    df x   dx f x   f 1  1 x  1 2 x3 2 x 3 4 1 0, 03 4, 03  f 1, 03   f 1  1, 03  1  2  4  2, 0075 1 1 1 4 df 1  dx  dx  x  1 2 1 3 4 4 Nếu tính bằng máy tính: 4, 03  2, 00748599.. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân cấp cao Vi phân cấp cao của hàm hợp • Vi phân cấp 1: df x   f  x dx • Cho hàm hợp: f(g(x)). • Là một hàm theo x. Nếu hàm số này có vi phân thì vi • Vi phân cấp 2: phân này gọi là vi phân cấp 2 của hàm f(x). • Vậy: 2 d 2f   d df   d f ' u du   d f x   d df   d f ' x dx     d f ' u  .du  f ' u  .d d u    dx .d  f ' x   dx . f  x dx  f  x  .dx 2  f  u du 2  f  u d 2u • Tương tự vi phân cấp n là vi phân của vi phân cấp (n- 1).   d n f x   d d n 1 f  f n  x  .dx n d 2 f x  f  x dx 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI Định lý Fermat • Định lý về giá trị trung bình (tham khảo) • Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận x0. • Công thức Taylor • Nếu f(x) đạt cực đại tại x0 và có đạo hàm tại x0 • Qui tắc L’ Hospitale thì: f ' x 0   0 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 8
03/04/2017 Định lý Rolle Định lý Lagrange • Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) • Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì và f(a)=f(b) thị tồn tại điểm c thuộc (a,b) sao tồn tại c thuộc (a,b) sao cho: cho f’(c)=0 • Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle có f b   f a  nghĩa giữa hai nghiệm của hàm số có ít nhất  f ' c  b a một nghiệm của đạo hàm. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Cauchy Công thức Taylor • Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong • Khai triển một hàm số phức tạp thành dạng (a,b) và g(x) khác 0 trên (a,b) thì tồn tại c thuộc đơn giản (a,b) sao cho: • Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức. f b   f a  f ' c  • Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0  g b   g a  g ' c  x2 x5 n 1 x 2 n 1 arctan x  x  3  5  ...   1 2n  1  0 x 2n   x2 x3 xn ex  1  x  2!  3!  ...  n!  0 xn   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Taylor Phần dư trong công thức Taylor Cho hàm số f(x): • Dạng Lagrange: • Liên tục trên [a,b] n 1 • Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) f c  x  x n 1 Rn    • Xét x0(a,b). Khi đó trên [a,b] ta có: n  1 ! 0 f ' x 0  f " x 0  • Dạng Peano: (thường dùng hơn) f x   f x 0   x  x   x  x  2 0 0 1! 2! n    f x 0  c  x  x n 1 Rn  0 x  x 0  f Rn n x  x     n n 1  ...  lim 0 n  1 ! x  x  0 0 x  n n! 0 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 9
03/04/2017 Công thức Maclaurin Công thức L’Hospital Cho hàm số f(x): • Áp dùng tìm giới hạn dạng: 0 ;  • Liên tục trên [a,b] 0  • Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) f x  0  Ñònh lyù: Cho giôùi haïn : lim coù daïn g ; • Xét x0=0 (a,b). Khi đó trên [a,b] ta có: x a g x  0  f  x  f x  f x   Neáu lim  L thì lim L x a g  x  x a g x  n  f ' 0  f " 0  f 0  x f 0   1! x 2! x 2  ...  n! n    0 xn f x  f  x  lim  lim L x a g x  x a g  x  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng hàm liên tục Ứng dụng hàm liên tục • Định lý Weierstrass • Định lý giá trị trung gian • Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó • Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [a;b], f(a)≠f(b). Khi đó lấy một giá trị c bất kỳ nằm tức là tồn tại x1, x2 ∈ ; sao cho: giữa f(a) và f(b) thì tồn tại x0 ∈ ( ; )sao • f ( x1 )  max f ( x ) x[ a ,b ] f ( x2 )  min f ( x ) x[ a , b ] f  x0   c Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng hàm liên tục Ứng dụng hàm liên tục • Hệ quả Định lý giá trị trung gian • Cho mô hình cân bằng thị trường QS=QD. Trong • Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và đó: f(a).f(b)
03/04/2017 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. Ý nghĩa của đạo hàm • 1. Ý nghĩa của đạo hàm • Cho hàm số y=f(x) • 2. Giá trị cận biên • Tại x0 khi x thay đổi một lượng Δx • 3. Hệ số co dãn • Thì y thay đổi: Δy = f(x0+ Δx)-f(x0) • 4. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế f x 0   x   f x 0  f ' x 0   lim x  0 x • Tốc độ thay đổi của y theo x tại điểm x0 chính là đạo hàm f’(x0) y x   f ' x 0  khi  x rat nho  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1. Ý nghĩa của đạo hàm 1. Ý nghĩa của đạo hàm • Ví dụ 1. Hàm cầu của một loại hàng hóa là • Ví dụ 2. Hàm cầu của một loại hàng hóa là p=50-Q2 = 45 − 2 • Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi • Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi • Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=1 • Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=4 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 2. Giá trị cận biên Giá trị cận biên của chi phí • Đo tốc độ thay đổi của y theo x, ký hiệu My(x) • Cho hàm chi phí C=C(Q) • Hàm cận biên của chi phí: MC(Q)=C’(Q) My x   f ' x  • Lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên 1 đơn vị • Ta thường chọn xấp xỉ ( ) ≈ ∆ tức là My(x) gần bằng lượng thay đổi của y khi x thay đổi một đơn vị ∆ =1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 11
03/04/2017 Ví dụ Giá trị cận biên của doanh thu • Giả sử chi phí trung bình để sản xuất một sản • Cho hàm doanh thu R=R(Q) phẩm là: • Hàm cận biên của doanh thu: MR(Q)=R’(Q) 500 • Lượng thay đổi của doanh thu khi Q tăng lên 1 C  0, 0001Q 2  0, 02Q  5  Q đơn vị • A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q sản phẩm. • B) Tìm giá trị cận biên của hàm chi phí. Nêu ý nghĩa khi Q=50. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Độ thay đổi tuyệt đối và tương đối • Số vé bán được Q và giá vé p của một hãng xe • Định nghĩa: khi đại lượng x thay đổi một lượng bus được cho bởi công thức: Δx thì ta nói: • Δx là độ thay đổi tuyệt đối của x Q  10000  125 p ∆ • Tỷ số . 100% gọi là độ thay đổi tương đối • A) Xác định hàm tổng doanh thu của x • B) Xác định doanh thu cận biên khi p=30 và p=32 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ số co dãn Ví dụ • Hệ số co dãn của y theo x là tỷ số giữa độ thay • Cho hàm cầu Q=30-4p-p2. Tìm hệ số co dãn khi đổi tương đối của y và của x thay đổi một lượng p=3 Δx. • Ký hiệu: y / y y x f ' x  xy   .  .x x / x x y f x  • Thể hiện % thay đổi của y khi x thay đổi 1%. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 12
03/04/2017 Lựa chọn tối ưu trong kinh tế Ví dụ 1 • Trong kinh tế ta quan tâm các bài toán sau: • Cho hàm cầu Q=300-p, hàm chi phí C=Q3- • + Tìm p để sản lượng Q đạt tối đa 19Q2+333Q+10 • + Tìm p hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa • Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất. • + Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu) • Ta đưa các bài toán trên về dạng tìm cực trị của hàm một biến số đã học. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 2 • Cho hàm cầu Q=100-p, hàm chi phí C=Q3- 25Q2+184Q+15 • Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 13

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.