TOÁN ỨNG DỤNG TRONG
KINH TẾ
Tôn Thất Tú
Đà Nẵng, 2019
Tôn Thất Tú 1/65
HỌC PHẦN: TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ (45 tiết)
Học phần gồm 8 chương:
•Chương 1: Ma trận
•Chương 2: Hệ phương trình
•Chương 3: Hàm số một biến, dãy số, chuỗi số
•Chương 4: Phép tính đạo hàm và vi phân
•Chương 5: Hàm số nhiều biến
•Chương 6: Phép tính tích phân
•Chương 7: Phương trình vi phân
•Chương 8: Phương trình sai phân
Tài liệu tham khảo
1. Lê Đình Thúy (2010). Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 1 - Đại số tuyến tính.
NXB ĐH Kinh tế quốc dân.
2. Lê Đình Thúy (2010). Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 2 - Giải tích toán học.
NXB ĐH Kinh tế quốc dân.
Tôn Thất Tú 2/65
Chương 1: Ma trận
1. Các khái niệm
Ma trận cấp m×nlà một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột.
Ma trận có mhàng và ncột được ký hiệu như sau:
•Dạng tường minh:
A=
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1am2... amn
hoặc A=
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1am2... amn
•Dạng rút gọn: A= (aij )m×nhoặc A= [aij ]m×n
- Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương
ứng thì bằng nhau.
Tôn Thất Tú 3/65
Một số tên gọi
- Tên ma trận: ta thường dùng chứ cái in hoa A, B, ... để đặt tên ma trận
- Phần tử: phần tử ở hàng ivà cột jlà aij
- Cấp (hoặc Cỡ) của ma trận là: m×n
Ví dụ 1
Cho ma trận
A="1 2 3
4 5 6#
Alà ma trận cấp 2×3
Một số phần tử là: a11 = 1, a12 = 2, a23 = 6
Tôn Thất Tú 4/65
Các ma trận đặc biệt
Ma trận hàng
Ma trận hàng là ma trận cấp 1×n, tức là ma trận có 1hàng và ncột
A=ha11 a12 ... a1ni
Ma trận cột
Ma trận cột là ma trận cấp m×1, tức là ma trận có mhàng và 1cột
A=
a11
a21
...
am1
Tôn Thất Tú 5/65
Ma trận không
Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0
O=
0 0 ... 0
0 0 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 0
Ma trận không cấp m×nđược kí hiệu Om×n
Ví dụ 2
O2×3="0 0 0
0 0 0#
Tôn Thất Tú 6/65
Ma trận vuông
Ma trận vuông là ma trận có cấp n×n, tức là ma trận có số hàng bằng số cột
A=
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
an1an2... ann
Sau đây ta xét một số dạng đặc biệt của các ma trận vuông.
Tôn Thất Tú 7/65
Một số tên gọi trên ma trận vuông
- Các phần tử a11, a22, ..., ann lập thành đường chéo chính
- Các phần tử an1, a(n−1)2, ..., a1nlập thành đường chéo phụ
- Ma trận vuông cấp n×ncòn được gọi tắt là cấp n
Ma trận tam giác trên
Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có các phần tử nằm dưới đường chéo chính
đều bằng 0
A=
a11 a12 ... a1n
0a22 ... a2n
... ... ... ...
0 0 ... ann
Tôn Thất Tú 8/65
Ma trận tam giác dưới
Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có các phần tử nằm trên đường chéo chính
đều bằng 0
A=
a11 0... 0
a21 a22 ... 0
... ... ... ...
an1an2... ann
Ma trận đường chéo
Ma trận đường chéo là ma trận vuông có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều
bằng 0
A=
a11 0... 0
0a22 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... ann
Tôn Thất Tú 9/65
Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận vuông có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng
1và các phần tử còn lại đều bằng 0. Kí hiệu En(hoặc In)
En=
1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1
Ví dụ 3
E2="1 0
0 1#E3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Tôn Thất Tú 10/65
2. Phép toán tuyến tính trên ma trận
Phép cộng 2 ma trận
Cho 2 ma trận cùng cấp: A= [aij ]m×nvà B= [bij ]m×n. Khi đó, ta có A+B=
[aij +bij ]m×n.
- Viết tường minh
A+B=
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1am2... amn
+
b11 b12 ... b1n
b21 b22 ... b2n
... ... ... ...
bm1bm2... bmn
=
a11 +b11 a12 +b12 ... a1n+b1n
a21 +b21 a22 +b22 ... a2n+b2n
... ... ... ...
am1+bm1am2+bm2... amn +bmn
Tôn Thất Tú 11/65
Phép nhân một số với một ma trận
Cho ma trận A= [aij ]m×n, λ ∈R. Khi đó, ta có: λA = [λaij ]m×n
- Viết tường minh
λA =λ
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1am2... amn
=
λa11 λa12 ... λa1n
λa21 λa22 ... λa2n
... ... ... ...
λam1λam2... λamn
Tôn Thất Tú 12/65
Phép trừ 2 ma trận
Cho 2 ma trận cùng cấp: A= [aij ]m×nvà B= [bij ]m×n. Khi đó, ta có A−B=
[aij −bij ]m×n.
- Viết tường minh
A−B=
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1am2... amn
−
b11 b12 ... b1n
b21 b22 ... b2n
... ... ... ...
bm1bm2... bmn
=
a11 −b11 a12 −b12 ... a1n−b1n
a21 −b21 a22 −b22 ... a2n−b2n
... ... ... ...
am1−bm1am2−bm2... amn −bmn
Tôn Thất Tú 13/65
Một số tính chất của các phép toán nói trên
Cho A, B, C là các ma trận cùng cấp, λ, γ là 2số bất kỳ. Ta có các tính chất sau:
1.A −B=A+ (−1)B
2.A +B=B+A
3.(A+B) + C=A+ (B+C)
4.A +O=O+A=A
5.A + (−A) = O
6.1.A =A
7.λ(A+B) = λA +λB
8.(λ+γ)A=λA +γA
9.(λγ)A=λ(γA)
Tôn Thất Tú 14/65
Ví dụ 4
Cho hai ma trận:
A="1 2
−3 0#B="3−1
1 2 #
a) Tính A+ 2B, 3A−B.
b) Tìm ma trận Xthỏa: 2X+A=B.
Giải. a) Ta có:
A+ 2B="1 2
−3 0#+"6−2
2 4 #="7 0
−1 4#
3A−B="3 6
−9 0#−"3−1
1 2 #="0 7
−10 −2#
Tôn Thất Tú 15/65