Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 1: Ma trận - Định thức

Chia sẻ: HidetoshiDekisugi HidetoshiDekisugi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 1: Ma trận - Định thức. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: các khái niệm cơ bản; các phép toán ma trận; khái niệm định thức; định thức của ma trận cấp 1, 2, 3; tính chất của định thức;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 1: Ma trận - Định thức

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 1 CHƢƠNG 1 MA TRẬN – ĐỊNH THỨC
Giới thiệu về ma trận, định thức  Một câu hỏi đặt ra là tại sao chúng ta lại sử dụng ma trận trong đại số?  Để trả lời cho câu hỏi này chúng ta sẽ đi từ những ví dụ đơn giản sau  Giả sử chúng ta có phƣơng trình 1 ẩn 𝑥 nhƣ sau: 𝑥−2=3  Chúng ta có thể giải dễ dàng bằng cách chuyển vế 𝑥 = 3 + 2 = 5
 Khó hơn một chút, chúng ta sẽ học hệ phƣơng trình hai ẩn 𝑥 và 𝑦 ví dụ nhƣ 𝑥 − 𝑦 = −2  3𝑥 + 2𝑦 = −6  Bạn vẫn có thể giải dễ dàng bằng cách sử dụng phƣơng pháp khử biến hoặc phƣơng pháp thay thế, ta có đáp cuối cùng 𝑥 = −2, 𝑦 = 0.  Khó thêm một chút nữa, chúng ta đƣợc học thêm hệ phƣơng trình ba ẩn 𝑥, 𝑦, 𝑧 ví dụ nhƣ 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 6  −4𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 3 −6𝑥 − 4𝑦 − 2𝑧 = 12
 Sử dụng phƣơng pháp cũ nhƣng hơi dài dòng một chút vẫn có thể giải ra 𝑥 = −914, 𝑦 = −3914, 𝑧 = 32.  Và thực tế, chúng ta chỉ học đến đây thôi, nhƣng thế giới bên ngoài không đơn giản nhƣ vậy, bạn sẽ phải giải quyết một hệ phƣơng trình nhiều hơn 3 ẩn ví dụ nhƣ 4 ẩn, 20 ẩn, có khi lến đến cả ngàn ẩn, ...  Lúc này, ngƣời ta không thể sử dụng các chữ cái 𝑥, 𝑦, 𝑧 để biểu diễn hệ phƣơng trình có cả trăm ngàn ẩn kia nữa, thay vào đó ngƣời ta nghĩ ra một thứ đơn giản hơn để dễ dàng biểu diễn và tính các hệ phƣơng trình có nhiều hơn 3 ẩn, một khái niệm mới gọi là ma trận (matrix) ra đời.
 Ví dụ: Một nhóm đi du lịch bằng tàu hỏa thì chi phí là 1 triệu đồng 1 trẻ em, 2 triệu đồng 1 ngƣời lớn và tổng chi phí là 39 triệu đồng. Khi họ về bằng máy bay thì 4 triệu đồng 1 trẻ em, 7 triệu đồng 1 ngƣời lớn và tổng chi phí là 141 triệu đồng. Tính số trẻ em, số ngƣời lớn.  Gọi a là số lƣợng trẻ em trong nhóm  Gọi b là số lƣợng ngƣời lớn trong nhóm Theo giả thiết ta có hệ phƣơng trình 𝑎 + 2𝑏 = 39 4𝑎 + 7𝑏 = 141 Hệ phƣơng trình này còn đƣợc viết dƣới dạng nhƣ sau: 1 2 𝑎 39 = 4 7 𝑏 141 Đây đƣợc gọi là phƣơng trình ma trận
1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Dạng tổng quát
Ví dụ:
 Ma trận không là ma trận có mọi phần từ bằng 0. Kí hiệu là : 0
1.3. Ma trận tam giác: Ma trận tam giác trên Ma trận tam giác dƣới
1.4. Ma trận chéo: là ma trận có các phần tử nằm ngoài đƣờng chéo chính đều bằng 0. 1.5. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo với các phần tử trên đƣờng chéo chính đều bằng 1. Kí hiệu En
2. Các phép toán ma trận 1. Cộng hai ma trận Các phép tính về ma 2. Nhân ma trận với một số trận 3. Nhân hai ma trận
2.1. Phép cộng hai ma trận Tổng của hai ma trận trên là: 2.2. Phép nhân ma trận với một số thực k
   b1 j   ...          ...  b2 j    hàng i a i1 a i2 ... a ip  ... c ij ... (của A)    ...         ...     b pj   ...  cột j (của B)
Ví dụ: Tính 1 3 2 1 3 1+3+6 3-3+4 a. 2 4 7  1  1  2 + 4 +21 6 – 4 + 14    3 5 6  3 2  3 + 5 + 18 9 – 5 + 12 10 4 = 27 16 26 16 b. 1 2  5 2  1  0 1  1 0  1    2  2  1 0  1 0  2 1 4 1  2
Tính chất: Nếu các phép nhân sau đây có thể thực hiện đƣợc thì: i. A.(B.C) = (A.B).C ii. A.(B + C) = A.B + A.C iii. (A + B).C = A.C + B.C  iv. A.E = E.A = A (E là ma trận đơn vị cùng cấp với A) Chú ý: Tích của hai ma trận không có tính giao hoán Ví dụ : Tính 0 1 1 2 1 2 0 1 1 0 1 1 0  0 0 1     
3. ĐỊNH THỨC 3.1. Định nghĩa:
3.2. Định thức của ma trận cấp 1, 2, 3. a. Định thức cấp 1: Cho A = (a11) thì |A| = a11 b. Định thức cấp 2: Ví dụ:
c. Định thức cấp 3
3.3. Tính chất của định thức Theo tính chất này thì các tính chất sau phát biểu cho dòng thì cũng đúng với cột (và ngƣợc lại).