TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN, ĐHQG-HCM
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Học kỳ I – Năm học: 2019-2020
MÃ LƯU TRỮ
(do Phòng KT-ĐBCL ghi)
Tên học phần: VI TÍCH PHÂN 1B Mã HP: MTH00003
Thời gian làm bài: 90 phút Ngày thi: . . . . . . . . . . . .
Họvàtênsinhviên: ................................................... MSSV: ..............
Ghi chú: Sinh viên không được phép sử dụng tài liệu khi làm bài.
ĐỀ THI CÓ 4 CÂU, gồm 2 trang:
Câu 1 (2.5 điểm).
a) Cho hàm số fđịnh bởi f .x/Dp.x1/2
x1khi x¤1;f .1/D2. Hàm số fcó liên tục không, tại
sao? Phác họa đồ thị của f.
b) Chứng minh phương trình ln xDexcó ít nhất một nghiệm thực.
c) Ký hiệu Œtlà số nguyên lớn nhất nhưng không lớn hơn t. Xét hàm số fcho bởi f .x/D2cos x.
Hãy phác họa đồ thị của ftrên đoạn Œ2
3;2 và cho biết hàm fgián đoạn tại những điểm nào (không
cần chứng minh).
Câu 2 (2.5 điểm).
a) Cho đường cong .C/Wy2tan xCln yDy. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm .
4;1/.
b) Một vỏ cầu bằng thép có độ dày vỏ là 1mm. Giả sử chu vi vòng ngoài của vỏ cầu là 3mét. Hãy dùng
vi phân để ước tính lượng thép làm vỏ cầu, biết thể tích hình cầu đường kính dđược cho bởi công thức
VD
6d3(đơn vị thể tích).
c) Một máy đo nhịp tim cho một bệnh nhân, đếm số nhịp đập n(nhịp) theo thời gian t(phút) và cho kết
quả được ghi lại trong bảng sau
t(phút) 0,5 1 1,5 2 2,5 3
n(nhịp) 35 75 120 170 215 250
Giả sử người ta lập mô hình nlà một hàm số theo t. Hãy ước tính độ dốc của đồ thị hàm ntại 1
bằng cách lấy trung bình cộng của hai độ dốc trong hai khoảng Œ0;5I1và Œ1I1;5. Trong các thời điểm
t2 f1I1;5I2I2;5g, ở thời điểm nào tốc độ đập của tim là nhanh nhất?
Câu 3 (2.5 điểm).
a) Cho hàm số fliên tục trên R. Biết một số thông tin giá trị hàm fnhư bảng
x 0 1 3 5 7 9 10
f .x/2 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3
(i) Tìm xấp xỉ tích phân Z9
1
f .x/dxbằng cách phân hoạch Œ1;9thành 4đoạn với điểm mẫu là điểm
bên trái của mỗi đoạn con.
(ii) Xét hàm g.x/WD Zx2
0
f .tC1/dt:Tính g0.2/:
b) Tính tích phân suy rộng
Người ra đề/MSCB: ...................................... Người duyệt đề: ..........................................
Chữ ký:.................................................. Chữ ký:..................................................
(i) I1DZ1
1
ln x
x3dx;(ii) I2DZ1
0
1
.xC1/px
dx:
Câu 4 (2.5 điểm).
a) Cho chuỗi lũy thừa
1
X
nD0
.1/n.xC1/n
2n. Chuỗi này chắc chắn hội tụ trên khoảng mở .a;b/nào đó và
phân kỳ bên ngoài đoạn Œa;b. Hãy tìm a;b. Chuỗi này có hội tụ khi xDavà xDbhay không? Vì
sao?
b) Xét hàm số fcho bởi f .x/D.sin x/2. Hãy tìm khai triển Taylor của fđến bậc 3 (gọi là T3.x/)
xung quanh điểm aD
2. Sau đó tính gần đúng f .91ı/từ khai triển này và cho biết sai số của f .91ı/
so với giá trị gần đúng không quá bao nhiêu?
ĐÁP ÁN
Câu Lời giải Điểm
1a
8x¤1;p.x1/2
x1Djx1j
x1, do đó
f .x/D8
ˆ
<
ˆ
:
1nếux<1
1nếu x>1
2nếu xD1
Ta thấy lim
x!1
f .x/D 1¤1Dlim
x!1C
f .x/D 1nên hàm số fgián đoạn tại 1.
1b
Xét hàm số fcho bởi f .x/Dln xex, là hàm sơ cấp liên tục trên Œ1;e. Hơn nữa
f .1/D e1<0và f .e/D1ee>1e0D0. Theo định lý giá trị trung gian của
hàm liên tục thì tồn tại số c2.1;e/sao cho f .c/D0, nghĩa là ln cDec, suy ra đpcm.
1c
Ta có 1cos x<0khi 2
3x<
2hoặc
2<x<3
2;
0cos x<1khi x2h
2;
2i[h3
2;2n f0g;
cos xD1khi xD0hoặc xD2. Do đó
f .x/D2cos xD
8
ˆ
ˆ
ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
:
2khi 2
3x<
2hoặc
2<x<3
2
0khi x2h
2;
2i[h3
2;2n f0g
2khi xD0hoặc xD2
Các điểm gián đoạn của flà ˙
2,3
2,0và 2.
2a
Một khoảng cong của .C/Wy2tan xCln yDychứa điểm .
4I1/được xem là đồ thị
của một ẩn hàm yDf .x/. Phương trình tiếp tuyến của .C/tại
4là
yD1Cf0.
4/.x
4/(1)
Lấy đạo hàm theo xở hai vế của phương trình của .C/, ta được
y2
cos2xC2yy0tan xCy0
yDy0
Thay xD
4và yD1vào phương trình trên, ta được 2C2f0.
4/Cf0.
4/Df0.
4/,
suy ra f0.
4/D 1, thế vào (1) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm yD1.x
4/.
1
2b
Đường kính ngoài của quả cầu là d0D3(mét). Đường kính trong là d(mét), trong đó
dDdd0D 0;002 (mét). Thể tích hình cầu đường kính dđược cho bởi công thức
V.d/D
6d3(m3). Thể tích của vỏ thép làm nên hình cầu là
V.3/V.d/D V dV D V0.3/dD
2320;002 D9
1000 .m3/
2c
Ước tính n0.1/D1
275 35
10;5C120 75
1;51D85 (nhịp/phút). Tốc độ đập của nhịp tim
tại từng thời điểm cũng là độ dốc của các tiếp tuyến của đồ thị hàm n, được ước tính như
sau
n0.1;5/D1
2120 75
1;51C170 120
21;5D95 (nhịp/phút)
n0.2/D1
2170 120
21;5C215 170
2;52D95 (nhịp/phút)
n0.2;5/D1
2215 170
2;52C250 215
32;5D80 (nhịp/phút)
Vậy ở hai thời điểm tD1;5và tD2thì tim đập nhanh nhất.
3a
(i) Z9
1
f .x/dxL4D2f .1/Cf .3/Cf .5/Cf .7/D2.0;5C1C1;5C2/D10.
(ii) Với uDx2thì g.x/DZu
0
f .tC1/dt. Khi đó
g0.x/Ddg
dudu
dxDf .uC1/2x D2xf .x2C1/:
Vậy g0.2/D22f .5/D41;5D6.
2
3b
(i) Trước hết ta tìm nguyên hàm bằng cách đặt uDln xvà dvD1
x3dx, chọn vD 1
2x2.
Khi đó
Zln x
x3dxDZudvDuvZvduDuvC1
2Z1
x3dxD ln x
2x31
4x2
Vậy
Z1
1
ln x
x3dxDlim
t!1 Zt
1
ln x
x3dxDlim
t!1 ln x
2x31
4x2t
1
Dlim
t!1 ln t
2t31
4t2C1
4D1
4(quy tắc L’Hospital)
(ii) Trước hết ta tìm nguyên hàm bằng cách đặt uDpx,xDu2,dxD2udu. Khi đó
Z1
.xC1/px
dxDZ2du
u2C1D2arctan uD2arctan.px/:
Vậy
Z1
0
1
.xC1/px
dxDlim
t!0CZ1
t
1
.xC1/px
dxD2lim
t!0C
arctan.px/ˇ
ˇ
ˇ
1
t
D2lim
t!0Carctan 1arctan.pt/D
2
4a
Hệ số tổng quát của chuỗi lũy thừa là cnD.1/n
2n. Ta có
LDlim
n!1 ˇ
ˇ
ˇ
cnC1
cnˇ
ˇ
ˇDlim
n!1
2n
2nC1D1
2
và bán kính hội tụ của chuỗi là RD1
LD2. Khi jxC1j<2, nghĩa là x2.3;1/, thì
chuỗi hội tụ. Khi x62 Œ3;1thì chuỗi phân kỳ.
Với xD 3hay xD1thì số hạng tổng quát ancủa chuỗi thỏa janj D 1, do đó dãy .an/
không thể có giới hạn bằng 0, suy ra chuỗi phân kỳ.
3