BIÊN SOẠN BỞI CLB HỖ TRỢ HỌC TẬP BÁCH KHOA
CLB.HTHT-WEBSITE.COM
Tài liệu là món quà của CLB Hỗ trợ Học tập dành cho các bạn sinh viên Đại học Bách Khoa Hà Nội. CLB
xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến các bạn vì đã tin tưởng đồng hành cùng CLB trong suốt thời gian vừa
qua. Sự ủng hộ của các bạn chính là nguồn động lực lớn nhất để chúng mình phấn đấu đưa CLB ngày một
phát triển và đem đến nhiều tài liệu chất lượng hơn. Cuối cùng, xin chúc các bạn một kỳ học tập hiệu quả và
thành công.
Bản in lần thứ nhất, tháng 6 năm 2025
Mục lục
IMục 1 - Tóm tắt lý thuyết
1Ứng dụng của phép vi phân trong hình học ..................... 7
1.1 Hàm véctơ ...................................................... 7
1.1.1 Định nghĩa, giới hạn, tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Đạo hàm, tính khả vi và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Vídụ ........................................................... 8
1.2 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng .................. 10
1.2.1 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Hình bao của họ đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Vídụ ...........................................................11
1.3 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian .............. 13
1.3.1 Đường cong trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Mặt cong trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Đường cong cho dưới dạng giao của 2 mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4 Vídụ ...........................................................14
1.4 Độ cong của đường cong ........................................ 15
1.4.1 Định nghĩa và ý nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Các công thức tính độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.3 Vídụ ...........................................................16
2Tích phân bội ................................................. 17
2.1 Tích phân kép .................................................. 17
2.1.1 Định nghĩa, điều kiện khả tích và tính chất của tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Tính tích phân kép bằng cách đổi hệ tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4 Ứng dụng của tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Tích phân bội ba ................................................ 24
2.2.1 Định nghĩa, điều kiện khả tích và tính chất của tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 Tính tích phân bội ba bằng cách đổi hệ tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.4 Ứng dụng của tích phân bội ba: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3Tích phân phụ thuộc tham số .................................. 30
3.1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số ............................... 30
3.1.1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 Tích phân xác định với cận biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số ............................... 34
3.2.1 Khái niệm tích phân suy rộng phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Tính chất của tích phân suy rộng hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.3 Một số tích phân quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Tích phân Euler .................................................. 37
3.3.1 HàmGamma.....................................................37
3.3.2 HàmBeta........................................................37
4Tích phân đường ............................................. 39
4.1 Tích phân đường loại 1 ........................................... 39
4.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2 Công thức tính tích phân đường loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.3 Ứng dụng của tích phân dường loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Tích phân đường loại 2 ........................................... 43
4.2.1 Định nghĩa, tính chất và ý nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.2 Công thức tính tích phân đường loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.3 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.4 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân . . . . . . . . . 46
4.2.5 Ứng dụng của tích phân đường loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5Tích phân mặt ................................................ 48
5.1 Tích phân mặt loại một ........................................... 48
5.1.1 Định nghĩa tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.2 Cách tính tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.3 Ứng dụng tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 Tích phân mặt loại 2 ............................................. 52
5.2.1 Định nghĩa tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.2 Cách tính tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.3 Công thức Ostrogradsky và công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6Lý thuyết trường .............................................. 57
6.1 Trường vô hướng ................................................ 57
6.1.1 Định nghĩa trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.2 Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.3 Gradient ........................................................58
6.2 Trường Vectơ ................................................... 59
6.2.1 Định nghĩa trường Vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2.2 Thông lượng, độ phân tán, trường ống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2.3 Hoàn lưu, vectơ xoáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.4 Trường thế - hàm thế vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
II Mục 2 - Đề thi các nhóm ngành
7Đề thi ........................................................ 63
7.1 Đề thi thử cuối kì CLB Hỗ trợ Học tập - Nhóm ngành 1 - Học kỳ 2024.2 ...... 63
7.2 Đề thi thử cuối kì CLB Hỗ trợ Học tập - Nhóm ngành 2 - Học kỳ 2024.2 ...... 65
7.3 Đề thi cuối kì nhóm ngành 1 - Kíp 1 - Học kỳ 2023.2 ..................... 66
7.4 Đề thi cuối kì nhóm ngành 1 - Kíp 2 - Học kỳ 2023.2 ..................... 67
7.5 Đề thi cuối kì nhóm ngành 2 - Học kỳ 2023.2 .......................... 68
7.6 Đề thi cuối kì nhóm ngành CTTT - Học kỳ 2023.2 ........................ 69
7.7 Đề thi thử cuối kì CLB Hỗ trợ Học tập - Nhóm ngành 1 - Học kỳ 2023.2 ...... 70
7.8 Đề thi thử cuối kì CLB Hỗ trợ Học tập - Nhóm ngành 2 - Học kỳ 2023.2 ...... 71
7.9 Đề thi cuối kì nhóm ngành 1 - Kíp 1 - Học kỳ 2022.2 ..................... 72
7.10 Đề thi cuối kì nhóm ngành 1 - Kíp 2 - Học kỳ 2022.2 ..................... 73
7.11 Đề thi cuối kì nhóm ngành 2 - Học kỳ 2022.2 .......................... 74
7.12 Đề thi cuối kì nhóm ngành CTTT - Học kỳ 2022.2 ........................ 75
7.13 Đề thi cuối kì nhóm ngành 1 - Học kì 20201 ........................... 76
7.14 Đề thi cuối kì nhóm ngành 1 - Kíp 1 - Học kì 20192 ...................... 77
7.15 Đề thi cuối kì nhóm ngành 1 - Kíp 2 - Học kì 20192 ...................... 78
7.16 Đề thi cuối kì nhóm ngành 1 - Học kì 20183 ........................... 79
7.17 Đề thi cuối kì nhóm ngành 1 - Học kì 20182 ........................... 80
7.18 Đề thi cuối kì nhóm ngành 1 - Học kì 20172 ........................... 81
8Đáp án ...................................................... 82
8.1 Đáp án đề thi thử cuối kì CLB Hỗ trợ Học tập - Nhóm ngành 1 - Học kỳ 2024.2 82
8.2 Đáp án đề thi thử cuối kì CLB Hỗ trợ Học tập - Nhóm ngành 2 - Học kỳ 2024.2 89
8.3 Đáp án đề thi cuối kì - Kíp 1 - Nhóm ngành 1 - Học kỳ 2023.2 ............. 97
8.4 Đáp án đề thi cuối kì - Kíp 2 - Nhóm ngành 1 - Học kỳ 2023.2 ............ 104
8.5 Đáp án đề thi cuối kì - Nhóm ngành 2 - Học kỳ 2023.2 ................. 110
8.6 Đáp án đề thi cuối kì - Nhóm ngành CTTT - Học kỳ 2023.2 ............... 116
8.7
Đáp án đề thi thử cuối kì CLB Hỗ trợ Học tập - Nhóm ngành 1 - Học kỳ 2023.2 123
8.8
Đáp án đề thi thử cuối kì CLB Hỗ trợ Học tập - Nhóm ngành 2 - Học kỳ 2023.2 130
8.9 Đáp án đề thi cuối kì - Kíp 1 - Nhóm ngành 1 - Học kỳ 2022.2 ............ 135
8.10 Đáp án đề thi cuối kì - Kíp 2 - Nhóm ngành 1 - Học kỳ 2022.2 ............ 141
8.11 Đáp án đề thi cuối kì - Nhóm ngành 2 - Học kỳ 2022.2 ................. 148
8.12 Đáp án đề thi cuối kì - Nhóm ngành CTTT - Học kỳ 2022.2 ............... 152
8.13 Đáp án đề thi cuối kì - Nhóm ngành 1 - Học kì 20201 .................. 159
8.14 Đáp án đề thi cuối kì - Kíp 1 - Nhóm ngành 1 - Học kì 20192 ............. 164
8.15 Đáp án đề thi cuối kì - Kíp 2 - Nhóm ngành 1 - Học kì 20192 ............. 170
8.16 Đáp án đề thi cuối kì - Nhóm ngành 1 - Học kì 20183 .................. 174
