1
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN
HỌC PHẦN TOÁN 3
BÀI TẬP THẢO LUẬN CHƯƠNG 1
BT 1. Tìm miền xác định của các hàm số:
1.
1 1
f ( x, y )
x y x y
2.
2 2 2 2
4 1
f ( x, y ) x y x y
3.
1y
f ( x, y ) arcsin
x
4.
2
1
f ( x, y )
y x
3.
3 3
2 2
x y
f ( x, y )
x y
. 4.
y
f ( x, y ) xarctg x
BT 2.Tìm các đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của các hàm số sau:
1.
( , ) ( )
x
y
f x y tg x y e
7.
z
f x y z xy xy
2.
2 2
x
( , ) arcsin x
f x y
y
8.
( , , )
z
y
f x y z
x
3.
( , ) ln( )f x y xy xy
9.
( , , ) , 0
x
y
f x y z z z
4.
2 2
( , ) ln( )f x y x x y
10.
( , , ) , 0, 0
z
y
f x y z x x y
5.
2 2
( , ) x
f x y
x y
11.
( , , ) sin
xyz
y
f x y z e
z
6.
( , ) , 0
y
x
f x y x x
12.
2 2
( , , ) z
f x y z
x y
BT 3. Tìm đạo hàm của các hàm số hợp sau:
1.
2 2
2
2 2
osu
( , ) , y= u
x y
x c
f x y e
v
6.
sin
u
( , ) artg ,
os3t
v
u t
f x y v c
2.
2 2
( , ) ln( ),
x
v=
y
u xy
f x y u v
7.
( , ) ( , )
x y
f x y f
y x
3.
2 2
2
u
( , ) ln ,
y=e
v
u
x
v
f x y x y
8.
2 2
( , ) ( , )f x y f x y x y
4.
usinv
x
( , ) artg ,
y=vcosu
y
x
f x y
9.
2
1
( , , ) , ln
x t
f x y z xyz y t
z tgt
2
5.
v
( , ) u ,
x
u
y
f x y
v xy
10.
3
2 2 2
3
( , , ) , sin 2
4
t
x e
f x y z x y z y t
z t
BT 4. Tìm đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau:
1.
3 3 4
,
x y y x a
tính
y
2.
y
xe
x xy
ye e
, tính
y
3.
x+y
artg
a
y
a
, tính
y
4. 2 2
y
ln x artg x
y
, tính
y
,
y
5.
m
x axyz, m,n,p N
n p
y z
tính
,
x y
z z
6.
1 -ln( ) 0
xy xy
xy e e
, tính
y
,
7.
x
y=1+y
, tính
y
8.
xy 2
sinxy-e
x y
, tính
y
9.
z
x+ y
z
y
x
e
tính
,
x y
z z
10.
2 2 2
sinxyz+cos(x ) 1
y z
tính
,
x z
y y
.
BT 5. Phươngtrình
2 2 2
2
z y z
x
xácđịnhhàmsốẩnz=z(x,y)chứngminhrằng:
2
1 1
x y
x z z
y z
.
BT 6.Cho
x z
u
y z
.Tính
,
x y
u u
biếtzlàhàmẩncủax,yxácđịnhtừphươngtrình
z x y
ze xe ye
.
BT 7 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau:
1.
y
z x
6.
x+y
arctg
1-xy
z
2.
2
osx
x y
z e c
7.
2 2 2
u x y z
3.
x
arctg y
z
8.
z
x
u
y
4.
2 2
x y
z x y e
5.
1 1
m n
z x y
BT 8.
1. Tínhđạohàmcủahàmsố
2 3
u xy z
tạiđiểmM
o
(1;2;-1)theohướngxácđịnh
bởivéctơ
0 1
M M
vớiM
1
(0;4;-3)
3
2.Chou=x
2
y
2
z
2
.Tính
gradu
và
u
l
tạiM
0
(1;-1;3)biết
l
đượcxácđịnhbởivéc
tơ
0 1
M M
vớiM
1
(0;1;1)
3. Cho
2 2 2
u 3x 2y z 2yz
.Tínhđạohàmcủahàmsốutheohướngvéctơ
0 1
M M

tạiđiểm
1
M
biết
0 1
M 3, 2,1 ;M 2,1,2
.
BT 9.Chohàmsố
3 3 3
3z x y z xyz
vàđiểmM(1,2,1).
1.Tìmđộlớnvàhướngcủa
gradu

tạiM.
2.TìmMsaocho
gradu

triệttiêu.
3.Tìmhướng
l
màtạiđó
z
M
l
=0.
BT 10.Tìm cực trị của các hàm số sau:
1)
y
z x y xe
9)
3 2
4
z x x xy
2)
4 4 2 2
2 2z x y x y
10)
ax 2
( 2 )z e x y y
3)
4 4 2
2 4 4z x y x y
11)
2 2
ln( )z xy x y
4)
2 2
2 2 ( )
(ax )
x y
z by e
12)
3 3
1
( )
3
z xy x y
5)
3 3
ax
z bxy ay
13)
2 2 2
2 2
( 0)
1
ax by c
z a b c
x y
6)
50 20
( 0, 0)
z xy x y
x y
14)
2 2
2 2
1 ( 0, 0)
x y
z xy a b
a b
7)
2 2
1 ax
z xy by
15)
2 2
( )
(5 7 25)
x xy y
z x y e
8)
3 3 2 2
1 1
–
3 3
z x y y x
.16) z = x
2
(x + 1) + y
3
.
BT 11. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau:
1)
1 1
z
x y
vớiđiềukiện
2 2 2
1 1 1
x y a
2)
z xy
vớiđiềukiện
1x y
3)
2z x y
vớiđiềukiện
2 2
5
x y
4)
2 2
z x y
vớiđiềukiện
1
2 3
x y
5)
u x y z
vớiđiềukiện
1 1 1
1
x y z
6)
2 2 2
u x y z
vớiđiềukiện
2 2 2
222
1 ( )
x y z
a b c
a b c
7)
2 2u x y z
vớiđiềukiện
2 2 2
9
x y z
4
8)
3 2 3
5
u x y z
vớiđiềukiện
0
x y z
9)
2 2 2
2u x y z
vớiđiềukiện
1x y z
10)
2 3
u xy z
vớiđiềukiện
x y z a
11) u=x+yvớiđiềukiện
1 1
1
x y
.
BT 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1)
2 2
z x y
trongmiềntròn
2 2
4
x y
2)
2
(4 )z x y x y
tronghìnhtamgiácgiớihạnbởicácđườngthẳngx=0,
y=0,x+y=6
3)
2 2
( ) 2 2
(ax )
x y
z e by
trongmiềntròn
2 2
1
x y
4)
z x y
trongmiềntròn
2 2
1
x y
5)
3 3
3z x y xy

trênmiền
0 2, 1 2
D x y
6)
2
2 4 8z x xy x y
trênmiền
0 1,0 2
D x y
7)
sinx+siny+sin(x+y)
z
trênmiền
0 ,0
2 2
D x y
8)
2 2
2
z x y x y
trênmiền
0, 0, 2
D x y x y
9)
2
4
z x y x y
vớiDlàmiềngiớihạnbởix=0,y=0,x+y=6.
10)
2 2
2 2
3
x y
x y
z
e
trongmiềntròn
2 2
4
x y