Cơ học lý thuyết (Tóm tắt lý thuyết và bài tập mẫu)

C(cid:212) HOˇC LY(cid:217) THUYE`T (Toøm taØt lyø thuyeÆt & Bałi ta(cid:228)p maªu)

Tr(cid:242)nh Anh Ngo(cid:239)c

15/10/2009

We are what we repeatedly do. Excellence, then, is not an act, but a habit. Aristotle Kho(cid:226)ng ai hy vo(cid:239)ng ho(cid:239)c b(cid:244)i mał kho(cid:226)ng b(cid:242) (cid:246)(cid:244)øt. Cuıng kho(cid:226)ng coø ai hy vo(cid:239)ng ho(cid:239)c b(cid:244)i mał ch(cid:230) nh(cid:244)ł æo(cid:239)c saøch hay nh(cid:236)n ng(cid:246)(cid:244)łi khaøc b(cid:244)i. B(cid:244)i lo(cid:228)i kho(cid:226)ng the(cid:229) ho(cid:239)c mał kho(cid:226)ng coø th(cid:246)(cid:239)c hałnh. Ch(cid:230) coø mo(cid:228)t caøch ho(cid:239)c lał t(cid:246)(cid:239) "neøm" m(cid:236)nh xuoÆng n(cid:246)(cid:244)øc vał ta(cid:228)p luye(cid:228)n hałng tua(cid:224)n, tha(cid:228)m ch(cid:237) hałng thaøng, cho æeÆn khi bałi ta(cid:228)p luye(cid:228)n tr(cid:244)ß thałnh phaßn xa(cid:239) nhe(cid:239) nhałng. T(cid:246)(cid:244)ng t(cid:246)(cid:239) nh(cid:246) va(cid:228)y, c(cid:244) ho(cid:239)c kho(cid:226)ng the(cid:229) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c ho(cid:239)c mo(cid:228)t caøch thu(cid:239) æo(cid:228)ng. Kho(cid:226)ng giaßi quyeÆt nhie(cid:224)u bałi toaøn coø t(cid:237)nh thaøch th(cid:246)øc, ng(cid:246)(cid:244)łi sinh vie(cid:226)n kho(cid:226)ng coø caøch nało khaøc æe(cid:229) kie(cid:229)m tra naŒng l(cid:246)(cid:239)c hie(cid:229)u bieÆt cußa m(cid:236)nh ve(cid:224) mo(cid:226)n ho(cid:239)c. (cid:209)a(cid:226)y lał n(cid:244)i sinh vie(cid:226)n gaºt haøi æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c s(cid:246)(cid:239) t(cid:246)(cid:239) tin, caßm giaøc thoßa maın vał lo(cid:226)i cuoÆn naßy sinh nh(cid:244)ł s(cid:246)(cid:239) hie(cid:229)u bieÆt xaøc th(cid:246)(cid:239)c ve(cid:224) caøc nguye(cid:226)n lyø a(cid:229)n tałng. Khaß naŒng giaßi caøc bałi toaøn lał ch(cid:246)øng minh toÆt nhaÆt s(cid:246)(cid:239) naØm v(cid:246)ıng mo(cid:226)n ho(cid:239)c. Nh(cid:246) trong b(cid:244)i lo(cid:228)i, ba(cid:239)n giaßi całng nhie(cid:224)u bałi toaøn, ba(cid:239)n całng saØc xaßo, naØm baØt nhanh caøc kyı naŒng giaßi toaøn. (cid:209)e(cid:229) thu l(cid:244)(cid:239)i æa(cid:224)y æuß t(cid:246)ł caøc th(cid:237) du(cid:239) vał bałi ta(cid:228)p æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c giaßi trong tałi lie(cid:228)u nały (cuıng nh(cid:246) saøch bałi ta(cid:228)p mał ba(cid:239)n coø), traønh tham khaßo ngay l(cid:244)łi giaßi quaø s(cid:244)øm. NeÆu ba(cid:239)n kho(cid:226)ng the(cid:229) giaßi bałi toaøn sau nh(cid:246)ıng no(cid:229) l(cid:246)(cid:239)c ban æa(cid:224)u, haıy th(cid:246)ß coÆ gaØng la(cid:224)n n(cid:246)ıa! NeÆu ba(cid:239)n t(cid:236)m æo(cid:239)c l(cid:244)łi giaßi ch(cid:230) sau nhie(cid:224)u la(cid:224)n no(cid:229) l(cid:246)(cid:239)c, noø seı æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c gi(cid:246)ı la(cid:239)i trong tr(cid:237) ba(cid:239)n mo(cid:228)t th(cid:244)łi gian dałi. Cołn neÆu ba(cid:239)n t(cid:236)m ra æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c l(cid:244)łi giaßi cußa rie(cid:226)ng m(cid:236)nh cho bałi toaøn, th(cid:236) ne(cid:226)n so saønh noø v(cid:244)øi l(cid:244)łi giaßi trong saøch. Ba(cid:239)n coø the(cid:229) t(cid:236)m thaÆy (cid:244)ß æoø l(cid:244)łi giaßi go(cid:239)n h(cid:244)n, caøch tieÆp ca(cid:228)n tho(cid:226)ng minh h(cid:244)n.

L(cid:244)łi khuye(cid:226)n

Tałi lie(cid:228)u o(cid:226)n ta(cid:228)p nały kho(cid:226)ng the(cid:229) thay theÆ cho saøch lyø thuyeÆt vał saøch bałi ta(cid:228)p ve(cid:224) c(cid:244) ho(cid:239)c. Noø ch(cid:230) coø taøc du(cid:239)ng giuøp ba(cid:239)n o(cid:226)n ta(cid:228)p coø chuß æie(cid:229)m ve(cid:224) mo(cid:228)t soÆ vaÆn æe(cid:224) quan tro(cid:239)ng trong ch(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh mo(cid:226)n c(cid:244) ho(cid:239)c lyø thuyeÆt. Mo(cid:228)t æie(cid:224)u quan tro(cid:239)ng: v(cid:236) mo(cid:228)t cuoÆn saøch bałi ta(cid:228)p noøi chung th(cid:246)(cid:244)łng ch(cid:246)øa æ(cid:246)(cid:239)ng nhie(cid:224)u, raÆt nhie(cid:224)u caøc th(cid:237) du(cid:239) vał bałi ta(cid:228)p, ba(cid:239)n tuye(cid:228)t æoÆi ne(cid:226)n traønh coÆ gaØng nh(cid:244)ø nhie(cid:224)u kyı thua(cid:228)t vał l(cid:244)łi giaßi cußa noø; thay v(cid:236) theÆ, ba(cid:239)n ne(cid:226)n ta(cid:228)p trung vało s(cid:246)(cid:239) hie(cid:229)u bieÆt caøc khaøi nie(cid:228)m vał nh(cid:246)ıng ne(cid:224)n taßng mał noø hałm ch(cid:246)øa. Haıy baØt æa(cid:224)u HOˇC vał TA˜P.

Chuøc ba(cid:239)n thałnh co(cid:226)ng.

Mu(cid:239)c lu(cid:239)c

1 (cid:209)O˜NG HOˇC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 . . . . .

Ph(cid:246)(cid:244)ng phaøp mo(cid:226) taß chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng . 1.1 . 1.2 1.3 Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa coÆ the(cid:229) 2.1 2.2 . He(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) . . . Lua(cid:228)t chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng - Va(cid:228)n toÆc - Gia toÆc . . Vałi chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quan tro(cid:239)ng . . . . . . . . Tr(cid:246)(cid:244)łng va(cid:228)n toÆc cußa coÆ the(cid:229) . . H(cid:244)(cid:239)p chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 3 4 5 5 6

2 (cid:209)O˜NG L(cid:214)ˇC HOˇC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Caøc æ(cid:242)nh lua(cid:228)t Newton . 1.1 . 1.2 1.3 . . . L(cid:246)(cid:239)c . . . . Hai bałi toaøn c(cid:244) baßn cußa æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:239)c ho(cid:239)c . Caøc æ(cid:242)nh lyø to(cid:229)ng quaøt cußa æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:239)c ho(cid:239)c . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 8 9 10

3 C(cid:212) HOˇC GIA(cid:219)I T˝CH

1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Caøc khaøi nie(cid:228)m c(cid:244) baßn . Ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange . 2.1 2.2 2.3 2.4 . . . . . . . Ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh to(cid:229)ng quaøt æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:239)c ho(cid:239)c . . . Ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai . Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p he(cid:228) baßo toałn . . . . Thuß tu(cid:239)c thieÆt la(cid:228)p ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 16 16 16 17 18

BA(cid:216)I TA˜P 19

MUˇC LUˇC iii

L(cid:212)(cid:216)I GIA(cid:219)I MO˜T SO` BA(cid:216)I TA˜P 33

A (cid:209)e(cid:224) thi maªu 52

B (cid:209)e(cid:224) thi mo(cid:226)n C(cid:244) ho(cid:239)c lyø thuyeÆt . Tałi lie(cid:228)u tham khaßo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 67

Ch(cid:246)(cid:244)ng 1

(cid:209)O˜NG HOˇC

(cid:209)e(cid:229) hie(cid:224)u vał bieÆt caøch giaßi caøc bałi toaøn c(cid:244) ho(cid:239)c sinh vie(cid:226)n nhaÆt thieÆt phaßi naØm v(cid:246)ıng lyø thuyeÆt ve(cid:224) c(cid:244) ho(cid:239)c. Pha(cid:224)n lyø thuyeÆt d(cid:246)(cid:244)øi æa(cid:226)y ch(cid:230) lał toøm l(cid:246)(cid:244)(cid:239)c caøc æie(cid:229)m ch(cid:237)nh, sinh vie(cid:226)n ne(cid:226)n ho(cid:239)c la(cid:239)i pha(cid:224)n lyø thuyeÆt t(cid:246)(cid:244)ng (cid:246)øng trong caøc saøch lyø thuyeÆt.

1 Ph(cid:246)(cid:244)ng phaøp mo(cid:226) taß chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng

1.1 He(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228)

KieÆn th(cid:246)øc ca(cid:224)n bieÆt: (1) æa(cid:239)i soÆ vect(cid:244) vał (2) giaßi t(cid:237)ch vect(cid:244) (xem Ch. 0, [1]). Lałm caøc bałi ta(cid:228)p t(cid:246)ł 1 æeÆn 8.

H(cid:236)nh 1: Vect(cid:244) c(cid:244) s(cid:244)ß æ(cid:242)a ph(cid:246)(cid:244)ng

2 CH(cid:214)(cid:212)NG 1. (cid:209)O˜NG HOˇC

+ He(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) Descartes:

M(x, y, z)

(1.1) (1.2) r = xi + yj + zk dr = (dx)i + (dy)j + (dz)k ⇔ ⇒

+ He(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) tru(cid:239):

M(r, ϕ, z)

(1.3) (1.4) r = rer + zez dr = (dr)er + (rdϕ)eϕ + (dz)ez ⇔ ⇒

trong æoø er, eϕ, ez lał caøc vect(cid:244) c(cid:244) s(cid:244)ß æ(cid:242)a ph(cid:246)(cid:244)ng cußa to(cid:239)a æo(cid:228) tru(cid:239) ta(cid:239)i M.

+ He(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) ca(cid:224)u:

M(r, ϕ, θ)

(1.5) (1.6) r = rer dr = (dr)er + (rdϕ)eϕ + (rdθ)eθ ⇔ ⇒

trong æoø er, eϕ, eθ lał caøc vect(cid:244) c(cid:244) s(cid:244)ß æ(cid:242)a ph(cid:246)(cid:244)ng cußa to(cid:239)a æo(cid:228) ca(cid:224)u ta(cid:239)i M.

He(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) Quan he(cid:228) v(cid:244)øi to(cid:239)a æo(cid:228) Vect(cid:244) c(cid:244) s(cid:244)ß æ(cid:242)a ph(cid:246)(cid:244)ng

Tru(cid:239) (r, ϕ, z) sin ϕi + cos ϕj

Ca(cid:224)u (r, ϕ, θ) sin ϕi + cos ϕj) Descartes x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ sin θk er = cos ϕi + sin ϕj eϕ = − ez = k er = sin θ(cos ϕi + sin ϕj) + cos θk eϕ = sin θ( − eθ = cos θ(cos ϕi + sin ϕj) −

H(cid:236)nh 2: Vect(cid:244) c(cid:244) s(cid:244)ß æ(cid:242)a ph(cid:246)(cid:244)ng cußa to(cid:239)a æo(cid:228) t(cid:246)(cid:239) nhie(cid:226)n.

Tre(cid:226)n æ(cid:246)(cid:244)łng cong C, cho(cid:239)n æie(cid:229)m M0 vał mo(cid:228)t chie(cid:224)u d(cid:246)(cid:244)ng tre(cid:226)n C. Hoałnh æo(cid:228) cong cußa æie(cid:229)m M tre(cid:226)n C lał soÆ æa(cid:239)i soÆ s coø tr(cid:242) tuye(cid:228)t æoÆi baŁng chie(cid:224)u dałi cung

M0M vał laÆy daÆu co(cid:228)ng neÆu chie(cid:224)u t(cid:246)ł M0 æeÆn M lał chie(cid:224)u d(cid:246)(cid:244)ng, daÆu tr(cid:246)ł neÆu ng(cid:246)(cid:244)(cid:239)c la(cid:239)i.

CH(cid:214)(cid:212)NG 1. (cid:209)O˜NG HOˇC 3

H(cid:236)nh 2 the(cid:229) hie(cid:228)n caøc vect(cid:244) c(cid:244) s(cid:244)ß æ(cid:242)a ph(cid:246)(cid:244)ng cußa he(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) t(cid:246)(cid:239) nhie(cid:226)n (hoałnh æo(cid:228) cong s) cußa æ(cid:246)(cid:244)łng cong coø ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh tham soÆ r = r(s).

Vect(cid:244) tieÆp tuyeÆn æ(cid:244)n v(cid:242) t:

(1.7) . t = dr ds

Vect(cid:244) phaøp tuyeÆn æ(cid:244)n v(cid:242) n æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c xaøc æ(cid:242)nh sao cho

(1.8) n, = kn = dt ds 1 ρ

trong æoø k = 1/ρ lał æo(cid:228) cong, ρ lał baøn k(cid:237)nh cong (cußa æ(cid:246)(cid:244)łng cong) ta(cid:239)i M. Chuø yø, vect(cid:244) phaøp tuyeÆn æ(cid:244)n v(cid:242) n luo(cid:226)n h(cid:246)(cid:244)øng ve(cid:224) be(cid:224) loım cußa æ(cid:246)(cid:244)łng cong C.

Vect(cid:244) l(cid:246)(cid:244)ıng phaøp tuyeÆn æ(cid:244)n v(cid:242):

(1.9) n. b = t × + To(cid:239)a æo(cid:228) t(cid:246)(cid:239) nhie(cid:226)n:

(1.10) M(s) r = r(s) ⇔

1.2 Lua(cid:228)t chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng - Va(cid:228)n toÆc - Gia toÆc

(1.11) = (ds)t dr = (ds) dr ds ⇒

Ph(cid:246)(cid:244)ng phaøp Lua(cid:228)t chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng Vect(cid:244) Va(cid:228)n toÆc ˙r Gia toÆc ¨r

( ˙x, ˙y, ˙z) (¨x, ¨y, ¨z) Descartes i, j, k { }  

( ˙r, r ˙ϕ, ˙z) (¨r r ˙ϕ2, 2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ, ¨z) Tru(cid:239) er, eϕ, k − { }   

( ˙r, r ˙ϕ) (¨r r ˙ϕ2, 2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ) r = f(t) x = f(t) y = g(t) z = h(t) r = f(t) ϕ = g(t) z = h(t) r = f(t) ϕ = g(t) −  (cid:26) ˙v, s = f(t) (v, 0), v = ˙s v2 ρ (cid:18) (cid:19) C(cid:246)(cid:239)c er, eϕ} { T(cid:246)(cid:239) nhie(cid:226)n t, n, b } {

4 CH(cid:214)(cid:212)NG 1. (cid:209)O˜NG HOˇC

v . | | ToÆc æo(cid:228) v = Trong to(cid:239)a æo(cid:228) t(cid:246)(cid:239) nhie(cid:226)n, toÆc æo(cid:228) v = ˙s, gia toÆc tieÆp wt = ˙v, gia toÆc phaøp wn = v2/ρ.

w ): Co(cid:226)ng th(cid:246)øc t(cid:237)nh baøn k(cid:237)nh cong (kyø hie(cid:228)u w = | |

v2 (1.12) . ρ = w2 w2 t − p

T(cid:237)ch vo(cid:226) h(cid:246)(cid:244)øng v w cußa va(cid:228)n toÆc vał gia toÆc the(cid:229) hie(cid:228)n s(cid:246)(cid:239) nhanh cha(cid:228)m · cußa chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng

v (1.13) w = v ˙v · > 0 nhanh da(cid:224)n < 0 cha(cid:228)m da(cid:224)n = 0 æe(cid:224)u  

1.3 Vałi chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quan tro(cid:239)ng



? Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng trołn. (cid:209)ie(cid:229)m chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng trołn trong Oxy quanh O. Kyø hie(cid:228)u: r - vect(cid:244) æ(cid:242)nh v(cid:242) æie(cid:229)m, ϕ - goøc quay, ω = ˙ϕ - va(cid:228)n toÆc goøc, ~ω = ωk - vect(cid:244) va(cid:228)n toÆc goøc. Va(cid:228)n toÆc cußa æie(cid:229)m

(1.14) v = ~ω r. ×

Gia toÆc cußa æie(cid:229)m

r (1.15) , w = ~(cid:15) − ω2r wn × wt

| {z } | {z }

trong æoø ~(cid:15) = d~ω/dt ((cid:15) = dω/dt) lał vect(cid:244) gia toÆc goøc.

NeÆu chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng æe(cid:224)u th(cid:236) v = ωR (ω = const) vał gia toÆc h(cid:246)(cid:244)øng ta(cid:226)m

w = ω2R (R - baøn k(cid:237)nh cußa quyı æa(cid:239)o). ? Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng coø gia toÆc xuye(cid:226)n ta(cid:226)m

2c (const).

gia toÆc xuye(cid:226)n ta(cid:226)m ⇒ × v = c (const) r va(cid:228)n toÆc die(cid:228)n t(cid:237)ch d~σ Quyı æa(cid:239)o phaœng v = 1 dt = 1 2r ⇔ ⇔ ×

CH(cid:214)(cid:212)NG 1. (cid:209)O˜NG HOˇC 5

Co(cid:226)ng th(cid:246)øc Binet:

(1.16) F. + = mc2 r2 d2 dϕ2 1 r 1 r − (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:21)

Pha(cid:226)n loa(cid:239)i bałi toaøn æo(cid:228)ng ho(cid:239)c æie(cid:229)m ◦

Bałi toaøn th(cid:246)ø nhaÆt: T(cid:236)m ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng (lua(cid:228)t chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng), ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh quyı æa(cid:239)o, va(cid:228)n toÆc, gia toÆc, gia toÆc tieÆp, gia toÆc phaøp, baøn k(cid:237)nh cong cußa quyı æa(cid:239)o.

Bałi toaøn th(cid:246)ø hai: Khaßo saøt chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng nhanh da(cid:224)n æe(cid:224)u, cha(cid:228)m da(cid:224)n æe(cid:224)u vał æe(cid:224)u.

2 Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa coÆ the(cid:229)

2.1 Tr(cid:246)(cid:244)łng va(cid:228)n toÆc cußa coÆ the(cid:229)

CoÆ the(cid:229) lał c(cid:244) he(cid:228) mał khoaßng caøch gi(cid:246)ıa caøc æie(cid:229)m cußa noø kho(cid:226)ng thay æo(cid:229)i trong quaø tr(cid:236)nh chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng. V(cid:242) tr(cid:237) cußa coÆ the(cid:229) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c xaøc æ(cid:242)nh b(cid:244)ßi ba æie(cid:229)m kho(cid:226)ng thaœng hałng cußa noø.

(cid:209)(cid:242)nh lyø 1. Tr(cid:246)(cid:244)łng va(cid:228)n toÆc cußa mo(cid:228)t coÆ the(cid:229) (S) lał tr(cid:246)(cid:244)łng æaœng chieÆu

- MN

(1.17) M, N v(M) MN= v(N) (S). · · ∀ ∈

? Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:242)nh tieÆn CoÆ the(cid:229) (S) chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:242)nh tieÆn khi vect(cid:244) noÆi hai æie(cid:229)m baÆt kył cußa noø luo(cid:226)n luo(cid:226)n cułng ph(cid:246)(cid:244)ng v(cid:244)øi ch(cid:237)nh noø.

Tr(cid:246)(cid:244)łng va(cid:228)n toÆc, gia toÆc trong chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:242)nh tieÆn lał tr(cid:246)(cid:244)łng æe(cid:224)u. Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa (S) daªn ve(cid:224) chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa mo(cid:228)t æie(cid:229)m thuo(cid:228)c (S).

? Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay quanh mo(cid:228)t tru(cid:239)c coÆ æ(cid:242)nh CoÆ the(cid:229) (S) chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay quanh tru(cid:239)c coÆ æ(cid:242)nh khi noø coø hai æie(cid:229)m coÆ æ(cid:242)nh. Tru(cid:239)c quay lał æ(cid:246)(cid:244)łng thaœng æi qua hai æie(cid:229)m coÆ æ(cid:242)nh nały. Caøc æie(cid:229)m naŁm ngoałi tru(cid:239)c quay chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng trołn v(cid:244)øi ta(cid:226)m naŁm tre(cid:226)n tru(cid:239)c quay. Go(cid:239)i k lał vect(cid:244) æ(cid:244)n v(cid:242) cußa tru(cid:239)c quay (Oz), ϕ lał goøc quay.

6 CH(cid:214)(cid:212)NG 1. (cid:209)O˜NG HOˇC

Ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng: ϕ = ϕ(t). Tr(cid:246)(cid:244)łng va(cid:228)n toÆc:

(1.18) r, v(M) = ~ω × trong æoø ~ω = ˙ϕk lał vect(cid:244) va(cid:228)n toÆc goøc.

Tr(cid:246)(cid:244)łng gia toÆc:

(1.19) w(M) = ~(cid:15) r + ~ω (~ω r), × × × r, gia toÆc phaøp × r). (~ω trong æoø ~(cid:15) = ¨ϕk lał vect(cid:244) gia toÆc goøc. Gia toÆc tieÆp wt = ~(cid:15) wn = ~ω × ×

? Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng to(cid:229)ng quaøt. Chuye(cid:229)n d(cid:242)ch baÆt kył cußa coÆ the(cid:229) t(cid:246)ł v(cid:242) tr(cid:237) nały sang v(cid:242) tr(cid:237) khaøc, trong khoaßng th(cid:244)łi gian vo(cid:226) cułng beøø (chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:246)øc th(cid:244)łi), coø the(cid:229) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c th(cid:246)(cid:239)c hie(cid:228)n nh(cid:244)ł chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:242)nh tieÆn, t(cid:246)(cid:244)ng (cid:246)øng v(cid:244)øi chuye(cid:229)n d(cid:242)ch cußa mo(cid:228)t æie(cid:229)m, vał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay quanh tru(cid:239)c æi qua æie(cid:229)m aÆy.

Tr(cid:246)(cid:244)łng va(cid:228)n toÆc cußa coÆ the(cid:229) trong chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng to(cid:229)ng quaøt (co(cid:226)ng th(cid:246)øc Euler):

- CM .

(1.20) v(M) = v(C) + ω(t) ×

? Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng song phaœng CoÆ the(cid:229) (S) chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng song phaœng khi coø ba æie(cid:229)m kho(cid:226)ng thaœng hałng luo(cid:226)n luo(cid:226)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng trong maºt phaœng (π) coÆ æ(cid:242)nh. Khi khaßo saøt chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng song phaœng ta ch(cid:230) ca(cid:224)n xeøt chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa mo(cid:228)t tieÆt die(cid:228)n cußa noø (pha(cid:224)n giao cußa coÆ the(cid:229) v(cid:244)øi (π)). Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:246)øc th(cid:244)łi cußa coÆ the(cid:229) go(cid:224)m: chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay quanh mo(cid:228)t tru(cid:239)c vuo(cid:226)ng goøc v(cid:244)øi (π), vał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:242)nh tieÆn xaøc æ(cid:242)nh b(cid:244)ßi chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa giao æie(cid:229)m tru(cid:239)c quay t(cid:246)øc th(cid:244)łi v(cid:244)øi maºt phaœng (π) go(cid:239)i lał ta(cid:226)m va(cid:228)n toÆc t(cid:246)øc th(cid:244)łi.

Pha(cid:226)n loa(cid:239)i bałi toaøn æo(cid:228)ng ho(cid:239)c coÆ the(cid:229)

◦ Bałi toaøn th(cid:246)ø nhaÆt: Khaßo saøt chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay cußa coÆ the(cid:229) quanh tru(cid:239)c coÆ æ(cid:242)nh. VaÆn æe(cid:224): t(cid:236)m ϕ, ω, (cid:15) cußa coÆ the(cid:229); va(cid:228)n toÆc, gia toÆc cußa mo(cid:228)t æie(cid:229)m nało æoø tre(cid:226)n coÆ the(cid:229).

2.2 H(cid:244)(cid:239)p chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng

Bałi toaøn th(cid:246)ø hai: Bałi toaøn chuye(cid:224)n æo(cid:228)ng. Bałi toaøn th(cid:246)ø ba: KeÆt h(cid:244)(cid:239)p v(cid:244)øi chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay v(cid:244)øi chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:242)nh tieÆn.

• He(cid:228) quy chieÆu coÆ æ(cid:242)nh (T ) = Oxyz, chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa M æoÆi v(cid:244)øi (T ) go(cid:239)i lał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng tuye(cid:228)t æoÆi. va, wa - va(cid:228)n toÆc, gia toÆc cußa M æoÆi v(cid:244)øi (T ),

CH(cid:214)(cid:212)NG 1. (cid:209)O˜NG HOˇC 7

go(cid:239)i lał va(cid:228)n toÆc, gia toÆc tuye(cid:228)t æoÆi cußa M.

•

He(cid:228) quy chieÆu æo(cid:228)ng (T1) = O1x1y1z1 ((T1) chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng æoÆi v(cid:244)øi (T )), chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa M æoÆi v(cid:244)øi (T1) go(cid:239)i lał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:246)(cid:244)ng æoÆi. vr, wr - va(cid:228)n toÆc, gia toÆc cußa M æoÆi v(cid:244)øi (T1), go(cid:239)i lał va(cid:228)n toÆc, gia toÆc t(cid:246)(cid:244)ng æoÆi cußa M.

•

Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa (T1) æoÆi v(cid:244)øi (T ) go(cid:239)i lał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng theo. Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa æie(cid:229)m P , gaØn v(cid:244)øi (T1) trułng v(cid:244)øi M ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m æang xeøt, æoÆi v(cid:244)øi (T ) go(cid:239)i lał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng theo cußa M. ve, we - va(cid:228)n toÆc, gia toÆc cußa P æoÆi v(cid:244)øi (T ), go(cid:239)i lał va(cid:228)n toÆc, gia toÆc theo cußa M.

? Co(cid:226)ng th(cid:246)øc co(cid:228)ng va(cid:228)n toÆc:

(1.21) va = vr + ve.

? Co(cid:226)ng th(cid:246)øc co(cid:228)ng gia toÆc:

(1.22) wa = wr + we + wc,

trong æoø

(1.23) wc = 2~ω vr ×

lał gia toÆc Coriolis sinh ra do chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay cußa (T1) æoÆi v(cid:244)øi (T ).

Pha(cid:226)n loa(cid:239)i bałi toaøn h(cid:244)(cid:239)p chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng ◦

Bałi toaøn th(cid:246)ø nhaÆt: Bałi toaøn to(cid:229)ng h(cid:244)(cid:239)p chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng. Bałi toaøn th(cid:246)ø hai: Bałi toaøn pha(cid:226)n t(cid:237)ch chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng.

? Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng song phaœng lał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng trong æoø coÆ the(cid:229) coø ba æie(cid:229)m kho(cid:226)ng thaœng hałng thuo(cid:228)c coÆ the(cid:229) luo(cid:226)n luo(cid:226)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng trong mo(cid:228)t maºt phaœng coÆ æ(cid:242)nh. Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng song phaœng æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c xeøt baŁng caøch khaßo saøt chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa h(cid:236)nh phaœng S thuo(cid:228)c coÆ the(cid:229) naŁm trong maºt phaœng coÆ æ(cid:242)nh. Giao æie(cid:229)m cußa tru(cid:239)c quay t(cid:246)øc th(cid:244)łi cußa coÆ the(cid:229) v(cid:244)øi maºt phaœng coÆ æ(cid:242)nh go(cid:239)i lał ta(cid:226)m quay hay ta(cid:226)m va(cid:228)n toÆc t(cid:246)øc th(cid:244)łi.

Pha(cid:226)n loa(cid:239)i bałi toaøn chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng song phaœng ◦ T(cid:237)nh va(cid:228)n toÆc goøc cußa h(cid:236)nh phaœng, t(cid:237)nh va(cid:228)n toÆc cußa mo(cid:228)t æie(cid:229)m baÆt kył tre(cid:226)n h(cid:236)nh phaœng.

T(cid:237)nh gia toÆc goøc cußa h(cid:236)nh phaœng, t(cid:237)nh gia toÆc cußa mo(cid:228)t æie(cid:229)m baÆt kył tre(cid:226)n h(cid:236)nh phaœng.

Th(cid:237) du(cid:239) ve(cid:224) chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng song phaœng sinh vie(cid:226)n æo(cid:239)c kyı l(cid:244)łi giaßi caøc bałi ta(cid:228)p 3.2, 3.3, [1].

Ch(cid:246)(cid:244)ng 2

(cid:209)O˜NG L(cid:214)ˇC HOˇC

1 Caøc æ(cid:242)nh lua(cid:228)t Newton

1.1 L(cid:246)(cid:239)c

No(cid:228)i dung caøc æ(cid:242)nh lua(cid:228)t, xem Mu(cid:239)c 1.2, [1].

Quan he(cid:228) gi(cid:246)ıa l(cid:246)(cid:239)c vał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng lał no(cid:228)i dung cußa æ(cid:242)nh lua(cid:228)t th(cid:246)ø hai

(2.1) F = mw.

? L(cid:246)(cid:239)c haÆp daªn. Hai va(cid:228)t khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m1, m2 huøt nhau b(cid:244)ßi l(cid:246)(cid:239)c coø ph(cid:246)(cid:244)ng lał æ(cid:246)(cid:244)łng noÆi khoÆi ta(cid:226)m cußa chuøng vał æo(cid:228) l(cid:244)øn baŁng

(2.2) , F = G m1m2 d2

6, 67 10−11m3/s2kg lał haŁng ≈ × trong æoø d lał khoaßng caøch hai khoÆi ta(cid:226)m vał G soÆ haÆp daªn.

Tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa mo(cid:228)t va(cid:228)t lał mo(cid:226)æun cußa l(cid:246)(cid:239)c huøt do traøi æaÆt taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n va(cid:228)t.

? L(cid:246)(cid:239)c ma saøt. L(cid:246)(cid:239)c ma saøt naŁm trong maºt phaœng tieÆp xuøc gi(cid:246)ıa caøc va(cid:228)t, ng(cid:246)(cid:244)(cid:239)c h(cid:246)(cid:244)øng v(cid:244)øi chie(cid:224)u chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa va(cid:228)t hay chie(cid:224)u cußa l(cid:246)(cid:239)c taøc du(cid:239)ng vało va(cid:228)t. Ve(cid:224) æo(cid:228) l(cid:244)øn l(cid:246)(cid:239)c ma saøt t(cid:230) le(cid:228) v(cid:244)øi phaßn l(cid:246)(cid:239)c phaøp tuyeÆn

(2.3) Fms = ηRn,

CH(cid:214)(cid:212)NG 2. (cid:209)O˜NG L(cid:214)ˇC HOˇC 9

trong æoø η lał he(cid:228) soÆ ma saøt.

? L(cid:246)(cid:239)c caßn cußa mo(cid:226)i tr(cid:246)(cid:244)łng. Va(cid:228)t chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng trong mo(cid:226)i tr(cid:246)(cid:244)łng nh(cid:246) kho(cid:226)ng kh(cid:237), n(cid:246)(cid:244)øc,. . . luo(cid:226)n luo(cid:226)n ch(cid:242)u mo(cid:228)t s(cid:246)øc caßn coø h(cid:246)(cid:244)øng ng(cid:246)(cid:244)(cid:239)c v(cid:244)øi h(cid:246)(cid:244)øng chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng vał coø æo(cid:228) l(cid:244)øn t(cid:230) le(cid:228) v(cid:244)øi luıy th(cid:246)ła cußa va(cid:228)n toÆc

(2.4) F = µvα.

He(cid:228) soÆ t(cid:230) le(cid:228) µ phu(cid:239) thuo(cid:228)c baßn chaÆt cußa mo(cid:226)i tr(cid:246)(cid:244)łng, k(cid:237)ch th(cid:246)(cid:244)øc vał h(cid:236)nh daøng cußa va(cid:228)t; α lał haŁng soÆ phu(cid:239) thuo(cid:228)c vało chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng. Trong caøc chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc l(cid:244)øn nh(cid:246)ng kho(cid:226)ng v(cid:246)(cid:244)(cid:239)t quaø va(cid:228)n toÆc a(cid:226)m, th(cid:246)(cid:239)c nghie(cid:228)m cho thaÆy, l(cid:246)(cid:239)c caßn cußa mo(cid:226)i tr(cid:246)(cid:244)łng t(cid:230) le(cid:228) v(cid:244)øi b(cid:236)nh ph(cid:246)(cid:244)ng cußa va(cid:228)n toÆc (α = 2).

NeÆu va(cid:228)t r(cid:244)i t(cid:246)(cid:239) do trong kho(cid:226)ng kh(cid:237) th(cid:236) l(cid:246)(cid:239)c caßn F seı taŒng da(cid:224)n t(cid:246)ł 0 cułng v(cid:244)øi s(cid:246)(cid:239) gia taŒng va(cid:228)n toÆc. CuoÆi cułng th(cid:236) F cuıng seı baŁng tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c mg cußa va(cid:228)t. Sau æoø va(cid:228)n toÆc cußa va(cid:228)t seı kho(cid:226)ng taŒng le(cid:226)n n(cid:246)ıa do kho(cid:226)ng coø gia toÆc. Va(cid:228)n toÆc kho(cid:226)ng æo(cid:229)i nały, go(cid:239)i lał va(cid:228)n toÆc gi(cid:244)øi ha(cid:239)n (xaøc æ(cid:242)nh t(cid:246)ł ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh F = mg).

? L(cid:246)(cid:239)c æałn ho(cid:224)i. Khi loł xo b(cid:242) keøo daın ∆x = x x0 noø seı taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n va(cid:228)t − ga(cid:226)y ra l(cid:246)(cid:239)c keøo mo(cid:228)t l(cid:246)(cid:239)c Fæh t(cid:230) le(cid:228) v(cid:244)øi æo(cid:228) giaın ∆x, ng(cid:246)(cid:244)(cid:239)c v(cid:244)øi h(cid:246)(cid:244)øng l(cid:246)(cid:239)c keøo

(2.5) k∆x. Fæh =

1.2 Hai bałi toaøn c(cid:244) baßn cußa æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:239)c ho(cid:239)c

− He(cid:228) soÆ t(cid:230) le(cid:228) k go(cid:239)i lał æo(cid:228) c(cid:246)øng cußa loł xo.

Caøc b(cid:246)(cid:244)øc ca(cid:224)n th(cid:246)(cid:239)c hie(cid:228)n khi pha(cid:226)n t(cid:237)ch mo(cid:228)t bałi toaøn c(cid:244) ho(cid:239)c:

+ Cho(cid:239)n he(cid:228) quy chieÆu vał he(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) gaØn v(cid:244)øi he(cid:228) quy chieÆu aÆy. + Cho(cid:239)n æoÆi t(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng khaßo saøt (mo(cid:228)t hay nhie(cid:224)u va(cid:228)t). + Pha(cid:226)n t(cid:237)ch caøc l(cid:246)(cid:239)c taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n æoÆi t(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng khaßo saøt (veı s(cid:244) æo(cid:224) l(cid:246)(cid:239)c). + A(cid:217)p du(cid:239)ng caøc æ(cid:242)nh lua(cid:228)t Newton thieÆt la(cid:228)p ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh hay he(cid:228) ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh xaøc æ(cid:242)nh caøc æa(cid:239)i l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng ca(cid:224)n t(cid:236)m.

Caøc bałi toaøn æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:239)c ho(cid:239)c thuo(cid:228)c ve(cid:224) mo(cid:228)t trong hai da(cid:239)ng: Bałi toaøn thua(cid:228)n. Cho chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa chaÆt æie(cid:229)m t(cid:236)m l(cid:246)(cid:239)c taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n chaÆt æie(cid:229)m.

Bałi toaøn ng(cid:246)(cid:244)(cid:239)c. Cho l(cid:246)(cid:239)c taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n chaÆt æie(cid:229)m t(cid:236)m chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa æie(cid:229)m.

1.3 Caøc æ(cid:242)nh lyø to(cid:229)ng quaøt cußa æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:239)c ho(cid:239)c

CH(cid:214)(cid:212)NG 2. (cid:209)O˜NG L(cid:214)ˇC HOˇC 10

No(cid:228)i dung caøc æ(cid:242)nh lyø, xem Mu(cid:239)c 1.5, 2.1, 2.2 vał 2.3, [1]. L(cid:246)u yø mo(cid:228)t soÆ khaøi nie(cid:228)m vał co(cid:226)ng th(cid:246)øc ca(cid:224)n thieÆt d(cid:246)(cid:244)øi æa(cid:226)y.

? KhoÆi ta(cid:226)m cußa mo(cid:228)t he(cid:228) lał æie(cid:229)m h(cid:236)nh ho(cid:239)c C xaøc æ(cid:242)nh b(cid:244)ßi

(2.6) rC = mkrk, 1 M X

mk lał khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa trong æoø rk lał vect(cid:244) æ(cid:242)nh v(cid:242) chaÆt æie(cid:229)m th(cid:246)ø k, M = toałn he(cid:228). P ? (cid:209)o(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa he(cid:228)

P = mkvk = MvC.

(cid:209)(cid:242)nh lyø 2 ((cid:209)(cid:242)nh lyø æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa he(cid:228)).

(2.7) ˙P = F(e) k .

(cid:209)(cid:242)nh lyø 3 ((cid:209)(cid:242)nh lyø chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng khoÆi ta(cid:226)m).

(2.8) M¨rC = F(e) k .

? Mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cußa he(cid:228) æoÆi v(cid:244)øi æie(cid:229)m O:

(2.9) JO = mkr2 k,

trong æoø rk lał khoaßng caøch t(cid:246)ł chaÆt æie(cid:229)m th(cid:246)ø k æeÆn O.

? Mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cußa he(cid:228) æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c ∆:

(2.10) J∆ = mkd2 k,

CH(cid:214)(cid:212)NG 2. (cid:209)O˜NG L(cid:214)ˇC HOˇC 11

trong æoø dk lał khoaßng caøch t(cid:246)ł chaÆt æie(cid:229)m th(cid:246)ø k æeÆn ∆.

? Tenx(cid:244) quaøn t(cid:237)nh lał ma tra(cid:228)n

(2.11) , J =   Jxy − Jy − Jzy Jxz Jyz Jz Jx − Jyx Jzx − − −  

trong æoø Jx, Jy, Jz lał mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cußa he(cid:228) æoÆi v(cid:244)øi caøc tru(cid:239)c Ox, Oy, Oz; Jxy, Jxz, . . . lał caøc mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh ly ta(cid:226)m cußa he(cid:228)

Jxy = Jyx = mkxkyk, Jyz = Jzx = mkykzk, Jzx = Jxz = mkzkxk.(2.12)

X X X

NeÆu n = [cos α, cos β, cos γ]T lał vect(cid:244) æ(cid:244)n v(cid:242) cußa tru(cid:239)c ∆ th(cid:236) J ∆ = nT Jn.

(cid:209)(cid:242)nh lyø 4 ((cid:209)(cid:242)nh lyø Huygens).

(2.13) J∆ = JC + Md2,

trong æoø d lał khoaßng caøch gi(cid:246)ıa hai tru(cid:239)c.

? Co(cid:226)ng th(cid:246)øc t(cid:237)nh mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh ca(cid:224)n nh(cid:244)ø

1. Thanh maßnh æo(cid:224)ng chaÆt chie(cid:224)u dałi l, khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng M æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c qua khoÆi ta(cid:226)m vał vuo(cid:226)ng goøc v(cid:244)øi thanh

(2.14) Ml2. JC = 1 12

2. Vołng æo(cid:224)ng chaÆt baøn k(cid:237)nh R, khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng M æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c qua ta(cid:226)m vał vuo(cid:226)ng goøc v(cid:244)øi maºt phaœng ch(cid:246)øa vołng

(2.15) JC = MR2.

3. (cid:209)(cid:243)a trołn æo(cid:224)ng chaÆt baøn k(cid:237)nh R, khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng M æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c qua ta(cid:226)m vał vuo(cid:226)ng goøc v(cid:244)øi æ(cid:243)a

(2.16) MR2. JC = 1 2

CH(cid:214)(cid:212)NG 2. (cid:209)O˜NG L(cid:214)ˇC HOˇC 12

4. H(cid:236)nh tru(cid:239) trołn æo(cid:224)ng chaÆt baøn k(cid:237)nh R, khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng M æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c h(cid:236)nh tru(cid:239)1

(2.17) JC = MR2.

? Mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa he(cid:228)

(2.18) L = MvC + mkv0 k. rk × mkvk = rC × r0 k × X

X (cid:209)aºc bie(cid:228)t, trong chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay ~ω,

(2.19) L = J~ω.

ChieÆu xuoÆng tru(cid:239)c quay ∆

(2.20) L∆ = J∆ω.

(cid:209)(cid:242)nh lyø 5 ((cid:209)(cid:242)nh lyø mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa he(cid:228)).

(2.21) ˙L = F(e) k . rk × X

? (cid:209)o(cid:228)ng naŒng

k =

C +

Mv2 T = mkv2 mkv02 k . 1 2 1 2 X X

Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p æaºc bie(cid:228)t:

(1) Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:242)nh tieÆn

(2.22) T = Mv2 C. 1 2

(2) Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay quanh tru(cid:239)c ∆

1(cid:209)a(cid:226)y lał co(cid:226)ng th(cid:246)øc t(cid:237)nh mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cho oÆng tru(cid:239). Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p khoÆi tru(cid:239) (æaºc) J C =

1 2 M R2.

(2.23) T = J∆ω2. 1 2

CH(cid:214)(cid:212)NG 2. (cid:209)O˜NG L(cid:214)ˇC HOˇC 13

? Co(cid:226)ng Co(cid:226)ng pha(cid:226)n toÆ cußa l(cid:246)(cid:239)c F lałm chaÆt æie(cid:229)m th(cid:246)(cid:239)c hie(cid:228)n chuye(cid:229)n d(cid:242)ch vo(cid:226) cułng beø dr, kyø hie(cid:228)u δW ,

(2.24) dr. δW = F ·

Co(cid:226)ng (toałn pha(cid:224)n) lałm chaÆt æie(cid:229)m chuye(cid:229)n d(cid:242)ch t(cid:246)ł æie(cid:229)m A æeÆn æie(cid:229)m B, kyø hie(cid:228)u W ,

F (2.25) dr, W = (t(cid:237)ch pha(cid:226)n æ(cid:246)(cid:244)łng loa(cid:239)i 2) · ZC(A,B)

trong æoø C(A, B) lał æ(cid:246)(cid:244)łng cong æ(cid:242)nh h(cid:246)(cid:244)øng t(cid:246)ł A æeÆn B.

L(cid:246)(cid:239)c F go(cid:239)i lał l(cid:246)(cid:239)c baßo toałn neÆu to(cid:224)n ta(cid:239)i hałm V (x, y, z) (ch(cid:230) phu(cid:239) thuo(cid:228)c v(cid:242) tr(cid:237)) sao cho

(2.26) V. F = − 5

V go(cid:239)i lał hałm l(cid:246)(cid:239)c. Hałm V æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c go(cid:239)i lał hałm theÆ hay theÆ naŒng. Hałm U = − ? Vałi co(cid:226)ng th(cid:246)øc t(cid:237)nh co(cid:226)ng cußa l(cid:246)(cid:239)c vał hałm theÆ

1. Co(cid:226)ng cußa tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c (tru(cid:239)c z thaœng æ(cid:246)øng h(cid:246)(cid:244)øng le(cid:226)n):

(2.27) mgdz. δW = mg dr = · −

Co(cid:226)ng toałn pha(cid:224)n (t(cid:246)ł A æeÆn B)

(2.28) zB).

W = mg(zA − Hałm theÆ cußa tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c: V = mgz + C.

2. Co(cid:226)ng cußa l(cid:246)(cid:239)c æałn ho(cid:224)i ga(cid:226)y ra do loł xo æo(cid:228) c(cid:246)øng k coø æo(cid:228) giaın x (loł xo naŁm ngang theo ph(cid:246)(cid:244)ng x, goÆc to(cid:239)a æo(cid:228) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c cho(cid:239)n (cid:244)ß v(cid:242) tr(cid:237) ca(cid:226)n baŁng)

(2.29) kxdx. δW = −

Co(cid:226)ng toałn pha(cid:224)n (t(cid:246)ł A æeÆn B)

A −

(2.30) W = (x2 x2 B). k 2

2 x2.

Hałm theÆ cußa l(cid:246)(cid:239)c æałn ho(cid:224)i: V = k

14 CH(cid:214)(cid:212)NG 2. (cid:209)O˜NG L(cid:214)ˇC HOˇC

3. Co(cid:226)ng cußa l(cid:246)(cid:239)c ma saøt

(2.31) δW = ηRndx. −

Co(cid:226)ng cußa l(cid:246)(cid:239)c ma saøt luo(cid:226)n luo(cid:226)n a(cid:226)m (co(cid:226)ng caßn). L(cid:246)(cid:239)c ma saøt kho(cid:226)ng coø theÆ.

4. Co(cid:226)ng cußa l(cid:246)(cid:239)c trong chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay quanh tru(cid:239)c

(2.32) δW = ωM∆(F)dt,

trong æoø M∆(F) lał chieÆu cußa mo(cid:226)men l(cid:246)(cid:239)c F xuoÆng tru(cid:239)c ∆, cołn go(cid:239)i lał mo(cid:226)men cußa l(cid:246)(cid:239)c æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c ∆.

(cid:209)(cid:242)nh lyø 6 ((cid:209)(cid:242)nh lyø æo(cid:228)ng naŒng cußa he(cid:228)).

(2.33) dT = δrk + δrk. F(e) k · F(i) k · X X

Pha(cid:226)n loa(cid:239)i bałi toaøn aøp du(cid:239)ng caøc æ(cid:242)nh lyø to(cid:229)ng quaøt ◦

Bałi toaøn th(cid:246)ø nhaÆt: Dułng æ(cid:242)nh lyø baßo toałn æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng vał æ(cid:242)nh lyø baßo toałn mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng æe(cid:229) t(cid:236)m chuye(cid:229)n d(cid:242)ch cußa mo(cid:228)t vałi bo(cid:228) pha(cid:226)n trong toałn he(cid:228). Bałi toaøn th(cid:246)ø hai: Dułng æ(cid:242)nh lyø æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng æe(cid:229) xaøc æ(cid:242)nh phaßn l(cid:246)(cid:239)c ta(cid:239)i caøc lie(cid:226)n keÆt.

Bałi toaøn th(cid:246)ø ba: Dułng æ(cid:242)nh lyø mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng vał æ(cid:242)nh lyø æo(cid:228)ng naŒng æe(cid:229) xaøc æ(cid:242)nh caøc æaºc tr(cid:246)ng æo(cid:228)ng ho(cid:239)c cußa chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng.

Ch(cid:246)(cid:244)ng 3

C(cid:212) HOˇC GIA(cid:219)I T˝CH

1 Caøc khaøi nie(cid:228)m c(cid:244) baßn

C(cid:244) he(cid:228) go(cid:224)m N chaÆt æie(cid:229)m

M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), . . . , MN (xN , yN , zN )

khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m1, m2, . . . , mN . V(cid:242) tr(cid:237) cußa he(cid:228) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c xaøc æ(cid:242)nh neÆu bieÆt 3N to(cid:239)a æo(cid:228) x1, y1, z1; x2, y2, z2; . . . ; xN , yN , zN . Mo(cid:228)t v(cid:242) tr(cid:237) cußa he(cid:228) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c go(cid:239)i lał caÆu h(cid:236)nh cußa he(cid:228). Giaß s(cid:246)ß he(cid:228) ch(cid:242)u r rałng buo(cid:228)c æo(cid:228)c la(cid:228)p (ha(cid:239)n cheÆ xeøt tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p he(cid:228) ch(cid:230) ch(cid:242)u lie(cid:226)n keÆt h(cid:236)nh ho(cid:239)c)

(3.1) (α = 1, 2, . . . , r). fα(xk, yk, zk) = 0

• q1, q2, . . . , qd} {

r. NeÆu caÆu h(cid:236)nh cußa he(cid:228) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c xaøc æ(cid:242)nh b(cid:244)ßi caøc giaø tr(cid:242) cußa mo(cid:228)t bo(cid:228) caøc bieÆn æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c go(cid:239)i lał mo(cid:228)t ta(cid:228)p caøc to(cid:239)a æo(cid:228) æo(cid:228)c la(cid:228)p q1, q2, . . . , qd, th(cid:236) suy ro(cid:228)ng cußa he(cid:228). SoÆ to(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng go(cid:239)i lał ba(cid:228)c t(cid:246)(cid:239) do cußa he(cid:228). Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p he(cid:228) ch(cid:242)u r lie(cid:226)n keÆt h(cid:236)nh ho(cid:239)c th(cid:236) soÆ to(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng d = 3N −

• (cid:209)a(cid:239)o hałm theo th(cid:244)łi gian cußa caøc to(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng go(cid:239)i lał va(cid:228)n toÆc suy ro(cid:228)ng cußa he(cid:228)

˙q1, ˙q2, . . . , ˙qd.

•

(cid:212)(cid:219) mo(cid:228)t caÆu h(cid:236)nh cho tr(cid:246)(cid:244)øc cußa he(cid:228) xk, yk, zk (k = 1, 2, . . . , N), giaß s(cid:246)ß caøc chaÆt æie(cid:229)m th(cid:246)(cid:239)c hie(cid:228)n chuye(cid:229)n d(cid:242)ch ∆xk, ∆yk, ∆zk æeÆn caÆu h(cid:236)nh xk + ∆xk, yk + ∆yk, zk + ∆zk thoßa rałng buo(cid:228)c (3.1), th(cid:236)

(3.2) ∆t + = 0. ∆xk + ∆yk + ∆zk ∂fα ∂t ∂fα ∂xk ∂fα ∂yk ∂fα ∂zk (cid:19) Xk (cid:18)

CH(cid:214)(cid:212)NG 3. C(cid:212) HOˇC GIA(cid:219)I T˝CH 16

Ta go(cid:239)i caøc chuye(cid:229)n d(cid:242)ch ∆xk, ∆yk, ∆zk thoßa (3.2) lał chuye(cid:229)n d(cid:242)ch khaß d(cid:243) (chuye(cid:229)n d(cid:242)ch xaßy ra d(cid:246)(cid:244)øi taøc du(cid:239)ng cußa l(cid:246)(cid:239)c cho tr(cid:246)(cid:244)øc - chuye(cid:229)n d(cid:242)ch th(cid:246)(cid:239)c - lał mo(cid:228)t trong soÆ caøc chuye(cid:229)n d(cid:242)ch khaß d(cid:243)).

• Hie(cid:228)u cußa hai chuye(cid:229)n d(cid:242)ch khaß d(cid:243) baÆt kył go(cid:239)i lał chuye(cid:229)n d(cid:242)ch aßo, kyø hie(cid:228)u δxk, δyk, δzk, chuøng thoßa æie(cid:224)u kie(cid:228)n

(3.3) = 0. δxk + δyk + δzk ∂fα ∂xk ∂fα ∂yk ∂fα ∂zk (cid:19) Xk (cid:18)

2 Ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange

2.1 Ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh to(cid:229)ng quaøt æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:239)c ho(cid:239)c

Caøc ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c ruøt ra t(cid:246)ł nguye(cid:226)n lyø co(cid:226)ng aßo, cołn go(cid:239)i lał nguye(cid:226)n lyø chuye(cid:229)n d(cid:242)ch aßo.

(cid:209)(cid:242)nh lyø 7 (Nguye(cid:226)n lyø co(cid:226)ng aßo). Trong tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p lie(cid:226)n keÆt æaºt le(cid:226)n he(cid:228) lał lyø t(cid:246)(cid:244)ßng, to(cid:229)ng co(cid:226)ng pha(cid:226)n toÆ cußa caøc l(cid:246)(cid:239)c chuß æo(cid:228)ng vał l(cid:246)(cid:239)c quaøn t(cid:237)nh taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n c(cid:244) he(cid:228) tre(cid:226)n chuye(cid:229)n d(cid:242)ch aßo baÆt kył baŁng kho(cid:226)ng ta(cid:239)i mo(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m

(3.4) mk ¨zk)δzk] = 0. [(Fxk − mk ¨xk)δxk + (Fyk − mk ¨yk)δyk + (Fzk − Xk

2.2 Ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai

Ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh (3.4) go(cid:239)i lał ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh to(cid:229)ng quaøt æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:239)c ho(cid:239)c.

(3.5) (s = 1, 2, . . . , d), = Qs d dt ∂T ∂ ˙qs − ∂T ∂qs

trong æoø T lał æo(cid:228)ng naŒng cußa he(cid:228), Qs (s = 1, 2, . . . , d) lał l(cid:246)(cid:239)c suy ro(cid:228)ng.

CH(cid:214)(cid:212)NG 3. C(cid:212) HOˇC GIA(cid:219)I T˝CH 17

Trong th(cid:246)(cid:239)c hałnh, l(cid:246)(cid:239)c suy ro(cid:228)ng æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c ruøt ra t(cid:246)ł he(cid:228) th(cid:246)øc

s X

(3.6) Qsδqs = (Fxkδxk + Fykδyk + Fzkδzk)

2.3 Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p he(cid:228) baßo toałn

(to(cid:229)ng co(cid:226)ng pha(cid:226)n toÆ cußa l(cid:246)(cid:239)c chuß æo(cid:228)ng taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n he(cid:228)).

TaÆt caß caøc l(cid:246)(cid:239)c chuß æo(cid:228)ng æe(cid:224)u coø theÆ (he(cid:228) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c go(cid:239)i lał he(cid:228) baßo toałn hay he(cid:228) æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:239)c), ngh(cid:243)a lał to(cid:224)n ta(cid:239)i hałm U = U(xk, yk, zk) sao cho

(k = 1, 2, . . . , N) Fkx = , Fky = , Fkz = ∂U ∂xk ∂U ∂yk ∂U ∂zk

(s = 1, 2, . . . , d). Qs = ⇒ ∂U ∂qs

Khi æoø ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange coø the(cid:229) vieÆt la(cid:239)i

(3.7) = 0 (s = 1, 2, . . . , d), d dt ∂L ∂ ˙qs − ∂L ∂qs

U lał theÆ naŒng cußa he(cid:228) − V . trong æoø L = T + U lał hałm Lagrange. Kyø hie(cid:228)u V = th(cid:236) L = T − Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p he(cid:228) baßo toałn æo(cid:224)ng th(cid:244)łi hałm l(cid:246)(cid:239)c vał æo(cid:228)ng naŒng kho(cid:226)ng phu(cid:239) thuo(cid:228)c hie(cid:229)n vało th(cid:244)łi gian th(cid:236) naŒng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng toałn pha(cid:224)n cußa he(cid:228) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c baßo toałn

(3.8) T + V = const.

To(cid:239)a æo(cid:228) cyclic lał to(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng qc kho(cid:226)ng coø maºt trong hałm Lagrange, ngh(cid:243)a lał

= 0. ∂L ∂qc

Khi æoø ta coø mo(cid:228)t t(cid:237)ch pha(cid:226)n æa(cid:224)u

= const. ∂L ∂ ˙qc

2.4 Thuß tu(cid:239)c thieÆt la(cid:228)p ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai

CH(cid:214)(cid:212)NG 3. C(cid:212) HOˇC GIA(cid:219)I T˝CH 18

1. Xaøc æ(cid:242)nh ba(cid:228)c t(cid:246)(cid:239) do vał cho(cid:239)n caøc to(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng.

2. T(cid:237)nh æo(cid:228)ng naŒng cußa he(cid:228) T , bie(cid:229)u dieªn æo(cid:228)ng naŒng theo caøc to(cid:239)a æo(cid:228) vał va(cid:228)n toÆc suy ro(cid:228)ng.

3. T(cid:237)nh to(cid:229)ng co(cid:226)ng pha(cid:226)n toÆ cußa l(cid:246)(cid:239)c chuß æo(cid:228)ng, bie(cid:229)u dieªn noø theo caøc to(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng, t(cid:246)ł æoø suy ra caøc l(cid:246)(cid:239)c suy ro(cid:228)ng d(cid:246)(cid:239)a vało he(cid:228) th(cid:246)øc (d).

4. T(cid:237)nh caøc æa(cid:239)o hałm ∂T /∂ ˙qs, d(∂T /∂ ˙qs)/dt, ∂T /∂qs.

5. Thay vało ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai.

Bałi ta(cid:228)p

(cid:209)o(cid:228)ng ho(cid:239)c

Bałi ta(cid:228)p o(cid:226)n ve(cid:224) vect(cid:244)

1. Trong he(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) Descartes, cho ba vect(cid:244):

j a = 2i 2k, b = 3i 4k, c = i 5j + 3k. − − − −

a 4c vał | − b | , − vał a b. Suy ra goøc gi(cid:246)ıa a vał b. | | · a | b |

c vał (a c). (b b) × a) T(cid:236)m 3a + 2b b) T(cid:236)m c) T(cid:236)m thałnh pha(cid:224)n cußa c theo h(cid:246)(cid:244)øng cußa a vał theo h(cid:246)(cid:244)øng cußa b. d) T(cid:236)m a e) T(cid:236)m a × c vał ch(cid:230) ra raŁng chuøng baŁng nhau. Ta(cid:228)p × c) vał (a × · æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c saØp b, b × (b · a, b, c { } × b) × lał he(cid:228) vect(cid:244) thua(cid:228)n hay ngh(cid:242)ch? f) Kie(cid:229)m æo(cid:224)ng nhaÆt th(cid:246)øc (co(cid:226)ng th(cid:246)øc Gibss): a c) = (a c)b b)c. (b (a × × · − ·

H(cid:236)nh 1: Bałi ta(cid:228)p 2

Bałi ta(cid:228)p 20

2. T(cid:236)m goøc gi(cid:246)ıa hai æ(cid:246)(cid:244)łng cheøo khoÆi la(cid:228)p ph(cid:246)(cid:244)ng tre(cid:226)n h(cid:236)nh 1.

3. Cho ABCD lał h(cid:236)nh boÆn ca(cid:239)nh to(cid:229)ng quaøt (le(cid:228)ch) vał cho P, Q, R, S lał caøc trung æie(cid:229)m cußa caøc ca(cid:239)nh AB, BC, CD, DA t(cid:246)(cid:244)ng (cid:246)øng. Ch(cid:246)øng minh P QRS lał h(cid:236)nh b(cid:236)nh hałnh.

4. Trong h(cid:236)nh t(cid:246)ø die(cid:228)n, veı caøc æ(cid:246)(cid:244)łng noÆi trung æie(cid:229)m cußa moªi ca(cid:239)nh v(cid:244)øi trung æie(cid:229)m cußa ca(cid:239)nh æoÆi die(cid:228)n. Ch(cid:246)øng toß raŁng ba æ(cid:246)(cid:244)łng nały caØt nhau ta(cid:239)i mo(cid:228)t æie(cid:229)m chia æo(cid:226)i chuøng.

- MB= k.

- MA:

5. Cho t(cid:246)ø die(cid:228)n ABCD vał cho P, Q, R, S lał tro(cid:239)ng ta(cid:226)m cußa caøc maºt æoÆi die(cid:228)n v(cid:244)øi caøc æ(cid:230)nh A, B, C, D t(cid:246)(cid:244)ng (cid:246)øng. Ch(cid:246)øng toß raŁng caøc æ(cid:246)(cid:244)łng AP, BQ, CR, DS æo(cid:224)ng quy ta(cid:239)i mo(cid:228)t æie(cid:229)m go(cid:239)i lał tro(cid:239)ng ta(cid:226)m (centroid) cußa t(cid:246)ø die(cid:228)n, noø chia moªi æ(cid:246)(cid:244)łng theo t(cid:230) soÆ 3 : 1. H.D. (cid:209)ie(cid:229)m M chia æoa(cid:239)n AB theo t(cid:230) soÆ k ⇔

6. Ch(cid:246)øng toß raŁng ba æ(cid:246)(cid:244)łng cao cußa tam giaøc æo(cid:224)ng quy ta(cid:239)i mo(cid:228)t æie(cid:229)m. H.D. Cho(cid:239)n O lał giao æie(cid:229)m cußa hai æ(cid:246)(cid:244)łng cao.

7. Ch(cid:246)øng minh caøc æo(cid:224)ng nhaÆt th(cid:246)øc: c)(b (c d) = (a d) (a d)(b c). · b) b)

a) (a b) (a c) a × × (b × · (c × × c) + c · · d) = [a, b, d]c b) + b − · [a, b, c]d. (c (a a) = 0 (æo(cid:224)ng nhaÆt th(cid:246)øc Jacobi). × × × × ×

2; b) (v k)v + (v

k)v; c) [v, ˙v, k]. | · − × 8. Cho vect(cid:244) v lał hałm cußa th(cid:244)łi gian t vał k lał vect(cid:244) haŁng. T(cid:236)m æa(cid:239)o hałm theo th(cid:244)łi gian cußa: a) (cid:209).S. a) 2v v ˙v; b) ( ˙v k) ˙v; c) [v, ¨v, k]. · · | ·

sin θi + cos θj, n = 9. T(cid:236)m vect(cid:244) tieÆp tuyeÆn æ(cid:244)n v(cid:242), vect(cid:244) phaøp tuyeÆn æ(cid:244)n v(cid:242) vał æo(cid:228) cong cußa vołng trołn: x = a cos θ, y = a sin θ, z = 0 ta(cid:239)i æie(cid:229)m coø tham soÆ θ. (cid:209)S. t = sin θj, k = 1/a. cos θi − −

sin θj, k = cos θi − − − − 10. T(cid:236)m vect(cid:244) tieÆp tuyeÆn æ(cid:244)n v(cid:242), vect(cid:244) phaøp tuyeÆn æ(cid:244)n v(cid:242) vał æo(cid:228) cong cußa æ(cid:246)(cid:244)łng xoaØn oÆc: x = a cos θ, y = a sin θ, z = bθ ta(cid:239)i æie(cid:229)m coø tham soÆ θ. a sin θi + a cos θj + bk)/(a2 + b2)1/2, n = (cid:209).S. t = ( a/(a2 + b2).

11. T(cid:236)m vect(cid:244) tieÆp tuyeÆn æ(cid:244)n v(cid:242), vect(cid:244) phaøp tuyeÆn æ(cid:244)n v(cid:242) vał æo(cid:228) cong cußa parabol x = ap2, y = 2ap, z = 0 ta(cid:239)i æie(cid:229)m coø tham soÆ p. (cid:209).S. t = (pi + j)/(p2 + 1)1/2, n = (i pj)/(p2 + 1)1/2, k = 1/2a(p2 + 1)3/2. −

Bałi ta(cid:228)p ve(cid:224) va(cid:228)n toÆc, gia toÆc vał va(cid:228)n toÆc goøc

Bałi ta(cid:228)p 21

−

12. Mo(cid:228)t æie(cid:229)m P di chuye(cid:229)n do(cid:239)c theo tru(cid:239)c x chuye(cid:229)n d(cid:242)ch cußa noø ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m t æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c cho b(cid:244)ßi x = 6t2 t3 + 1, trong æoø x æo baŁng meøt, t æo baŁng gia(cid:226)y. T(cid:236)m va(cid:228)n toÆc, gia toÆc cußa P ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m t. T(cid:236)m nh(cid:246)ıng th(cid:244)łi æie(cid:229)m P d(cid:246)łng vał v(cid:242) tr(cid:237) cußa P ta(cid:239)i nh(cid:246)ıng th(cid:244)łi æie(cid:229)m æoø.

−

13. Mo(cid:228)t æie(cid:229)m P di chuye(cid:229)n do(cid:239)c theo tru(cid:239)c x v(cid:244)øi gia toÆc ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m t æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c 4 ms−2. Ban æa(cid:224)u P (cid:244)ß æie(cid:229)m x = 20 m vał coø va(cid:228)n toÆc 15 ms−1 cho b(cid:244)ßi a = 6t ve(cid:224) ph(cid:237)a x a(cid:226)m. T(cid:236)m va(cid:228)n toÆc vał chuye(cid:229)n d(cid:242)ch cußa P ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m t. T(cid:236)m th(cid:244)łi æie(cid:229)m P d(cid:246)łng vał chuye(cid:229)n d(cid:242)ch cußa P ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m æoø.

14. ? Mo(cid:228)t ha(cid:239)t P chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng sao cho vect(cid:244) æ(cid:242)nh v(cid:242) cußa noø, r thoßa ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh vi pha(cid:226)n r, ˙r = c ×

trong æoø c lał vect(cid:244) haŁng. Ch(cid:246)øng minh P chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng v(cid:244)øi toÆc æo(cid:228) kho(cid:226)ng æo(cid:229)i tre(cid:226)n mo(cid:228)t æ(cid:246)(cid:244)łng trołn.

15. ? Cho c(cid:244) caÆu th(cid:246)(cid:244)øc veı elip go(cid:224)m thanh OA quay quanh O v(cid:244)øi goøc ϕ = ωt, thanh BC coø hai æa(cid:224)u chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng tre(cid:226)n hai tru(cid:239)c x, y. Cho OA = AB = AC = 2a. VieÆt ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng, ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh quyı æa(cid:239)o cußa æie(cid:229)m M (AM = MB) (h(cid:236)nh 2). Xaøc æ(cid:242)nh va(cid:228)n toÆc, gia toÆc, gia toÆc tieÆp, gia toÆc phaøp cußa æie(cid:229)m M ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m baÆt kył.

H(cid:236)nh 2: Bałi ta(cid:228)p 15

16. ? Mo(cid:228)t baønh xe baøn k(cid:237)nh R chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng laŒn kho(cid:226)ng tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t tre(cid:226)n æ(cid:246)(cid:244)łng thaœng v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc (cid:244)ß ta(cid:226)m baŁng v0. VieÆt ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa æie(cid:229)m M naŁm tre(cid:226)n vałnh baønh xe. Xaøc æ(cid:242)nh va(cid:228)n toÆc, gia toÆc æie(cid:229)m M, baøn k(cid:237)nh cong ρ cußa quyı æa(cid:239)o. Khaßo saøt s(cid:246)(cid:239) nhanh cha(cid:228)m cußa chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng.

17. (cid:209)ie(cid:229)m M chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng theo ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh

x = at, y = bt2 (a, b lał haŁng soÆ).

Xaøc æ(cid:242)nh quyı æa(cid:239)o, lua(cid:228)t chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa æie(cid:229)m tre(cid:226)n quyı æa(cid:239)o. T(cid:237)nh va(cid:228)n toÆc, gia toÆc cußa æie(cid:229)m vał baøn k(cid:237)nh cong cußa quyı æa(cid:239)o ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m t = 0.

Bałi ta(cid:228)p 22

H(cid:236)nh 3: Bałi ta(cid:228)p 16

18. Mo(cid:228)t baønh æał baøn k(cid:237)nh R = 2 m quay nhanh da(cid:224)n æe(cid:224)u t(cid:246)ł tra(cid:239)ng thaøi æ(cid:246)øng ye(cid:226)n. Sau 10 s mo(cid:228)t æie(cid:229)m tre(cid:226)n vałnh baønh xe coø tr(cid:242) soÆ va(cid:228)n toÆc v = 100 m/s2. Xaøc æ(cid:242)nh va(cid:228)n toÆc vał gia toÆc cußa æie(cid:229)m tre(cid:226)n vałnh baønh æał (cid:244)ß th(cid:244)łi æie(cid:229)m t = 15 s.

19. Mo(cid:228)t æa(cid:224)u s(cid:244)(cid:239)i da(cid:226)y kho(cid:226)ng giaın buo(cid:228)c vało va(cid:228)tA, cołn æa(cid:224)u kia quaÆn vało rołng ro(cid:239)c baøn k(cid:237)nh R = 10 cm quay quanh tru(cid:239)c O coÆ æ(cid:242)nh. Cho æie(cid:229)m A chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng æi xuoÆng v(cid:244)øi ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh x = 100t2, (x(cm), t(s)). Xaøc æ(cid:242)nh va(cid:228)n toÆc goøc vał gia toÆc goøc cußa rołng ro(cid:239)c, æo(cid:224)ng th(cid:244)łi xaøc æ(cid:242)nh gia toÆc cußa æie(cid:229)m B tre(cid:226)n rołng ro(cid:239)c (OB = 5 cm).

H(cid:236)nh 4: Bałi ta(cid:228)p 19

20. ? Cho c(cid:244) caÆu chuye(cid:224)n æo(cid:228)ng nh(cid:246) h(cid:236)nh 5. BieÆt va(cid:228)t (1) chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng v(cid:244)øi ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh x = 70t2 + 2 (x(cm), t(s)), R2 = 50 cm, r2 = 30 cm, R3 = 60 cm, r3 = 40 cm. Xaøc æ(cid:242)nh va(cid:228)n toÆc, gia toÆc tieÆp, gia toÆc phaøp vał gia toÆc toałn pha(cid:224)n cußa æie(cid:229)m M khi va(cid:228)t (1) æi æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c mo(cid:228)t æoa(cid:239)n s = 40 cm.

Chuø th(cid:237)ch. Bałi toaøn chuye(cid:224)n æo(cid:228)ng go(cid:224)m caøc baønh xe quay quanh caøc tru(cid:239)c vał coø lie(cid:226)n he(cid:228) v(cid:244)øi nhau (aŒn kh(cid:244)øp baŁng raŒng, tieÆp xuøc kho(cid:226)ng tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t, noÆi v(cid:244)øi nhau baŁng caøc æai chuye(cid:224)n). T(cid:230) soÆ chuye(cid:224)n æo(cid:228)ng gi(cid:246)ıa chuøng

(3.9) , = = K12 = ω1 ω2 R2 R1 z2 z1

Bałi ta(cid:228)p 23

trong æoø ωi, Ri vał zi la(cid:224)n l(cid:246)(cid:244)(cid:239)t lał va(cid:228)n toÆc goøc, baøn k(cid:237)nh vał soÆ raŒng cußa baønh xe th(cid:246)ø i.

H(cid:236)nh 5: Bałi ta(cid:228)p 20

Bałi ta(cid:228)p ve(cid:224) h(cid:244)(cid:239)p chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng 21. ? Mo(cid:228)t h(cid:236)nh noøn quay æe(cid:224)u quanh tru(cid:239)c OA v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc goøc ω. (cid:209)ie(cid:229)m M chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng æe(cid:224)u theo æ(cid:246)(cid:244)łng sinh cußa h(cid:236)nh noøn t(cid:246)ł æ(cid:230)nh æeÆn æaøy v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc vr; goøc ∠MOA = α. Ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m æa(cid:224)u t = 0, æie(cid:229)m M (cid:244)ß v(cid:242) tr(cid:237) M0 (OM0 = a). T(cid:237)nh gia goÆc cußa M ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m t.

H(cid:236)nh 6: Bałi ta(cid:228)p 21

22. Tam giaøc ABC vuo(cid:226)ng ta(cid:239)i A quay quanh ca(cid:239)nh AB thaœng æ(cid:246)øng coÆ æ(cid:242)nh v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc goøc ω =const. Mo(cid:228)t æie(cid:229)m M chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng tre(cid:226)n ca(cid:239)nh BC theo ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh BM = s = 20t2. Xaøc æ(cid:242)nh va(cid:228)n toÆc, gia toÆc cußa æie(cid:229)m M khi M naŁm (cid:244)ß trung æie(cid:229)m BC. BieÆt BC = 40 cm, α = 30o, ω = 2 s−1.

23. ? C(cid:244) caÆu cam coø da(cid:239)ng h(cid:236)nh ne(cid:226)m v(cid:244)øi α = 30o chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:242)nh tieÆn trong maºt phaœng naŁm ngang, v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc kho(cid:226)ng æo(cid:229)i v1 = 30 cm/s. Cam æa(cid:229)y thanh AB chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng thaœng æ(cid:246)øng trong raınh coÆ æ(cid:242)nh K (h(cid:236)nh 7). Xaøc æ(cid:242)nh va(cid:228)n toÆc tuye(cid:228)t æoÆi cußa thanh AB vał va(cid:228)n toÆc t(cid:246)(cid:244)ng æoÆi cußa noø so v(cid:244)øi cam.

24. ? Mo(cid:228)t c(cid:244) caÆu boÆn kha(cid:226)u go(cid:224)m tay quay O1A = 10 cm quay quanh O1 v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc goøc ω1 = 10πs−1, tay quay O2B = 30 cm quay quanh O2 vał thanh AB chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng song phaœng. Cho O1O2 = 50 cm. Xaøc æ(cid:242)nh va(cid:228)n toÆc goøc thanh AB, va(cid:228)n toÆc æie(cid:229)m B vał va(cid:228)n toÆc goøc tay quay O 2B khi α = β = 60o.

Bałi ta(cid:228)p 24

H(cid:236)nh 7: Bałi ta(cid:228)p 23

H(cid:236)nh 8: Bałi ta(cid:228)p 24

(cid:209)o(cid:228)ng l(cid:246)(cid:239)c ho(cid:239)c

Bałi ta(cid:228)p ve(cid:224) bałi toaøn thua(cid:228)n

25 (Bałi ta(cid:228)p 1.5, [1]). Mo(cid:228)t ca(cid:224)u vołm coø baøn k(cid:237)nh cong ta(cid:239)i æ(cid:230)nh A baŁng R = 250 m. a) Haıy t(cid:236)m aøp l(cid:246)(cid:239)c cußa xe coø khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m = 200 kg, æang chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc v = 40 km/h, taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n ca(cid:224)u ta(cid:239)i A.

b) T(cid:237)nh va(cid:228)n toÆc toÆi æa cußa xe æe(cid:229) noø vaªn cołn baøm vało maºt ca(cid:224)u. LaÆy

9 = 9, 81 m/s2.

26 (Bałi ta(cid:228)p 1.6, [1]). Hai va(cid:228)t khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m1 = 2 kg, m2 = 3 kg noÆi v(cid:244)øi nhau baŁng da(cid:226)y kho(cid:226)ng giaın, kho(cid:226)ng tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng. Keøo va(cid:228)t m2 b(cid:244)ßi l(cid:246)(cid:239)c 10 N theo ph(cid:246)(cid:244)ng thaœng æ(cid:246)øng. Haıy t(cid:237)nh gia toÆc caøc va(cid:228)t vał l(cid:246)(cid:239)c caŒng da(cid:226)y æaºt le(cid:226)n m 1, m2.

27. Hai va(cid:228)t gioÆng nhau khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng moªi khoÆi lał M, æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c noÆi v(cid:244)øi nhau baŁng da(cid:226)y maßnh kho(cid:226)ng giaın vał coø the(cid:229) di chuye(cid:229)n tre(cid:226)n maºt phaœng nhaøm naŁm ngang (h(cid:236)nh 9). Hai va(cid:228)t æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c keøo v(cid:244)øi toÆc æo(cid:228) kho(cid:226)ng æo(cid:229)i theo æ(cid:246)(cid:244)łng thaœng baŁng s(cid:244)(cid:239)i da(cid:226)y buo(cid:228)c vało mo(cid:228)t va(cid:228)t. Cho bieÆt s(cid:246)øc caŒng trong da(cid:226)y keøo lał T 0, t(cid:236)m s(cid:246)øc caŒng trong da(cid:226)y noÆi. NeÆu s(cid:246)øc caŒng trong da(cid:226)y noÆi baÆt th(cid:236)nh l(cid:236)nh taŒng t(cid:244)øi 4T0, th(cid:236) gia toÆc t(cid:246)øc th(cid:244)łi cußa hai khoÆi vał s(cid:246)øc caŒng t(cid:246)øc th(cid:244)łi trong da(cid:226)y noÆi baŁng bao nhie(cid:226)u?

Bałi ta(cid:228)p ve(cid:224) ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh vi pha(cid:226)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng (bałi toaøn ng(cid:246)(cid:244)(cid:239)c)

Bałi ta(cid:228)p 25

H(cid:236)nh 9: Bałi ta(cid:228)p 27

28 (Mu(cid:239)c 1.3.2 Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng thaœng, [1]). Xaøc æ(cid:242)nh chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng thaœng cußa chaÆt æie(cid:229)m d(cid:246)(cid:244)øi taøc du(cid:239)ng cußa l(cid:246)(cid:239)c:

a) Phu(cid:239) thuo(cid:228)c th(cid:244)łi gian F (t); b) Phu(cid:239) thuo(cid:228)c v(cid:242) tr(cid:237) F (x); c) Phu(cid:239) thuo(cid:228)c va(cid:228)n toÆc F ( ˙x).

29 (Mu(cid:239)c 1.4.2 Dao æo(cid:228)ng thaœng, [1]). Mo(cid:228)t va(cid:228)t khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m treo vało æa(cid:224)u mo(cid:228)t loł xo coø æo(cid:228) c(cid:246)øng k.

a) Xaøc æ(cid:242)nh chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa va(cid:228)t khi loł xo æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c keøo giaın mo(cid:228)t æoa(cid:239)n λ vał buo(cid:226)ng ra kho(cid:226)ng va(cid:228)n toÆc æa(cid:224)u.

b) V(cid:244)øi æie(cid:224)u kie(cid:228)n æa(cid:224)u nh(cid:246) ca(cid:226)u a), t(cid:236)m chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa va(cid:228)t trong tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p va(cid:228)t ch(cid:242)u l(cid:246)(cid:239)c caßn cußa mo(cid:226)i tr(cid:246)(cid:244)łng coø æo(cid:228) l(cid:244)øn t(cid:230) le(cid:228) v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc µ ˙x. Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa va(cid:228)t seı nh(cid:246) theÆ nało neÆu va(cid:228)t cołn ch(cid:242)u the(cid:226)m l(cid:246)(cid:239)c k(cid:237)ch æo(cid:228)ng tua(cid:224)n hoałn Q(t) = Q0 sin pt.

30. Maøy bay bo(cid:229) nhało thaœng æ(cid:246)øng æa(cid:239)t æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c va(cid:228)n toÆc 1000 km/h, sau æoø ng(cid:246)(cid:244)łi laøi æ(cid:246)a maøy bay ra khoßi h(cid:246)(cid:244)øng bo(cid:229) nhało vał va(cid:239)ch thałnh mo(cid:228)t cung trołn baøn k(cid:237)nh R = 600 m trong maºt phaœng thaœng æ(cid:246)øng. Tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng ng(cid:246)(cid:244)łi laøi lał 800 N. Hoßi ng(cid:246)(cid:244)łi laøi æaı eøp le(cid:226)n gheÆ ngo(cid:224)i mo(cid:228)t l(cid:246)(cid:239)c c(cid:246)(cid:239)c æa(cid:239)i baŁng bao nhie(cid:226)u.

31. ? Mo(cid:228)t quaß ca(cid:224)u khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m r(cid:244)i thaœng æ(cid:246)øng trong mo(cid:226)i tr(cid:246)(cid:244)łng chaÆt loßng vał ch(cid:242)u l(cid:246)(cid:239)c caßn t(cid:230) le(cid:228) v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc, F C = kv, k lał he(cid:228) soÆ caßn, gia toÆc tro(cid:239)ng tr(cid:246)(cid:244)łng g. Xaøc æ(cid:242)nh va(cid:228)n toÆc, ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa quaß ca(cid:224)u. Giaß thieÆt v(0) = 0, y(0) = 0.

32. ? Mo(cid:228)t va(cid:228)t naºng P r(cid:244)i t(cid:246)(cid:239) do kho(cid:226)ng va(cid:228)n toÆc æa(cid:224)u. S(cid:246)øc caßn cußa kho(cid:226)ng kh(cid:237) le(cid:228) v(cid:244)øi b(cid:236)nh ph(cid:246)(cid:244)ng va(cid:228)n toÆc, R = k2P v2 (k lał haŁng soÆ). Xaøc æ(cid:242)nh va(cid:228)n toÆc vußa va(cid:228)t ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m t vał va(cid:228)n toÆc gi(cid:244)øi ha(cid:239)n cußa noø.

33. ? Mo(cid:228)t vie(cid:226)n æa(cid:239)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng trong maºt phaœng Oxy t(cid:246)ł goÆc O v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc æa(cid:224)u V0 le(cid:228)ch so v(cid:244)øi ph(cid:246)(cid:244)ng ngang goøc α. Giaß s(cid:246)ß boß qua l(cid:246)(cid:239)c caßn kho(cid:226)ng kh(cid:237).

0/2g, V 2

0 /4g).

a) T(cid:236)m va(cid:228)n toÆc, quyı æa(cid:239)o chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa vie(cid:226)n æa(cid:239)n. b) Xaøc æ(cid:242)nh α æe(cid:229) vie(cid:226)n æa(cid:239)n baØn truøng mu(cid:239)c tie(cid:226)u M(v 2

Bałi ta(cid:228)p ve(cid:224) caøc æ(cid:242)nh lyø to(cid:229)ng quaøt

Bałi ta(cid:228)p 26

34. Ch(cid:246)øng toß raŁng, neÆu mo(cid:228)t he(cid:228) di chuye(cid:229)n t(cid:246)ł tra(cid:239)ng thaøi ngh(cid:230) æeÆn tra(cid:239)ng thaøi khaøc trong khoaßng th(cid:244)łi gian nało æoø, th(cid:236) trung b(cid:236)nh cußa l(cid:246)(cid:239)c ngoałi toałn pha(cid:224)n trong khoaßng th(cid:244)łi gian nały phaßi baŁng kho(cid:226)ng. A(cid:217)p du(cid:239)ng:

Mo(cid:228)t æo(cid:224)ng ho(cid:224) caøt khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m æaºt tre(cid:226)n maºt sałn coÆ æ(cid:242)nh. A(cid:217)p l(cid:246)(cid:239)c do æo(cid:224)ng ho(cid:224) le(cid:226)n maºt sałn lał soÆ æo tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng bie(cid:229)u kieÆn cußa æo(cid:224)ng ho(cid:224). Caøt (cid:244)ß tra(cid:239)ng thaøi ngh(cid:230) trong khoang tre(cid:226)n, luøc t = 0, baØt æa(cid:224)u chaßy xuoÆng khoang d(cid:246)(cid:244)øi. Caøt æeÆn tra(cid:239)ng thaøi ngh(cid:230) (cid:244)ß khoang d(cid:246)(cid:244)øi sau khoaßng th(cid:244)łi gian τ . T(cid:236)m trung b(cid:236)nh theo th(cid:244)łi gian tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng bie(cid:229)u kieÆn cußa æo(cid:224)ng ho(cid:224) trong khoaßng th(cid:244)łi gian [0, τ ].

Tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng bie(cid:229)u kieÆn cußa æo(cid:224)ng ho(cid:224) kho(cid:226)ng phaßi lał haŁng soÆ! Haıy ch(cid:246)øng minh, khi caøt æang chaßy, tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng bie(cid:229)u kieÆn cußa æo(cid:224)ng ho(cid:224) l(cid:244)øn h(cid:244)n tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng th(cid:246)(cid:239)c (tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng t(cid:243)nh).

35. ? Mo(cid:228)t tia n(cid:246)(cid:244)øc chaßy t(cid:246)ł mo(cid:228)t vołi phun v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc v = 10 m/s vał tr(cid:246)(cid:239)c giao v(cid:244)øi t(cid:246)(cid:244)łng c(cid:246)øng. (cid:209)(cid:246)(cid:244)łng k(cid:237)nh vołi d = 4 cm. Boß qua s(cid:246)(cid:239) neøn æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c cußa n(cid:246)(cid:244)øc. Haıy xaøc æ(cid:242)nh aøp l(cid:246)(cid:239)c cußa tia n(cid:246)(cid:244)øc le(cid:226)n t(cid:246)(cid:244)łng. Coi caøc pha(cid:224)n t(cid:246)ß n(cid:246)(cid:244)øc sau khi va cha(cid:239)m coø va(cid:228)n toÆc h(cid:246)(cid:244)øng do(cid:239)c theo t(cid:246)(cid:244)łng.

H(cid:236)nh 10: Bałi ta(cid:228)p 35

36. ? Hai va(cid:228)t A vał B coø khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng la(cid:224)n l(cid:246)(cid:244)(cid:239)t lał m 1 vał m2 æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c noÆi v(cid:244)øi nhau b(cid:244)ßi s(cid:244)(cid:239)i da(cid:226)y kho(cid:226)ng giaın kho(cid:226)ng tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng vołng qua rołng ro(cid:239)c. Va(cid:228)t A tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t tre(cid:226)n maºt KL vał va(cid:228)t B tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t tre(cid:226)n maºt EK cußa laŒng tru(cid:239) DEKL coø khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m3 vał naŁm tre(cid:226)n maºt nha(cid:252)n naŁm ngang. Xaøc æ(cid:242)nh d(cid:242)ch chuye(cid:229)n s cußa laŒng tru(cid:239) khi va(cid:228)t A tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t xuoÆng mo(cid:228)t æoa(cid:239)n l. BieÆt ban æa(cid:224)u he(cid:228) æ(cid:246)øng ye(cid:226)n.

37. Mo(cid:228)t chieÆc thuye(cid:224)n khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng M æ(cid:246)øng ye(cid:226)n tre(cid:226)n maºt n(cid:246)(cid:244)øc ye(cid:226)n t(cid:243)nh vał mo(cid:228)t ng(cid:246)(cid:244)łi æałn o(cid:226)ng khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m (cid:244)ß muıi thuye(cid:224)n. Ng(cid:246)(cid:244)łi nały æ(cid:246)øng da(cid:228)y æi xuoÆng æuo(cid:226)i thuye(cid:224)n ro(cid:224)i ngo(cid:224)i xuoÆng. NeÆu n(cid:246)(cid:244)øc caßn chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng v(cid:244)øi l(cid:246)(cid:239)c t(cid:230) le(cid:228) v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc cußa thuye(cid:224)n, ch(cid:246)øng toß raŁng thuye(cid:224)n seı æeÆn vał d(cid:246)łng (cid:244)ß v(cid:242) tr(cid:237) ban æa(cid:224)u cußa noø. [KeÆt quaß nały æo(cid:228)c la(cid:228)p v(cid:244)øi haŁng soÆ caßn vał chi thieÆt chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa ng(cid:246)(cid:244)łi.]

Bałi ta(cid:228)p 27

H(cid:236)nh 11: Bałi ta(cid:228)p 36

H(cid:236)nh 12: Bałi ta(cid:228)p 37

38. ? Mo(cid:228)t taÆm trołn æo(cid:224)ng chaÆt naºng Q baøn k(cid:237)nh r coø the(cid:229) quay kho(cid:226)ng ma saøt quanh tru(cid:239)c thaœng æ(cid:246)øng Oz tr(cid:246)(cid:239)c giao v(cid:244)øi maºt phaœng æ(cid:243)a. Mo(cid:228)t ng(cid:246)(cid:244)łi tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng P æi theo meøp taÆm trołn v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc t(cid:246)(cid:244)ng æoÆi u kho(cid:226)ng æo(cid:229)i. Ban æa(cid:224)u he(cid:228) æ(cid:246)øng ye(cid:226)n, hoßi taÆm trołn quay quanh tru(cid:239)c v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc goøc ω baŁng bao nhie(cid:226)u?

H(cid:236)nh 13: Bałi ta(cid:228)p 38

39. ? Tru(cid:239)c h(cid:236)nh tru(cid:239) tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng P baøn k(cid:237)nh R quay æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c xung quanh tru(cid:239)c naŁm ngang nh(cid:244)ł quaß ca(cid:226)n A coø tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng Q treo vało s(cid:244)(cid:239)i da(cid:226)y quaÆn quanh h(cid:236)nh tru(cid:239) (xem h(cid:236)nh 14). Boß qua khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa da(cid:226)y vał ma saøt (cid:244)ß o(cid:229) tru(cid:239)c. Haıy xaøc

Bałi ta(cid:228)p 28

æ(cid:242)nh gia toÆc goøc trong chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay cußa h(cid:236)nh tru(cid:239) khi va(cid:228)t A coø chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng thaœng æ(cid:246)øng.

H(cid:236)nh 14: Bałi ta(cid:228)p 39

40. ? Hai va(cid:228)t A vał B naºng P1 vał P2 æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c noÆi v(cid:244)øi nhau baŁng s(cid:244)(cid:239)i da(cid:226)y me(cid:224)m kho(cid:226)ng giaın kho(cid:226)ng tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng vał vaØt qua rołng ro(cid:239)c O baøn k(cid:237)nh r tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng Q. Cho P1 > P2, khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng rołng ro(cid:239)c pha(cid:226)n boÆ æe(cid:224)u tre(cid:226)n vałnh. Xaøc æ(cid:242)nh gia toÆc va(cid:228)t A.

H(cid:236)nh 15: Bałi ta(cid:228)p 40

41. ? Cho tay quay OA chie(cid:224)u dałi r trong c(cid:244) caÆu thanh truye(cid:224)n quay v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc goøc ω0. Thanh truye(cid:224)n OB cuıng coø chie(cid:224)u dałi r. Tay quay vał thanh truye(cid:224)n lał æo(cid:224)ng chaÆt vał coø khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng rie(cid:226)ng lał ρ (tre(cid:226)n æ(cid:244)n v(cid:242) dałi). T(cid:237)nh æo(cid:228)ng naŒng cußa c(cid:244) he(cid:228).

H(cid:236)nh 16: Bałi ta(cid:228)p 41

Bałi ta(cid:228)p 29

42. ? Mo(cid:228)t da(cid:226)y kho(cid:226)ng giaın, kho(cid:226)ng tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c quaÆn vało æa(cid:224)u æ(cid:243)a trołn æo(cid:224)ng chaÆt khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m baøn k(cid:237)nh r, cołn æa(cid:224)u kia buo(cid:228)c vało æie(cid:229)m coÆ æ(cid:242)nh A. Khi da(cid:226)y l(cid:244)i ra, h(cid:236)nh tru(cid:239)(cid:239) r(cid:244)i xuoÆng kho(cid:226)ng va(cid:228)n toÆc æa(cid:224)u. Xaøc æ(cid:242)nh va(cid:228)n toÆc v cußa ta(cid:226)m æ(cid:243)a trołn khi noø r(cid:244)i xuoÆng mo(cid:228)t æoa(cid:239)n h. Xaøc æ(cid:242)nh gia toÆc ta(cid:226)m C vał s(cid:246)øc caŒng da(cid:226)y.

H(cid:236)nh 17: Bałi ta(cid:228)p 42

43. Mo(cid:228)t h(cid:236)nh tru(cid:239) tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng P1 coø cuo(cid:228)n xung quanh baŁng mo(cid:228)t s(cid:244)(cid:239)i da(cid:226)y. Da(cid:226)y vaØt qua rołng ro(cid:239)c coÆ æ(cid:242)nh O ro(cid:224)i noÆi v(cid:244)øi va(cid:228)t A naºng P2. Va(cid:228)t A tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t tre(cid:226)n maºt phaœng naŁm ngang coø he(cid:228) soÆ ma saøt f. Boß qua ma saøt (cid:244)ß o(cid:229) tru(cid:239)c O, t(cid:236)m gia toÆc cußa va(cid:228)t A vał cußa ta(cid:226)m C h(cid:236)nh tru(cid:239).

H(cid:236)nh 18: Bałi ta(cid:228)p 43

C(cid:244) ho(cid:239)c giaßi t(cid:237)ch

Bałi ta(cid:228)p ve(cid:224) ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange

44. ? Mo(cid:228)t ha(cid:239)t khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m di chuye(cid:229)n d(cid:246)(cid:244)øi taøc du(cid:239)ng cußa l(cid:246)(cid:239)c haÆp daªn do khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng M coÆ æ(cid:242)nh æaºt ta(cid:239)i goÆc. LaÆy to(cid:239)a æo(cid:228) c(cid:246)(cid:239)c r, θ lałm to(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng, vieÆt ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai cho chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa ha(cid:239)t. T(cid:236)m mo(cid:228)t t(cid:237)ch pha(cid:226)n æa(cid:224)u vał giaßi th(cid:237)ch yø ngh(cid:243)a c(cid:244) ho(cid:239)c cußa noø.

Bałi ta(cid:228)p 30

H(cid:236)nh 19: Bałi ta(cid:228)p 44

H(cid:236)nh 20: Bałi ta(cid:228)p 45

45. ? Mo(cid:228)t ha(cid:239)t P khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t tre(cid:226)n maºt trong tr(cid:244)n cußa h(cid:236)nh noøn trołn xoay coø goøc (cid:244)ß æ(cid:230)nh baŁng 2α. Tru(cid:239)c æoÆi x(cid:246)øng cußa h(cid:236)nh noøn thaœng æ(cid:246)øng qua æ(cid:230)nh O h(cid:246)(cid:244)øng xuoÆng. Cho(cid:239)n caøc to(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng: r, khoaßng caøch OP , vał ϕ, goøc ph(cid:246)(cid:244)ng v(cid:242) æoÆi v(cid:244)øi maºt phaœng coÆ æ(cid:242)nh æi qua tru(cid:239)c h(cid:236)nh noøn. VieÆt he(cid:228) ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange. Ch(cid:246)øng toß raŁng ϕ lał to(cid:239)a æo(cid:228) cyclic vał t(cid:236)m mo(cid:228)t t(cid:237)ch pha(cid:226)n æa(cid:224)u. Giaßi th(cid:237)ch yø ngh(cid:243)a c(cid:244) ho(cid:239)c cußa t(cid:237)ch pha(cid:226)n æa(cid:224)u nały.

46. ? Xeøt va(cid:228)t khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t tre(cid:226)n mo(cid:228)t maºt be(cid:226)n tr(cid:244)n nghie(cid:226)ng goøc α cußa ne(cid:226)m(cid:239) khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng M, ne(cid:226)m nały la(cid:239)i tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t tre(cid:226)n maºt phaœng tr(cid:244)n naŁm ngang nh(cid:246) h(cid:236)nh 21. Toałn bo(cid:228) chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng lał phaœng. VieÆt ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i

H(cid:236)nh 21: Bałi ta(cid:228)p 46

hai cho he(cid:228) nały vał suy ra (i) gia toÆc cußa ne(cid:226)m, vał (ii) gia toÆc t(cid:246)(cid:244)ng æoÆi cußa va(cid:228)t (æoÆi v(cid:244)øi ne(cid:226)m).

Bałi ta(cid:228)p 31

47. ? H(cid:236)nh 22 veı mo(cid:228)t h(cid:236)nh tru(cid:239) ta(cid:226)m G baøn k(cid:237)nh a laŒn kho(cid:226)ng tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t tre(cid:226)n maºt trong cußa mo(cid:228)t maºt tru(cid:239) coÆ æ(cid:242)nh ta(cid:226)m O baøn k(cid:237)nh b > a. VieÆt ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai, suy ra chu kył dao æo(cid:228)ng beø cußa h(cid:236)nh tru(cid:239) quanh v(cid:242) tr(cid:237) ca(cid:226)n baŁng.

H(cid:236)nh 22: Bałi ta(cid:228)p 47

48. ? Cho he(cid:228) nh(cid:246) h(cid:236)nh 23. (cid:209)(cid:246)(cid:244)łng ray tr(cid:244)n vał l(cid:246)(cid:239)c cho tr(cid:246)(cid:244)øc F (t) taøc æo(cid:228)ng

H(cid:236)nh 23: Bałi ta(cid:228)p 48

le(cid:226)n va(cid:228)t P2. Boß qua tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c. VieÆt he(cid:228) ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai cho he(cid:228).

Tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p t(cid:237)nh æeÆn tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c th(cid:236) sao?

49. T(cid:236)m quy lua(cid:228)t chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa vie(cid:226)n bi B chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng do(cid:239)c trong oÆng OA æang quay æe(cid:224)u trong maºt phaœng naŁm ngang v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc goøc ω. Ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m ban æa(cid:224)u vie(cid:226)n bi caøch O mo(cid:228)t æoa(cid:239)n baŁng A vał coø va(cid:228)n toÆc do(cid:239)c theo oÆng baŁng kho(cid:226)ng.

H(cid:236)nh 24: Bałi ta(cid:228)p 49

50. VieÆt ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai cho chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa con laØc keøp phaœng (xem h(cid:236)nh 25). Giaß s(cid:246)ß khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa A vał B baŁng nhau vał baŁng m.

Bałi ta(cid:228)p 32

H(cid:236)nh 25: Bałi ta(cid:228)p 50

51. VieÆt ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai cho chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa con laØc go(cid:224)m chaÆt æie(cid:229)m khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m treo tre(cid:226)n da(cid:226)y quaÆn vało h(cid:236)nh tru(cid:239) coÆ æ(cid:242)nh baøn k(cid:237)nh r (xem h(cid:236)nh 26). (cid:209)o(cid:228) dałi cußa pha(cid:224)n da(cid:226)y buo(cid:226)ng thoıng ta(cid:239)i v(cid:242) tr(cid:237) ca(cid:226)n baŁng lał l. Boß qua khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa da(cid:226)y.

H(cid:236)nh 26: Bałi ta(cid:228)p 51

52. Caøc æa(cid:224)u muøt cußa thanh æo(cid:224)ng chaÆt AB, coø khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m, dałi 2a tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t kho(cid:226)ng ma saøt theo caøc thanh naŁm ngang vał thaœng æ(cid:246)øng cußa mo(cid:228)t khung quay quanh thanh thaœng æ(cid:246)øng (xem h(cid:236)nh 27). VieÆt ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai cho chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa thanh khi khung quay v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc goøc kho(cid:226)ng æo(cid:229)i ω.

H(cid:236)nh 27: Bałi ta(cid:228)p 52

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p

Trong L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p th(cid:230)nh thoaßng chuøng to(cid:226)i coø chua the(cid:226)m giaßi th(cid:237)ch, nha(cid:228)n xeøt, hoaºc b(cid:236)nh lua(cid:228)n. Caøc no(cid:228)i dung nały æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c æaºt trong daÆu ngoaºc vuo(cid:226)ng vał æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c in nghie(cid:226)ng æe(cid:229) pha(cid:226)n bie(cid:228)t.

14 T(cid:246)ł ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh vi pha(cid:226)n ta suy ra

r ˙r = 2r ˙r = 0 r = R (const) (a) dr2 dt ⊥ ⇒ · ⇒

d(r c) c r ˙r = ˙r c = 0 c = const (b) · dt ⊥ ⇒ · ⇒ ·

T(cid:246)ł æaœng th(cid:246)øc (b) ta thaÆy h(cid:236)nh chieÆu cußa P le(cid:226)n tru(cid:239)c æi qua O coø vect(cid:244) ch(cid:230) ph(cid:246)(cid:244)ng c lał æie(cid:229)m coÆ æ(cid:242)nh, go(cid:239)i lał Q; hay noøi caøch khaøc, P luo(cid:226)n luo(cid:226)n naŁm tre(cid:226)n maºt phaœng coÆ æ(cid:242)nh æi qua æie(cid:229)m Q vał nha(cid:228)n c lałm phaøp vect(cid:244). Cułng v(cid:244)øi æaœng th(cid:246)øc (a) ta ruøt ra quyı æa(cid:239)o cußa P lał æ(cid:246)(cid:244)łng trołn.

Kyø hie(cid:228)u v = ˙r lał va(cid:228)n toÆc vał w = ¨r lał gia toÆc. Ta coø [baŁng caøch laÆy æa(cid:239)o hałm hai veÆ ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh vi pha(cid:226)n]

c v ¨r = ˙r w = 0. ⇒ ×

· Va(cid:228)y P chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng v(cid:244)øi toÆc æo(cid:228) kho(cid:226)ng æo(cid:229)i.

15 [Chuø yø æeÆn caøc moÆi lie(cid:226)n he(cid:228) gi(cid:246)ıa æie(cid:229)m M (ca(cid:224)n khaßo saøt) v(cid:244)øi caøc æie(cid:229)m mał giaß thieÆt cußa bałi toaøn cho bieÆt chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng. Dułng to(cid:239)a æo(cid:228) descartes.]

Ta coø:

OA = (2a cos ωt, 2a sin ωt),

OB = (2xA, 0) = (4a cos ωt, 0).

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 34

- OM =

- OA +

Suy ra

OB) = (3a cos ωt, a sin ωt). ( 1 2

Ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa M:

x = 3a cos ωt y = a sin ωt (cid:26)

Quyı æa(cid:239)o (kh(cid:246)ß t t(cid:246)ł ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng):

y2 a2 = 1. x2 9a2 +

Va(cid:228)n toÆc: ˙x = 3aω sin ωt, ˙y = aω cos ωt. − Gia toÆc:

¨x = 3aω2 cos ωt, ¨y = aω2 sin ωt. − − (cid:209)e(cid:229) t(cid:237)nh gia toÆc tieÆp ta ca(cid:224)n t(cid:237)nh toÆc æo(cid:228) (mo(cid:226)æun vect(cid:244) va(cid:228)n toÆc)

ω v = a 1 + 8 sin2 ωt. | | p Gia toÆc tieÆp:

ω . | | wt = ˙v = ω sin 2ωt 4a √1 + 8 sin2 ωt

(cid:209)e(cid:229) t(cid:237)nh gia toÆc phaøp ta ca(cid:224)n æeÆn mo(cid:226)æun vect(cid:244) gia toÆc:

w = aω2√1 + 8 cos2 ωt.

Gia toÆc phaøp:

t =

aω2 9 12 sin2 2ωt . w2 w2 − wn = − √1 + 8 sin2 ωt p p

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 35

Chuø yø, gia toÆc phaøp luo(cid:226)n luo(cid:226)n lał soÆ d(cid:246)(cid:244)ng!

16 Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa ta(cid:226)m C lał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng thaœng æe(cid:224)u va(cid:228)n toÆc v0. Do baønh xe laŒn kho(cid:226)ng tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t ne(cid:226)n Rϕ = v0t (giaß thieÆt luøc t = 0 æie(cid:229)m M naŁm (cid:244)ß goÆc to(cid:239)a æo(cid:228) O).

- OM v(cid:244)øi

- CM .

- OC - OM =

- OC +

He(cid:228) th(cid:246)øc lie(cid:226)n he(cid:228)

ChieÆu he(cid:228) th(cid:246)øc vect(cid:244) xuoÆng caøc tru(cid:239)c to(cid:239)a æo(cid:228)

3π 2 − −

ϕ x = v0t y = R x = xC + R cos y = yC + R cos(π (cid:0) ϕ) ⇔ (cid:1) (cid:26) (cid:26) R sin v0t R − R cos v0t R −

Va(cid:228)n toÆc:

, cos 2 1 cos ˙x = v0 v = v0 ˙y = v0 sin v0t R v0t R − v0t R ⇒ − s 1 (cid:18) (cid:18) (cid:19) . (cid:19)

Gia toÆc:

. sin , ¨y = cos w = ¨x = v2 0 R v0t R v2 0 R v2 0 R v0t R ⇒

(cid:209)e(cid:229) t(cid:237)nh baøn k(cid:237)nh cong ta ca(cid:224)n bieÆt gia toÆc tieÆp,

, wt = ˙v = v2 0 R 1 2 sin v0t R cos v0t R − q (cid:1) (cid:0)

gia toÆc phaøp

t =

w2 w2 . 2 1 cos wn = v0t R − − v2 0 2R s (cid:18) (cid:19) p

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 36

Suy ra

. = 2R = 4R ρ = 2 1 cos sin v0t R v0t 2R − v2 wn s (cid:19) (cid:18)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

˙x = 140t (cm/s). 20 Va(cid:228)n toÆc cußa (1):

Do æai chuye(cid:224)n, baønh xe (2) chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc goøc ω2 thoßa ω2r2 = 140t suy ra ω2 = 14t/3 (s−1) [va(cid:228)n toÆc cußa æie(cid:229)m tre(cid:226)n vałnh baønh xe (2) baŁng va(cid:228)n toÆc cußa va(cid:228)t (1)].

Baønh xe (3) chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc goøc ω3 thoßa ω2R2 = ω3R3 suy ra ω3 = R2ω2/R3 = 35t/9 (s−1) [baønh xe (3) vał baønh xe (2) noÆi v(cid:244)øi nhau baŁng æai chuye(cid:224)n. Dułng co(cid:226)ng th(cid:246)øc chuye(cid:224)n æo(cid:228)ng].

(cid:209)ie(cid:229)m M gaØn v(cid:244)øi baønh xe (3) chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay quanh tru(cid:239)c. Va(cid:228)n toÆc cußa M lał v = ω3r3 = 1400t/9 (cm/s). Gia toÆc goøc cußa baønh xe (3) lał (cid:15)3 = 35/9 (1/s2) ne(cid:226)n gia toÆc tieÆp cußa M lał wt = (cid:15)3r3 = 1400/9 (cm/s2) vał gia toÆc phaøp cußa M lał wn = ω2 3r3 = 19000t2/81 (cm/s2) [xem la(cid:239)i caøc co(cid:226)ng th(cid:246)øc lie(cid:226)n quan æeÆn chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa coÆ the(cid:229) quanh mo(cid:228)t tru(cid:239)c].

Th(cid:244)łi æie(cid:229)m (1) æi æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c s = 40 (cm) lał t = 2/√7, thay vało caøc bie(cid:229)u th(cid:246)øc tre(cid:226)n ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c keÆt quaß ca(cid:224)n t(cid:236)m.

[Chuø yø, keÆt quaß t(cid:237)nh va(cid:228)n toÆc, gia toÆc tieÆp, gia toÆc phaøp cußa æie(cid:229)m M ch(cid:230) lał æo(cid:228) l(cid:244)øn. (cid:209)e(cid:229) xaøc æ(cid:242)nh h(cid:246)(cid:244)øng cußa caøc vect(cid:244) nały ta ca(cid:224)n xeøt the(cid:226)m chie(cid:224)u quay cußa caøc baønh xe lie(cid:226)n keÆt v(cid:244)øi nhau!]

21 Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:246)(cid:244)ng æoÆi cußa M æoÆi v(cid:244)øi h(cid:236)nh noøn (he(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) æo(cid:228)ng) lał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng thaœng æe(cid:224)u ne(cid:226)n gia toÆc t(cid:246)(cid:244)ng æoÆi wr baŁng kho(cid:226)ng.

Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng theo lał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng trołn v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc goøc ω kho(cid:226)ng æo(cid:229)i OM . Gia toÆc r, trong æoø ~ω = ωk, r = × ne(cid:226)n va(cid:228)n toÆc theo cußa M lał ve = ~ω theo (dułng co(cid:226)ng th(cid:246)øc Gibbs):

ω2r. = (~ω r)~ω we = dve dt · −

(cid:209)e(cid:229) yø raŁng ~ω r = ωr cos α ne(cid:226)n · −

ω2r cos αk we = ω2rr0, −

− trong æoø r0 lał vect(cid:244) æ(cid:244)n v(cid:242) cußa r. NeÆu pha(cid:226)n t(cid:237)ch vect(cid:244) r 0 thałnh

cos αk + sin αu r0 = −

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 37

v(cid:244)øi u lał vect(cid:244) æ(cid:244)n v(cid:242) tr(cid:246)(cid:239)c giao v(cid:244)øi k (tru(cid:239)c z) vał naŁm trong maºt phaœng (AOM), th(cid:236)

ω2r sin αu. we = − Gia toÆc Coriolis cußa M:

wc = 2~ω vr = 2ωvr sin αv, ×

v r, vect(cid:244) nały vuo(cid:226)ng goøc v(cid:244)øi maºt × trong æoø v lał vect(cid:244) æ(cid:244)n v(cid:242) cußa vect(cid:244) k phaœng (AOM).

A(cid:217)p du(cid:239)ng co(cid:226)ng th(cid:246)øc co(cid:228)ng gia toÆc,

wa = ω2r sin αu + 2ωvr sin αv, −

gia toÆc nały naŁm trong maºt phaœng vuo(cid:226)ng goøc v(cid:244)øi OA. Ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m t, r = vrt + a, wa = ω2(vrt + a) sin αu + 2ωvr sin αv. −

23 He(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) coÆ æ(cid:242)nh Oxy gaØn v(cid:244)øi ne(cid:224)n. He(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) æo(cid:228)ng Cs gaØn v(cid:244)øi maºt nghie(cid:226)ng cußa ne(cid:226)m. H(cid:236)nh 28 veı hai v(cid:242) tr(cid:237) cußa ne(cid:226)m, trong æoø h(cid:236)nh veı kho(cid:226)ng

H(cid:236)nh 28: Hai v(cid:242) tr(cid:237) tr(cid:246)(cid:244)øc vał sau cußa ne(cid:226)m (bałi ta(cid:228)p 23).

lie(cid:224)n neøt (cid:246)øng v(cid:244)øi v(cid:242) tr(cid:237) ban æa(cid:224)u cußa ne(cid:226)m.

Thanh AB chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:242)nh tieÆn, va(cid:228)n toÆc cußa thanh æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c cho b(cid:244)ßi va(cid:228)n toÆc cußa A. (cid:209)ie(cid:229)m A0 lał v(cid:242) tr(cid:237) ban æa(cid:224)u cußa A (trong he(cid:228) coÆ æ(cid:242)nh). Ta coø: HA = ∆x, ∆yA = HA tan α = ∆x tan α, suy ra va(cid:228)n toÆc tuye(cid:228)t æoÆi cußa thanh AB: va(A) = v tan α, h(cid:246)(cid:244)øng thaœng æ(cid:246)øng le(cid:226)n tre(cid:226)n. KeÆt quaß nha(cid:228)n æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c baŁng caøch chia hai veÆ cho ∆t, ro(cid:224)i qua gi(cid:244)øi ha(cid:239)n, ∆t →

0. (cid:209)ie(cid:229)m A00 lał v(cid:242) tr(cid:237) ban æa(cid:224)u cußa A tre(cid:226)n ne(cid:226)m. Ta coø: A 0A00 = ∆s cos α, A0A00 = HA = ∆x, suy ra va(cid:228)n toÆc t(cid:246)(cid:244)ng æoÆi cußa A: vr(A) = v/cosα, h(cid:246)(cid:244)øng ng(cid:246)(cid:244)(cid:239)c chie(cid:224)u v(cid:244)øi s. Dułng d(cid:246)ı lie(cid:228)u soÆ:

vr(A) = 30/ cos 30o20√3 (cm/s). va(A) = 30 tan 30o = 10√3 (cm/s),

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 38

Ta coø the(cid:229) giaßi baŁng co(cid:226)ng th(cid:246)øc h(cid:244)(cid:239)p va(cid:228)n toÆc. Tr(cid:246)(cid:244)øc heÆt, æe(cid:229) yø raŁng va(cid:228)n toÆc cußa ne(cid:226)m v lał va(cid:228)n toÆc theo cußa A, ve(A) = v. T(cid:237)nh va(cid:228)n toÆc t(cid:246)(cid:244)ng æoÆi cußa A, vr(A) (nh(cid:246) tre(cid:226)n) ro(cid:224)i dułng co(cid:226)ng th(cid:246)øc h(cid:244)(cid:239)p va(cid:228)n toÆc t(cid:237)nh va(cid:228)n toÆc tuye(cid:228)t æoÆi cußa A, va(A).

24 Go(cid:239)i I, ωAB la(cid:224)n l(cid:246)(cid:244)(cid:239)t lał ta(cid:226)m quay t(cid:246)øc th(cid:244)łi, va(cid:228)n toÆc goøc t(cid:246)øc th(cid:244)łi cußa thanh

− − AB. (cid:209)ie(cid:229)m I ch(cid:237)nh lał giao æie(cid:229)m cußa O1A vał O2B. (cid:212)(cid:219) v(cid:242) tr(cid:237) α = β = 60o tam giaøc O1IO2 lał tam giaøc æe(cid:224)u, suy ra: IA = O1I O1A = 40 (cm), IB = O2B = 20 (cm). T(cid:246)ł co(cid:226)ng th(cid:246)øc va(cid:228)n toÆc cußa chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay cußa thanh O2I O1A vał thanh AB ta coø

10 ωAB = 2, 5π (1/s). 10π = 40ωAB ⇒

2, 5π = 50π (cm/s). × (cid:209)ie(cid:229)m B chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc VB = 20 × Va(cid:228)n toÆc goøc cußa thanh O2B sinh vie(cid:226)n t(cid:246)(cid:239) lałm.

kv (boß qua l(cid:246)(cid:239)c æa(cid:229)y Archimełde). (cid:209)(cid:242)nh lua(cid:228)t th(cid:246)ø hai cho 31 Quaß ca(cid:224)u ch(cid:242)u taøc du(cid:239)ng cußa: tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c P = mg, l(cid:246)(cid:239)c caßn cußa mo(cid:226)i tr(cid:246)(cid:244)łng FC = −

mw = P + FC.

Cho(cid:239)n he(cid:228) tru(cid:239)c æo(cid:228) Oy thaœng æ(cid:246)øng h(cid:246)(cid:244)øng le(cid:226)n. ChieÆu he(cid:228) th(cid:246)øc vect(cid:244) le(cid:226)n tru(cid:239)c Oy, ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c:

mg g. m¨y = k ˙y ¨y + ˙y = (a) k m − − ⇒ −

Giaßi ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh vi pha(cid:226)n (a) - caøch 1. Taøch bieÆn (xem ˙y lał a(cid:229)n hałm),

dt, = − d ˙y k m ˙y + g

t(cid:237)ch pha(cid:226)n hai veÆ

= t + C. (b) ln ˙y + g m k k m −

k ln g; thay vało (b), sau mo(cid:228)t soÆ

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Dułng æie(cid:224)u kie(cid:228)n æa(cid:224)u ˙y(0) = 0, ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c C = m bieÆn æo(cid:229)i, ta thu æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c va(cid:228)n toÆc cußa quaß ca(cid:224)u:

. ˙y = exp (c) mg k kt m − − (cid:20) (cid:18) (cid:19) 1 (cid:21)

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 39

mg k

(va(cid:228)n toÆc gi(cid:244)øi ha(cid:239)n). Va(cid:228)n toÆc gi(cid:244)øi ha(cid:239)n nały , ˙y + → − → (cid:209)e(cid:229) yø raŁng khi t ∞ cuıng coø the(cid:229) t(cid:236)m t(cid:246)ł ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh P + FC = 0.

T(cid:237)ch pha(cid:226)n (c) vał dułng æie(cid:224)u kie(cid:228)n æa(cid:224)u y(0) = 0 ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng (lua(cid:228)t chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng):

. y = exp m2g k2 kt m mgt k − − − 1 (cid:20) (cid:18) (cid:19)(cid:21)

Caøch 2. Ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh (a) lał ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh vi pha(cid:226)n tuyeÆn t(cid:237)nh caÆp hai kho(cid:226)ng thua(cid:224)n nhaÆt. Nghie(cid:228)m to(cid:229)ng quaøt cußa ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh thua(cid:224)n nhaÆt

. y = C1 + C2 exp kt m − (cid:19) (cid:18)

T(cid:236)m nghie(cid:228)m ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh kho(cid:226)ng thua(cid:224)n nhaÆt d(cid:246)(cid:244)øi da(cid:239)ng

1(t), C 0 C 0

2(t) thoßa he(cid:228)

. y = C1(t) + C2(t) exp kt m − (cid:19) (cid:18)

2(t) = 0 2(t) =

1(t) + exp k m exp

kt m kt m

C 0 C 0 C 0 g − − (cid:1) (cid:1) − (cid:0) − (cid:0)

1(t), C 0

2(t), ro(cid:224)i t(cid:237)ch pha(cid:226)n theo t, cuoÆi cułng ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c

Giaßi ra C 0

+ + C1, y = C2 exp kt m mgt k m2g k2 − − (cid:19) (cid:18)

trong æoø C1, C2 lał caøc haŁng soÆ t(cid:237)ch pha(cid:226)n phu(cid:239) thuo(cid:228)c æie(cid:224)u kie(cid:228)n æa(cid:224)u. Pha(cid:224)n cołn la(cid:239)i sinh vie(cid:226)n t(cid:246)(cid:239) lałm.

33 a) L(cid:246)(cid:239)c taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n vie(cid:226)n æa(cid:239)n lał tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c P. Ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh vi pha(cid:226)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng (æ(cid:242)nh lua(cid:228)t th(cid:246)ø hai cußa Newton)

mw = P.

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 40

ChieÆu xuoÆng caøc tru(cid:239)c to(cid:239)a æo(cid:228):

g ¨x = 0 ¨y = −

T(cid:237)ch pha(cid:226)n he(cid:228) ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh tre(cid:226)n, ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c va(cid:228)n toÆc cußa vie(cid:226)n æa(cid:239)n (dułng æie(cid:224)u kie(cid:228)n æa(cid:224)u, va(cid:228)n toÆc):

˙x = V0 cos α ˙y = gt + V0 sin α −

T(cid:237)ch pha(cid:226)n la(cid:224)n n(cid:246)ıa (dułng æie(cid:224)u kie(cid:228)n æa(cid:224)u, v(cid:242) tr(cid:237)) ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa vie(cid:226)n æa(cid:239)n:

2gt2 + V0t sin α

x = V0t cos α y = −

Kh(cid:246)ß t trong hai ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh tre(cid:226)n ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh quyı æa(cid:239)o cußa vie(cid:226)n æa(cid:239)n:

y = x2 + x tan α. 2V 2 − g 0 cos2 α

b) (cid:209)e(cid:229) vie(cid:226)n æa(cid:239)n baØn truøng æie(cid:229)m M ta phaßi coø

= (1 + tan2 α) + tan α tan2 α 2 tan α + = 0. V 2 0 4g 1 2 V 2 0 4g V 2 0 2g 1 2 3 2 − ⇔ −

Nghie(cid:228)m: tan α = 1, tan α = 3.

b, sau khoaßng th(cid:244)łi gian − 35 C(cid:244) he(cid:228): khoÆi n(cid:246)(cid:244)øc, ban æa(cid:224)u æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c gi(cid:244)øi ha(cid:239)n b(cid:244)ßi a b0 (h(cid:236)nh 10). ∆t gi(cid:244)øi ha(cid:239)n b(cid:244)ßi a0 − L(cid:246)(cid:239)c ngoałi taøc du(cid:239)ng: tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c P, phaßn l(cid:246)(cid:239)c R cußa t(cid:246)(cid:244)łng taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n khoÆi n(cid:246)(cid:244)øc.

Cho(cid:239)n tru(cid:239)c x naŁm ngang vał aøp du(cid:239)ng æ(cid:242)nh lyø bieÆn thie(cid:226)n æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng theo ph(cid:246)(cid:244)ng x. R∆t. (a) P1x = P2x − −

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 41

KhoÆi n(cid:246)(cid:244)øc ban æa(cid:224)u vał khoÆi n(cid:246)(cid:244)øc luøc sau coø pha(cid:224)n chung (2). NeÆu giaß thieÆt chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa khoÆi n(cid:246)(cid:244)øc lał d(cid:246)łng th(cid:236)

mv, (b) P1x = P (1) 1x = P2x − − −

trong æoø P (1) 1x lał æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng luøc æa(cid:224)u cußa pha(cid:224)n (1) cołn m lał khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa noø. KeÆt quaß nały nha(cid:228)n æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c lał do caøc pha(cid:224)n (3) coø va(cid:228)n toÆc vuo(cid:226)ng goøc v(cid:244)øi tru(cid:239)c x.

Thay (b) vało (a) ta suy ra

. (c) R = mv ∆t

NeÆu n(cid:246)(cid:244)øc coø ma(cid:228)t æo(cid:228) khoÆi lał ρ th(cid:236) khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa pha(cid:224)n (1) lał

v∆t m = ρ πd2 4

vał nh(cid:246) va(cid:228)y (ρ = 1),

R = ρ = 125, 6 N. πd2v2 4

36 He(cid:228) quy chieÆu: tru(cid:239)c Ox naŁm ngang coø chie(cid:224)u t(cid:246)ł traøi qua phaßi.

C(cid:244) he(cid:228): go(cid:224)m A, B, s(cid:244)(cid:239)i da(cid:226)y vał laŒng tru(cid:239). Chuø yø, (cid:244)ß æa(cid:226)y ta kho(cid:226)ng ke(cid:229) da(cid:226)y vał rołng ro(cid:239)c v(cid:236) chuøng kho(cid:226)ng coø khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng ne(cid:226)n ch(cid:230) coø taøc du(cid:239)ng rałng buo(cid:228)c (lie(cid:226)n keÆt) caøc va(cid:228)t trong he(cid:228) (xem h(cid:236)nh 11).

L(cid:246)(cid:239)c ngoałi taøc du(cid:239)ng: caøc tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c P, PA, PB, vał phaßn l(cid:246)(cid:239)c N cußa maºt sałn taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n laŒng tru(cid:239).

(cid:209)e(cid:229) aøp du(cid:239)ng æ(cid:242)nh lyø bieÆn thie(cid:226)n æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng tre(cid:226)n ph(cid:246)(cid:244)ng Ox, tr(cid:246)(cid:244)øc heÆt, ta t(cid:236)m lie(cid:226)n he(cid:228) gi(cid:246)ıa caøc thałnh pha(cid:224)n va(cid:228)n toÆc theo ph(cid:246)(cid:244)ng x cußa A, B vał laŒng tru(cid:239). NeÆu go(cid:239)i v lał va(cid:228)n toÆc cußa laŒng tru(cid:239) æoÆi v(cid:244)øi O, v 0 lał thałnh pha(cid:224)n va(cid:228)n toÆc theo ph(cid:246)(cid:244)ng x cußa B æoÆi v(cid:244)øi laŒng tru(cid:239). Th(cid:236) thałnh pha(cid:224)n va(cid:228)n toÆc theo ph(cid:246)(cid:244)ng x cußa A æoÆi v(cid:244)øi laŒng tru(cid:239) (va(cid:228)n toÆc t(cid:246)(cid:244)ng æoÆi) seı lał v 0 cos α (do da(cid:226)y kho(cid:226)ng giaın). T(cid:246)ł co(cid:226)ng th(cid:246)øc co(cid:228)ng va(cid:228)n toÆc, ta coø thałnh pha(cid:224)n va(cid:228)n toÆc theo ph(cid:246)(cid:244)ng x cußa A, B æoÆi v(cid:244)øi O (va(cid:228)n toÆc tuye(cid:228)t æoÆi) la(cid:224)n l(cid:246)(cid:244)(cid:239)t lał v 0 cos α + v, v0 + v.

Do ban æa(cid:224)u he(cid:228) æ(cid:246)øng ye(cid:226)n ne(cid:226)n æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng baŁng kho(cid:226)ng, P1x = 0. (cid:209)o(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng luøc sau (khi A æaı tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t xuoÆng mo(cid:228)t khoaßng l do(cid:239)c theo ca(cid:239)nh KL cußa laŒng

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 42

tru(cid:239)): P2x = m1(v0 cos α + v) + m2(v0 + v) + mv = (m1 cos α + m2)v0 + (m1 + m2 + m)v.

V(cid:236) da(cid:226)y kho(cid:226)ng tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng ne(cid:226)n mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa noø baŁng kho(cid:226)ng. Nh(cid:246) va(cid:228)y, theo æ(cid:242)nh lyø bieÆn thie(cid:226)n æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng tre(cid:226)n ph(cid:246)(cid:244)ng Ox,

. v = (m1 cos α + m2)v0 + (m1 + m2 + m)v = 0 ⇒ − (m1 cos α + m2)v0 m1 + m2 + m

VeÆ phaßi cußa ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh tre(cid:226)n baŁng kho(cid:226)ng do taÆt caß caøc l(cid:246)(cid:239)c ngoałi æe(cid:224)u tr(cid:246)(cid:239)c giao v(cid:244)øi Ox. LaÆy t(cid:237)ch pha(cid:226)n hai veÆ t(cid:246)ł 0 æeÆn th(cid:244)łi æie(cid:229)m æang xeøt, ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c:

. s = − (m1 cos α + m2)l m1 + m2 + m

DaÆu tr(cid:246)ł trong ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh ch(cid:230) th(cid:242) laŒng tru(cid:239) di chuye(cid:229)n ng(cid:246)(cid:244)(cid:239)c h(cid:246)(cid:244)øng di chuye(cid:229)n cußa B.

38 C(cid:244) he(cid:228): taÆm trołn vał ng(cid:246)(cid:244)łi.

L(cid:246)(cid:239)c ngoałi taøc du(cid:239)ng: P, Q lał tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c cußa ng(cid:246)(cid:244)łi vał taÆm trołn, RA, RB phaßn l(cid:246)(cid:239)c lie(cid:226)n keÆt ta(cid:239)i caøc o(cid:229) tru(cid:239)c (xem h(cid:236)nh 13).

k ) = 0 ne(cid:226)n mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa he(cid:228) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c baßo toałn

Ta coø mz(F(e) theo ph(cid:246)(cid:244)ng z. V(cid:236) ban æa(cid:224)u he(cid:228) æ(cid:246)øng ye(cid:226)n ne(cid:226)n Lz = 0 ta(cid:239)i mo(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m. P

Ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m baÆt kył, giaß æ(cid:242)nh va(cid:228)n toÆc cußa ng(cid:246)(cid:244)łi vał vect(cid:244) va(cid:228)n toÆc goøc cußa taÆm trołn nh(cid:246) h(cid:236)nh veı. Luøc æoø va(cid:228)n toÆc tuye(cid:228)t æoÆi cußa ng(cid:246)(cid:244)łi v = rω + u. Mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa he(cid:228) æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c z:

taÆm trołn

ng(cid:246)(cid:244)łi

ru, + r(rω + u) = (Q + 2P )ω + Lz = Jzω P g P g r2 2g

|{z} {z |

} trong æoø ta æaı dułng co(cid:226)ng th(cid:246)øc t(cid:237)nh mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cußa taÆm trołn æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c z, Jz = Qr2/2g.

T(cid:246)ł Lz = 0 ta suy ra

. ω = 2P u r(Q + 2P ) −

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 43

Chuø yø, daÆu tr(cid:246)ł trong bie(cid:229)u th(cid:246)øc ω ch(cid:246)øng toß va(cid:228)n toÆc goøc coø chie(cid:224)u ng(cid:246)(cid:244)(cid:239)c v(cid:244)øi chie(cid:224)u giaß thieÆt.

39 Xem h(cid:236)nh 14. (cid:212)(cid:219) æa(cid:226)y, v(cid:236) lyø do tieÆt kie(cid:228)m, chuøng to(cid:226)i kho(cid:226)ng veı h(cid:236)nh la(cid:239)i cuıng nh(cid:246) kho(cid:226)ng the(cid:226)m nh(cid:246)ıng chi tieÆt bo(cid:229) sung trong quaø tr(cid:236)nh giaßi, chaœng ha(cid:239)n nh(cid:246) s(cid:244) æo(cid:224) caøc l(cid:246)(cid:239)c ngoałi taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n he(cid:228), he(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c dułng. Nh(cid:246)ng trong khi tr(cid:236)nh bały l(cid:244)łi giaßi caøc ba(cid:239)n ne(cid:226)n veı ra æe(cid:229) l(cid:244)łi giaßi æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c roı rałng h(cid:244)n.

C(cid:244) he(cid:228): h(cid:236)nh tru(cid:239), s(cid:244)(cid:239)i da(cid:226)y vał quaß ca(cid:226)n A. L(cid:246)(cid:239)c ngoałi: tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c P vał phaßn l(cid:246)(cid:239)c N taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n h(cid:236)nh tru(cid:239), tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c Q taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n quaß ca(cid:226)n A.

He(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228): GoÆc O "ta(cid:226)m" cußa h(cid:236)nh tru, tru(cid:239)c Ox h(cid:246)(cid:244)øng xuoÆng d(cid:246)(cid:244)øi, tru(cid:239)c Oy naŁm ngang h(cid:246)(cid:244)øng t(cid:246)ł phaßi qua traøi, vał nh(cid:246) va(cid:228)y tru(cid:239)c Oz vuo(cid:226)ng goøc vał h(cid:246)(cid:244)øng vało trong maºt phaœng h(cid:236)nh veı. Cho(cid:239)n he(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) nh(cid:246) theÆ nały th(cid:236) h(cid:236)nh tru(cid:239) seı quay theo chie(cid:224)u thua(cid:228)n (ng(cid:246)(cid:244)(cid:239)c chie(cid:224)u kim æo(cid:224)ng ho(cid:224)).(cid:239)

Mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa he(cid:228) æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c z:

h(cid:236)nh tru(cid:239)

quaß ca(cid:226)n A

. + = Lz = Jzω vAR Q g R2ω(P + Q) g

|{z}

| {z } (cid:212)(cid:219) æa(cid:226)y ta æaı dułng co(cid:226)ng th(cid:246)øc t(cid:237)nh mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cußa h(cid:236)nh tru(cid:239) Jz = P R2/g, vał lie(cid:226)n he(cid:228) gi(cid:246)ıa va(cid:228)n toÆc quaß ca(cid:226)n A v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc goøc cußa h(cid:236)nh tru(cid:239), v A = ωR (do da(cid:226)y kho(cid:226)ng giaın). V(cid:236) da(cid:226)y kho(cid:226)ng tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng ne(cid:226)n mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa noø baŁng kho(cid:226)ng.

Mo(cid:226)men cußa l(cid:246)(cid:239)c ngoałi æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c z (hai l(cid:246)(cid:239)c P, N coø æ(cid:246)(cid:244)łng taøc du(cid:239)ng caºt tru(cid:239)c z ne(cid:226)n mo(cid:226)men cußa chuøng baŁng kho(cid:226)ng):

Mz(Q) = RQ.

A(cid:217)p du(cid:239)ng æ(cid:242)nh lyø bieÆn thie(cid:226)n mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng (da(cid:239)ng vi pha(cid:226)n) ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c:

= RQ. R2(cid:15)(P + Q) g

Suy ra gia toÆc goøc cußa h(cid:236)nh tru(cid:239):

. (cid:15) = gQ R(P + Q)

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 44

40 C(cid:244) he(cid:228): rołng ro(cid:239)c, s(cid:244)(cid:239)i da(cid:226)y vał hai va(cid:228)t A, B.

L(cid:246)(cid:239)c ngoałi taøc du(cid:239)ng: P1, P2, Q vał phaßn l(cid:246)(cid:239)c R (h(cid:236)nh 15). He(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228): Oxyz v(cid:244)øi Ox naŁm ngang h(cid:246)(cid:244)øng t(cid:246)ł traøi qua phaßi, Oy thaœng æ(cid:246)øng h(cid:246)(cid:244)øng le(cid:226)n vał Oz vuo(cid:226)ng goøc v(cid:244)øi maºt phaœng h(cid:236)nh veı h(cid:246)(cid:244)øng ra ngoałi (trang giaÆy).

(cid:209)e(cid:229) yø raŁng, neÆu va(cid:228)t A (B) coø va(cid:228)n toÆc v th(cid:236) rołng ro(cid:239)c coø ω = v/r. Mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa he(cid:228) æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c z vuo(cid:226)ng goøc v(cid:244)øi maºt phaœng h(cid:236)nh veı

rołng ro(cid:239)c

va(cid:228)t A

va(cid:228)t B

vr vr . + + = Lz = Jzω P1 g P2 g rv(Q + P1 + P2) g

|{z} | {z }

| {z } (cid:212)(cid:219) æa(cid:226)y ta æaı dułng co(cid:226)ng th(cid:246)øc Jz = Qr2/2 t(cid:237)nh mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cußa rołng ro(cid:239)c. V(cid:236) da(cid:226)y kho(cid:226)ng tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng ne(cid:226)n mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa noø baŁng kho(cid:226)ng.

A(cid:217)p du(cid:239)ng æ(cid:242)nh lyø bieÆn thie(cid:226)n mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c z, ta coø

P2)r P2)r (w = ˙v), r(Q + P1 + P2) g ˙Lz = (P1 − ⇔ w = (P1 −

suy ra

. w = P2)g (P1 − Q + P1 + P2

41 Thanh OA th(cid:246)(cid:239)c hie(cid:228)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay quanh O v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc goøc ω0 ne(cid:226)n æo(cid:228)ng naŒng baŁng

0 =

J1ω2 ρr3ω2 0. 1 2 1 6

3 Mr2 v(cid:244)øi M = ρr.

(cid:212)(cid:219) æa(cid:226)y, ta æaı dułng co(cid:226)ng th(cid:246)øc J1 = 1

Thanh AB chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng song phaœng. Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:246)øc th(cid:244)łi cußa noø lał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay quanh ta(cid:226)m quay t(cid:246)øc th(cid:244)łi I (h(cid:236)nh veı) v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc goøc ω1. Ta thaÆy A lał trung æie(cid:229)m ca(cid:239)nh huye(cid:224)n cußa tam giaøc vuo(cid:226)ng ∆OBI vuo(cid:226)ng ta(cid:239)i B, ne(cid:226)n IA = OA = r. V(cid:236) v(A) = OAω0 = rω0 (trong chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa thanh OA), v(A) = IAω1 = rω1 (trong chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa thanh AB) ne(cid:226)n ω1 = ω0. (cid:209)e(cid:229) t(cid:237)nh æo(cid:228)ng naŒng cußa thanh AB ta ca(cid:224)n t(cid:237)nh mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh J2 cußa noø

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 45

æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c æi qua I. Tr(cid:246)(cid:244)øc heÆt, xaøc æ(cid:242)nh IJ v(cid:244)øi J lał khoÆi ta(cid:226)m (trung æie(cid:229)m) cußa AB. A(cid:217)p du(cid:239)ng co(cid:226)ng th(cid:246)øc co(cid:226)sin cho tam giaøc ∆IAJ , ta coø:

. IJ 2 = IA2 + AJ 2 2AI AJ cos ∠IAJ = r2 cos 2ϕ − · 5 4 − (cid:18) (cid:19)

Do æoø theo co(cid:226)ng th(cid:246)øc Huygens

. ρr3 + ρr3 cos 2ϕ = ρr3 cos 2ϕ J2 = 1 12 5 4 − 4 3 − (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)

(cid:209)o(cid:228)ng naŒng cußa thanh AB baŁng

ρr3 cos 2ϕ ω2 0. 1 2 4 3 − (cid:18) (cid:19)

Toøm la(cid:239)i, æo(cid:228)ng naŒng cußa he(cid:228) baŁng

0 +

0 = ρr3 ω2

ρr3ω2 ρr3 cos 2ϕ cos 2ϕ ω2 0. 1 6 1 2 1 2 4 3 − 5 6 − (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)

42 C(cid:244) he(cid:228): æ(cid:243)a vał da(cid:226)y.

L(cid:246)(cid:239)c ngoałi taøc du(cid:239)ng: P tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c æaºt le(cid:226)n æ(cid:243)a. He(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c cho(cid:239)n coø goÆc æaºt ta(cid:239)i A, Ax thaœng æ(cid:246)øng h(cid:246)(cid:244)øng xuoÆng d(cid:246)(cid:244)øi, Ay naŁm ngang h(cid:246)(cid:244)øng t(cid:246)ł traøi qua phaßi, Az vuo(cid:226)ng goøc v(cid:244)øi maºt phaœng h(cid:236)nh veı (æa(cid:224)u bałi) h(cid:246)(cid:244)øng t(cid:246)ł ngoałi vało trong (trang giaÆp). V(cid:244)øi caøch cho(cid:239)n he(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) nały th(cid:236) æ(cid:243)a quay theo chie(cid:224)u thua(cid:228)n.

(cid:209)e(cid:229) t(cid:237)nh mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa he(cid:228) ta dułng he(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) K¨onig Cx0y0z0 - (h(cid:236)nh t(cid:242)nh tieÆn cußa Axyz theo vect(cid:244) AC). (cid:209)e(cid:229) yø raŁng, æ(cid:243)a th(cid:246)(cid:239)c hie(cid:228)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng song phaœng, do da(cid:226)y kho(cid:226)ng giaın, coø chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:246)øc th(cid:244)łi lał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay quanh tru(cid:239)c æi qua "æie(cid:229)m tieÆp xuøc" cußa d(cid:243)a v(cid:244)øi tru(cid:239)c Ax v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc goøc ω, vC = rω. NeÆu xeøt chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa æie(cid:229)m nały æoÆi v(cid:244)øi he(cid:228) K¨onig (xem nh(cid:246) æ(cid:246)øng ye(cid:226)n), th(cid:236) noø chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay quanh C v(cid:244)øi cułng va(cid:228)n toÆc goøc. Nh(cid:246) va(cid:228)y,

mr2ω, Lz = mrvC + JCω = 3 2

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 46

trong æoø JC lał mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cußa æ(cid:243)a æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c æi qua C vał cułng h(cid:246)(cid:244)øng

v(cid:244)øi Az. (cid:212)(cid:219) æa(cid:226)y ta æaı dułng co(cid:226)ng th(cid:246)øc JC = mr2/2. V(cid:236) da(cid:226)y kho(cid:226)ng tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng ne(cid:226)n mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa noø baŁng kho(cid:226)ng. Mo(cid:226)men cußa l(cid:246)(cid:239)c ngoałi (æaºt ta(cid:239)i C): mgr. A(cid:217)p du(cid:239)ng æ(cid:242)nh lyø bieÆn thie(cid:226)n mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng:

. mr2 ˙ω = mgr (cid:15) = ˙ω = 3 2 2g 3r ⇒

V(cid:236) C chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng thaœng æ(cid:246)øng ne(cid:226)n gia toÆc cußa C: wC = ˙vC = 2g/3.

(cid:209)e(cid:229) t(cid:236)m l(cid:246)(cid:239)c caŒng ta xeøt he(cid:228) ch(cid:230) go(cid:224)m æ(cid:243)a. Khi æoø, l(cid:246)(cid:239)c ngoałi taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n he(cid:228) go(cid:224)m P vał l(cid:246)(cid:239)c caŒng da(cid:226)y T. A(cid:217)p du(cid:239)ng æ(cid:242)nh lyø chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng khoÆi ta(cid:226)m, ta coø:

. T = T = mg mwC = mg 2mg 3 mg 3 − ⇒ −

Caøch giaßi khaøc Pha(cid:224)n æa(cid:224)u cußa bałi ta(cid:228)p nały coø the(cid:229) giaßi baŁng caøch dułng æ(cid:242)nh lyø bieÆn thie(cid:226)n

æo(cid:228)ng naŒng. (cid:212)(cid:219) æa(cid:226)y ta cuıng dułng he(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) K¨onig khi t(cid:237)nh æo(cid:228)ng naŒng. (cid:209)o(cid:228)ng naŒng cußa he(cid:228):

C +

mv2 mr2ω2. T = JCω2 = 1 2 1 2 3 4

Co(cid:226)ng suaÆt cußa l(cid:246)(cid:239)c ngoałi:

W = mgvC = mgrω.

A(cid:217)p du(cid:239)ng æ(cid:242)nh lyø bieÆn thie(cid:226)n æo(cid:228)ng naŒng:

. mr2ω ˙ω = mgrω (cid:15) = ˙ω = 3 2 2g 3r ⇒

44 He(cid:228) lał ha(cid:239)t ch(cid:230) chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng trong maºt phaœng qua goÆc ne(cid:226)n coø 2 ba(cid:228)c t(cid:246)(cid:239) do [Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa ha(cid:239)t d(cid:246)(cid:244)øc taøc du(cid:239)ng cußa l(cid:246)(cid:239)c xuye(cid:226)n ta(cid:226)m lał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng phaœng. (cid:209)a(cid:226)y lał rałng buo(cid:228)c cußa ha(cid:239)t]. To(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng (dułng to(cid:239)a æo(cid:228) c(cid:246)(cid:239)c coø goÆc æaºt ta(cid:239)i goÆc).

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 47

(cid:209)o(cid:228)ng naŒng cußa ha(cid:239)t lał (xem h(cid:236)nh 19)

T = m( ˙r2 + r2 ˙θ2). 1 2

TheÆ naŒng cußa ha(cid:239)t (æoÆi v(cid:244)øi vo(cid:226) cułng) lał

. V = GMm r −

V : Hałm Lagrange L = T −

. L = m( ˙r2 + r2 ˙θ2) + GMm r 1 2

T(cid:237)nh caøc æa(cid:239)o hałm ro(cid:224)i thay vało he(cid:228) ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange, ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c:

m r ˙θ2 = 0, m¨r MG r2 − − (cid:19) (cid:18)

m(2r ˙r ˙θ + r2 ¨θ) = 0 (r2 ˙θ) = 0. d dt ⇒

T(cid:237)ch pha(cid:226)n æa(cid:224)u: r2 ˙θ =const. Chuø yø, ta coø the(cid:229) nha(cid:228)n ra chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng coø mo(cid:228)t t(cid:237)ch pha(cid:226)n æa(cid:224)u t(cid:246)ł nha(cid:228)n xeøt ∂L/∂θ (hałm Lagrange kho(cid:226)ng phu(cid:239) thuo(cid:228)c θ, ngh(cid:243)a lał θ lał to(cid:239)a æo(cid:228) cyclic). T(cid:237)ch pha(cid:226)n æa(cid:224)u nały ch(cid:237)nh lał mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa ha(cid:239)t mr2 ˙θ æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c baßo toałn. 45 He(cid:228) lał ha(cid:239)t. V(cid:236) vect(cid:244) baøn k(cid:237)nh cußa ha(cid:239)t:

r = rer,

trong æoø er = (sin α cos ϕ, sin α sin ϕ, cos α), ne(cid:226)n he(cid:228) coø 2 ba(cid:228)c t(cid:246)(cid:239) do. To(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng: r, θ. Va(cid:228)n toÆc cußa ha(cid:239)t:

˙r = ˙rer + r ˙er.

(cid:209)e(cid:229) yø raŁng,

˙er = ˙ϕ sin α( sin ϕ, cos ϕ, 0) = ˙ϕ sin αeϕ. −

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 48

Nh(cid:246) va(cid:228)y, æo(cid:228)ng naŒng cußa ha(cid:239)t:

T = m( ˙r2 + r2 ˙ϕ2 sin2 α). 1 2

TheÆ naŒng cußa ha(cid:239)t (æoÆi v(cid:244)øi O):

V = mgr cos α.

Hałm Lagrange:

L = T V = m( ˙r2 + r2 ˙ϕ2 sin2 α) mgr cos α. 1 2 − −

He(cid:228) ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange (sv ne(cid:226)n t(cid:237)nh toaøn t(cid:246)(cid:244)łng minh)

¨r − r ˙ϕ2 sin2 α + g cos α = 0, 2r ˙r ˙ϕ + r2 ¨ϕ = 0 (sin α > 0).

Do hałm Lagrange kho(cid:226)ng phu(cid:239) thuo(cid:228)c ϕ ne(cid:226)n ϕ lał to(cid:239)a æo(cid:228) cyclic. T(cid:237)ch pha(cid:226)n æa(cid:224)u: ˙varphi = const. Sv t(cid:246)(cid:239) giaßi th(cid:237)ch yø ngh(cid:243)a va(cid:228)t lyø. r2 46 He(cid:228) hai ba(cid:228)c t(cid:246)(cid:239) do. Cho(cid:239)n to(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng: x, chuye(cid:229)n d(cid:242)ch cußa ne(cid:226)m æoÆi v(cid:244)øi æie(cid:229)m coÆ æ(cid:242)nh tre(cid:226)n sałn; y, chuye(cid:229)n d(cid:242)ch cußa va(cid:228)t æoÆi v(cid:244)øi æie(cid:229)m coÆ æ(cid:242)nh tre(cid:226)n ne(cid:226)m.

(cid:209)o(cid:228)ng naŒng vał theÆ naŒng cußa he(cid:228):

T = M ˙x2 + m( ˙x2 + ˙y2 + 2 ˙x ˙y cos α), 1 2 1 2

V = mgy sin α. − Hałm Lagrange:

L = T V = M ˙x2 + m( ˙x2 + ˙y2 + 2 ˙x ˙y cos α) + mgy sin α. 1 2 1 2 −

T(cid:237)nh caøc æa(cid:239)o hałm

= 0, = (M + m) ˙x + (m cos α) ˙y, = (M + m)¨x + (m cos α)¨y; d dt ∂L ∂x ∂L ∂ ˙x ∂L ∂ ˙x

= mg sin α, = m ˙y + (m cos α) ˙x, = m¨y + (m cos α)¨x. d dt ∂L ∂y ∂L ∂ ˙y ∂L ∂ ˙y

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 49

He(cid:228) ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai:

(M + m)¨x + (m cos α)¨y = 0, mg sin α = 0. m¨y + (m cos α)¨x − Giaßi ra ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c

, . ¨x = ¨y = − − mg sin α cos α M + m sin2 α (M + m)g sin α M + m sin2 α

47 NeÆu kho(cid:226)ng coø æie(cid:224)u kie(cid:228)n "laŒn kho(cid:226)ng tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t" th(cid:236) he(cid:228) hai ba(cid:228)c t(cid:246)(cid:239) do v(cid:244)øi caøc to(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng: θ, goøc gi(cid:246)ıa OG vał tru(cid:239)c thaœng æ(cid:246)øng h(cid:246)(cid:244)øng xuoÆng; ϕ, goøc quay cußa h(cid:236)nh tru(cid:239) (æoÆi v(cid:244)øi v(cid:242) tr(cid:237) tham chieÆu nało æoø). (cid:209)ie(cid:224)u kie(cid:228)n laŒn kho(cid:226)ng tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t cho a) ˙θ = a ˙ϕ (b (b a)θ = aϕ. (a) − ⇒ −

(cid:212)(cid:219) æa(cid:226)y ta æaı cho(cid:239)n v(cid:242) tr(cid:237) tham chieÆu th(cid:237)ch h(cid:244)(cid:239)p æe(cid:229) cho ϕ = 0 khi θ = 0. Va(cid:228)y he(cid:228) mo(cid:228)t ba(cid:228)c t(cid:246)(cid:239) do. Cho(cid:239)n to(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng lał θ.

(cid:209)o(cid:228)ng naŒng cußa he(cid:228):

T = m((b a) ˙θ)2 + J ˙ϕ2 1 2 1 2 −

= m(b a)2 ˙θ2 3 4 −

trong æoø ta æaı dułng ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh lie(cid:226)n keÆt (a) vał co(cid:226)ng th(cid:246)øc t(cid:237)nh mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cußa h(cid:236)nh tru(cid:239) J = ma2/2.

TheÆ naŒng:

V = mg(b a) cos θ. − − Hałm Lagrange

L = T V = m(b a)2 ˙θ2 + mg(b a) cos θ. 3 4 − − −

T(cid:237)nh caøc æa(cid:239)o hałm:

= mg(b a) sin θ, = m(b a)2 ˙θ, = m(b a)2 ¨θ. ∂L ∂θ d dt 3 2 3 2 − − − − ∂L ∂ ˙θ ∂L ∂ ˙θ

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 50

Ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai:

2g m(b a)2 ¨θ + mg(b a) sin θ = 0 ¨θ + sin θ = 0. 3 2 3(b a) − − ⇒ −

(chuø yø, ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh nały trułng v(cid:244)øi ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh ch(cid:237)nh xaøc cho dao æo(cid:228)ng con laØc æ(cid:244)n coø chie(cid:224)u dałi l = 3(b a)/2). − θ trong ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange, V(cid:244)øi giaß thieÆt dao æo(cid:228)ng beø ta xaÆp x(cid:230) sin θ ≈ ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c

2g ¨θ + θ = 0. 3(b a) −

Chu kył cußa dao æo(cid:228)ng theo co(cid:226)ng th(cid:246)øc cußa con laØc æ(cid:244)n

3(b a) . 2π = 2π l g − 2g s s

48 He(cid:228) hai ba(cid:228)c t(cid:246)(cid:239) do. Cho(cid:239)n caøc to(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng: x, θ nh(cid:246) tre(cid:226)n h(cid:236)nh 23. (cid:209)ie(cid:229)m æaºc bie(cid:228)t (cid:244)ß th(cid:237) du(cid:239) nały lał l(cid:246)(cid:239)c F taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n P2 æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c cho phu(cid:239) thuo(cid:228)c th(cid:244)łi gian (kho(cid:226)ng baßo toałn) ne(cid:226)n ta ca(cid:224)n t(cid:237)nh caøc l(cid:246)(cid:239)c suy ro(cid:228)ng! Chuye(cid:229)n d(cid:242)ch aßo cußa P2 theo ph(cid:246)(cid:244)ng ngang: δx + a cos θδθ.

ne(cid:226)n co(cid:226)ng pha(cid:226)n toÆ cußa l(cid:246)(cid:239)c chuß æo(cid:228)ng (ch(cid:230) coø l(cid:246)(cid:239)c F ) lał

F (t)(δx + a cos θδθ) = Qxδx + Qθδθ,

suy ra

Qx = F (t), Qθ = (a cos θ)F (t).

(cid:209)o(cid:228)ng naŒng cußa he(cid:228):

T = m ˙x2 + m[( ˙x + a cos θ ˙θ)2 + (a sin θ ˙θ)2] 1 2 1 2

ma2 ˙θ2. = m ˙x2 + (ma cos θ) ˙x ˙θ + 1 2

L(cid:244)łi giaßi mo(cid:228)t soÆ bałi ta(cid:228)p 51

He(cid:228) ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai:

[2m ˙x + (ma cos θ) ˙θ] = F (t), d dt

[(ma cos θ) ˙x + ma2 ˙θ] [ (ma sin θ) ˙x ˙θ] = (a cos θ)F (t). d dt − −

Phu(cid:239) lu(cid:239)c A

(cid:209)e(cid:224) thi maªu

Ca(cid:226)u 1 (2æ) Mo(cid:228)t con ong bay tre(cid:226)n mo(cid:228)t quyı æa(cid:239)o theo lua(cid:228)t chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cho trong to(cid:239)a æo(cid:228) c(cid:246)(cid:239)c lał

t r = t), ϕ = (0 2τ ), bt τ 2 (2τ t τ − ≤ ≤

trong æoø b vał τ lał nh(cid:246)ıng haŁng soÆ d(cid:246)(cid:244)ng. Ch(cid:246)øng toß raŁng toÆc æo(cid:228) nhoß nhaÆt cußa con ong lał b/τ . T(cid:236)m gia toÆc cußa con ong ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m nały. Ca(cid:226)u 2 (2æ) Mo(cid:228)t chaÆt æie(cid:229)m P khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng d(cid:246)(cid:244)øi l(cid:246)(cid:239)c haÆp daªn

H(cid:236)nh 1: Ca(cid:226)u 2

cußa va(cid:228)t coø khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng M æaºt ta(cid:239)i O. Ban æa(cid:224)u P (cid:244)ß caøch O khoaßng caøch a, æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c baØn ra xa O v(cid:244)øi toÆc æo(cid:228) (2MG/a)1/2. T(cid:236)m khoaßng caøch t(cid:246)ł P æeÆn O ta(cid:239)i th(cid:244)łi

æie(cid:229)m t. Ch(cid:246)øng toß P chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng ra vo(cid:226) cułng. (cid:212)(cid:219) æa(cid:226)y G lał haŁng soÆ haÆp daªn. Ca(cid:226)u 3 (1æ) Cho æ(cid:243)a trołn æo(cid:224)ng chaÆt baøn k(cid:237)nh a, khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng M. (cid:209)e(cid:229) thay æo(cid:229)i mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cußa æ(cid:243)a ng(cid:246)(cid:244)łi ta gaØn the(cid:226)m vało æ(cid:243)a khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m caøch ta(cid:226)m khoaßng caøch a/2. T(cid:237)nh mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cußa he(cid:228) æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c æi qua ta(cid:226)m vał

PHUˇ LUˇC A. (cid:209)E(cid:192) THI MAˆU 53

H(cid:236)nh 2: Ca(cid:226)u 3

vuo(cid:226)ng goøc v(cid:244)øi æ(cid:243)a. NeÆu kho(cid:226)ng the(cid:226)m vał khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m th(cid:236) tru(cid:239)c phaßi d(cid:244)łi song song æeÆn æie(cid:229)m nało tre(cid:226)n æ(cid:243)a æe(cid:229) mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh vaªn baŁng nh(cid:246) tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p tr(cid:246)(cid:244)øc? Ca(cid:226)u 4 (2.5æ) Mo(cid:228)t æ(cid:243)a trołn khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng M baøn k(cid:237)nh a coø the(cid:229) quay kho(cid:226)ng ma

H(cid:236)nh 3: Ca(cid:226)u 4

saøt quanh tru(cid:239)c naŁm ngang æi qua ta(cid:226)m cußa noø. Mo(cid:228)t con bo(cid:239) khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m cha(cid:239)y v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc kho(cid:226)ng æo(cid:229)i u quanh meøp æ(cid:243)a. Ban æa(cid:224)u æ(cid:243)a æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c gi(cid:246)ı (cid:244)ß tra(cid:239)ng thaøi ngh(cid:230) vał æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c thaß ra khi con bo(cid:239) (cid:244)ß v(cid:242) tr(cid:237) thaÆp nhaÆt. T(cid:237)nh mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa he(cid:228) (go(cid:224)m æ(cid:243)a vał con bo(cid:239)) æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c quay. VieÆt ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh bieÆn thie(cid:226)n æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa he(cid:228). Ch(cid:246)øng toß raŁng

˙ϕ2 = (cos ϕ 1) + u2 a2 . 4mg a(M + 2m) −

trong æoø ϕ lał goøc xaøc æ(cid:242)nh v(cid:242) tr(cid:237) con bo(cid:239) so v(cid:244)øi ph(cid:246)(cid:244)ng thaœng æ(cid:246)øng h(cid:246)(cid:244)øng xuoÆng. Ca(cid:226)u 5 (2.5æ) Mo(cid:228)t oÆng tru(cid:239) baøn k(cid:237)nh a, trong l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng P1 coø cuoÆn xung quanh baŁng mo(cid:228)t s(cid:244)(cid:239)i da(cid:226)y. Da(cid:226)y vaØt qua rołng ro(cid:239)c coÆ æ(cid:242)nh O ro(cid:224)i noÆi v(cid:244)øi va(cid:228)t naºng A tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng P2. Va(cid:228)t A tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t tre(cid:226)n maºt phaœng ngang coø he(cid:228) soÆ ma saøt f. Boß qua ma saøt (cid:244)ß o(cid:229) tru(cid:239)c O. VieÆt ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai cho he(cid:228). T(cid:236)m gia toÆc cußa A vał ta(cid:226)m C cußa oÆng tru(cid:239). Chuø th(cid:237)ch

(cid:209)e(cid:224) thi go(cid:224)m 5 ca(cid:226)u æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c caÆu truøc nh(cid:246) sau: Ca(cid:226)u 1 - (cid:209)o(cid:228)ng ho(cid:239)c æie(cid:229)m; kie(cid:229)m tra kieÆn th(cid:246)øc vał kyı naŒng t(cid:237)nh toaøn caøc

PHUˇ LUˇC A. (cid:209)E(cid:192) THI MAˆU 54

H(cid:236)nh 4: Ca(cid:226)u 5

khaøi nie(cid:228)m æo(cid:228)ng ho(cid:239)c c(cid:244) baßn: ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh (lua(cid:228)t) chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng, quyı æa(cid:239)o, va(cid:228)n toÆc, gia toÆc, gia toÆc tieÆp, gia toÆc phaøp, baøn k(cid:237)nh cong.

Ca(cid:226)u 2 - (cid:209)o(cid:228)ng l(cid:246)(cid:239)c ho(cid:239)c æie(cid:229)m; kie(cid:229)m tra khaß naŒng thieÆt la(cid:228)p ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh vi pha(cid:226)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng vał kyı naŒng giaßi ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh vi pha(cid:226)n.

Ca(cid:226)u 3 - Kie(cid:229)m tra kieÆn th(cid:246)øc ve(cid:224) khoÆi ta(cid:226)m, mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh. Ca(cid:226)u 4 - Kie(cid:229)m tra kyı naŒng va(cid:228)n du(cid:239)ng mo(cid:228)t trong ba æ(cid:242)nh lua(cid:228)t to(cid:229)ng quaøt (æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng, mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng vał æo(cid:228)ng naŒng).

Ca(cid:226)u 5 - C(cid:244) ho(cid:239)c giaßi t(cid:237)ch; kie(cid:229)m tra kyı naŒng pha(cid:226)n t(cid:237)ch lie(cid:226)n keÆt, thieÆt la(cid:228)p ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai.

(cid:209)aøp aøn

Ca(cid:226)u 1

Va(cid:228)n toÆc cußa con ong ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m t:

t), t). vr = vϕ = 2b τ 2 (τ bt τ 3 (2τ − −

ToÆc æo(cid:228) cußa con ong ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m t:

v = 4(τ t)2 + t2)2, b τ 2 1 τ 2 (2τ t − − r

v2 = b2 τ 4 f(t).

τ 2 (2τ t

(cid:212)(cid:219) æa(cid:226)y ta æaı æaºt f(t) = 4(τ t2)2. (cid:209)e(cid:229) t(cid:236)m toÆc æo(cid:228) nhoß nhaÆt cußa t) 2 + 1 − −

PHUˇ LUˇC A. (cid:209)E(cid:192) THI MAˆU 55

ong ta khaßo saøt hałm f(t).

f 0(t) = 8(τ t) + t2)(2τ 2t) 2 τ 2 (2τ t − − − −

= t)(t2 2τ t + 2τ 2) 4 τ 2 (τ − − −

Xeøt daÆu f 0(t) trong khoaßng [0, 2τ ] coø the(cid:229) thaÆy f(t) nhoß nhaÆt (vał nh(cid:246) va(cid:228)y va(cid:228)n toÆc nhoß nhaÆt) khi t = τ . Va(cid:228)n toÆc nhoß nhaÆt baŁng b/τ .

Gia toÆc cußa con ong ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m t:

t). wr = t), wϕ = bt τ 4 (2τ 4b τ 3 (τ 2b τ 2 − − − −

Luøc t = τ ,

w = wr = 3b τ 2 , wϕ = 0 3b τ 2 . − ⇒

Ca(cid:226)u 2

Cho(cid:239)n he(cid:228) to(cid:239)a æo(cid:228) nh(cid:246) h(cid:236)nh veı. L(cid:246)(cid:239)c taøc du(cid:239)ng: l(cid:246)(cid:239)c haÆp daªn coø æo(cid:228) l(cid:244)øn

F = GMm/x2 vał h(cid:246)(cid:244)øng ve(cid:224) O.

Ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh vi pha(cid:226)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng

GMm m¨x = ¨x = GM x2 . − x2 ⇒ −

Kyø hie(cid:228)u v = ˙x ¨x = ˙v. Nha(cid:226)n vało hai veÆ ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh v(cid:244)øi vdt = dx, ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c ⇒

. d(v2) = GMdx x2 1 2 −

T(cid:237)ch pha(cid:226)n hai veÆ t(cid:246)ł th(cid:244)łi æie(cid:229)m æa(cid:224)u æeÆn th(cid:244)łi æie(cid:229)m t:

1 . v(t)2 v(0)2 = 2GM 1 x(0) − x(t) − (cid:20) (cid:21)

PHUˇ LUˇC A. (cid:209)E(cid:192) THI MAˆU 56

Dułng æie(cid:224)u kie(cid:228)n æa(cid:224)u, v(0)2 = 2MG/a, x(0) = a, ta suy ra

. v(t) = 2GM x(t) s

Nha(cid:226)n vało hai veÆ v(cid:244)øi dt, ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c

dt dx = x1/2dx = √2GM dt. 2GM x ⇒ r

2/3

T(cid:237)ch pha(cid:226)n hai veÆ, ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c

. √2GM t x(t) = a3/2 + √2GM t x(t)3/2 x(0)3/2 = 3 2 3 2 ⇒ − (cid:18) (cid:19)

, , x(t) → ∞ → ∞

(cid:209)a(cid:226)y ch(cid:237)nh lał khoaßng caøch t(cid:246)ł O æeÆn P ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m t. Cho t ngh(cid:243)a lał P chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng ra vo(cid:226) cułng. Ca(cid:226)u 3

Mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cußa he(cid:228) coø t(cid:237)nh chaÆt co(cid:228)ng t(cid:237)nh. Go(cid:239)i ∆ lał tru(cid:239)c æi qua ta(cid:226)m (khoÆi ta(cid:226)m cußa æ(cid:243)a), ta coø

. J = Ma2 + m = 1 2 a 2 a2(2M + m) 4 (cid:16) (cid:17)

Go(cid:239)i ∆0 lał tru(cid:239)c ca(cid:224)n t(cid:236)m vał d lał khoaßng caøch gi(cid:246)ıa hai tru(cid:239)c. Theo æ(cid:242)nh lyø Huygens,

Ma2 + Md2. J∆0 = J∆ + Md2 = 1 2

(cid:209)e(cid:229) mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh vaªn baŁng nh(cid:246) tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p tr(cid:246)(cid:244)øc, ta phaßi coø

. d = Ma2 + Md2 = m M 1 2 a2(2M + m) 4 a 2 ⇒ r

PHUˇ LUˇC A. (cid:209)E(cid:192) THI MAˆU 57

Va(cid:228)y tru(cid:239)c ∆0 phaßi cho(cid:239)n æi qua æie(cid:229)m caøch ta(cid:226)m æ(cid:243)a khoaßng caøch d xaøc æ(cid:242)nh nh(cid:246) tre(cid:226)n. Ca(cid:226)u 4

Go(cid:239)i θ lał goøc quay cußa æ(cid:243)a (chie(cid:224)u cho(cid:239)n nh(cid:246) h(cid:236)nh veı). (cid:209)(cid:243)a th(cid:246)(cid:239)c hie(cid:228)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay ne(cid:226)n mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c quay lał

Ma2 ˙θ. Læ = J ˙θ = 1 2

Chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa con bo(cid:239) go(cid:224)m: chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:246)(cid:244)ng æoÆi - chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng trołn v(cid:244)øi va(cid:228)n toÆc dałi kho(cid:226)ng æo(cid:229)i u; chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng theo lał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay quanh tru(cid:239)c cułng v(cid:244)øi æ(cid:243)a. Va(cid:228)n toÆc tuye(cid:228)t æoÆi cußa con bo(cid:239):

u + a ˙θ. −

(chuø yø kyı caøch cho(cid:239)n chie(cid:224)u quay d(cid:246)(cid:244)ng). Mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa con bo(cid:239):

ma(u a ˙θ). Lb = − −

Mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa he(cid:228) æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c quay:

Ma2 ˙θ ma(u a ˙θ). L = Læ + Lb = 1 2 − −

L(cid:246)(cid:239)c taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n he(cid:228): tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c cußa æ(cid:243)a vał cußa con bo(cid:239). L(cid:246)(cid:239)c taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n æ(cid:243)a quy ve(cid:224) l(cid:246)(cid:239)c æaºt ta(cid:239)i æie(cid:229)m mał tru(cid:239)c quay æi qua ne(cid:226)n mo(cid:226)men cußa l(cid:246)(cid:239)c baŁng kho(cid:226)ng. Mo(cid:226)men cußa l(cid:246)(cid:239)c taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n he(cid:228) cuıng lał mo(cid:226)men cußa l(cid:246)(cid:239)c taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n con bo(cid:239):

MO = mga sin ϕ

(chuø yø kyı caøch cho(cid:239)n chie(cid:224)u quay d(cid:246)(cid:244)ng). (cid:212)(cid:219) æa(cid:226)y ϕ lał goøc xaøc æ(cid:242)nh v(cid:242) tr(cid:237) con bo(cid:239) æoÆi v(cid:244)øi ph(cid:246)(cid:244)ng thaœng æ(cid:246)øng h(cid:246)(cid:244)øng xuoÆng.

A(cid:217)p du(cid:239)ng æ(cid:242)nh lyø bieÆn thie(cid:226)n mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa he(cid:228),

Ma2 ˙θ ma(u a ˙θ) = mga sin ϕ d dt 1 2 − − (cid:20) (cid:21)

= mga sin ϕ. (M + 2m)a2 ¨θ 2

PHUˇ LUˇC A. (cid:209)E(cid:192) THI MAˆU 58

− − (cid:209)e(cid:229) yø raŁng goøc chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa con bo(cid:239) ta(cid:239)i th(cid:244)łi æie(cid:229)m t so v(cid:244)øi v(cid:242) tr(cid:237) ban æa(cid:224)u baŁng θ + ϕ. Con bo(cid:239) chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng æe(cid:224)u ne(cid:226)n a(θ + ϕ) = ut, suy ra ˙θ = (u/a) ˙ϕ, ¨θ. Thay vało ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh bieÆn thie(cid:226)n mo(cid:226)men æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c sau ¨ϕ = mo(cid:228)t soÆ bieÆn æo(cid:229)i:

¨ϕ = sin ϕ. 2mg a(M + 2m) −

Nha(cid:226)n hai veÆ v(cid:244)øi ˙ϕdt = dϕ, ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c:

d( ˙ϕ)2 = sin ϕdϕ. 1 2 2mg a(M + 2m) −

T(cid:237)ch pha(cid:226)n hai veÆ t(cid:246)ł th(cid:244)łi æie(cid:229)m æa(cid:224)u æeÆn th(cid:244)łi æie(cid:229)m t:

[ ˙ϕ(t)2 ˙ϕ(0)2] = [cos(ϕ(t)) cos(ϕ(0))]. 1 2 2mg a(M + 2m) − −

Dułng æie(cid:224)u kie(cid:228)n æa(cid:224)u, ϕ(0) = 0, ˙ϕ(0) = u/a, ta suy ra:

(cos ϕ 1) + ˙ϕ2 = u2 a2 . 4mg a(M + 2m) −

Ca(cid:226)u 5

He(cid:228): oÆng tru(cid:239) ta(cid:226)m C vał va(cid:228)t naŒng A Va(cid:228)t A th(cid:246)(cid:239)c hie(cid:228)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:242)nh tieÆn theo ph(cid:246)(cid:244)ng ngang. H(cid:236)nh tru(cid:239) th(cid:246)(cid:239)c hie(cid:228)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng song phaœng, bao go(cid:224)m: t(cid:242)nh tieÆn theo ph(cid:246)(cid:244)ng thaœng æ(cid:246)øng (cułng v(cid:244)øi A) vał quay (t(cid:246)øc th(cid:244)łi) quanh B. He(cid:228) coø 2 ba(cid:228)c t(cid:246)(cid:239) do. To(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng: x - v(cid:242) tr(cid:237) A theo ph(cid:246)(cid:244)ng ngang, ϕ goøc quay cußa oÆng tru(cid:239).

Caøc l(cid:246)(cid:239)c chuß æo(cid:228)ng: tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c P1, l(cid:246)(cid:239)c ma saøt Fms = fP2, tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c P2. (cid:209)o(cid:228)ng naŒng cußa A:

˙x2. TA = P2 2g

(cid:209)e(cid:229) t(cid:237)nh æo(cid:228)ng naŒng oÆng tru(cid:239), dułng co(cid:226)ng th(cid:246)øc t(cid:237)nh æo(cid:228)ng naŒng theo khoÆi ta(cid:226)m C, tr(cid:246)(cid:244)øc heÆt ta t(cid:237)nh va(cid:228)n toÆc cußa C baŁng co(cid:226)ng th(cid:246)øc Euler (æie(cid:229)m c(cid:246)(cid:239)c lał B - ta(cid:226)m

PHUˇ LUˇC A. (cid:209)E(cid:192) THI MAˆU 59

quay t(cid:246)øc th(cid:244)łi) +a ˙ϕ wC = ¨x + a ¨ϕ. ⇒ vC = ˙x vB

|{z} (cid:209)o(cid:228)ng naŒng oÆng tru(cid:239) (J = Ma2)

( ˙x + a ˙ϕ)2 + J ˙ϕ2 = ( ˙x2 + 2a ˙x ˙ϕ + a2 ˙ϕ2) + a2 ˙ϕ2. TC = P1 2g 1 2 P1 2g P1 2g

(cid:209)o(cid:228)ng naŒng cußa he(cid:228):

˙x2 + ˙x ˙ϕ + ˙ϕ2. T = TA + TC = P1a g P1a2 g P1 + P2 2g

Co(cid:226)ng cußa caøc l(cid:246)(cid:239)c chuß æo(cid:228)ng (giuøp t(cid:236)m caøc l(cid:246)(cid:239)c suy ro(cid:228)ng):

fP2δx + P1δx + P1aδϕ Qx = fP2 + P1, Qϕ = P1a. − ⇒ −

T(cid:237)nh caøc æa(cid:239)o hałm ro(cid:224)i thay vało ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange, ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c:

¨x + ¨ϕ = fP2 + P1, P1 + P2 g P1a g −

¨x + ¨ϕ = P1a. P1a g 2P1a2 g

Giaßi ra ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c

2fP2) (gia toÆc cußa A), ¨x = g(P1 − P1 + 2P2

¨ϕ = (gia toÆc cußa C). wC = gP2(1 + 2f) a(P1 + 2P2) ⇒ g(P1 + P2) P1 + 2P2

Phu(cid:239) lu(cid:239)c B

(cid:209)e(cid:224) thi mo(cid:226)n C(cid:244) ho(cid:239)c lyø thuyeÆt

Th(cid:244)łi gian: 120 phuøt Ngały thi: 4/6/2009 (Sinh vie(cid:226)n æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c pheøp tham khaßo tałi lie(cid:228)u ch(cid:230) æ(cid:242)nh) Ca(cid:226)u 1 (2æ) (cid:209)ie(cid:229)m chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng tre(cid:226)n æ(cid:246)(cid:244)łng cycloid,

x = a(θ sin θ), y = a(1 cos θ), − −

theo lua(cid:228)t θ = bt/a, trong æoø a vał b lał nh(cid:246)ıng haŁng soÆ d(cid:246)(cid:244)ng. (cid:212)(cid:219) th(cid:244)łi æie(cid:229)m baÆt kył, xaøc æ(cid:242)nh va(cid:228)n toÆc, gia toÆc cußa æie(cid:229)m vał baøn cong cußa quyı æa(cid:239)o ta(cid:239)i v(cid:242) tr(cid:237) cußa æie(cid:229)m. Ca(cid:226)u 2 (2.5æ) Mo(cid:228)t va(cid:228)t khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t kho(cid:226)ng ma saøt tre(cid:226)n maºt phaœng nghie(cid:226)ng mo(cid:228)t goøc α (0 < α < π/2) so v(cid:244)øi ph(cid:246)(cid:244)ng ngang. Cho bieÆt va(cid:228)t ch(cid:242)u s(cid:246)øc caßn kho(cid:226)ng kh(cid:237) coø æo(cid:228) l(cid:244)øn t(cid:230) le(cid:228) v(cid:244)øi b(cid:236)nh ph(cid:246)(cid:244)ng va(cid:228)n toÆc, kv2. Ban æa(cid:224)u va(cid:228)t (cid:244)ß æ(cid:230)nh doÆc O vał æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c buo(cid:226)ng ra kho(cid:226)ng va(cid:228)n toÆc æa(cid:224)u. VieÆt ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh vi pha(cid:226)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa va(cid:228)t. Ch(cid:246)øng minh va(cid:228)n toÆc cußa va(cid:228)t bieÆn thie(cid:226)n theo quy lua(cid:228)t

v = (1 e−2kx/m), mg sin α k − r

trong æoø x lał khoaßng caøch t(cid:246)ł va(cid:228)t æeÆn æ(cid:230)nh doÆc. T(cid:236)m va(cid:228)n toÆc gi(cid:244)øi ha(cid:239)n cußa va(cid:228)t. Ca(cid:226)u 3 (1æ) Mo(cid:228)t quaß laØc æo(cid:224)ng ho(cid:224) go(cid:224)m: thanh æo(cid:224)ng chaÆt chie(cid:224)u dałi 2a, khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m vał æ(cid:243)a trołn æo(cid:224)ng chaÆt baøn k(cid:237)nh a/2, khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng M gaØn v(cid:244)øi nhau nh(cid:246) h(cid:236)nh 1. T(cid:237)nh mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cußa quaß laØc æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c æi qua O (æie(cid:229)m gi(cid:246)ıa cußa thanh), cho bieÆt OC = 3a/4.

PHUˇ LUˇC B. (cid:209)E(cid:192) THI MO´N C(cid:212) HOˇC LY(cid:217) THUYE`T 61

H(cid:236)nh 1: a) Ca(cid:226)u 3; b) Ca(cid:226)u 5.

Ca(cid:226)u 4 (2æ) Mo(cid:228)t va(cid:228)t khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng 4m (cid:244)ß tra(cid:239)ng thaøi ngh(cid:230) (æ(cid:246)øng ye(cid:226)n) khi noø b(cid:242) no(cid:229) tung thałnh ba maßnh coø khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng la(cid:224)n l(cid:246)(cid:244)(cid:239)t lał 2m, m vał m. Sau khi no(cid:229) tung, hai maßnh khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng m æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c quan saøt thaÆy chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng v(cid:244)øi cułng toÆc æo(cid:228) u theo hai h(cid:246)(cid:244)øng h(cid:244)(cid:239)p v(cid:244)øi nhau goøc 120o. T(cid:236)m va(cid:228)n toÆc cußa maßnh coø khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng 2m. T(cid:237)nh æo(cid:228)ng naŒng toałn pha(cid:224)n cußa he(cid:228) (go(cid:224)m ba maßnh). V(cid:242) tr(cid:237) ban æa(cid:224)u cußa va(cid:228)t lał æie(cid:229)m g(cid:236) cußa he(cid:228)? Ca(cid:226)u 5 (2.5æ) Con laŒn A laŒn kho(cid:226)ng tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t tre(cid:226)n maºt phaœng nghie(cid:226)ng mo(cid:228)t goøc α so v(cid:244)øi ph(cid:246)(cid:244)ng ngang, lałm va(cid:228)t C tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng P æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c na(cid:226)ng le(cid:226)n nh(cid:244)ł mo(cid:228)t s(cid:244)(cid:239)i da(cid:226)y vaØt qua rołng ro(cid:239)c B. Con laŒn A vał rołng ro(cid:239)c B lał hai æ(cid:243)a trołn æo(cid:224)ng chaÆt coø cułng tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng Q vał baøn k(cid:237)nh R. Boß qua ma saøt laŒn vał ma saøt cußa tru(cid:239)c rołng ro(cid:239)c. VieÆt ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange loa(cid:239)i hai cho he(cid:228). Ch(cid:246)øng minh gia toÆc cußa C baŁng

(Q sin α P )g . wC = − 2Q + P

Haıy ch(cid:230) ra æie(cid:224)u kie(cid:228)n tre(cid:226)n caøc d(cid:246)ı kie(cid:228)n cußa æa(cid:224)u bałi (kho(cid:226)ng æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c cho mo(cid:228)t caøch t(cid:246)(cid:244)łng minh).

(cid:209)aøp aøn

Ca(cid:226)u 1

Va(cid:228)n toÆc:

˙x = b(1 cos θ), ˙y = b sin θ v = b 2(1 cos θ). ⇒ − − p Gia toÆc:

. ¨x = sin θ, ¨y = cos θ w = b2 a b2 a b2 a ⇒

PHUˇ LUˇC B. (cid:209)E(cid:192) THI MO´N C(cid:212) HOˇC LY(cid:217) THUYE`T 62

T(cid:237)nh baøn k(cid:237)nh cong. Gia toÆc tieÆp:

sin θ . wt = ˙v = b2 a 2(1 cos θ) − p Gia toÆc phaøp:

t =

1 w2 w2 . − wn = cos θ 2 − b2 a r p Suy ra

ρ = 2(1 cos θ). = 2a − v2 wn p

Ca(cid:226)u 2

H(cid:236)nh 1: Ca(cid:226)u 2.

He(cid:228) quy chieÆu æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c cho(cid:239)n nh(cid:246) h(cid:236)nh veı, tru(cid:239)c Ox h(cid:246)(cid:244)øng song song v(cid:244)øi maºt nghie(cid:226)ng. L(cid:246)(cid:239)c taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n va(cid:228)t: tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c P, phaßn l(cid:246)(cid:239)c N vał l(cid:246)(cid:239)c caßn kho(cid:226)ng kh(cid:237) Fc.

ChieÆu ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh vi pha(cid:226)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng (æ(cid:242)nh lua(cid:228)t th(cid:246)ø hai cußa Newton) le(cid:226)n tru(cid:239)c x, ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c: m¨x = mg sin α k ˙x2.

− Nha(cid:226)n vało hai veÆ v(cid:244)øi ˙xdt = dx, ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c:

d(v2) = (mg sin α kv2)dx, m 2 −

trong æoø v = ˙x. Taøch bieÆn,

md(v2) = dx, 2(mg sin α kv2) −

PHUˇ LUˇC B. (cid:209)E(cid:192) THI MO´N C(cid:212) HOˇC LY(cid:217) THUYE`T 63

ro(cid:224)i t(cid:237)ch pha(cid:226)n hai veÆ (chuø yø, bieÆn laÆy t(cid:237)ch pha(cid:226)n be(cid:226)n veÆ traøi lał v2), ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c:

v2(0) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

kv2 ln mg sin α = x x(0). m 2k − | − | −

Dułng æie(cid:224)u kie(cid:228)n æa(cid:224)u, v(0) = 0, x(0) = 0,

kv2 mg sin α , = ln 2kx m − mg sin α − (cid:19) (cid:18)

suy ra

(1 v = e−2kx/m). mg sin α k − r

): Qua gi(cid:244)øi ha(cid:239)n, t , ta thu æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c (do x → ∞ → ∞

. (1 e−2kx/m) = vgh = lim x→∞ mg sin α k mg sin α k − r r

Ca(cid:226)u 3

Mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cußa thanh æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c æi qua O:

. m(2a)2 = Jt = 1 3 4ma2 3

Mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cußa æ(cid:243)a æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c æi qua O (dułng co(cid:226)ng th(cid:246)øc Huygens):

M . + M = Jæ = 1 2 a 2 3a 4 11Ma2 16 (cid:18) (cid:19) (cid:17) (cid:16)

Va(cid:228)y, mo(cid:226)men quaøn t(cid:237)nh cußa quaß laØc æoÆi v(cid:244)øi tru(cid:239)c qua O:

a2. + J = Jt + Jæ = 4m 3 11M 16 (cid:18) (cid:19)

PHUˇ LUˇC B. (cid:209)E(cid:192) THI MO´N C(cid:212) HOˇC LY(cid:217) THUYE`T 64

H(cid:236)nh 2: Ca(cid:226)u 4.

Ca(cid:226)u 4

He(cid:228) go(cid:224)m ba va(cid:228)t coø khoÆi l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng la(cid:224)n l(cid:246)(cid:244)(cid:239)t lał m, m, 2m (ban æa(cid:224)u chuøng keÆt d(cid:237)nh v(cid:244)øi nhau). Theo giaß thieÆt ban æa(cid:224)u chuøng æ(cid:246)øng ye(cid:226)n, æie(cid:224)u æoø coø ngh(cid:243)a lał l(cid:246)(cid:239)c taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n chuøng baŁng kho(cid:226)ng! Ta aøp du(cid:239)ng æ(cid:242)nh lyø baßo toałn æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng. Go(cid:239)i v lał æo(cid:228) l(cid:244)øn va(cid:228)n toÆc cußa va(cid:228)t 2m. Do æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng ban æa(cid:224)u cußa he(cid:228) baŁng kho(cid:226)ng ne(cid:226)n æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng cußa he(cid:228) luøc sau cuıng va(cid:228)y. Do æoø va(cid:228)n toÆc cußa va(cid:228)t 2m coø ph(cid:246)(cid:244)ng chie(cid:224)u nh(cid:246) h(cid:236)nh veı, vał æo(cid:228) l(cid:244)øn æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c t(cid:237)nh nh(cid:244)ł s(cid:246)(cid:239) baßo toałn æo(cid:228)ng l(cid:246)(cid:244)(cid:239)ng

. mu cos 60o + mu cos 60o 2mv = 0 v = u 2 − ⇒

(cid:209)o(cid:228)ng naŒng cußa he(cid:228):

. T = + + = mu2 2 mu2 2 2m 2 u 2 5mu2 4 (cid:16) (cid:17)

V(cid:242) tr(cid:237) ban æa(cid:224)u cußa va(cid:228)t (O) lał khoÆi ta(cid:226)m cußa he(cid:228).

Ca(cid:226)u 5

C(cid:244) he(cid:228) go(cid:224)m: con laŒn A, rołng ro(cid:239)c B, va(cid:228)t C. L(cid:246)(cid:239)c chuß æo(cid:228)ng taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n he(cid:228): tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c Q, phaßn l(cid:246)(cid:239)c NA, tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c Q, phaßn l(cid:246)(cid:239)c NB, tro(cid:239)ng l(cid:246)(cid:239)c P (xem h(cid:236)nh veı).

Lie(cid:226)n keÆt: Con laŒn A chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng song phaœng. Chuye(cid:229)n d(cid:242)ch t(cid:242)nh tieÆn s vał quay quanh ta(cid:226)m goøc ϕ. Do laŒn tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t ne(cid:226)n δs = Rδϕ ( ˙s = R ˙ϕ).

Rołng ro(cid:239)c B th(cid:246)(cid:239)c hie(cid:228)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay goøc ϕ (cho(cid:239)n goÆc th(cid:237)ch h(cid:244)(cid:239)p). Va(cid:228)t C d(cid:242)ch chuye(cid:229)n t(cid:242)nh tieÆn x. Do da(cid:226)y kho(cid:226)ng giaın δx = δs ( ˙x = ˙s). Nh(cid:246) va(cid:228)y, he(cid:228) coø 1 ba(cid:228)c t(cid:246)(cid:239) do, cho(cid:239)n to(cid:239)a æo(cid:228) suy ro(cid:228)ng lał x (to(cid:239)a æo(cid:228) va(cid:228)t C).

PHUˇ LUˇC B. (cid:209)E(cid:192) THI MO´N C(cid:212) HOˇC LY(cid:217) THUYE`T 65

H(cid:236)nh 3: Ca(cid:226)u 5.

(cid:209)o(cid:228)ng naŒng cußa con laŒn A:

˙s2 + ˙ϕ2 = ˙x2. TA = Q 2g QR2 4g 3Q 4g

(cid:209)o(cid:228)ng naŒng cußa rołng ro(cid:239)c B:

˙ϕ2 = ˙x2. TB = QR2 4g Q 4g

(cid:209)o(cid:228)ng naŒng cußa va(cid:228)t C:

˙x2. TC = P 2g

(cid:209)o(cid:228)ng naŒng cußa he(cid:228):

˙x2. T = TA + TB + TC = P + 2Q 2g

Co(cid:226)ng toałn pha(cid:224)n do l(cid:246)(cid:239)c chuß æo(cid:228)ng taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n he(cid:228):

δW = Q sin αδs P δx = (Q sin α P )δx. − −

P . Do æoø, l(cid:246)(cid:239)c suy ro(cid:228)ng Qx = Q sin α −

PHUˇ LUˇC B. (cid:209)E(cid:192) THI MO´N C(cid:212) HOˇC LY(cid:217) THUYE`T 66

T(cid:237)nh caøc æa(cid:239)o hałm ro(cid:224)i thay vało ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh Lagrange, ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c:

(Q sin α P )g P . ¨x = Q sin α wC = ¨x = P + 2Q g − P + 2Q − ⇒

P . (cid:209)ie(cid:224)u kie(cid:228)n: æe(cid:229) va(cid:228)t C æi le(cid:226)n ta phaßi coø æie(cid:224)u kie(cid:228)n Q sin α ≥

L(cid:244)łi bałn Ca(cid:226)u 4 Ca(cid:226)u nały th(cid:246)(cid:244)łng lałm cho caøc ba(cid:239)n luøng tuøng ve(cid:224) l(cid:246)(cid:239)c taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n he(cid:228). Tuy nhie(cid:226)n, neÆu æe(cid:229) yø æeÆn cu(cid:239)m t(cid:246)ł "(cid:244)ß tra(cid:239)ng thaøi ngh(cid:230) (æ(cid:246)øng ye(cid:226)n)" th(cid:236) ta coø the(cid:229) xem, theo æ(cid:242)nh lua(cid:228)t th(cid:246)ø nhaÆt cußa Newton, he(cid:228) kho(cid:226)ng ch(cid:242)u taøc du(cid:239)ng b(cid:244)ßi l(cid:246)(cid:239)c nało caß, hay noøi khaøc æi, caøc l(cid:246)(cid:239)c taøc du(cid:239)ng le(cid:226)n he(cid:228) ca(cid:226)n baŁng. Ca(cid:226)u 5 Mo(cid:228)t soÆ ba(cid:239)n cho lał he(cid:228) coø 2 ba(cid:228)c t(cid:246)(cid:239) do! Tha(cid:228)t ra v(cid:244)øi æie(cid:224)u kie(cid:228)n "laŒn

H(cid:236)nh 4: T(cid:237)nh æo(cid:228)ng naŒng trong chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng song phaœng.

kho(cid:226)ng tr(cid:246)(cid:244)(cid:239)t" cußa con laŒn th(cid:236) bałi nały ch(cid:230) coø 1 ba(cid:228)c t(cid:246)(cid:239) do. Mo(cid:228)t soÆ ba(cid:239)n aøp du(cid:239)ng maøy moøc caøch t(cid:237)nh æo(cid:228)ng naŒng cußa con laŒn gioÆng nh(cid:246) caøch t(cid:237)nh æo(cid:228)ng naŒng cußa oÆng tru(cid:239) (ca(cid:226)u 5 cußa æe(cid:224) thi maªu). Nh(cid:246) tre(cid:226)n h(cid:236)nh 4a), oÆng tru(cid:239) th(cid:246)(cid:239)c hie(cid:228)n chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng song phaœng æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c pha(cid:226)n t(cid:237)ch baŁng caøch cho(cid:239)n B lałm æie(cid:229)m c(cid:246)(cid:239)c, go(cid:224)m: chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:242)nh tieÆn cußa æie(cid:229)m B vał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay quanh tru(cid:239)c æi qua B cußa oÆng tru(cid:239). Cołn trong bałi nały, h(cid:236)nh 4b), chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng cußa con laŒn go(cid:224)m: chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng t(cid:242)nh tieÆn cußa æie(cid:229)m A vał chuye(cid:229)n æo(cid:228)ng quay quanh A cußa con laŒn. Caøc ba(cid:239)n ne(cid:226)n æo(cid:239)c la(cid:239)i l(cid:244)łi giaßi trong hai tr(cid:246)(cid:244)łng h(cid:244)(cid:239)p æe(cid:229) so saønh.

Tałi lie(cid:228)u tham khaßo

[1] (cid:209)aºng (cid:209)(cid:236)nh A(cid:217)ng, Tr(cid:242)nh Anh Ngo(cid:239)c, Ngo(cid:226) Thałnh Phong, Nha(cid:228)p mo(cid:226)n C(cid:244) ho(cid:239)c, NXB (cid:209)a(cid:239)i ho(cid:239)c QuoÆc gia TP. HCM 2003.

[2] Nguyeªn Tro(cid:239)ng Chuye(cid:224)n, Phan VaŒn Cuøc, Bałi ta(cid:228)p c(cid:244) ho(cid:239)c lyø thuyeÆt, NXB Khoa ho(cid:239)c vał Kyı thua(cid:228)t, Hał no(cid:228)i, 1991.

[3] R. Douglas Gregory, Classical Mechanics - An Undergraduate Text, Cambridge University Press, 2006.

[4] R. Douglas Gregory, Classical Mechanics - Solution Manual, Cambridge Uni- versity Press, 2006.

[5] X.M. Targ, Giaøo tr(cid:236)nh giaßn yeÆu c(cid:244) ho(cid:239)c lyø thuyeÆt, NXB (cid:209)a(cid:239)i ho(cid:239)c & Trung ho(cid:239)c Chuye(cid:226)n nghie(cid:228)p Hał no(cid:228)i, Mir Matxc(cid:244)va 1979.

Cơ học lý thuyết (Tóm tắt lý thuyết và bài tập mẫu)

Tags: