105
ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN
TÓM TẮT
Trong bài viết này, tác giả không viết về quy tắc L’Hôpital mà chúng ta đã được học trong bộ môn
giải tích nhằm ứng dụng để tính giới hạn của hàm số có dạng vô định
0;
0
∞
∞
. Vấn đề tác giả đề cập ở
đây liên quan đến tính xét đơn điệu của tỉ số dạng
()
()
fx
gx
dựa vào tính đơn điệu của tỉ số
'
'
()
()
fx
gx
được
phát biểu ở định lý L’Hôpital đơn điệu . Sau đó, tác giả đưa ra một số ví dụ minh họa cho việc áp dụng
quy tắc này.
Từ khóa: Tính đơn điệu, định lý Lagrange, quy tắc L’Hôpital đơn điệu
In this article, the author does not write about the L’Hôpital rule that we have learned in the analysis
subject to apply to calculate the limit of a function of indeterminate form. The problem the author mentioned
here related to the monotony of the form ratio is based on the monotony of the ratio stated in the L’Hôpital
Monotone theorem. Then, the author gives some examples to illustrate the application of this rule
Key words: Monotonicity, Lagrange theorem, L’Hôpital rule
1. Đặt vấn đề
Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã biết rằng nếu hàm số
()yfx=
liên tục và
'() 0, (,)fx xab>∀∈
thì hàm số đồng biến trên (a,b).
Với hàm số
1
() ,( 0; 1)
1
m
n
x
fx mn x
x
−
=>>>
−
(*)
suy ra
()
()
111
2
'() 1
mn mn
n
mnxmxnx
fx x
+− −−
−−+
=
−
. Việc xét dấu tử số của biểu thức này không hề đơn giản.
Do đó, ta cần sử dụng định lý có tên là L’Hôpital đơn điệu.
2. Định lý (quy tắc L’Hôpital đơn điệu [3]):
Cho
[]
,:,fg ab→
ℝ
là các hàm số liên tục và có đạo hàm trên khoảng
(,)ab
với
'0(,)gxab≠∀∈
.
Khi đó, nếu
'
'
f
g
đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng
(,)ab
thì
() () () ()
() () () ()
fx fb fx fa
vaø
gx gb gx ga
− −
− −
cũng đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng
(,)ab
.
Chứng minh.
Trước khi chứng minh định lý này, ta nhắc lại định lý Lagrange.
Định lý. Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và khả vi trên
(,)ab
thì tồn tại 1 điểm
(,)cab∈
sao
QUY TẮC L’HÔPITAL ĐƠN ĐIỆU VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
L’HÔPITAL RULE AND SOME APPLICATIONS
ThS. Nguyễn Tấn Bình
Trường Đại học Tài chính - Kế toán
TÓM TẮT
Ngày nhận bài : 25.1.2022
Ngày nhận kết quả phản biện : 04.4.2022
Ngày duyệt đăng : 28.4.2022
ABSTRACT
106
TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN
cho
() ()
'( )fa fb
fc ab
−
=−
.
Chứng minh. Xem [4]
Giả sử,
'( )0gx
>
và
'( )
'( )
fx
gx
đồng biến trên khoảng
(,)ab
. Khi đó, theo định lý Lagrange,
(,)xab∀∈
sẽ tồn tại
(,)cax∀∈
sao cho
() () '( )'()
() () '( )'()
fx fa fc fx
gx ga gc gx
−=≤
−
()()
()
'( )()()0
'( )()()
'( )()()'() () () 0
'( )()()
fx fx fa
gx gx ga
fxgx ga gx fx fa
gx gx ga
−
⇔− ≥
−
−− −
⇔ ≥
−
Vì
'( )0,(,)gx xab>∀∈
nên
() () 0gx ga−>
. Suy ra,
()()
()()
()
2
'( )()()'() () () 0
'( )()()'() () () 0
() ()
fxgx ga gx fx fa
fxgx ga gx fx fa
gx ga
−− −≥
−− −
⇒ ≥
−
Hay
()()
()
'
2
'( )()()'() () ()
() () 0
() () () ()
fxgx ga gx fx fa
fx fa
gx ga gx ga
−− −

−= ≥

−−
Vậy ta đã chứng minh được
() ()
() ()
fx fa
gx ga
−
−
đồng biến trên khoảng
(,)ab
.
Tương tự, ta cũng chứng minh được
() ()
() ()
fx fb
gx gb
−
−
đồng biến trên khoảng
(,)ab
.
3. Áp dụng của quy tắc L’Hôpital
3.1. Áp dụng của quy tắc L’Hôpital trong khảo sát hàm số
Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của hàm số
1
() ,( 0; 1)
1
m
n
x
fx mn x
x
−
=>>>
−
Giải.
Đặt
() 1
m
fx x=−
và
() 1
n
gx x=−
.
Xét hàm số
() ,1
()
()
,1
fx x
gx
Hx mx
n
≠
=
=
Ta có '
'
()
()
mn
fx mx
gx n
−
= đồng biến trên
()
1; +∞
khi
0mn>>
(vì
'
'1
'
() () 0
()
mn
fx mmnx
gx n
−−

=− >


).
Theo định lý L’hôpital đơn điệu, thì
() (1)
() (1)
fx f
gx g
−
−
đồng biến trên
()
1; +∞
. Hay ()
() ()
fx
Hx gx
= đồng biến.
Ví dụ 2. Với
0abcd>≥>>
. Chứng minh:
()
xx
xx
ab
fx cd
−
=−
là hàm đồng biến với mọi x.
Chứng minh.
Chia tử và mẫu của
()fx
cho
x
d
, do đó không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử
1d=
,
107
ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN
khi đó
() 1
xx
x
ab
fx c
−
=−
. Đặt
x
yc=
,
Ta có
ln ln
..
.log .log
ln ln ln ln
;;;
ln ln
cc
ab
xx
xa xb
xx
cc
ba
ac cybc cy cc
βα
αβ

====== ==


Suy ra,
() ;(0;1) (1;)
1
yy
Ty y
y
βα
−
=∈+∞
−∪
Đặt
'11
'
()
() ;()1() ()
fy
fy yygy ypyyy
gy
βα βα
βα
−−
=− =−⇒= =−
Ta có
1
lim()
yTy
βα
→=−
, không mất tính tổng quát, giả sử
βα
>
'22
() (1)(1)py yy
βα
ββ αα
−−
=− −−
1
'
(1)
() 0(1)
py y
βα
αα
ββ
−
∗

−
=⇔ =
−

với điều kiện
(1)( 1) 0
ββ αα
−−>
Trường hợp 1:
0
αβ
<≤
Vì
(1)0;( 1) 0
αα ββ
−> −>
nên với
0y>
,
'
() 0,py yy
∗
<<
. Do đó,
()py
giảm tăng trên miền
(0;)+∞
( chẳng hạn,
()py
giảm trên
(0;)+∞
khi
0
β
=
). Vì vậy,
()Ty
giảm trên
(0;)+∞
.
Trường hợp 2:
01
αβ
≤< ≤
và
(; )(0;1)
αβ
≠
Khi đó,
'
() 0py<
và
()py
giảm trên miền
(0;)+∞
. Theo định lý L’Hôpital đơn điệu thì
()Ty
giảm trên
(0;)+∞
.
Trường hợp 3:
0; 1
αβ
><
Với mọi y dương,
'
() 0,py yy
∗
<<
do đó,
()py
giảm tăng trên miền
(0;)+∞
. Vì vậy,
()Ty
cũng
giảm tăng trên
(0;)+∞
.
Trường hợp 4:
0; 1
αβ
<>
Với mọi y dương, thì
'
() 0,py yy
∗
><
do đó,
()py
tăng giảm trên miền
(0;)+∞
. Vì vậy,
()Ty
cũng tăng giảm trên
(0;)+∞
.
Trường hợp 5:
001
αβ
≤<<≤
và
(; )(0;1)
αβ
≠
Khi đó,
'() 0py>
và
()py
tăng trên
(0;)+∞
. Theo định lý L’Hôpital đơn điệu thì
()Ty
tăng trên
(0;)+∞
.
Trường hợp 6:
1
βα
>≥
Với mọi y dương, thì
'
() 0,py yy
∗
<<
do đó,
()py
giảm tăng trên
(0;)+∞
( chẳng hạn,
1
α
=
thì
()py
tăng trên miền
(0;)+∞
)
Theo định lý L’Hôpital đơn điệu thì
()Ty
tăng trên
(0;)+∞
.
3.2. Áp dụng của quy tắc L’Hôpital trong chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 3. Chứng minh rằng
2
sin tan2, 02
x x x
x x
π
+ > <<
108
TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN
Chứng minh.
Xét hàm số
2
sintan ,0
()
2, 0
xx
x
Hx xx
x

+≠

=
=
Đặt
2
() sintanfx xx x=+
và
2
()gx x=
. Khi đó,
'2'
() 2sin tan(1tan );() 2fx xcosx xx xgxx=+++ =
Suy ra,
''
(0)(0)0; (0)(0) 0ff gg== ==
Ta có
()
'' 2
''
() 2(1tan )1tan
()
fx cosx xxx
gx
=+++
Suy ra,
()()()
'
'' 2
22 42
''
() 1
1tan 2tan 3tan (1 )1tan sin2
() 2
fx xx xxcosx xx x
gx


=+ +−++ −




Vì,
()
2
21
() 1tan sin2
2
hx xx x=+ −
có
()
()
2
'2
() 1tan 4tan 120hx xxxcos x=+ +− >
nên h(x) đồng biến trên
0; 2
π



suy ra
() (0) 0
hx h>=
Do đó,
'
'' ''
'' ''
() ()
0
() ()
fx fx
gx gx

>⇒


đồng biến trên
0; 2
π



.
Theo định lý L’Hôpital đơn điệu thì
'' '
'' '
() (0)()
() (0)()
fx ffx
gx ggx
−=
−
đồng biến trên
0; 2
π



.
Theo định lý L’Hôpital đơn điệu thì
() (0)()
() () (0)()
fx ffx
Hx gx ggx
−
==
−
đồng biến trên
0; 2
π



.
Suy ra,
2
0
sintan
() (0)lim 2
x
xx
Hx Hxx
→


>= +=





Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số thực t, ta có
()
22;2(*)
tt tt
ee ee
α
αα α
α
−−
+−≤+−− ∀≥
Chứng minh.
Với
0t=
, (*) luôn đúng
Xét trường hợp
0t>
Đặt
;1
t
xex=>
. Bất đẳng thức trở thành
()
22
11
22
xx
x
αα
α
α
+−−≥−
Đặt
()
22
() 11;()fx xxgx x
αα α
=+−− =
,
Ta có
()
1
' 2 21 ' 1
() 212;()fx xx xgxx
αα α
α α α
−− −
=+− =
Đặt
()
1
2 2 1 1
'
' 1
212
() 1
2 2
()
xx x
fx xx x
gx x x
ααα
α
α
−−−
−
+− 
= = +−


suy ra,
'1
'1
' 2
() 1 2 2
2 2
() 1
fx x x
gx x x
α
α
α
α α
−
−
−
=+ − −
+
áp dụng bất đẳng thức Bernoulli
(1 ) 1 ; 0, 1a a a
ββ β
+≥+ ∀ ≥ ≥
,
109
ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN
Ta có
()
11
1121 3
2
11
11(1)(1)xx xxxx
xx
αα
αα αα
αα
−−
−−−− −
 
+= +≥+− =+−
 
 
Như vậy, khi
1, 2x
α
>≥
()
()
()
()
'
'13 1
'2
13 31 13 31
22
32
2
() 22
22(1)2
() 1
2( 1) 2( 1)
222
11
2( 1) 210
1
fx xx x
gx x
xx xx xx xx
xx
xx
x
αα α
αα αα αα αα
α
α
αα α
αα
αα αα
αα
−− −
−− −− −− −−
−
 −

≥+−−−
 
+


−−
≥+−−≥+−−
++
−
≥−−≥
+
Suy ra,
'
'
()
()
fx
gx
đồng biến trên
()
1; +∞
.
Theo quy tắc L’Hôpital đơn điệu thì
()
22
121
() (1)
() () (1)1
xx
fx f
Tx gx gx
ααα
α
+−−+
−
==
−−
đồng biến trên
()
1; +∞
. Suy ra,
() (1)
() (1)
() (1)
fx f
Tx T
gx g
−
=>
−
() ()
1
22 221
1
11 1
1212 12
() (1) 2 2
(1)limlim lim
() (1)1 1
xx x
xx xx x
fx f
Tgx gx x
α α
αα αα
α α
αα
α
−−
−
→→ →
+−−+ +−
− −
== = =
−−
Do đó,
() (1)2 2(1) () (1)22
() (1)1 (1)()(1)
fx fffx f
gx gggx g
αα
−−
≥=⇒>=−
−
. Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Trong trường hợp
0t<
. Ta thay
tt=−
thì bất đẳng thức không đổi.
Nhận xét: Chiều ngược lại của định lý không đúng, chẳng hạn
0
1
() 1;()
x
fx xcos dt gx x
t


=+ =




∫
, mặc dù
'
'
()
()
fx
gx
không đơn điệu nhưng
()
()
fx
gx
vẫn đơn điệu
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. I.Pinelis, On L’Hospital-type rules for monotonicity, J. Inequal. Pure Appl. Math. Vo lume 7, Issue 2,
Article 40, 2006. Available at http://jipam.vu.edu.au
2. I.Pinelis, On L’Hospital-type rules for oscillation, with applications, J. Inequal. Pure Appl. Math. Vo lume
3, 2006.
3. https://lovetoan.wordpress.com
4. Nguyễn Đình Trí - Tạ Văn Dĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp tập 2, Nhà xuất bản Giáo dục (2006)