Về metric sinh bởi tựa metric riêng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết "Về metric sinh bởi tựa metric riêng" từ một tựa metric riêng đã xây dựng một metric và một metric riêng. Đồng thời. thiết lập và chứng minh mối quan hệ giữa dãy hội tụ, dãy Cauchy và tính đầy đủ giữa chúng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về metric sinh bởi tựa metric riêng

Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 3-12 VỀ METRIC SINH BỞI TỰA METRIC RIÊNG Nguyễn Văn Dũng 1* và Nguyễn Thị Tuyết Trinh2 1 Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 2 Sinh viên, Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp * Tác giả liên hệ: nvdung@dthu.edu.vn Lịch sử bài báo Ngày nhận: 07/7/2021; Ngày nhận chỉnh sửa: 22/8/2021; Ngày duyệt đăng: 28/8/2021 Tóm tắt Trong bài báo này, từ một tựa metric riêng đã cho chúng tôi xây dựng một metric và một metric riêng. Đồng thời chúng tôi thiết lập và chứng minh mối quan hệ giữa dãy hội tụ, dãy Cauchy và tính đầy đủ giữa chúng. Từ khóa: Metric, metric riêng, tựa metric riêng. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ON THE METRIC GENERATED BY THE QUASI PARTIAL METRIC Nguyen Van Dung 1* and Nguyen Thi Tuyet Trinh2 1 Faculty of Mathematics - Informatics Teacher Education, Dong Thap University 2 Student, Faculty of Mathematics - Informatics Teacher Education, Dong Thap University * Corresponding author: nvdung@dthu.edu.vn Article history Received: 07/7/2021; Received in revised form: 22/8/2021; Accepted: 28/8/2021 Abstract From a given quasi partial metric, we propose a corresponding metric and a corresponding partial metric. We also state and prove the relationships between the convergent sequence, the Cauchy sequence and the completeness between these settings. Keywords: Metric, partial metric, quasi partial metric. DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.12.2.2023.1026 Trích dẫn: Nguyễn Văn Dũng và Nguyễn Thị Tuyết Trinh. (2023). Về metric sinh bởi tựa metric riêng. Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 12(2), 3-12. 3
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 1. Mở đầu 4. ( ) ( ) ( ) Không gian metric là một trong những khái Khi đó niệm cơ bản của giải tích hiện đại, có vai trò quan 1. được gọi là một metric trên và ( ) trọng trong nhiều mô hình toán học. Việc mở rộng được gọi là một không gian metric. không gian metric và nghiên cứu tính chất của các không gian mở rộng là một hướng nghiên cứu được 2. Dãy * + được gọi là hội tụ đến điểm nhiều tác giả quan tâm. Năm 2012, K. P. Chi và nếu ( ) . cộng sự đã thiết lập và chứng minh định lí điểm bất 3. Dãy * + được gọi là một dãy Cauchy động cho ánh xạ co yếu suy rộng trong không gian nếu ( ) . metric riêng đầy đủ (K. P. Chi, E. Karapinar, and T. D. Thanh, 2012). Năm 2017, N. V. Dũng đã 4. Không gian metric ( ) được gọi là đầy nghiên cứu tính đầy đủ hóa của không gian metric đủ nếu mọi dãy Cauchy * + hội tụ trong . riêng ( N. V. Dung, 2017). Thời gian qua, một số Định nghĩa dưới đây mở rộng từ định nghĩa không gian metric suy rộng được giới thiệu và nghiên cứu, sử dụng trong Lí thuyết điểm bất động, metric bằng cách bỏ đi tính đối xứng. trong đó có không gian metric riêng và không gian Định nghĩa 1.2. (R. Gharibi and S. Jahedi, tựa metric riêng (R. H. Haghi, S. Rezapour and N. 2019). Giả sử là một tập khác rỗng và Shahzad, 2013). Gần đây, R. Gharibi và S. Jahedi sao cho với mọi đã nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của điểm 1. ( ) bất động đối với ánh xạ xác định trên tích của các không gian tựa metric riêng (R. Gharibi and S. 2. ( ) ( ) Jahedi, 2019). Các tác giả cũng đã đề xuất một số 3. ( ) ( ) ( ) điều kiện phù hợp và xây dựng các ví dụ minh họa. Khi đó được gọi là một tựa metric trên và Chúng tôi nhận thấy rằng, tính chất topo của ( ) được gọi là một không gian tựa metric. không gian tựa metric riêng chưa được nghiên cứu, Không gian metric được mở rộng thành không nhiều dạng định lí điểm bất động quen thuộc chưa được thiết lập và chứng minh trong không gian tựa gian metric riêng như sau. metric riêng. Bên cạnh đó, một số tính chất trong Định nghĩa 1.3. (R. Gharibi and S. Jahedi, không gian tựa metric riêng có thể tiếp cận bằng 2019). Giả sử là một tập khác rỗng và một cấu trúc metric phù hợp. sao cho với mọi Trong bài báo này, từ một tựa metric riêng đã 1. ( ) cho chúng tôi xây dựng một metric và một metric riêng. Đồng thời chúng tôi thiết lập và chứng minh 2. ( ) ( ) ( ) . mối quan hệ giữa dãy hội tụ, dãy Cauchy và tính 3. ( ) ( ). đầy đủ giữa chúng. 4. ( ) ( ). Trước hết, chúng tôi trình bày một số khái 5. ( ) ( ) ( ) ( ). niệm, kết quả cơ bản được sử dụng trong bài báo. Khi đó Khái niệm metric là sự mở rộng của không gian ba chiều với khoảng cách thông thường với ba 1. được gọi là một metric riêng trên và đặc trưng tiêu biểu: tính không âm, tính đối xứng, ( ) được gọi là một không gian metric riêng. bất đẳng thức tam giác. 2. Dãy * + hội tụ đến điểm nếu Định nghĩa 1.1. (T. V. Ân, N. H. Quang, N. ( ) ( ) V. Dũng, N. N. Bích, 2017). Giả sử là một tập 3. Dãy * + được gọi là một dãy Cauchy khác rỗng và sao cho với mọi nếu ( ) tồn tại. , 1. ( ) 4. Không gian metric riêng ( ) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy * + là một dãy 2. ( ) 3. ( ) ( ) 4
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 3-12 hội tụ đến một điểm và 1. Nếu ( ) ( ) với mọi ( )= ( ). thì qp là một metric riêng trên . Định nghĩa dưới đây mở rộng từ định nghĩa 2. Cho tựa metric riêng qp trên một tập X metric riêng bằng làm yếu đi điều kiện (2) và bỏ đi khác rỗng, những hàm số sau là tựa metric trên X: điều kiện (3), (4). ( ) ( ) ( ). Định nghĩa 1.4. (E. Karapinar, I. M. Erhan and ( )= ( ) ( ) ( ). A. Oztürk, 2013). Giả sử là một tập khác rỗng và ̅̅̅ ( ̅̅ )= ( )- ( ) sao cho với mọi ( ) ( ). 1. ( ) . 2. Nếu ( ) ( ) ( ) ̅̅̅ ( ̅̅ ) = ̅̅̅ ( ̅̅ ) ( ) ( ). thì . Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, chúng ta có 3. ( ) ( ). được bổ đề sau. 4. ( ) ( ). Bổ đề 1.6. Nếu thì 5. ( ) ( ) ( ) ( ). | | * + * + Khi đó 2. Kết quả chính 1. được gọi là một tựa metric riêng trên Định lí sau đây cho thấy mối quan hệ giữa và ( ) được gọi là một không gian tựa metric không gian tựa metric riêng và không gian metric. riêng. Định lí 2.1. Giả sử ( ) là một không gian 2. Dãy * + đươc gọi là hội tụ đến điểm tựa metric riêng. Với mọi , đặt nếu ( ) * ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) * ( ) ( )+. 3. Dãy * + được gọi là một dãy Cauchy Khi đó ta có nếu ( ) và ( ) tồn 1. là một metric trên . tại. Điều này tương đương với ( ) 2. Nếu trong không gian metric tồn tại. ( ) thì trong không gian tựa metric 4. Không gian tựa metric riêng ( ) được riêng ( ). gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy * + là một 3. Dãy * + là một dãy Cauchy trong không dãy hội tụ đến một điểm và gian tựa metric riêng ( ) khi và chỉ khi dãy ( ) * + là một dãy Cauchy trong không gian metric ( ). ( ) ( ) 4. Không gian tựa metric riêng ( ) là đầy Từ một tựa metric riêng đã cho R. Gharibi and đủ khi và chỉ khi không gian metric ( ) là đầy đủ. S. Jahedi đã thiết lập một số metric riêng và tựa Chứng minh. (1) Giả sử Ta chứng metric như sau. minh ( ) . Ta có Mệnh đề 1.5. (R. Gharibi and S. Jahedi, ( ) * ( ) ( )+ 2019). Giả sử * ( ) ( )+ 1. là một tập khác rỗng và ( ) là một * ( ) ( )+ không gian tựa metric riêng. * ( ) ( )+ 2. :X X xác định bởi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ta chứng minh ( ) . Thật vậy với mọi Nếu thì Khi đó: ( ) ( ) ( ) 5
Chuyên san Khoa học Tự nhiên Nếu ( ) thì * ( ) ( )+ và ( ) ( ) * ( ) ( )+. thì * ( ) ( )+ ( ) Ta có Khi đó ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ ( ) ( ) ) ( * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ Nếu ( ) ( ) và Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) thì Vậy . ( ) * ( ) ( )+ Ta chứng minh ( ) ( ). = ( ) ( ) Thật vậy * ( ) ( )+ ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ Nếu ( ) ( ) và * ( ) ( )+ ( ) ( ) thì * ( ) ( )+ ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) * ( ) ( )+ Ta chứng minh * ( ) ( )+. ( ) ( ) ( ) Nếu ( ) ( ) và Ta có ( ) ( ) thì * ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) Do đó Khi đó ( ) * ( ) ( )+ ( ) * ( ) ( )+ ( ) ( ) * ) ( )+ ( * ( ) ( )+ ) * ( ( ) ) ( ) (( ) * ( ) ( )+ )+ ( Suy ra ( ) ( ) ( ) * ( ) ( )+ Vậy là một metric trên . * ( ) ( ) ( ) ( )+ (2). Giả sử trong không gian metric ( ) ( ). Khi đó ( ) . * ( ) ( )+ Khi đó, theo Bổ đề 1.6 ta có * ( ) ( )+ | ( ) ( )| * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ Ta chứng minh * ( ) ( )+ ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ (1) ( ). Thật vậy Suy ra | ( ) ( )| Nếu ( ) ( ) 6
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 3-12 hay ( ) ( ) Suy ra { ( )+ bị chặn trong Do đó Mặt khác, theo Bổ đề 1.6 ta có tồn tại sao cho dãy con { ( )+ hội | ( ) ( )| tụ về . Vì * } là dãy Cauchy trong không gian metric ( ) nên với mọi , tồn tại sao * ( ) ( )+ cho với mọi , ( ) . Khi đó * ( ) ( )+ theo Bổ đề 1.6 ta có * ( ) ( )+ | ( ) ( )| * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ ( ) * ( ) ( )+ Suy ra | ( ) ( )| * ( ) ( )+ hay ( ) ( ) * ( ) ( ) Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . Suy ra dãy { ( )+ là dãy Cauchy trong (3). ( ) Giả sử * + là dãy Cauchy trong ( ) . Do đó ( ) Khi đó tồn tại sao cho ( ) ( ) Mặt khác ta có | * ( ) ( )+ | Suy ra | * ( ) ( )+ ( ) ( ) * ( ) ( )+| | * ( ) ( )+ | Ta có ( ) | * ( ) ( )+ |. ( ) Vì ( ) nên ( * ( ) ( )+ | * ( ) ( )+ | * ( ) ( )+) . Suy ra ( ) Vậy * + là dãy Cauchy trong không gian metric Vậy * } là dãy Cauchy trong không gian tựa ( ) metric riêng ( ). ( ) Giả sử * } là dãy Cauchy trong không gian (4). ( ) Giả sử không gian metric ( ) là đầy metric ( ). Khi đó, với , khi đó tồn tại đủ. Lấy * + là dãy Cauchy trong không gian tựa sao cho ( ) với mọi . metric riêng ( ) Theo (3), ta suy ra * + là dãy Cauchy trong không gian metric ( ). Vì không Ta có gian metric ( ) là đầy đủ nên ( ) ( ) ( ) ( ) trong không gian metric ( ). Mặt khác, theo (2) | ( ) ( )| ( ) ta có trong không gian tựa metric riêng { ( ) ( )} ( ) Ta cần chứng minh { ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( )} { ( ) ( )} Vì tồn tại ( ) và ( ) ( ) ( ) ( ) nên ta chỉ cần chứng minh ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) 7
Chuyên san Khoa học Tự nhiên Vì trong không gian metric Định lí sau đây cho thấy mối quan hệ giữa ( ) nên với mọi , tồn tại sao cho không gian tựa metric riêng và không gian ( ) metric riêng. với mọi . Khi đó, theo Bổ đề 1.6 ta có Định lí 2.2. Giả sử ( ) là một không gian tựa metric riêng. Với mọi , đặt | ( ) ( )| ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ Khi đó ta có ( ) 1. là một metric riêng trên . * ( ) ( )+ { } ( ) , 2. Nếu trong không gian tựa * ( ) ( )+- metric riêng ( ) thì trong không ( ) ( ) gian metric riêng ( ) , 3. Dãy * + là một dãy Cauchy trong không * ( )+-) ( gian tựa metric riêng ( ) khi và chỉ khi dãy , ( ) * ( ) ( )+- * + là một dãy Cauchy trong không gian metric , * ( ) ( )+ riêng ( ) * ( ) ( )+- 4. Nếu không gian tựa metric riêng ( ) là ( ) đầy đủ thì không gian metric riêng ( ) là đầy đủ. Điều này chứng tỏ ( ) ( ) Chứng minh. (1) Giả sử . Ta chứng minh ( ) ( ) ( ) . Vậy không gian tựa metric riêng ( ) là đầy đủ. Thật vậy, giả sử ( ) Giả sử không gian tựa metric riêng ( ) ( ) ( ). ( ) đầy đủ. Lấy * + là dãy Cauchy trong Suy ra * ( ) ( )+ không gian metric ( ) Theo (3), ta suy ra * + * ( ) ( )+ là dãy Cauchy trong không gian tựa metric riêng ( ) . Vì không gian tựa metric riêng ( ) là * ( ) ( ) +. đầy đủ nên Khi đó ta có ( ) ( ) ( ) * ( ) ( )+ ( ). (1) ( ) Vì ( ) ( ) * ( ) ( )+ Mặt khác ( ) ( ) * ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) nên từ (1) ta suy ra ( ) ( ) Ta có ( ) Suy ra . ( ) * ( ) ( )+ Tiếp theo, giả sử . Khi đó * ( ) ( )+. * ( ) ( )+ Vậy * ( ) ( )+ ( ) * ( ) ( )+ ( * ( ) ( )+ Suy ra ( ) ( ) ( ). Ta chứng minh ( ) ( ). Thật vậy * ( ) ( ) +) ( ) * ( ) ( )+ ( ) ( ) . * ( ) ( )+ ( ). Khi đó Vậy không gian tựa Ta chứng minh ( ) ( ). Thật vậy metric riêng ( ) đầy đủ. 8
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 3-12 ( ) * ( ) ( )+ Mặt khác = * ( ) ( )+ ( ) ( ) = ( ) * ( ) ( )+. Ta chứng minh Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) Thật vậy ( ) * ( ) ( )+ ( * ( ) ( )+) * ( ) ( ) Suy ra ( ) ( ) ( ) ( )} ( ) * ( ) ) ( ( ) ( )+ Vậy ( ) ( ) Tương tự ta có * ( ) ( )+ ( ) ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )+. ( ) Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy là một metric riêng trên . ( ) (2). Giả sử trong không gian tựa ( * ( ) ( )+) metric riêng ( ) Khi đó ta có Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) Do đó ( ) Vậy ( ) ( * ( ) ( )+) Từ những lập luận trên ta có * ( ) ( )+ ( ) ( ) Vậy ( ) * + là dãy Cauchy trong không gian tựa metric Vậy trong không gian metric riêng ( ) riêng ( ) (4). Giả sử không gian tựa metric riêng (3). ( ) Giả sử * + là dãy Cauchy trong ( ) là đầy đủ. Lấy * + là dãy Cauchy trong không gian tựa metric riêng ( ) Khi đó tồn tại không gian metric riêng ( ) Theo (3) ta suy ra sao cho * + là dãy Cauchy trong không gian tựa metric ( ) ( ) riêng ( ) . Vì không gian tựa metric riêng ( ) là đầy đủ nên trong không gian Suy ra tựa metric riêng ( ). Theo (2) ta suy ra ( ) trong không gian metric riêng ( ) * ( ) ( )+ Mặt khác, vì không gian tựa metric riêng ( ) là đầy đủ nên . ( ) Vậy * + là dãy Cauchy trong không gian metric riêng ( ). ( ) ( ) ( ) Giả sử * + là dãy Cauchy trong không gian Ta có metric riêng ( ) Khi đó tồn tại ( ) sao cho ( ) Vậy ( * ( ) ( )+) ( ) ( ) ( ) ( ) 9
Chuyên san Khoa học Tự nhiên * + là dãy Cauchy trong không gian metric { } * + riêng ( ) . Vậy không gian metric riêng ( ) là đầy đủ. Ví dụ sau minh họa cho những kết quả đạt được phía trên đối với tựa metric riêng trong Ví dụ Nếu ( ) . / thì 3.5 trong tài liệu (R. Gharibi and S. Jahedi, 2019). Ví dụ 2.3. Giả sử * + và hàm ( ) ( ) xác định bởi ( ) ( ) . Khi đó ta có ( ) { ( ) * ( ) ( )+ Khi đó { } * + 1. là một tựa metric riêng trên . 2. Metric trong Định lí 2.1 được xác định như sau Nếu ( ) ( ) thì ( ) ( ) ( ) {( ) ( )} ( ) ( ) . Khi đó ta có ( ) ( ) * ( ) ( )+ ( ) *( )( )+ * ( ) ( )+ ( ) {( ) ( )} { * + * + 3. Metric riêng trong Định lí 2.2 được xác định như sau Nếu ( ) ( ) thì ( ) ( ) ( ) {( ) ( )} ( ) ( ) . Khi đó ta có ( ) ( ) *( )( )+ ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ ( ) {( ) ( )} { * + * + Giải. (1). Theo Ví dụ 3.5 trong tài liệu (R. Nếu ( ) . / thì Gharibi and S. Jahedi, 2019) thì là một tựa metric riêng trên . ( ) ( ) (2). Nếu thì ( ) ( ) . Khi đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) * ( ) ( )+ Khi đó ta có * ( ) ( )+ ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ { } * + * + * + Nếu ( ) . / thì ( ) ( ) Nếu ( ) . / thì ( ) ( ) . Khi đó ta có ( ) ( ) ( ) * ( ) ( )+ ( ) ( ) . * ( ) ( )+ 10
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 3-12 Khi đó ta có ( ) * ( ) ( )+ ( ) * ( ) ( )+ * + * ( ) ( )+ Nếu ( ) . / thì { } * + ( ) ( ) . Khi đó ta có ( ) * ( ) ( )+ Từ những tính toán trên, ta có metric trong Định lí 2.1 được xác định bởi { } {( ) ( )} Nếu ( ) . / thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) *( )( )+ . ( ) {( ) ( )} Khi đó ta có { ( ) * ( ) ( )+ (3). Nếu thì ( ) ( ) { } Khi đó ta có Từ những tính toán trên ta có metric riêng ( ) * ( ) ( )+ trong Định lí 2.2 được xác định bởi * + . Nếu ( ) . / thì ( ) {( ) ( )} ( ) ( ) ( ) . ( ) *( )( )+ Khi đó ta có ( ) {( ) ( )} { ( ) * ( ) ( )+ Ví dụ sau minh họa cho những kết quả đạt được phía trên đối với tựa metric riêng trong Ví dụ { } 2.5 trong tài liệu (R. Gharibi and S. Jahedi, 2019). ( ) ( ) Ví dụ 2.4. Giả sử và hàm Nếu . / thì ( ) | | | |. ( ) . Khi đó Khi đó ta có 1. là một tựa metric riêng trên . ( ) * ( ) ( )+ 2. Metric trong Định lí 2.1 được xác định { } như sau | | | | | | | | | | Nếu ( ) ( ) thì ( ) { | | | | | | | | | | ( ) ( ) . 3. Metric riêng trong Định lí 2.2 được xác Khi đó ta có định như sau ( ) * ( ) ( )+ | | | | | | | | ( ) { * + | | | | | | | | Giải. (1). Theo Ví dụ 2.5 trong tài liệu (R. Nếu ( ) ( ) thì Gharibi and S. Jahedi, 2019) thì là một tựa ( ) ( ) . metric riêng trên . Khi đó ta có 11
Chuyên san Khoa học Tự nhiên (2). Giả sử . Ta có chúng. Đặc biệt,chúng tôi đã đưa ra một số ví dụ ( ) | | | | nhằm làm rõ kết quả chính. Kết quả bài viết có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, là tài liệu tham khảo ( ) | | | | tốt cho sinh viên, học viên cao học và những ai ( ) | | ( ) | |. đang quan tâm đến mảng nghiên cứu này. Khi đó ta có Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được hỗ trợ bởi ( ) * ( ) ( )+ đề tài nghiên cứu khoa học của sinh viên Trường Đại học Đồng Tháp mã số SPD2020.02.02. * ) ( )+( Tài liệu tham khảo *| | | || | | |+ *| | | | + E. Karapinar, I. M. Erhan and A. Oztürk. (2013). Fixed point theorems on quasi-partial metric | | | | | | | | | | spaces. Math. Comput. Modelling 57, 2442-2448. { | | | | | | | | | | K. P. Chi, E. Karapinar, and T. D. Thanh. (2012). (3). Ta có ( ) | | | | và A generalized contraction principle in partial ( ) | | | |. Khi đó ta có metric spaces. Math. Comput. Modelling 55, ( ) * ( ) ( )+ 1673-1681. *| | | || | | |+ N. V. Dung. (2017). On the completion of partial | | | | | | | | metric spaces. Quaest. Math. 40, 589-597. { | | | | | | | | R. Gharibi and S. Jahedi. (2019). On the product of Liên quan đến Định lí 2.1 và Định lí 2.2, quasi-partial metric spaces. Korean J. Math., chúng tôi đặt ra câu hỏi mở sau. 27, 819-830. Câu hỏi 2.5. Các chiều ngược lại trong Định R. H. Haghi, S. Rezapour and N. Shahzad. (2013). lí 2.1. (2) và Định lí 2.2. (2), Định lí 2.2. (4) có xảy Be careful on partial metric fixed point ra hay không? results. Topology Appl. 160, 450-454. 3. Kết luận S. G. Matthews. (1992). Papers on general topology and applications. Queen’s College. Trong bài báo này, chúng tôi đã xây dựng một metric và một metric riêng xuất phát từ một tựa T. V. Ân, N. H. Quang, N. V. Dũng, N. N. Bích. metric riêng. Thiết lập và chứng minh mối quan hệ (2017). Giáo trình Topo đại cương. Nhà xuất giữa dãy hội tụ, dãy Cauchy và tính đầy đủ của bản Trường Đại học Vinh. 12