Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
57
MỘT MỞ RỘNG CỦA CHUỖI FOURIER
Nguyễn Hữu Thọ
Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Trong báo cáo này, tôi sẽ giới thiệu một
mở rộng nhỏ của chuỗi Fourier, ý tưởng này
được tác giả lên ý tưởng trong quá trình
giảng dạy môn Phương trình vi phân (của
K49, K50) và môn Phương trình Vật lý -
Toán (cho các lớp của Khoa Thủy văn và
ngành Kỹ thuật Điện trước đây của trường)
2. NỘI DUNG BÁO CÁO
2.1. Đặt vấn đề
Chuỗi Fourier của hàm :[ , ]f

được cho bởi:

0
1
() cos sin , ,
2nn
n
a
Sf x a nx b nx x

trong đó:
1( )cos , 0,1,2,...,
1( )sin , 1,2,...,
n
n
afxnxdxn
bfxnxdxn


(với điều kiện các tích phân hội tụ, điều này
xảy ra khi
f
khả tích Lebesgue trên [,]
).
Chú ý rằng chuỗi ()Sf x chưa chắc đã hội tụ
với .
x
Đã có nhiều tiêu chuẩn về sự hội tụ của
chuỗi Fourier, trong báo cáo này tôi sử dụng
kết quả trong ([3], Corollary 8.48).
Định lý 1.1 ([3]): Cho :[ , ]f
 sao
cho () ()ff
 . Nếu
f
là hàm liên tục và
có biến phân bị chặn trên [,]
thì chuỗi
Fourier ()Sf x hội tụ đều trên [,]
tới
()
f
x, và () ()Sf x f x với mọi [,].

Để ý rằng, tính liên tục chưa đủ để suy ra
tính hội tụ của ()Sf x . Mặt khác, một trong
các điều kiện dưới đây sẽ suy ra f là hàm liên
tục và có biến phân bị chặn trên [
,
]:
(i) f là hàm liên tục tuyệt đối trên [
,
];
(ii) f là hàm liên tục Lipschitz [
,
];
(iii) f là hàm liên tục và tồn tại một
phân hoạch 01
.... p
xx x
 sao
cho hạn chế 1
[,]
kk
x
x
f là khả vi liên tục trên
1
[ , ], 1,2,...,
kk
x
xk p
;
(iv) f là hàm khả vi liên tục trên [
,
].
Một vấn đề đặt ra ở đây là: Liệu có thể có
một cách định nghĩa ()Sf x mà sao cho Định
lý 1.1 vẫn đúng mà không cần tới giả thiết
() ()
f
f
?
2.2. Kết quả chính
Trước hết, báo cáo sẽ mở rộng chuỗi
Fourier cho lớp hàm
f
liên tục, có biến phân
bị chặn trên [,]
và () ().ff

Xét hai hàm số sau:
() ()cos , [ , ]
2
c
x
fx fx x


và: () ()sin , [ , ]
2
s
x
fx fx x
,
dễ thấy đây là các hàm liên tục, có biến phân
bị chặn trên[,]
:
() (),() ()
ccss
ffff

.
Áp dụng Định lý 1.1, với [,]:
x



0
1
0
1
() () cos sin ,
2
() () cos sin ,
2
cc n n
n
ss n n
n
a
f
xSfx a nxb nx
a
f
xSfx a nxb nx


Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
58
các hệ số xác định bởi:
1( )cos , 0,1,2,...,
1( )cos cos , 0,1,2,...,
2
1( )sin , 1,2,...,
1( )cos sin , 0,1,2,...,
2
nc
nc
afxnxdxn
x
fx nxdxn
bfxnxdxn
x
fx nxdxn




và
1( )cos , 0,1, 2,...,
1( )sin cos , 0,1,2,...,
2
1( )sin , 1,2,...,
1( )sin sin , 0,1,2,....
2
ns
ns
afxnxdxn
x
fx nxdxn
bfxnxdxn
x
fx nxdxn




Xét hàm số:
() ()cos ()sin , [ , ],
22
cs
xx
fx f x f x x

và ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.1: Chuỗi Fourier của
() ()cos ()sin , [ , ],
22
cs
xx
fx f x f x x

ký hiệu là ()Sf x
và xác định bởi:
0
() cos sin ,
22
nn
n
x
x
Sf x nx nx


 

 

 

trong đó:
1( )cos , 0,1,2,...,
2
1( )sin , 1,2,....
2
n
n
x
fx nx dxn
x
f x nx dx n








Chúng ta cũng sẽ nhận được một kết quả
tương tự như trong Định lý 1.1.
Định lý 2.1: Cho :[ , ]f
 sao cho
() ()
f
f
 . Nếu
f
là hàm liên tục và có
biến phân bị chặn trên [,]
thì chuỗi
Fourier ()Sf x
hội tụ đều trên [,]
tới
()
f
x, và () ()Sf x f x
với mọi [,].

Tóm tắt chứng minh của Định lý 2.1
Bằng cách thay fc(x), fs(x) bởi các chuỗi
Fourier của chúng trong công thức:
() ()cos ()sin , [ , ],
22
cs
xx
fx f x f x x

sau đó sử dụng các đồng nhất thức biến đổi
tích thành tổng cùng tính hội tụ đều của
()
c
Sf x và ()
s
Sf x trên [,]
ta sẽ nhận được
điều cần chứng minh.
Ví dụ 2.1: Với () , [ , ]fx xx
 , dễ
thấy
f
là hàm liên tục và có biến phân bị
chặn trên [,]
và () ()
f
f
 , bằng
cách tính trực tiếp ta có:
2
0
8(1)
() sin .
2
(2 1)
n
n
x
Sf x nx
n




Tiếp theo, với :[ , ]f
là một hàm
liên tục, có biến phân bị chặn trên [,]
.
Với () ()
2
ff
, xét hàm số:
() () , [ , ]Fx f x x

 ,
khi đó ()
F
x liên tục, có biến phân bị chặn trên
[,]
và () ().FF
 Áp dụng kết quả
trên khi xét chuỗi Fourier ()SF x
đối với ()
F
x
ta nhận được kết quả sau (với [,]
x
 ):
0
() cos sin ,
22
nn
n
x
x
f x nx nx


 

 

 

trong đó, với 0,1,2,...n


1() cos ,
2
1() sin .
2
n
n
x
f
xnxdx
x
f
xnxdx










Cuối cùng, báo cáo sẽ mở rông kết quả đối
với lớp hàm trên đoạn [,], 0.
L
LL
Định nghĩa 2.2: Cho :[ , ] , 0.fLL L

Chuỗi Fourier của
f
, ký hiệu là ()
L
Sfx
và
xác định bởi:
0
()
cos sin ,
22
L
nn
n
Sfx
nx x nx x
LL LL
 








Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
59
ở đây:
() ()
2
f
LfL

và với 0,1, 2,...n


1() cos ,
2
1() sin ,
2
L
n
L
L
n
L
nx x
f
xdx
LL
nx x
f
xdx
LL












với điều kiện các tích phân tồn tại.
Định lý sau đây cho chúng ta kết quả về sự
hội tụ của chuỗi Fourier trên.
Định lý 2.2: Cho :[ , ] , 0fLL L .
Nếu
f
là hàm liên tục và có biến phân bị
chặn trên [,]
L
L thì chuỗi Fourier ()
L
Sfx
hội tụ đều trên [,]
L
L tới ()
f
x, và
() ()
L
Sfx fx
với mọi [,].
x
LL
Ví dụ 2.2: Xét hàm số 2
() 2 1
f
xx x
với [1,1]
 , bằng cách áp dụng Định lý 2.2
thì với mọi [1,1]
 ta có:
33
0
22
0
() ()
32 ( 1)
2cos
2
(2 1)
16 ( 1) sin .
2
(2 1)
L
n
n
n
n
fx Sfx
x
nx
n
x
nx
n









Trong khi đó, nếu sử dụng công thức
Fourier thông thường thì ta chỉ nhận được


22
0
0
44 (1)
() cos
3
4(1)
sin .
n
n
n
n
Sf x n x
n
nx
n

3. KẾT LUẬN
Kết quả trong báo cáo là một mở rộng các
kết quả về chuỗi Fourier trong [1] và [3]. Kết
quả này được lên ý tưởng từ việc giảng dạy
môn Phương trình Vi phân và môn Phương
trình Vật lý - Toán trong những năm trước
đây của Trường Đại học Thủy lợi.
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Hendry Edwards, David E. Penney, Biên
dịch: Bộ môn Giải tích Trường ĐH Thủy
Lợi, (2008), Phương trình vi phân cơ bản
với bài toán giá trị biên (Tập 2). Đại học
Thủy lợi.
[2] V. Serov, (2017), Fourier Series, Fourier
Transform and their Applications to
Mathematical, Springer International
Publishing.
[3] K. R. Stromberg, (1981), Itroduction to
Classical Real Analysis, Wadsworth Inc.
Belmont.