Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
TÍNH CHẤT ẢNH CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER COSINE, FOURIER SINE TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM GIẢM NHANH
Nguyễn Ngọc Huy Trường Đại học Thủy lợi, email: huynn@tlu.edu.vn
Ký hiệu
1. GIỚI THIỆU CHUNG
1
,
j
1, 2,...
.
D u D D 2 1
2 ...
D u D ; j j
n n
j x j j
Định nghĩa 1. Không gian hàm giảm nhanh
n
trên
) :
n
n
,
x D
x ( )
, đa chỉ số
là tập hợp: C ( trong đó
,
)
(
,...,
2
: sup n x n .
Cho
, 1 n
,
nhanh.
s
, với k > 0, hàm
2
f
Biến đổi Fourier là một biến đổi quan trọng có ứng dụng nhiều trong các bài toán liên quan đến đạo hàm riêng trên toàn không gian hoặc trên miền tuần hoàn. Bài báo trình bày nghiên cứu về biến đổi Fourier (cosine/sine) cho các hàm giảm nhanh. Đây là vấn đề đang được nghiên cứu thú vị bởi các tính chất và áp dụng của nó. n f c cosine và sine của hàm
.
.
kxe
Ví dụ 1. a) Trên
là không gian các hàm giảm là ảnh Fourier f
n
|
)
x ( )
upp f (
b) Hàm f là có giá compact nếu giá của f: f s
là một tập
n
n
Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu tính chất của phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine trong không gian các hàm giảm nhanh. Kết quả chính được nêu trong định lý 2.
.
2. NỘI DUNG CHÍNH
f
. Ảnh
0 x , tập tất cả các hàm f khả compact. Trên vi vô hạn có giá compact thuộc không gian n Định nghĩa 2. Cho hàm
n
,
s
Trước khi đưa ra kết quả chính, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm (trong tài liệu tham khảo [1] và [2]).
Fourier cosine và sine của hàm f ký hiệu là là các hàm được xác f f c định bởi:
) |
(
,
j
1, 2,...,
1
2
n
j
Ta ký hiệu tập các đa chỉ số: n , ,...,
n
cos(
,
f
) x
n
f x dx
c
n
với độ dài
j
1
sin(
f
) x
n
f x dx
s
2 2
:
C
(
)
n
n
. j u
là tập các hàm khả
vi liên tục đến cấp vô hạn. Với mỗi hàm:
,...,
,...,
,
.
x n
, n 1
n
(
,
,
1
n
n
n , ) ,...,
)
,
x
...
x ,n
n
và các phép biến đổi
khi đó
trong đó: x x x , 1 2 2 Mệnh đề 1. Cho các hàm
n
n ,...,
(
)
C x x , x ( 1 2 đa chỉ số
2
x n , 1 n
x x 2 1 2 n .
54
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
1
Bằng cách cho hàm
, với là
c
Fourier cosine và sine là các phép đẳng cấu . tuyến tính trên
liên hợp phức của hàm , ta có:
1 ,
và sử dụng (2.4) ta
,
c
n Mệnh đề 2. Cho các hàm
.
n
2
c c nhận được: 2 x dx
n
d
. d c
x dx
x F c
F , c
n
n
n
n
d
x dx
x F s
, F s
Khi đó:
n
n
2
Tương tự ta cũng có kết quả cho phép biến đổi Fourier sine. Mệnh đề được chứng minh. Để áp dụng vào kết quả chính, ta nhắc lại
2 x dx
F , c
n
n
định lý sau đây:
2
d
2 x dx
F . s
n
n
d 1 , ,
Định lý 1. (Riesz-Thorin, [3]) Cho các số ,p q xác , 0
1
Fourier cosine cho hàm
và p p q q , 1 2 2
gian các hàm giảm nhanh
Chứng minh. Sử dụng định nghĩa biến đổi x trong không n , ta có:
thực 1 định bởi: 1 p Nếu
p
j
j
n
x
x .
c
1, 2
thì
p
,
Khi đó
, ta có:
n
U
q bị chặn với chuẩn jM j , là một toán tử tuyến tính bị chặn với chuẩn: 1 M M 2 . 1
L
p
L q
, . (1 ) (1 ) 1 q 1 p 2 1 q 2 1 q 1 U L : 1 p 1 L là một toán tử tuyến tính d cos( ) U L : L q 2
x
n
n
(2.1)
2,
(
(
p
f
d cos( ) 2
Định lý 2. Cho
L 1
L 2
n )
n . )
dx x
x dx .
c
n
,
,
s
Thì ta có: c
q
p
q
Tương tự, ta nhận được:
x f f f f
n
x dx
c
n
p 1 q
,
với
. Nên:
trong đó 1. cos( , , x ) 1 p
M
f
1.
.
f
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2 ta có: Do đó
c
2
c f
2
2
L 2
L 2
2 n
c , ta có:
n
n
(2.2)
Hơn nữa từ định nghĩa của
.
f
Nên ta có:
1
cos( x ) 2 x dx d
. c
f
M
1.
[0,1]
c f
Chọn
thỏa
n
c
L 1
L
,
Mặt khác, với các hàm
theo
n
d
d
cos(
)
x
1 mãn: 1 p Áp dụng định lý Riesz-Thorin với p1 = ,
n
n
2
định lý Fubini, ta có:
dx x
(2.3)
1.
M M
f
p2 = 2, q1 = 1, q2 = 2 ta được:
1 1
2
c
L
cos(
x )
.
p
L q
n
n
2
x dx d
) . (1 1 1 1 1 , q 2 1 2
Vậy
c
p
q
Lập luận tương tự:
Kết hợp (2.1), (2.2) và (2.3), ta đạt được x
x dx
c
n
f . f
s
p
,
(2.4)
d
c
n
q Định lý được chứng minh.
n
55
f . f
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
3. TÀI LIỆU THAM KHẢO
J.
[1] Yakubovich, S. (2014). On the half-Hartley transform, its iteration and composition with Fourier Integral transforms. Equations Applications, 26(4), 581-608. [2] Đặng Anh Tuấn, Giáo trình lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015.
[3] Thorin, G. O. (1948). Convexity theorems generalizing those of M. Riesz and Hadamard with some applications". Comm. Sem. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.], 9: 1-58.
56
