Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
54
TÍNH CHẤT ẢNH CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI
FOURIER COSINE, FOURIER SINE TRONG
KHÔNG GIAN CÁC HÀM GIẢM NHANH
Nguyễn Ngọc Huy
Trường Đại học Thủy lợi, email: huynn@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Biến đổi Fourier là một biến đổi quan
trọng có ứng dụng nhiều trong các bài toán liên
quan đến đạo hàm riêng trên toàn không gian
hoặc trên miền tuần hoàn. Bài báo trình bày
nghiên cứu về biến đổi Fourier (cosine/sine)
cho các hàm giảm nhanh. Đây là vấn đề đang
được nghiên cứu thú vị bởi các tính chất và
áp dụng của nó.
Cho
n
là không gian các hàm giảm
nhanh.

cf
,

sf
là ảnh Fourier
cosine và sine của hàm
n
f
.
Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu tính
chất của phép biến đổi Fourier cosine, Fourier
sine trong không gian các hàm giảm nhanh.
Kết quả chính được nêu trong định lý 2.
2. NỘI DUNG CHÍNH
Trước khi đưa ra kết quả chính, chúng tôi
nhắc lại một số khái niệm (trong tài liệu tham
khảo [1] và [2]).
Ta ký hiệu tập các đa chỉ số:
12
( , ,..., ) | , 1,2,...,
n
n
jjn

 
với độ dài
1
n
j
j
.
):(nn
Cu

là tập các hàm khả
vi liên tục đến cấp vô hạn. Với mỗi hàm:
)( n
C
,
12
12 12
( , ,..., ) , ... ,
n
n
n
n
x
xx x x xx x


đa chỉ số 12
(, ,..., ) n
n

.
Ký hiệu
12
12
... ; , 1,2,...
j
j
n
j
nj
j
Du D D D u D j
x


.
Định nghĩa 1. Không gian hàm giảm nhanh
trên n
là tập hợp:
,
():
nn
C



trong đó ,:sup ()
n
x
x
Dx



, đa chỉ số
12
(, ,..., ) n
n

.
Ví dụ 1. a) Trên
, với k > 0, hàm
2.
kx
e
b) Hàm f là có giá compact nếu giá của f:
() | () 0
n
sfxupp f x

là một tập
compact. Trên n
, tập tất cả các hàm
f
khả
vi vô hạn có giá compact thuộc không gian
n
.
Định nghĩa 2. Cho hàm
n
f
. Ảnh
Fourier cosine và sine của hàm f ký hiệu là
cf
,
sf
là các hàm được xác
định bởi:
 
2cos( ) ,
n
c
f
xfxdx

 
2sin( )
n
s
f
xfxdx

trong đó:
12 12
, ,..., , , ,..., .
nn
nn
xxx x


Mệnh đề 1. Cho các hàm

,n

,
khi đó
n

và các phép biến đổi
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
55
Fourier cosine và sine là các phép đẳng cấu
tuyến tính trên

n
.
Mệnh đề 2. Cho các hàm
,n

.
Khi đó:
 
,
,
nn
nn
cc
ss
x
Fxdx F d
x
Fxdx F d








 
22
,
nn
c
x
dx F d




 
22
.
nn
s
x
dx F d




Chứng minh. Sử dụng định nghĩa biến đổi
Fourier cosine cho hàm

x
trong không
gian các hàm giảm nhanh

n
, ta có:
 
2cos( ) .
n
c
x
xd

Khi đó
,n

, ta có:
 
 
2cos( )
.
nn
nc
x
xddx
xxdx








(2.1)
Tương tự, ta nhận được:
 

2cos( ) , ,
n
n
cxxdx



với

,n

. Nên:
 
 
2cos( )
.
nn
nc
x
xdxd
d








(2.2)
Mặt khác, với các hàm
,n

theo
định lý Fubini, ta có:
 
 
2cos( )
2cos( ) .
nn
nn
x
xddx
x
xdxd














(2.3)
Kết hợp (2.1), (2.2) và (2.3), ta đạt được
 

, (2.4)

n
n
c
n
c
xxdx
d



Bằng cách cho hàm 1
c

, với
là
liên hợp phức của hàm
, ta có:
1,
cc c

 và sử dụng (2.4) ta
nhận được:
 

22 .
nn
n
c
xdx d






Tương tự ta cũng có kết quả cho phép biến
đổi Fourier sine. Mệnh đề được chứng minh.
Để áp dụng vào kết quả chính, ta nhắc lại
định lý sau đây:
Định lý 1. (Riesz-Thorin, [3]) Cho các số
thực 1212
1,,, ,0 1ppqq
 và ,pq xác
định bởi:
12 12
111111
(1 ) , (1 ) .
pppqqq

 
Nếu :
j
j
p
q
UL L là một toán tử tuyến tính
bị chặn với chuẩn ,1,2
j
Mj
thì :
p
q
UL L
là một toán tử tuyến tính bị chặn với chuẩn:
1
12
.
pq
LL
UMM
Định lý 2. Cho 12
2, () ()
nn
pfL L

 .
Thì ta có:
q
cp
f
f
, s
p
q
f
f,
trong đó 11
1.
pq
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2 ta có:
22
.
c
f
f
Do đó 22
21.
cLL
Mf

Hơn nữa từ định nghĩa của c
, ta có:
1.
c
f
f
Nên ta có:
1
11.
cLL
Mf
Chọn [0,1]
thỏa
mãn:
111 11
,(1) .
212pq


Áp dụng định lý Riesz-Thorin với p1 = ,
p2 = 2, q1 = 1, q2 = 2 ta được:
1
12
1.
pq
cLL
fMM

Vậy .
c
p
q
f
f
Lập luận tương tự:
.
s
p
q
f
f
Định lý được chứng minh.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
56
3. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Yakubovich, S. (2014). On the half-Hartley
transform, its iteration and composition
with Fourier transforms. J. Integral
Equations Applications, 26(4), 581-608.
[2] Đặng Anh Tuấn, Giáo trình lý thuyết hàm
suy rộng và không gian Sobolev, Nhà xuất
bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015.
[3] Thorin, G. O. (1948). Convexity theorems
generalizing those of M. Riesz and
Hadamard with some applications". Comm.
Sem. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds
Univ. Mat. Sem.], 9: 1-58.