Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
54
TÍNH CHẤT ẢNH CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI
FOURIER COSINE, FOURIER SINE TRONG
KHÔNG GIAN CÁC HÀM GIẢM NHANH
Nguyễn Ngọc Huy
Trường Đại học Thủy lợi, email: huynn@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Biến đổi Fourier là một biến đổi quan
trọng có ứng dụng nhiều trong các bài toán liên
quan đến đạo hàm riêng trên toàn không gian
hoặc trên miền tuần hoàn. Bài báo trình bày
nghiên cứu về biến đổi Fourier (cosine/sine)
cho các hàm giảm nhanh. Đây là vấn đề đang
được nghiên cứu thú vị bởi các tính chất và
áp dụng của nó.
Cho
n
là không gian các hàm giảm
nhanh.
cf
,
sf
là ảnh Fourier
cosine và sine của hàm
n
f
.
Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu tính
chất của phép biến đổi Fourier cosine, Fourier
sine trong không gian các hàm giảm nhanh.
Kết quả chính được nêu trong định lý 2.
2. NỘI DUNG CHÍNH
Trước khi đưa ra kết quả chính, chúng tôi
nhắc lại một số khái niệm (trong tài liệu tham
khảo [1] và [2]).
Ta ký hiệu tập các đa chỉ số:
12
( , ,..., ) | , 1,2,...,
n
n
jjn
với độ dài
1
n
j
j
.
):(nn
Cu
là tập các hàm khả
vi liên tục đến cấp vô hạn. Với mỗi hàm:
)( n
C
,
12
12 12
( , ,..., ) , ... ,
n
n
n
n
x
xx x x xx x
đa chỉ số 12
(, ,..., ) n
n
.
Ký hiệu
12
12
... ; , 1,2,...
j
j
n
j
nj
j
Du D D D u D j
x
.
Định nghĩa 1. Không gian hàm giảm nhanh
trên n
là tập hợp:
,
():
nn
C
trong đó ,:sup ()
n
x
x
Dx
, đa chỉ số
12
(, ,..., ) n
n
.
Ví dụ 1. a) Trên
, với k > 0, hàm
2.
kx
e
b) Hàm f là có giá compact nếu giá của f:
() | () 0
n
sfxupp f x
là một tập
compact. Trên n
, tập tất cả các hàm
f
khả
vi vô hạn có giá compact thuộc không gian
n
.
Định nghĩa 2. Cho hàm
n
f
. Ảnh
Fourier cosine và sine của hàm f ký hiệu là
cf
,
sf
là các hàm được xác
định bởi:
2cos( ) ,
n
c
f
xfxdx
2sin( )
n
s
f
xfxdx
trong đó:
12 12
, ,..., , , ,..., .
nn
nn
xxx x
Mệnh đề 1. Cho các hàm
,n
,
khi đó
n
và các phép biến đổi
