CHƯƠNG 3
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
BÀI 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ
ĐẠO HÀM
I. BÀI TOÁN THỰC TẾ
Bài toán tính chi phí cận biên của hàm tổng chi phí.
Giả sử quá trình sản xuất sản phẩm A có hàm tổng chi phí (𝑻𝑪) phụ thuộc vào mức sản lượng 𝑸 được cho bởi hàm số
𝑻𝑪 𝑸 = 𝒇 𝑸 , 𝑸 ≥ 𝟎.
Chi phí gia tăng khi tăng sản lượng từ 𝑸𝟎 đến 𝑸𝟎 + ∆𝑸, (∆𝑸 > 𝟎)là:
∆𝑻𝑪 𝑸𝟎 = 𝒇 𝑸𝟎 + ∆𝑸 − 𝒇(𝑸𝟎).
Ta gọi tỷ số
∆𝑻𝑪 𝑸𝟎 ∆𝑸
là tốc độ tăng trung bình của chi phí theo sản lượng.
Cho ∆𝑸 → 𝟎, nếu tồn tại giới hạn
)
= 𝑴𝑪 𝑸𝟎 . 𝒍𝒊𝒎 𝜟𝑸→𝟎 𝜟𝑻𝑪(𝑸𝟎 𝜟𝑸
thì 𝑴𝑪 𝑸𝟎 được gọi là chi phí cận biên của quá trình sản xuất sản phẩm A tại điểm sản lượng 𝑸𝟎.
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
1. Đạo hàm của hàm số
Cho hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) xác định trong khoảng 𝒂, 𝒃 và 𝒙𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 • Tại 𝒙𝟎, cho số gia ∆𝒙 sao cho 𝒙𝟎 + ∆𝒙 ∈ 𝒂, 𝒃 .
• Biểu thức ∆𝒇 𝒙𝟎 = 𝒇 𝒙𝟎 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎) gọi
là số gia của hàm số tại 𝒙𝟎. • Tốc độ thay đổi trung bình của hàm 𝒇 𝒙 là:
.
∆𝒇 𝒙𝟎 ∆𝒙
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
1. Đạo hàm của hàm số
Định nghĩa 1: Nếu giới hạn
)
𝐥𝐢𝐦 𝜟𝒙→𝟎 𝜟𝒇(𝒙𝟎 𝜟𝒙
tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số 𝒇 𝒙 tại điểm 𝒙𝟎. Kí hiệu là 𝒇′(𝒙𝟎) hoặc 𝒚′(𝒙𝟎).
Như vậy,
. (𝟏) 𝒇& 𝒙𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 𝜟𝒙→𝟎 ) 𝒇(𝒙𝟎 + 𝜟𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎) 𝜟𝒙
Đặt 𝒙 = 𝒙𝟎 + ∆𝒙 thì:
. (𝟐)
𝒇& 𝒙𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 )𝒇(𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎) 𝒙 − 𝒙𝟎
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
1. Đạo hàm của hàm số
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số
a) 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 tại 𝒙 = 𝟐.
b) 𝒚 = 𝒙 tại 𝒙 = 𝟎.
𝒙𝟐(𝟒 𝒙(𝟐 𝟏
nếu 𝒙 ≠ 𝟐 c) 𝒚 = A tại 𝒙 = 𝟐.
nếu 𝒙 = 𝟐
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
2. Đạo hàm một phía
Định nghĩa 2:
• Nếu giới hạn
*).
𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎) 𝒙 − 𝒙𝟎 𝐥𝐢𝐦 # 𝒙→𝒙𝟎
tồn tại và hữu hạn thì giới hạn này được gọi là đạo hàm phải của 𝒇(𝒙) tại 𝒙𝟎, ký hiệu 𝒇′(𝒙𝟎 • Nếu giới hạn
().
𝐥𝐢𝐦 $ 𝒙→𝒙𝟎 𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎) 𝒙 − 𝒙𝟎
tồn tại và hữu hạn thì giới hạn này được gọi là đạo hàm trái của 𝒇(𝒙) tại 𝒙𝟎, ký hiệu 𝒇′(𝒙𝟎 Như vậy,
( = 𝐥𝐢𝐦 $ 𝒙→𝒙𝟎
; . 𝒇& 𝒙𝟎 𝒇& 𝒙𝟎
* = 𝐥𝐢𝐦 # 𝒙→𝒙𝟎
𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎) 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎) 𝒙 − 𝒙𝟎
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
2. Đạo hàm một phía
() = 𝒌.
*) = 𝒇& (𝒙𝟎
Định lý 1: Hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) có đạo hàm tại 𝒙𝟎 khi và chỉ khi tại đó đạo hàm phải và đạo hàm trái của hàm số cùng tồn tại và bằng nhau, tức là:
∃𝒇& 𝒙𝟎 = 𝒌 ⟺ 𝒇&(𝒙𝟎
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm (nếu có) của hàm số sau
a) 𝒇 𝒙 = G tại 𝒙 = 𝟐.
𝟒𝒙 − 𝟏 nếu 𝒙 < 𝟐, 𝒙𝟐 + 𝟑 nếu 𝒙 ≥ 𝟐,
b) 𝒇(𝒙) = K tại 𝒙 = −𝟏.
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 nếu 𝒙 < −𝟏, 𝟐 𝒙 + 𝟐 nếu 𝒙 ≥ −𝟏,
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
3. Điều kiện cần để hàm số có đạo hàm
Định lý 2: Điều kiện cần để hàm số 𝒇 có đạo hàm tại điểm 𝒙𝟎 là nó phải liên tục tại 𝒙𝟎. Chú ý: • Nếu 𝒇 liên tục tại 𝒙𝟎 thì chưa chắc 𝒇 đã có đạo hàm tại 𝒙𝟎.
• Nếu 𝒇 không liên tục tại 𝒙𝟎 thì 𝒇 không có đạo hàm tại 𝒙𝟎.
• Hàm số 𝒇 có đạo hàm tại 𝒙𝟎 ⇔ K
𝒇 liên tục tại 𝒙𝟎, *) = 𝒇& (𝒙𝟎 (). 𝒇&(𝒙𝟎
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
3. Điều kiện cần để hàm số có đạo hàm
𝒇(𝒙) = G
Ví dụ 3: Tìm điều kiện của tham số 𝒂, 𝒃 để hàm số 𝒃𝒙𝟐 + 𝒂 nếu 𝒙 ≥ 𝟐, 𝒙 − 𝟏 nếu 𝒙 < 𝟐,
có đạo hàm tại 𝒙 = 𝟐.
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
4. Đạo hàm trên khoảng
Định nghĩa 3: Hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) được gọi là có đạo hàm trên khoảng 𝒂, 𝒃 nếu 𝒇 có đạo hàm tại mọi 𝒙 ∈ 𝒂, 𝒃 .
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số 𝒇 𝒙 = 𝟎, 𝟐𝟓𝒙𝟐 −5 trên ℝ.
Nhận xét: Nếu f có đạo hàm trên khoảng (𝒂, 𝒃) thì 𝒇& là một hàm số xác định trên 𝒂, 𝒃 .
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
5. Đạo hàm cấp hai
Định nghĩa 4: Cho hàm số 𝒇 có đạo hàm là 𝒇′ trên (𝒂, 𝒃). Nếu hàm 𝒇& có đạo hàm tại điểm 𝒙𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số 𝒇 tại điểm 𝒙𝟎 và ký hiệu là 𝒇" 𝒙𝟎 .
Khi đó:
)
.
𝒇"(𝒙𝟎) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒇′(𝒙) − 𝒇′(𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎
Nhận xét: Nếu 𝒇′ có đạo hàm trên (𝒂, 𝒃) thì đạo hàm của 𝒇′ được gọi là đạo hàm cấp 2 của 𝒇 trên 𝒂, 𝒃 và ký hiệu là 𝒇".
Ví dụ 5: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số 𝒇 𝒙 = 𝟎, 𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟓.
BÀI 2
CÁC PHÉP TOÁN VỀ ĐẠO HÀM
1. Phép toán số học
Cho hàm 𝒇 và 𝒈 có đạo hàm tại 𝒙𝟎 và 𝜶 là một số thực bất kỳ. Khi đó,
&
𝜶𝒇 & 𝒙𝟎 = 𝜶𝒇& 𝒙𝟎 . 𝒇 + 𝒈 & 𝒙𝟎 = 𝒇& 𝒙𝟎 ± 𝒈& 𝒙𝟎 . 𝒇. 𝒈 & 𝒙𝟎 = 𝒇& 𝒙𝟎 𝒈 𝒙𝟎 + 𝒇 𝒙𝟎 𝒈& 𝒙𝟎 .
𝒙𝟎 = ; 𝒈 𝒙𝟎 ≠ 𝟎. 𝒇 𝒈 𝒇& 𝒙𝟎 𝒈 𝒙𝟎 − 𝒇 𝒙𝟎 𝒈& 𝒙𝟎 𝒈𝟐 𝒙𝟎
2. Đạo hàm của hàm hợp
cũng có đạo hàm tại
Giả sử hàm số u= 𝝋(𝒙) có đạo hàm tại 𝒙𝟎 và hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒖 có đạo hàm tại 𝒖𝟎 = 𝝋(𝒙𝟎). Khi đó hàm số 𝒚 = 𝒇 𝝋 𝒙 𝒙𝟎 với:
𝒚& 𝒙𝟎 = 𝒖& 𝒙𝟎 U 𝒇& 𝒖𝟎 .
3. Đạo hàm của hàm ngược (tự đọc)
Giả sử hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 có đạo hàm tại 𝒙𝟎 với 𝒇′(𝒙𝟎) ≠ 𝟎 và 𝒇 𝒙 có hàm ngược 𝒙 = 𝒇(𝟏 𝒚 trong một khoảng nào đó chứa điểm 𝒙𝟎. Khi đó, hàm ngược 𝒙 = 𝒇(𝟏 𝒚 cũng có đạo hàm tại 𝒚𝟎 = 𝒇(𝒙𝟎) với
. 𝒙& 𝒚𝟎 = 𝒇(𝟏 𝒚𝟎 =
𝟏 𝒇& 𝒙𝟎
4. Bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản (tự đọc)
Cho 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏.
𝒚 𝒚′ 𝒚 𝒚′ 𝒚 𝒚′
𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒚 = 𝒄 𝟎
𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒚 = 𝒙𝜶 𝜶𝒙𝜶(𝟏
𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒚 = 𝒂𝒙 𝒂𝒙 𝐥𝐧 𝒂 𝟏 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝟏 𝟏 − 𝒙𝟐 −𝟏 𝟏 − 𝒙𝟐 𝟏 𝟏 + 𝒙𝟐
𝒚 = 𝐜𝐨𝐭 𝒙 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭 𝒙 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 −𝟏 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 −𝟏 𝟏 + 𝒙𝟐 𝟏 𝒙 𝐥𝐧 𝒂
5. Đạo hàm của các hàm sơ cấp
Phương pháp: Sử dụng các công thức đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản, các công thức đạo hàm của tổng, tích, thương hai hàm số và quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
𝒂) 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟑 𝟑𝒙 + 𝟐.
𝒅) 𝒚 =
𝒃) 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏. c) 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒙. 𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏
𝟓 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟐
𝒆)𝒚 = 𝐥𝐧 .
𝒇) 𝒚 = 𝒙𝒙.
6. Đạo hàm của hàm phi sơ cấp
Định lý 1: Cho 𝒑 và 𝒒 là các hàm số có đạo hàm hữu hạn tại 𝒙𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 . Hàm 𝒇 xác định trên khoảng (𝒂, 𝒃) và được cho bởi công thức:
𝒇 𝒙 = c
* = 𝒒′(𝒙𝟎).
( = 𝒑′(𝒙𝟎) và 𝒇& 𝒙𝟎
𝒑 𝒙 nếu 𝒂 < 𝒙 < 𝒙𝟎, 𝒄 nếu 𝒙 = 𝒙𝟎, 𝒒 𝒙 nếu 𝒙𝟎 < 𝒙 < 𝒃.
Khi đó, (i) Nếu hàm 𝒇 liên tục tại 𝒙𝟎 thì 𝒇& 𝒙𝟎 (ii) Hàm f có đạo hàm trên khoảng 𝒂, 𝒃 khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại 𝒙𝟎.
(iii) Điều kiện cần và đủ để f có đạo hàm tại 𝒙𝟎 là: G 𝒑 𝒙𝟎 = 𝒒 𝒙𝟎 = 𝐜, 𝒑& 𝒙𝟎 = 𝒒& 𝒙𝟎 ,
và khi đó ta có: 𝒇& 𝒙𝟎 = 𝒑& 𝒙𝟎 = 𝒒& 𝒙𝟎 .
6. Đạo hàm của hàm phi sơ cấp
Nhận xét: Để tính đạo hàm của hàm phi sơ cấp ta làm như sau: • Tại các điểm hàm số không phân nhánh: Tính đạo hàm như hàm sơ cấp. • Tại các điểm phân nhánh: Sử dụng Định lý 1 hoặc định nghĩa.
Ví dụ 2: Tính đạo hàm, đạo hàm một phía của hàm số
𝒇 𝒙 = K tại 𝒙 = 𝟏.
𝒙𝟐 + 𝟑 nếu 𝒙 ≤ 𝟏; 𝟐𝒙𝟑 + 𝟐 nếu 𝒙 > 𝟏,
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số sau trên miền xác định của nó:
𝒌𝒉𝒊 𝒙 ≠ 𝟐, 𝒇 𝒙 = A
𝒙𝟐 − 𝟒 𝒙 − 𝟐 𝟒 𝒌𝒉𝒊 𝒙 = 𝟐.
Ví dụ 4: Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số sau trên miền xác định của nó:
𝒇(𝒙) = G
𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 𝒌𝒉𝒊 𝒙 ≥ 𝟎; 𝟐𝒙 − 𝒙𝟒 𝒌𝒉𝒊 𝒙 < 𝟎.
6. Đạo hàm của hàm phi sơ cấp
Ví dụ 5: Tìm điều kiện của tham số 𝒂, 𝒃 để hàm số có đạo hàm trên (1,4)
𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟓 𝒌𝒉𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟑, 𝒇(𝒙) = A
𝒌𝒉𝒊 𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒. 𝟏 𝟑 𝒂𝒙 + 𝐛
Ví dụ 6: Tìm điều kiện của tham số 𝒂, 𝒃 để hàm số có đạo hàm cấp 2 tại 𝒙 = 𝟎.
𝒇 𝒙 = G
𝒂𝒙𝟐 + 𝟏 𝒌𝒉𝒊 𝒙 < 𝟎, 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒃 𝒌𝒉𝒊 𝒙 ≥ 𝟎.
BÀI 3
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ
HÀM SỐ CÓ ĐẠO HÀM
1. Định lý Fermat về điều kiện cực trị
Cho hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) xác định trên 𝒂, 𝒃 . Nếu 𝒇 đạt cực trị tại điểm 𝒙𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 và tồn tại đạo hàm 𝒇& 𝒙𝟎 thì 𝒇& 𝒙𝟎 = 𝟎.
2. Định lý Rolle
Cho hàm số 𝒇 liên tục trên đoạn 𝒂, 𝒃 , có đạo hàm trong khoảng 𝒂, 𝒃 . Nếu 𝒇 𝒂 = 𝒇(𝒃) thì tồn tại ít nhất một điểm 𝒄 ∈ 𝒂, 𝒃 sao cho: 𝒇& 𝒄 = 𝟎.
2. Định lý Rolle
Ý nghĩa:
• Về mặt giải tích: nếu 𝒇 thỏa mãn các giả thiết của định lý Rolle trên 𝒂, 𝒃 thì phương trình 𝒇& 𝒙 = 𝟎 có ít nhất một nghiệm thuộc 𝒂, 𝒃 .
• Về mặt hình học: Nếu 𝒇 thỏa mãn các giả thiết của định lý Rolle trên 𝒂, 𝒃 thì đồ thị hàm số trên khoảng 𝒂, 𝒃 có ít nhất một tiếp tuyến song
song với trục hoành.
Ví dụ 1: Tìm số nghiệm và khoảng chứa nghiệm của phương trình 𝒇& 𝒙 = 𝟎, với 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟐 𝒙 + 𝟑 𝒙 + 𝟒 .
Ví dụ 2: Cho hàm số 𝒇 𝒙 = G . Biết hàm số 𝒇 thoả
𝒌𝒉𝒊 𝒙 ≤ 𝟏 𝒌𝒉𝒊 𝒙 ≥ 𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝒂 𝒃𝒙 + 𝒄𝒙𝟐 mãn Định lý Rolle trên đoạn −𝟏, 𝟐 . Giá trị của 𝒂 − 𝒃 − 𝟐𝒄 bằng …
3. Định lý Lagrange
Cho hàm số 𝒇 liên tục trên đoạn 𝒂, 𝒃 , có đạo hàm trong khoảng 𝒂, 𝒃 . Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm 𝒄 ∈ 𝒂, 𝒃 thỏa mãn:
𝒇& 𝒄 = .
𝒇 𝒃 − 𝒇(𝒂) 𝒃 − 𝒂
3. Định lý Lagrange
Ý nghĩa:
• Ý nghĩa hình học: Trên đường cong trơn nối A và B có ít nhất 1 tiếp tuyến
song song với đường thẳng AB.
• Ý nghĩa vật lý: Nếu một vật chuyển động có hàm vị trí 𝒔 = 𝒇(𝒕) thì giữa 2 thời điểm 𝒂 và 𝒃 có ít nhất một thời điểm mà vận tốc tức thời bằng vận
tốc trung bình.
• Ý nghĩa kinh tế: Giả sử 𝑻𝑪 = 𝒇(𝑸) là hàm chi phí theo sản lượng Q, khi đó có ít nhất một mức sản lượng mà tại đó chi phí biên bằng chi phí trung
bình.
Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange.
3. Định lý Lagrange
Ví dụ 3: Cho hàm số 𝒇 thỏa mãn 𝒇 𝟎 = −𝟑 và 𝒇& 𝒙 ≤ 𝟓, ∀𝒙 ∈ ℝ. Tìm giá trị lớn nhất của 𝒇(𝟐).
Ví dụ 4: Cho hàm số:
𝒇(𝒙) = G
𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝟏 𝒏ế𝒖 𝒙 ≤ 𝟏; 𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟓 𝒏ế𝒖 𝒙 > 𝟏.
Tìm điều kiện của tham số a và b để hàm số thỏa mãn định lý Lagrange trên 𝟎, 𝟐 .
4. Định lý Cauchy (Tự đọc)
Nếu các hàm 𝒇, 𝒈 liên tục trên đoạn 𝒂, 𝒃 , khả vi trong khoảng (𝒂, 𝒃) và 𝒈& 𝒙 ≠ 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝒂, 𝒃 thì ∃𝒄 ∈ 𝒂, 𝒃 sao cho:
= .
𝒇& 𝒄 𝒈& 𝒄 𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 𝒈(𝒃) − 𝒈(𝒂)
Nhận xét: Định lý Lagrange là trường hợp đặc biệt của Định lý Cauchy.
BÀI 4
VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa vi phân
= 𝟎. 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎
Hàm 𝒇 được gọi là khả vi tại điểm 𝒙𝟎 nếu tồn tại hằng số 𝑲 sao cho: ∆𝒇 𝒙𝟎 − 𝑲∆𝒙 ∆𝒙 Khi đó, biểu thức 𝑲∆𝒙 được gọi là vi phân của hàm số tại 𝒙𝟎 và ký hiệu là 𝒅𝒇 𝒙𝟎 .
Như vậy, 𝒅𝒇 𝒙𝟎 = 𝑲∆𝒙.
2. Định lý
Hàm số 𝒇 khả vi tại 𝒙𝟎 khi và chỉ khi 𝒇 có đạo hàm tại 𝒙𝟎 và khi đó:
𝒅𝒇(𝒙𝟎) = 𝒇′(𝒙𝟎)𝜟𝒙.
Nhận xét: Nếu 𝒇 𝒙 = 𝒙 thì 𝒅𝒇 𝒙 = 𝜟𝒙 ⇒ 𝒅𝒙 = 𝜟𝒙. Khi đó,
𝒅𝒇(𝒙𝟎) = 𝒇′(𝒙𝟎)𝒅𝒙.
Ví dụ 2: Tính vi phân của các hàm số sau: a) 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒆𝒙.
b) 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝒍𝒏 𝒙 .
3. Các phép toán về vi phân (Tự đọc)
Cho hai hàm số 𝒇, 𝒈 khả vi tại 𝒙𝟎 ∈ (𝒂, 𝒃) và 𝝀 là một số thực bất kì. Khi đó, các hàm số 𝝀𝒇 , 𝒇 + 𝒈, 𝒇. 𝒈 cũng khả vi tại 𝒙𝟎, và ta có:
𝒅 𝝀𝒇 𝒙𝟎 = 𝝀𝒅𝒇 𝒙𝟎 . 𝒅 𝒇 + 𝒈 𝒙𝟎 = 𝒅𝒇 𝒙𝟎 + 𝒅𝒈 𝒙𝟎 . 𝒅 𝒇𝒈 𝒙𝟎 = 𝒈 𝒙𝟎 𝒅𝒇 𝒙𝟎 + 𝒇 𝒙𝟎 𝒅𝒈 𝒙𝟎 .
4. Công thức gần đúng
Cho hàm số 𝒇 khả vi trong khoảng (𝒂, 𝒃) và 𝒙𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 . Khi đó, với ∆𝒙 đủ nhỏ sao cho 𝒙𝟎 + ∆𝒙 ∈ 𝒂, 𝒃 , từ công thức gần đúng ∆𝒇 𝒙𝟎 = 𝒇 𝒙𝟎 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎) ≈ 𝒇& 𝒙𝟎 ∆𝒙
ta có khái niệm sau.
Định nghĩa: Ta gọi biểu thức:
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒇& 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎
là xấp xỉ bậc một hay xấp xỉ tuyến tính của hàm 𝒇 tại các điểm 𝒙 gần 𝒙𝟎.
Nghĩa là, với 𝒙 đủ gần 𝒙𝟎 ta có:
𝒇 𝒙 ≈ 𝒇 𝒙𝟎 + 𝒇& 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎 .
BÀI 5
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
VÀ VI PHÂN
I. TÍNH GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
1. Định lý L’Hospital
Cho hàm số 𝒇, 𝒈 khả vi trên 𝒂, 𝒃 \{𝒙𝟎}, ngoài ra 𝒈′ 𝒙 ≠ 𝟎, ∀𝒙 ∈
)𝒇(𝒙 )𝒈(𝒙
𝟎 𝟎
4 4
có dạng hoặc . Khi đó, nếu tồn tại 𝒂, 𝒃 \{𝒙𝟎} và giới hạn 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎
𝒇’(𝒙 5 )𝒈’(𝒙
= 𝒌 (hữu hạn hoặc vô hạn) thì ta cũng có: giới hạn 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎
= 𝒌.
)𝒇(𝒙 )𝒈(𝒙 𝒇&(𝒙 ) )𝒈&(𝒙 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎
I. TÍNH GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
1. Định lý L’Hospital
Chú ý • Quy tắc L’ Hospital có thể áp dụng nhiều lần. • Định lý cũng được áp dụng cho trường hợp 𝒙 → ±∞; 𝒙 → 𝒙𝟎
)𝒇(𝒙 . )𝒈 (𝒙
𝒇’(𝒙 5 )𝒈’(𝒙
(. *; 𝒙 → 𝒙𝟎 không tồn tại thì chưa kết luận được cho 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎
• Nếu giới hạn 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
I. TÍNH GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
1. Định lý L’Hospital
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
. . 𝒂) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒃) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝒆𝒙 + 𝒆(𝒙 − 𝟐 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝒙 𝟒𝒙 + 𝟏 − 𝟑 𝒙 − 𝟐
. 𝒄) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒅) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎# 𝐭𝐚𝐧𝒙 − 𝒙 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧𝒙 𝐥𝐧𝒙 𝒙𝒏 , 𝒏 ≥ 𝟏.
𝒙𝐥𝐧𝒙. 𝒙𝒆𝒙. 𝒇) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→(4 𝒆) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎#
I. TÍNH GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
2. Giới hạn dạng 𝟏4
)𝒗(𝒙 = 𝒆𝑨, trong đó
𝒖 𝒙 Nếu 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒖 𝒙 = 𝟏 và 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒗 𝒙 = ∞ thì 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂
𝒗 𝒙 𝒖 𝒙 − 𝟏 . 𝑨 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂
𝟏 𝒍𝒏 𝒙
𝟐𝒙*𝟏 𝒙
𝟐𝒙𝟐*𝟏 𝒙(𝟐
Ví dụ 3: Tính giới hạn
. . . 𝒃) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝒂) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒙𝟐 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒄) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→*4 𝟐𝒙 + 𝟐 𝟑𝒙 + 𝟐 𝟑𝒙 − 𝟐 𝟑𝒙 + 𝟐
(Tự đọc)
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 4: Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm có hàm tổng chi
phí và hàm cầu ngược (hàm giá theo sản phẩm) được cho như sau:
𝑻𝑪 = 𝑸𝟑 − 𝟕𝟕𝑸𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝟎𝑸 + 𝟏𝟎𝟎; G
𝑷 = 𝟏𝟑𝟏𝟐 − 𝟐𝑸, 𝑸 ≥ 𝟎.
Hãy xác định mức sản lượng làm tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp.
III. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN VỚI CÁC HÀM SỐ TRONG KINH TẾ
1. Hàm giá trị cận biên Cho hàm số 𝒇 khả vi trên 𝒂, 𝒃 . Khi đó, hàm số 𝒇′ được gọi là hàm giá trị cận biên của 𝒇 trên 𝒂, 𝒃 .
Với mỗi giá trị 𝒙𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 và ∆𝒙 đủ nhỏ, ta có:
𝜟𝒇 𝒙𝟎 ≈ 𝒇& 𝒙𝟎 𝜟𝒙.
Nếu 𝜟𝒙 = 𝟏 thì 𝜟𝒇 𝒙𝟎 ≈ 𝒇& 𝒙𝟎 . Ý nghĩa: Tại điểm 𝒙𝟎, nếu 𝒙 tăng một đơn vị thì 𝒇 tăng một lượng ∆𝒇(𝒙𝟎) xấp xỉ bằng 𝒇& 𝒙𝟎 đơn vị.
Ví dụ 5: Cho hàm số:
𝒇 𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏. 𝒙𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝟎𝒙 + 𝟒𝟎𝟎𝟎.
a) Tìm hàm giá trị cận biên của hàm đã cho. b) Tính giá trị cận biên của 𝒇 tại 𝒙 = 𝟐𝟓𝟎 và nêu ý nghĩa của nó.
III. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN VỚI CÁC HÀM SỐ TRONG KINH TẾ
1. Hàm giá trị cận biên
Với 𝑸 là sản lượng sản phẩm ta có một số hàm số thường gặp trong kinh tế:
• Hàm chi phí là 𝑻𝑪 = 𝑻𝑪 𝑸 .
Hàm chi phí cận biên là 𝑴𝑪 = 𝑻𝑪& 𝑸 .
• Hàm doanh thu là 𝑻𝑹 = 𝑻𝑹 𝑸 .
Hàm doanh thu cận biên là 𝑴𝑹 = 𝑻𝑹& 𝑸 .
• Hàm lợi nhuận là 𝚷 = 𝚷 𝑸 = 𝑻𝑹 𝑸 − 𝑻𝑪(𝑸)
III. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN VỚI CÁC HÀM SỐ TRONG KINH TẾ
1. Hàm giá trị cận biên
Ví dụ 6: Doanh thu bán hàng 𝑻𝑹 và chi phí sản xuất 𝑻𝑪 theo sản lượng 𝑸 của một hãng được cho bởi các hàm số:
𝟏 𝟑
𝑻𝑹 𝑸 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝑸; 𝑻𝑪 𝑸 = 𝑸𝟑 − 𝟒𝟎𝑸𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝑸; 𝑸 > 𝟎 .
a) Tìm hàm doanh thu biên và hàm chi phí biên.
b) Tính chi phí biên và doanh thu biên tại mức sản lượng 𝑸 = 𝟗𝟎 và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả nhận được.
c) Tại mức sản lượng 𝑸 = 𝟏𝟎𝟎 nếu sản lượng tăng thêm một đơn vị thì doanh thu và chi phí tăng bao nhiêu đơn vị?
d) Tính lợi nhuận của hãng tại mức sản lượng 𝑸 = 𝟗𝟎.
III. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN VỚI CÁC HÀM SỐ TRONG KINH TẾ
2. Hệ số co giãn của hàm số
Cho hàm số 𝒇 và 𝒙𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 mà 𝒙𝟎 > 𝟎 và 𝒇 𝒙𝟎 ≠ 𝟎. Hệ số co giãn của hàm 𝒇 theo 𝒙 tại 𝒙𝟎 được kí hiệu và xác định như sau:
𝒇 𝒙𝟎 = 𝜺𝒙
.
𝒇′ 𝒙𝟎 ⋅ 𝒙𝟎 𝒇 𝒙𝟎
Nhận xét: Từ công thức gần đúng ta có:
𝒇 𝒙𝟎
. ≈ 𝜺𝒙
𝜟𝒙 𝒙𝟎
𝜟𝒙 𝒙𝟎
𝜟𝒇 𝒙𝟎 𝒇 𝒙𝟎
Nếu = 𝟏% thì 𝜟𝒇 𝒙𝟎 𝒇 𝒙𝟎 𝒇 𝒙𝟎 (%). = 𝜺𝒙
𝒇 𝒙𝟎 %.
Ý nghĩa: Tại điểm 𝒙𝟎, nếu đối số 𝒙 tăng 1% giá trị thì hàm số 𝒇 tăng
xấp xỉ với tỉ lệ 𝜺𝒙
III. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN VỚI CÁC HÀM SỐ TRONG KINH TẾ
2. Hệ số co giãn của hàm số
𝜟𝒙 𝒙𝟎
Chú ý: Nếu 𝒙 tăng a% giá trị, tức là = 𝒂% thì hàm 𝒇 tăng xấp xỉ với
𝒇 𝒙𝟎 %.
tỉ lệ:
= 𝒂 U 𝜺𝒙 𝜟𝒇 𝒙𝟎 𝒇 𝒙𝟎
Ví dụ 7: Cho hàm số
𝒇 𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝒙𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝟎𝒙 + 𝟒𝟎𝟎𝟎.
a) Tính hệ số co giãn của hàm số tại 𝒙 = 𝟐𝟓𝟎 và nêu ý nghĩa của nó.
b) Tại 𝒙 = 𝟐𝟓𝟎, nếu 𝒙 giảm 3% giá trị thì f thay đổi như thế nào?
III. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN VỚI CÁC HÀM SỐ TRONG KINH TẾ
2. Hệ số co giãn của hàm số
Ví dụ 8: Một doanh nghiệp chuyên sản xuất một loại hàng hóa có hàm tổng chi phí theo sản lượng 𝑸 được cho bởi công thức sau:
𝟏 𝟑
𝑻𝑪 𝑸 = 𝑸𝟑 − 𝟐𝑸𝟐 + 𝟐𝟎𝑸 + 𝟓𝟎, 𝑸 ≥ 𝟎.
Doanh nghiệp dự định bán sản phẩm trên thị trường với mức giá 𝒑 = 𝟔𝟎.
a) Tính hàm chi phí biên và doanh thu biên tại mức sản lượng 𝑸𝟎 = 𝟗 và
nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả nhận được.
b) Tại mức sản lượng 𝑸𝟎 = 𝟗, tính hệ số co giãn của hàm lợi nhuận và nêu ý nghĩa của nó, từ đó xác định xem nếu sản lượng 𝑸 tăng 2% thì lợi nhuận thay đổi thế nào?
