Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2): Chương 3

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2) - Chương 3: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số, cung cấp cho người học những kiến thức như các khái niệm cơ bản về đạo hàm; các phép toán về đạo hàm; một số định lý về hàm số có đạo hàm; vi phân của hàm số; ứng dụng của đạo hàm và vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp (Học phần 2): Chương 3

CHƯƠNG 3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
BÀI 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐẠO HÀM
I. BÀI TOÁN THỰC TẾ Bài toán tính chi phí cận biên của hàm tổng chi phí. Giả sử quá trình sản xuất sản phẩm A có hàm tổng chi phí (𝑻𝑪) phụ thuộc vào mức sản lượng 𝑸 được cho bởi hàm số 𝑻𝑪 𝑸 = 𝒇 𝑸 , 𝑸 ≥ 𝟎. Chi phí gia tăng khi tăng sản lượng từ 𝑸 𝟎 đến 𝑸 𝟎 + ∆𝑸, (∆𝑸 > 𝟎)là: ∆𝑻𝑪 𝑸 𝟎 = 𝒇 𝑸 𝟎 + ∆𝑸 − 𝒇(𝑸 𝟎 ). Ta gọi tỷ số ∆𝑻𝑪 𝑸 𝟎 ∆𝑸 là tốc độ tăng trung bình của chi phí theo sản lượng. Cho ∆𝑸 → 𝟎, nếu tồn tại giới hạn 𝜟𝑻𝑪(𝑸 𝟎 ) 𝒍𝒊𝒎 = 𝑴𝑪 𝑸 𝟎 . 𝜟𝑸→𝟎 𝜟𝑸 thì 𝑴𝑪 𝑸 𝟎 được gọi là chi phí cận biên của quá trình sản xuất sản phẩm A tại điểm sản lượng 𝑸 𝟎 .
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1. Đạo hàm của hàm số Cho hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) xác định trong khoảng 𝒂, 𝒃 và 𝒙 𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 • Tại 𝒙 𝟎 , cho số gia ∆𝒙 sao cho 𝒙 𝟎 + ∆𝒙 ∈ 𝒂, 𝒃 . • Biểu thức ∆𝒇 𝒙 𝟎 = 𝒇 𝒙 𝟎 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙 𝟎 ) gọi là số gia của hàm số tại 𝒙 𝟎 . • Tốc độ thay đổi trung bình của hàm 𝒇 𝒙 là: ∆𝒇 𝒙 𝟎 . ∆𝒙
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1. Đạo hàm của hàm số Định nghĩa 1: Nếu giới hạn 𝜟𝒇(𝒙 𝟎 ) 𝐥𝐢𝐦 𝜟𝒙→𝟎 𝜟𝒙 tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số 𝒇 𝒙 tại điểm 𝒙 𝟎 . Kí hiệu là 𝒇′(𝒙 𝟎 ) hoặc 𝒚′(𝒙 𝟎 ). Như vậy, 𝒇(𝒙 𝟎 + 𝜟𝒙) − 𝒇(𝒙 𝟎 ) 𝒇& 𝒙𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 . (𝟏) 𝜟𝒙→𝟎 𝜟𝒙 Đặt 𝒙 = 𝒙 𝟎 + ∆𝒙 thì: 𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙 𝟎 ) 𝒇& 𝒙𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 . (𝟐) 𝒙→𝒙 𝟎 𝒙− 𝒙𝟎
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1. Đạo hàm của hàm số Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số a) 𝒚 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟏 tại 𝒙 = 𝟐. b) 𝒚 = 𝒙 tại 𝒙 = 𝟎. 𝒙 𝟐 (𝟒 nếu 𝒙≠ 𝟐 c) 𝒚 = A 𝒙(𝟐 tại 𝒙 = 𝟐. 𝟏 nếu 𝒙 = 𝟐
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 2. Đạo hàm một phía Định nghĩa 2: • Nếu giới hạn 𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙 𝟎 ) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙# 𝟎 𝒙− 𝒙𝟎 tồn tại và hữu hạn thì giới hạn này được gọi là đạo hàm phải của 𝒇(𝒙) tại 𝒙 𝟎 , ký hiệu 𝒇′(𝒙*). 𝟎 • Nếu giới hạn 𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙 𝟎 ) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙$𝟎 𝒙− 𝒙𝟎 tồn tại và hữu hạn thì giới hạn này được gọi là đạo hàm trái của 𝒇(𝒙) tại 𝒙 𝟎 , ký hiệu 𝒇′(𝒙(). 𝟎 Như vậy, & 𝒙* = 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙 𝟎 ) & 𝒙( = 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙 𝟎 ) 𝒇 𝟎 ; 𝒇 𝟎 . # 𝒙→𝒙 𝟎 𝒙− 𝒙𝟎 $ 𝒙→𝒙 𝟎 𝒙− 𝒙𝟎
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 2. Đạo hàm một phía Định lý 1: Hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) có đạo hàm tại 𝒙 𝟎 khi và chỉ khi tại đó đạo hàm phải và đạo hàm trái của hàm số cùng tồn tại và bằng nhau, tức là: ∃𝒇& 𝒙 𝟎 = 𝒌 ⟺ 𝒇& (𝒙*) = 𝒇& (𝒙() = 𝒌. 𝟎 𝟎 Ví dụ 2: Tìm đạo hàm (nếu có) của hàm số sau 𝟒𝒙 − 𝟏 nếu 𝒙 < 𝟐, a) 𝒇 𝒙 = G 𝟐 tại 𝒙 = 𝟐. 𝒙 + 𝟑 nếu 𝒙 ≥ 𝟐, 𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 nếu 𝒙 < −𝟏, b) 𝒇(𝒙) = K tại 𝒙 = −𝟏. 𝟐 𝒙 + 𝟐 nếu 𝒙 ≥ −𝟏,
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 3. Điều kiện cần để hàm số có đạo hàm Định lý 2: Điều kiện cần để hàm số 𝒇 có đạo hàm tại điểm 𝒙 𝟎 là nó phải liên tục tại 𝒙 𝟎 . Chú ý: • Nếu 𝒇 liên tục tại 𝒙 𝟎 thì chưa chắc 𝒇 đã có đạo hàm tại 𝒙 𝟎 . • Nếu 𝒇 không liên tục tại 𝒙 𝟎 thì 𝒇 không có đạo hàm tại 𝒙 𝟎 . 𝒇 liên tục tại 𝒙 𝟎 , • Hàm số 𝒇 có đạo hàm tại 𝒙 𝟎 ⇔ K & * 𝒇 (𝒙 𝟎 ) = 𝒇& (𝒙(). 𝟎
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 3. Điều kiện cần để hàm số có đạo hàm Ví dụ 3: Tìm điều kiện của tham số 𝒂, 𝒃 để hàm số 𝒃𝒙 𝟐 + 𝒂 nếu 𝒙 ≥ 𝟐, 𝒇(𝒙) = G 𝒙 − 𝟏 nếu 𝒙 < 𝟐, có đạo hàm tại 𝒙 = 𝟐.
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 4. Đạo hàm trên khoảng Định nghĩa 3: Hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) được gọi là có đạo hàm trên khoảng 𝒂, 𝒃 nếu 𝒇 có đạo hàm tại mọi 𝒙 ∈ 𝒂, 𝒃 . Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số 𝒇 𝒙 = 𝟎, 𝟐𝟓𝒙 𝟐 −5 trên ℝ. Nhận xét: Nếu f có đạo hàm trên khoảng (𝒂, 𝒃) thì 𝒇& là một hàm số xác định trên 𝒂, 𝒃 .
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 5. Đạo hàm cấp hai Định nghĩa 4: Cho hàm số 𝒇 có đạo hàm là 𝒇′ trên (𝒂, 𝒃). Nếu hàm 𝒇& có đạo hàm tại điểm 𝒙 𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số 𝒇 tại điểm 𝒙 𝟎 và ký hiệu là 𝒇" 𝒙 𝟎 . Khi đó: 𝒇′(𝒙) − 𝒇′(𝒙 𝟎 ) 𝒇"(𝒙 𝟎 ) = 𝐥𝐢𝐦 . 𝒙→𝒙 𝟎 𝒙− 𝒙𝟎 Nhận xét: Nếu 𝒇′ có đạo hàm trên (𝒂, 𝒃) thì đạo hàm của 𝒇′ được gọi là đạo hàm cấp 2 của 𝒇 trên 𝒂, 𝒃 và ký hiệu là 𝒇". Ví dụ 5: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số 𝒇 𝒙 = 𝟎, 𝟐𝟓𝒙 𝟐 − 𝟓.
BÀI 2 CÁC PHÉP TOÁN VỀ ĐẠO HÀM
1. Phép toán số học Cho hàm 𝒇 và 𝒈 có đạo hàm tại 𝒙 𝟎 và 𝜶 là một số thực bất kỳ. Khi đó, 𝜶𝒇 & 𝒙 𝟎 = 𝜶𝒇& 𝒙 𝟎 . 𝒇+ 𝒈 & 𝒙 𝟎 = 𝒇& 𝒙 𝟎 ± 𝒈& 𝒙 𝟎 . 𝒇. 𝒈 & 𝒙𝟎 = 𝒇& 𝒙 𝟎 𝒈 𝒙 𝟎 + 𝒇 𝒙 𝟎 𝒈& 𝒙 𝟎 . & 𝒇 𝒇& 𝒙 𝟎 𝒈 𝒙 𝟎 − 𝒇 𝒙 𝟎 𝒈& 𝒙 𝟎 𝒙𝟎 = 𝟐 𝒙 ; 𝒈 𝒙 𝟎 ≠ 𝟎. 𝒈 𝒈 𝟎 2. Đạo hàm của hàm hợp Giả sử hàm số u= 𝝋(𝒙) có đạo hàm tại 𝒙 𝟎 và hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒖 có đạo hàm tại 𝒖 𝟎 = 𝝋(𝒙 𝟎 ). Khi đó hàm số 𝒚 = 𝒇 𝝋 𝒙 cũng có đạo hàm tại 𝒙 𝟎 với: 𝒚& 𝒙 𝟎 = 𝒖& 𝒙 𝟎 U 𝒇& 𝒖 𝟎 .
3. Đạo hàm của hàm ngược (tự đọc) Giả sử hàm số 𝒚 = 𝒇 𝒙 có đạo hàm tại 𝒙 𝟎 với 𝒇′(𝒙 𝟎 ) ≠ 𝟎 và 𝒇 𝒙 có hàm ngược 𝒙 = 𝒇(𝟏 𝒚 trong một khoảng nào đó chứa điểm 𝒙 𝟎 . Khi đó, hàm ngược 𝒙 = 𝒇(𝟏 𝒚 cũng có đạo hàm tại 𝒚 𝟎 = 𝒇(𝒙 𝟎 ) với 𝟏 𝒙& 𝒚𝟎 = 𝒇(𝟏 𝒚𝟎 = & . 𝒇 𝒙𝟎
4. Bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản (tự đọc) Cho 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏. 𝒚 𝒚′ 𝒚 𝒚′ 𝒚 𝒚′ 𝟏 𝒚= 𝒄 𝟎 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟏− 𝒙𝟐 −𝟏 𝒚= 𝒙𝜶 𝜶𝒙 𝜶(𝟏 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏− 𝒙𝟐 𝟏 𝟏 𝒚= 𝒂𝒙 𝒂 𝒙 𝐥𝐧 𝒂 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝟏+ 𝒙𝟐 𝟏 −𝟏 −𝟏 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 𝒚 = 𝐜𝐨𝐭 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭 𝒙 𝟏+ 𝒙𝟐 𝒙 𝐥𝐧 𝒂
5. Đạo hàm của các hàm sơ cấp Phương pháp: Sử dụng các công thức đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản, các công thức đạo hàm của tổng, tích, thương hai hàm số và quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 𝟐 𝟑 𝒂) 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 − 𝟑𝒙 + 𝟐. 𝒃) 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝟏. c) 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒙. 𝒙 𝒅) 𝒚 = 𝟐 𝒙 + 𝟏 𝟓 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒆)𝒚 = 𝐥𝐧 𝟐− 𝟐 . 𝒙 𝒇) 𝒚 = 𝒙 𝒙 .
6. Đạo hàm của hàm phi sơ cấp Định lý 1: Cho 𝒑 và 𝒒 là các hàm số có đạo hàm hữu hạn tại 𝒙 𝟎 ∈ 𝒂, 𝒃 . Hàm 𝒇 xác định trên khoảng (𝒂, 𝒃) và được cho bởi công thức: 𝒑 𝒙 nếu 𝒂 < 𝒙 < 𝒙 𝟎 , 𝒇 𝒙 = c 𝒄 nếu 𝒙 = 𝒙 𝟎 , 𝒒 𝒙 nếu 𝒙 𝟎 < 𝒙 < 𝒃. Khi đó, (i) Nếu hàm 𝒇 liên tục tại 𝒙 𝟎 thì 𝒇& 𝒙( = 𝒑′(𝒙 𝟎 ) và 𝒇& 𝒙* = 𝒒′(𝒙 𝟎 ). 𝟎 𝟎 (ii) Hàm f có đạo hàm trên khoảng 𝒂, 𝒃 khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại 𝒙 𝟎 . 𝒑 𝒙 𝟎 = 𝒒 𝒙 𝟎 = 𝐜, (iii) Điều kiện cần và đủ để f có đạo hàm tại 𝒙 𝟎 là: G & 𝒑 𝒙 𝟎 = 𝒒& 𝒙 𝟎 , và khi đó ta có: 𝒇& 𝒙 𝟎 = 𝒑& 𝒙 𝟎 = 𝒒& 𝒙 𝟎 .
6. Đạo hàm của hàm phi sơ cấp Nhận xét: Để tính đạo hàm của hàm phi sơ cấp ta làm như sau: • Tại các điểm hàm số không phân nhánh: Tính đạo hàm như hàm sơ cấp. • Tại các điểm phân nhánh: Sử dụng Định lý 1 hoặc định nghĩa. Ví dụ 2: Tính đạo hàm, đạo hàm một phía của hàm số 𝒙 𝟐 + 𝟑 nếu 𝒙 ≤ 𝟏; 𝒇 𝒙 =K 𝟑 tại 𝒙 = 𝟏. 𝟐𝒙 + 𝟐 nếu 𝒙 > 𝟏, Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số sau trên miền xác định của nó: 𝒙𝟐− 𝟒 𝒇 𝒙 =A 𝒙− 𝟐 𝒌𝒉𝒊 𝒙 ≠ 𝟐, 𝟒 𝒌𝒉𝒊 𝒙 = 𝟐. Ví dụ 4: Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số sau trên miền xác định của nó: 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 𝒌𝒉𝒊 𝒙 ≥ 𝟎; 𝒇(𝒙) = G 𝟐𝒙 − 𝒙 𝟒 𝒌𝒉𝒊 𝒙 < 𝟎.
6. Đạo hàm của hàm phi sơ cấp Ví dụ 5: Tìm điều kiện của tham số 𝒂, 𝒃 để hàm số có đạo hàm trên (1,4) 𝟏 𝟑 𝒇(𝒙) = A 𝟑 𝒙 − 𝒙 𝟐 + 𝟓 𝒌𝒉𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟑, 𝒂𝒙 + 𝐛 𝒌𝒉𝒊 𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒. Ví dụ 6: Tìm điều kiện của tham số 𝒂, 𝒃 để hàm số có đạo hàm cấp 2 tại 𝒙 = 𝟎. 𝒂𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒌𝒉𝒊 𝒙 < 𝟎, 𝒇 𝒙 =G 𝟑 𝒙 + 𝒙 𝟐 + 𝒃 𝒌𝒉𝒊 𝒙 ≥ 𝟎.