Bài giảng Giải tích II: Chương 6 - Lý thuyết trường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích II: Chương 6 - Lý thuyết trường" trình bày các nội dung chính sau đây: Trường vô hướng; Đạo hàm theo hướng; Trường vectơ; Tính chất của dive, công thức OS dưới dạng vectơ; Công thức Stokes dưới dạng vectơ;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích II: Chương 6 - Lý thuyết trường

Chương 6 LÝ THUYẾT TRƯỜNG BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI SAMI.HUST – 2023 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 SAMI.HUST – 2023 1/22 1 / 22
Nội dung 1 Nội dung, mục tiêu Nội dung Chương 6 6.1 Trường vô hướng 6.2 Trường vectơ Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 SAMI.HUST – 2023 2/22 2 / 22
Nội dung Chương 6 Nội dung Chương 6 6.1 Trường vô hướng 6.2 Trường vectơ Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 SAMI.HUST – 2023 3/22 3 / 22
Trường vô hướng Trường vô hướng Ta nói trên miền Ω ⊂ R3 xác định một trường vô hướng nếu tại mỗi điểm M (x, y, z) ∈ Ω cho tương ứng một giá trị u = f (x, y, z) ∈ R. Như vậy, trường vô hướng trên Ω là một hàm số xác định trên Ω. VD: Sự phân bố nhiệt trong một vật thể tạo nên một trường vô hướng trong vật thể đó. Mặt đẳng cự Cho trường vô hướng u(x, y, z) xác định trên Ω ⊂ R3 và hằng số c ∈ R. Lúc đó, S = {(x, y, z) ∈ Ω : u(x, y, z) = c} được gọi là mặt đẳng cự (mặt mức) của trường vô hướng u. Nhận xét +) Miền Ω bị phủ kín bởi các mặt mức; +) Các mặt mức khác nhau không giao nhau. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 SAMI.HUST – 2023 4/22 4 / 22
Đạo hàm theo hướng Cho hàm số u(x, y, z), các đạo hàm riêng của u mô tả sự biến thiên của nó theo hướng của các trục tọa độ. Tuy nhiên, chúng không trực tiếp biểu diễn được sự biến thiên của u theo các hướng khác. Để khắc phục, ta sử dụng đạo hàm theo hướng. Cho vectơ đơn vị ⃗ = (a, b, c) ∈ R3 . v Định nghĩa Giới hạn (nếu có) u(M + t⃗ ) − u(M ) v u(x + ta, y + tb, z + tc) − u(x, y, z) lim = lim t→0 t t→0 t ∂u được gọi là đạo hàm theo hướng ⃗ tại điểm M (x, y, z) của u và được kí hiệu là v (M ). ∂⃗ v ⃗ ℓ ∂u ∂u +) Nếu ⃗ không phải vectơ đơn vị thì xét ⃗ = ℓ v , khi đó = ; |⃗ ℓ| ∂⃗ ℓ ∂⃗ v +) Đạo hàm theo hướng ⃗ tại điểm M (x, y, z) của trường vô hướng u thể hiện tốc độ biến thiên của trường v vô hướng u tại điểm M (x, y, z) theo hướng ⃗ . v Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 SAMI.HUST – 2023 5/22 5 / 22
Đạo hàm theo hướng Nhận xét ∂u u(x0 + t, y0 , z0 ) − u(x0 , y0 , z0 ) ∂u +) − (M0 ) = t→0 → lim = (M0 ); ∂i t ∂x ∂u u(x0 , y0 + t, z0 ) − u(x0 , y0 , z0 ) ∂u +) − (M0 ) = lim → = (M0 ); ∂j t→0 t ∂y ∂u u(x0 , y0 , z0 + t) − u(x0 , y0 , z0 ) ∂u +) − (M0 ) = t→0 → lim = (M0 ). ∂k t ∂z Định lý 1 (Đạo hàm theo hướng-Đạo hàm riêng) Nếu u khả vi tại M0 thì u có đạo hàm theo mọi hướng tại M0 và ∂u ∂u ∂u ∂u − (M0 ) = ∂x (M0 ) cos α + ∂y (M0 ) cos β + ∂z (M0 ) cos γ, → ∂ℓ − → ở đây (α, β, γ) là góc chỉ phương của ℓ . Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 SAMI.HUST – 2023 6/22 6 / 22
Đạo hàm theo hướng Ví dụ 1 − → Tính đạo hàm của hàm số u(x, y, z) = 3ex cos(yz) tại điểm M (0; 0; 0) theo hướng ℓ = (2; 1; −2). Ta có u′ (M ) = 3ex cos(yz) |M = 3, u′ (M ) = −3zex sin(yz) |M = 0, u′ (M ) = −3yex sin(yz) |M = 0 và x y z ∂u ∂u ∂u ∂u cos α = 3 , cos β = 3 , cos γ = − 2 . Do đó, − (M0 ) = 2 1 3 → (M0 ) cos α + (M0 ) cos β + (M0 ) cos γ = 2. ∂ℓ ∂x ∂y ∂z Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 SAMI.HUST – 2023 7/22 7 / 22
Gradient Định nghĩa −→ − Cho trường vô hướng u(x, y, z). Lúc đó, gradient của u tại M là một vectơ, ký hiệu grad u(M ) và có dạng ∂u ∂u ∂u (M ), (M ), (M ) . ∂x ∂y ∂z Định lý 2 (Đạo hàm theo hướng-Grad) −→ − − → ∂u grad u(M ) · ℓ −→ − −→ − − → − (M ) = → − → = |grad u(M )| cos(grad u(M ), ℓ ). ∂ℓ |ℓ| Nhận xét Trường vô hướng tăng nhanh nhất theo hướng vectơ gradient. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 SAMI.HUST – 2023 8/22 8 / 22
Gradient Ví dụ 2 − → Tính đạo hàm của hàm số u(x, y) = 2xy − 3y 2 tại điểm M (5; 5) theo hướng ℓ = (4; 3). −→ − Ta có u′ (M ) = (2y) |M = 10, u′ (M ) = (2x − 6y) |M = −20 ⇒ grad u(M ) = (10; −20). Do đó, x y −→ − − → ∂u grad u(M ) · ℓ 10 · 4 + (−20) · 3 − (M ) = → − → = = −4. ∂ℓ |ℓ| 5 Một số tính chất của gradient −→ − −→− −→− 1 Tuyến tính: grad (αu + βv) = αgrad u + β grad v với mọi α, β ∈ R; −→ − −→ − −→ − 2 grad (uv) = ugrad v + v grad u; −→ − −→ − −→ u − v grad u − ugrad v 3 grad = nếu v ̸= 0; v v2 −→ − −→ − 4 grad f (u) = f ′ (u)grad u. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 SAMI.HUST – 2023 9/22 9 / 22
BTVN BTVN 1. Tính đạo hàm của hàm u = x3 + 2y 3 + 3z 2 + 2xyz theo hướng ⃗ = (1; 1; 2) tại điểm P (1; 1; 2); l 2 Cho hàm u = x2 + xy + z 3 và các điểm A(1; −1; 1), B(2; 1; −1). Tìm đạo hàm của u tại A theo hướng −→ AB; 3 Cho trường vô hướng u = xy + yz + xz. Tính tốc độ tăng lớn nhất của trường u tại điểm A(2; 1; 1); 4 Cho mặt S với phương trình z = −x2 − y 2 có hướng lên phía trên so với trục Oz, điểm M (1; 1; −2) thuộc mặt S và hàm u = z + x2 + y 2 . Tính đạo hàm của u theo hướng pháp tuyến dương của mặt S tại điểm M ; 5 Tìm hướng mà tại điểm A(1; 1; 1) hàm số f (x, y, z) = x2 + 2x2 y + yz giảm nhanh nhất. Từ đó, tính đạo hàm theo hướng đó của hàm f tại A. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 10/22 SAMI.HUST – 2023 10 / 22
Trường vectơ Trường vectơ Cho V ⊂ R3 , ta nói trong V xác định một trường vectơ nếu tại mỗi điểm M (x, y, z) ∈ V xác định một vectơ − → − → − → − → F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k . VD: Dòng nước đang chảy thì tại mỗi điểm xác định một vectơ vận tốc. Toàn thể các vectơ vận tốc xác định một trường vectơ. Đường dòng − → − → − → − → Trong R3 cho trường vectơ F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k . Đường cong C ⊂ R3 gọi − → là đường dòng của trường vectơ F nếu tại mỗi điểm M trên đường cong C, tiếp tuyến tại đó cùng phương với − → vectơ F (M ). VD: Các đường sức trong từ trường hoặc điện trường là các đường dòng. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 11/22 SAMI.HUST – 2023 11 / 22
Trường vectơ Phương trình đường dòng Cho trường vectơ − → − → − → − → F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k và đường dòng C có phương trình tham số là x = x(t); y = y(t); z = z(t). Khi đó, tiếp tuyến tại mỗi điểm − → M (x, y, z) của C có vectơ chỉ phương là (x′ (t), y ′ (t), z ′ (t)). Do tiếp tuyến này đồng phương với F (M ) nên x′ (t) y ′ (t) z ′ (t) dx dy dz = = ⇔ = = P Q R P Q R − → (gọi là hệ phương trình vi phân của họ đường dòng của trường vectơ F (M )). Nhận xét Qua mỗi điểm của trường vectơ có duy nhất một đường dòng. Các đường dòng không cắt nhau. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 12/22 SAMI.HUST – 2023 12 / 22
Thông lượng Định nghĩa Cho trường vectơ − → − → − → − → F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k − → và S là mặt cong định hướng trong R3 . Khi đó, thông lượng của trường vectơ F qua mặt S là − − → → Φ= F · n dS = P dydz + Qdzdx + Rdxdy, S S trong đó − là vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt S. → n Ví dụ 3 − → − → − → − → Tính thông lượng của trường vectơ F = x i + y j + z k qua phía ngoài mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 1. Ta có vectơ pháp tuyến đơn vị của phía ngoài mặt cầu S là − = (x, y, z). Theo công thức tính thông lượng ta → n − − → → 2 2 2 có: Φ = F · n dS = (x + y + z )dS = dS = 4π. S S S Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 13/22 SAMI.HUST – 2023 13 / 22
Độ phân tán Định nghĩa − → − → − → − → Cho trường vectơ F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k . Khi đó, đại lượng vô hướng ∂P ∂Q ∂R (M ) + (M ) + (M ) ∂x ∂y ∂z − → − → được gọi là độ phân tán của trường F tại M (x, y, z) và ký hiệu div F (M ). Vậy − → ∂P ∂Q ∂R div F (M ) = (M ) + (M ) + (M ). ∂x ∂y ∂z Ví dụ: Chú ý một dòng nước đang chảy thì tập các vectơ vận tốc tạo thành một trường vectơ. Lúc đó, độ phân tán của trường vectơ vận tốc tại một điểm là “độ bắn tung tóe" của dòng nước tại điểm đó. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 14/22 SAMI.HUST – 2023 14 / 22
Tính chất của dive, Công thức OS dưới dạng vectơ Một số tính chất − − → → Cho F 1 , F 2 là các trường vectơ trên R3 , c1 , c2 là các hằng số. Lúc đó − → − → − → − → +) div c1 F 1 + c2 F 2 = c1 div F 1 + c2 div F 2 ; − → − → − −→ → − +) div u F 1 = udiv F 1 + F 1 · grad u (u là một trường vô hướng trên R3 ). Công thức OS dưới dạng vectơ Cho Ω là miền đóng và bị chặn trong R3 , S là phía ngoài mặt biên của Ω (S là mặt cong kín). Khi đó, − − → → − → F · n dS = div F dV (dV = dxdydz). S V Nhận xét − → Thông lượng của trường F qua phía ngoài mặt S (bao miền V ) bằng tổng các độ phân tán tại các điểm trong − → V của trường F . Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 15/22 SAMI.HUST – 2023 15 / 22
Trường ống Chú ý Thông lượng của trường vectơ qua mặt kín S ra phía ngoài là hiệu của lượng vật chất từ trong chảy ra (đầu ra) và từ ngoài chảy vào (đầu vào). Trường ống, điểm nguồn, điểm rò − → +) Trường vectơ F được gọi là trường ống nếu − → div F (M ) = 0, ∀M ∈ V ; − → +) M được gọi là điểm nguồn của trường F nếu − → div F (M ) > 0; − → +) M được gọi là điểm rò của trường F nếu − → div F (M ) < 0. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 16/22 SAMI.HUST – 2023 16 / 22
Hoàn lưu Định nghĩa − → − → − → − → Cho trường vectơ F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k xác định trên Ω và C là đường cong − → kín trong Ω. Khi đó, hoàn lưu (lưu số) của trường F dọc theo C là − → − C= P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = F · d→ r (d− = (dx, dy, dz)). → r C C Ví dụ 4 − → − → − → x2 y2 Tính hoàn lưu (lưu số) của trường F = −y i + x j dọc theo chiều dương của elip C : 16 + 25 = 1. Ta có hoàn lưu (lưu số) cần tính là C = C −ydx + xdy. Do C kín, hướng dương nên áp dụng công thức Green x2 y2 C= 2dxdy = 2A(D) với D : 16 + 25 ≤ 1. Vậy C = 2 · 4 · 5π = 40π. D Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 17/22 SAMI.HUST – 2023 17 / 22
Vectơ xoáy Định nghĩa − → − → − → − → Cho trường vectơ F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k . Khi đó, vectơ ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y M − → − − →→ được gọi là vectơ xoáy hay Rôta của trường F tại M và ký hiệu rot F (M ). Điểm xoáy − → − − →→ − → − → Điểm M được gọi là điểm xoáy (điểm không xoáy) của trường F nếu rot F (M )̸= 0 (= 0 ). Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 18/22 SAMI.HUST – 2023 18 / 22
Công thức Stokes dưới dạng vectơ Công thức Stokes − → − → − → − → Cho trường vectơ F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k xác định trên mặt S có biên là đường cong kín C. Khi đó, − − → → − − − →→ F · dr = rot F · →dS. n C S Nhận xét − → − → Hoàn lưu của trường F dọc theo đường cong kín C bằng thông lượng của vectơ xoáy qua mặt S của trường F . Ví dụ 5 − → − → − → − → − − →→ Cho trường vectơ F = xz i + xyz j − 2y 2 k , tìm rot F . Ta có − − →→ ∂R ∂Q − → ∂P ∂R − → ∂Q ∂P − → − → − → − → rot F = − i + − j + − k = −y(4 + x) i + x j + yz k . ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 19/22 SAMI.HUST – 2023 19 / 22
Trường thế, hàm thế vị Định nghĩa − → Trường vectơ F (M ) xác định trên Ω được gọi là trường thế nếu tồn tại trường vô hướng u(M ) sao cho: − → −→ − − → F (M ) = gradu(M ), ∀M ∈ Ω. Khi đó, hàm u(M ) được gọi là hàm thế vị của trường F (M ). Định lý bốn mệnh đề tương đương − → − → − → − → Cho Ω là miền đơn liên, liên thông. Trường vectơ F = P i + Q j + R k thỏa mãn P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên Ω. Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương: − − →→ − → 1 rot F (M ) = 0 với mọi M ∈ Ω; 2 P dx + Qdy + Rdz = 0 với mọi đường cong kín C trong Ω; C 3 P dx + Qdy + Rdz không phụ thuộc đường đi từ A tới B, với mọi đường cong AB nằm trong Ω; AB − → → −→ − − 4 F là trường thế, nghĩa là tồn tại hàm thế vị u sao cho F = gradu. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 20/22 SAMI.HUST – 2023 20 / 22