intTypePromotion=1

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 - Ngô Quang Minh

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

0
156
lượt xem
24
download

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 - Ngô Quang Minh

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dưới đây là bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 của Ngô Quang Minh. Mời các bạn tham khảo bài giảng để hiểu rõ hơn về phương trình vi phân (phương trình vi phân cấp 1 và phương trình vi phân cấp 2). Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 - Ngô Quang Minh

  1. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân §1. Phương trình vi phân cấp 1 VD 1. Cho phương trình vi phân y   x  0 (*). §2. Phương trình vi phân cấp 2 x2 Xét hàm số y   C , ta có: …………………………… §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 2 y   x  0 thỏa phương trình (*). 1.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1 x2 • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng Suy ra y   C là nghiệm tổng quát của (*). tổng quát F (x , y, y )  0 (*). Nếu từ (*) ta giải được 2 theo y  thì (*) trở thành y   f (x , y ). x2 Thế x  2, y  1 vào y   C , ta được: • Nghiệm của (*) có dạng y  y(x ) chứa hằng số C được 2 gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện y 0  y(x 0 ) x2 cho trước (thường gọi là điều kiện đầu) vào nghiệm C  1  y   1 là nghiệm riêng của (*) ứng với 2 tổng quát ta được giá trị C 0 cụ thể và nghiệm lúc này điều kiện đầu y(2)  1 . được gọi là nghiệm riêng của (*). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân d(1  x 2 ) d(1  y 2 )   1.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản   2C 2 1.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly 1x 1  y2 Ø Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng: f (x )dx  g(y )dy  0 (1).  ln(1  x 2 )  ln(1  y 2 )  2C  ln (1  x 2 )(1  y 2 )  ln C 1 . Ø Phương pháp giải   Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát: Vậy (1  x 2 )(1  y 2 )  C .  f (x )dx   g(y )dy  C . VD 3. Giải phương trình vi phân y   xy(y  2). xdx ydy VD 2. Giải phương trình vi phân   0. dy 1  x2 1  y2 Giải. y   xy(y  2)   xy(y  2) Giải. Ta có: dx xdx ydy xdx ydy dy 1 1   1  x 2 1  y2 0  1  x 2   1  y2  C  y(y  2)  xdx     dy   2xdx  y y  2  Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân y y 1  ln  x2 C  2  C .e x . VD 5. Giải ptvp xy   y  y 2 thỏa điều kiện y(1)  . y2 y2 2 dy VD 4. Giải ptvp x 2 (y  1)dx  (x 3  1)(y  1)dy  0 . Giải. xy   y  y 2  x  y  y2 dx x2 y 1 dy dx  1 1 dx Giải. pt  dx  dy  0       dy   3 x 1 y 1 2 y y x   y  1 y  x 1 d(x 3  1)  2      1  dy  C 3 3 x 1   y  1   ln y 1  ln x  C  ln y 1  ln Cx 1 y y  ln x 3  1  y  2 ln y  1  C  y  1  Cxy (*). 3 x3 1 1  ln  3C  3y  x 3  1  C (y  1)6 e3y . Thay x  1, y  vào (*) ta được y  1  xy . (y  1)6 2 1
  2. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 b) Phương trình vi phân đẳng cấp a) Hàm đẳng cấp hai biến số • Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng: • Hàm hai biến f (x , y ) được gọi là đẳng cấp bậc n nếu y   f (x , y ) (2). với mọi k  0 thì f (kx , ky )  k n f (x , y ). Trong đó, f (x, y ) là hàm số đẳng cấp bậc 0. Chẳng hạn, hàm số: Phương pháp giải x y y  f (x , y )  là đẳng cấp bậc 0, Bước 1. Biến đổi (2)  y     . 2x  3y  x  y 4x 2  3xy Bước 2. Đặt u   y   u  xu  . f (x , y )  là đẳng cấp bậc 1, x 5x  y du dx Bước 3. (2)  u  xu   (u )   f (x , y )  3x 2  2xy là đẳng cấp bậc 2. (u )  u x (u )  u  0  x  (đây là ptvp có biến phân ly). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2 x  xy  y 2 y   y VD 6. Giải phương trình vi phân y   .  u  ln x (u  1)  C  x   1  C .e x . xy  x  2 y y y   1     Vậy y  x  C .e x . 2 x  xy  y 2 x  x  Giải. y    y  x y VD 7. Giải phương trình vi phân y   . xy y x y y x với điều kiện đầu y(1)  0 . Đặt u   y   u  xu  . x x y 1u y 1  u  u2 du 1  u Giải. y    u  xu   , u pt  u  xu   x  x y 1u x u dx u du 1  u 2  1 u  dx udu dx  1   dx x     du     0   1   du   C dx 1u  1  u 2 1u  2  x u 1 x  u  1  x Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1 1.2.3. Phương trình vi phân toàn phần  arctgu  ln(1  u 2 )  ln x  C • Cho hai hàm số P(x , y ), Q(x , y ) và các đạo hàm riêng 2 x 2  y2 y của chúng liên tục trong miền mở D , thỏa điều kiện  ln x  arctg  C (*). Qx/  Py/ , (x , y )  D . Nếu tồn tại hàm u(x , y ) sao cho x2 x du(x , y )  P (x , y )dx  Q(x , y )dy Thay x  1, y  0 vào (*) ta được C  0 . thì phương trình vi phân có dạng: P(x , y )dx  Q(x , y )dy  0 (3) y x 2  y2 arctg Vậy x e x. được gọi là phương trình vi phân toàn phần. x2 • Nghiệm tổng quát của (3) là u(x , y )  C . Nhận xét ux/ (x, y )  P(x, y ), uy/ (x , y )  Q(x , y ). 2
  3. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Phương pháp giải VD 8. Cho phương trình vi phân: Bước 1. Từ (3) ta có ux/  P (3a) và uy/  Q (3b). (3y 2  2xy  2x )dx  (x 2  6xy  3)dy  0 (*). 1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần. Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được: 2) Giải phương trình (*). u(x, y )   P(x, y )dx  (x , y )  C (y ) (3c). Giải Trong đó, C (y ) là hàm theo biến y .  P  3y 2  2xy  2x  P /  6y  2x 1)    / y  đpcm. Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được:   Q  x 2  6xy  3  Qx  2x  6y     uy/  y/  C (y ) (3d).  u /  3y 2  2xy  2x (a ) Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được C (y ). 2) Ta có:   / x  u  x 2  6xy  3 (b) Thay C (y ) vào (3c) ta được u(x, y ).   y Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân  (3y 2 (a )  u   2xy  2x )dx x2 (a )  u   (x  y  1)dx  2  xy  x  C (y )  3xy 2  x 2y  x 2  C (y )  uy/  x  C (y ) (c).  uy/  6xy  x 2  C (y ) (c). So sánh (b) và (c), ta được: So sánh (b) và (c), ta được: C (y )  3  C (y )  3y . C (y )  ey  C (y )  ey . Vậy (*) có nghiệm 3xy 2  x 2y  x 2  3y  C . x2 Vậy phương trình có nghiệm  xy  x  e y  C . 2 VD 9. Giải ptvp (x  y  1)dx  (e y  x )dy  0 .  / u  x  y  1 (a ) Giải. Ta có:  x/ u  e y  x (b )   y Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân q(x ) Nhận xét. B(x )   q(x ).e  p(x )dx 1.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 dx   dx . • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng: A(x ) Chú ý y   p(x )y  q(x ) (4). • Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. • Khi q(x )  0 thì (4) được gọi là phương trình vi phân • Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm tuyến tính cấp 1 thuần nhất.  p(x )dx tổng quát của (4) dưới dạng: y  C (x )e . Phương pháp giải (phương pháp biến thiên hằng số Lagrange) VD 10. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi tìm y nghiệm tổng quát của y   2  4x ln x dưới dạng: Bước 1. Tìm biểu thức A(x )  e   p(x )dx . x  p(x )dxdx . C (x ) C (x ) Bước 2. Tìm biểu thức B(x )   q(x ).e A. y  x 2 ; B. y  x3 ; Bước 3. Nghiệm tổng quát là y  A(x ) B(x )  C  . C. y  C (x ) D. y   C (x )   ; . x x 3
  4. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân dx 2  C (x ) x3 Giải. y  C (x )e   p(x )dx  C (x )e x   A. Từ điều kiện đầu, ta có nghiệm riêng y  e 3 . 2 x VD 11. Giải phương trình vi phân y   x 2y  0 VD 12. Giải phương trình y   y cos x  e  sin x . thỏa điều kiện y  e 9 . x 3 Giải. Ta có: p(x )  cos x , q(x )  e  sin x . 2 Giải. Ta có: p(x )  x , q(x )  0 . A(x )  e   cos xdx x3  e  sin x .  p(x )dx  e x 2dx A(x )  e e 3 . B(x )   e sin x .e  cos xdx dx  x .  q(x ).e  p(x )dx B(x )  dx  0 Vậy y  e  sin x (x  C ). x3 y  Ce 3 là nghiệm tổng quát của phương trình. Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli Bước 2. Đặt z  y 1  z   (1   )y y  , ta được: • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng: (5)  z   (1   )p(x )z  (1   )q(x ) y   p(x )y  q(x )y  (5). (đây là phương trình tuyến tính cấp 1). • Khi   0 hoặc   1 thì (5) là tuyến tính cấp 1. y VD 13. Giải phương trình vi phân y    xy 2 • Khi p(x )  q(x )  1 thì (5) là pt có biến phân ly. x với điều kiện đầu x  1, y  1 . Phương pháp giải (với α khác 0 và 1) y 1 Giải. Ta có: y    xy 2  y y 2  .y 1  x . Bước 1. Với y  0 , ta chia hai vế cho y  : x x y y (5)   p(x )  q(x ) Đặt z  y 1  z   y y 2 , ta được: y y 1 1  y y   p(x )y1  q(x ). pt  z   .z  x  z   .z  x . x x Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân dx dx   A(x )  e   6xdx  x , B(x )   x .e 2 A(x )  e x x dx  x  e 3x , 1 B(x )   3x 3 .e  6xdx dx   3x 3e 3x dx 2  z  x (x  C )   x 2  Cx . y 1 1 2  2 Vậy từ điều kiện đầu, ta có nghiệm x 2y  2xy  1  0 .  3x 2e 3x d(3x 2 )   e 3x (3x 2  1) . 6 6 VD 14. Giải phương trình vi phân y   2xy  x 3y 4 . 1 1 2  3x 2  Vậy   e 3x 2 e (3x  1)  C  . y 3 6   Giải. y   2xy  x 3y 4  y y 4  2xy 3  x 3 . Đặt z  y 3  z   3y y 4 . 1 pt   z   2xz  x 3  z   6xz  3x 3 . 3 4
  5. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân x3 Giải. y   x 2  y    x dx  2 §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II  C1 2.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản 3 x 3  4   C dx  y  x  C x  C . 2.1.1. Phương trình khuyết y và y’ • Phương trình vi phân khuyết y và y  có dạng: y    3  1  12 1 2 y   f (x ) (1). 7 3 Phương pháp giải VD 2. Giải ptvp y   e 2x với y(0)   , y (0)  . 4 2 1 • Lấy tích phân hai vế (1) hai lần: Giải. y   e 2x  y   e 2x  C 1 (a). 2 y   f (x )  y    f (x )dx  (x )  C 1 3 Thay x  0, y (0)  vào (a) ta được C 1  1 y   (x )dx  C1x  (x )  C1x  C 2 . 2 1 2x 1 VD 1. Giải phương trình vi phân y   x 2 .   y  e  1  y  e 2x  x  C 2 (b). 2 4 Ø Chương 2. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 7 Giải. Đặt z  y  ta có: Thay x  0, y(0)   vào (b) ta được C 2  2 . 4 y 1 y   x   z   z  x . 1 x x Vậy phương trình có nghiệm riêng y  e 2x  x  2 . 4  dx 1  dx 1 A(x )  e x  , B(x )   xe x dx  x 3 . 2.1.2. Phương trình khuyết y x 3 • Phương trình vi phân khuyết y có dạng: 1  1 3  1 2 C1 y   f (x , y ) (2). Suy ra z   x  C 1   y   x  . x  3  3 x 1 Phương pháp giải Vậy y  x 3  C 1 ln x  C 2 . • Đặt z  y  đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1. 9 y y VD 4. Giải pt vi phân y    x (x  1)  0 VD 3. Giải phương trình vi phân y   x  . x 1 x với điều kiện y(2)  1, y (2)  1. Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải. Đặt z  y  ta có: x 4 x 3 3x 2 1 y     3x  C 2 . pt  z   z  x (x  1). 8 6 2 x 1 dx  x 4 x 3 3x 2 1 A(x )  e x 1  x  1, y(2)  1  y     3x  . dx 8 6 2 3  1 2 B(x )   x(x  1)e x 1dx  2 x 1   y   (x  1)  x 2  C 1 .  2  1 3 1 2 y (2)  1  y   x  x  3x  3 2 2 5
  6. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân dz 2zdz dy 2.1.3. Phương trình khuyết x pt  2yz  z2  1   • Phương trình vi phân khuyết x có dạng: dy z2  1 y y   f (y, y ) (3). d(z 2  1) dy    ln(z 2  1)  ln Cy Phương pháp giải z2  1 y • Đặt z  y  ta có:  z 2  1  Cy (*). dz dz dy dz y   z    . z . Đạo hàm hai vế (*) theo x : dx dy dx dy Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly. 2zz   Cy   y   C 1  y   C 1x  C 2 . Vậy y  C 1x 2  C 2x  C 3 . VD 5. Giải phương trình vi phân 2yy   y   1 . 2 VD 6. Giải phương trình vi phân y   2y (1  2y )  0 dz Giải. Đặt z  y   y   z . 1 dy với điều kiện y(0)  0, y (0)  . 2 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân dz Giải. Đặt z  y   y   z . Thay x  0, y  0 vào (b)  C  1 . dy dz Vậy phương trình có nghiệm (x  1)(2y  1)  1  0 . pt  z  2z (1  2y )  0 dy  dz  2(2y  1)dy  z  2y 2  2y  C (a). 1 1 Thay x  0, y  0, y   vào (a)  C  2 2 1 2dy  y   2y  2y   2  (2y  1)2 2 dx 2dy 1   dx    x  C (b). (2y  1)2 2y  1 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 2.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính Ø Trường hợp 2 với hệ số hằng Phương trình (5) có nghiệm kép thực k . 2.2.1. Phương trình thuần nhất Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1  e kx , y2  xekx • Phương trình thuần nhất có dạng: kx kx và nghiệm tổng quát là y  C 1e  C 2xe . y   a1y   a2y  0, a1, a2  ¡  (4). Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (4): Ø Trường hợp 3 2 Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp k  a1k  a2  0 (5). k    i . Ø Trường hợp 1 Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt k1, k2 . y1  e x cos x , y2  e x sin x k1x k 2x Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1  e , y2  e và nghiệm tổng quát là: k1x k2 x y  e x C 1 cos x  C 2 sin x  . và nghiệm tổng quát là y  C 1e  C 2e . 6
  7. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 7. Giải phương trình vi phân y   2y   3y  0 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: Giải. Phương trình đặc trưng: y1  e 3x , y2  xe 3x k 2  2k  3  0  k1  1, k2  3 . và nghiệm tổng quát là y  C 1e 3x  C 2xe 3x . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: VD 9. Giải phương trình vi phân y   16y  0 . y1  e x , y 2  e 3x Giải. Phương trình đặc trưng: và nghiệm tổng quát là y  C 1e x  C 2e3x . k 2  16  0  k 2  16i 2  k1,2  4i    0,   4 . VD 8. Giải phương trình vi phân y   6y   9y  0 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: Giải. Phương trình đặc trưng: y1  cos 4x , y2  sin 4x k 2  6k  9  0  k  3 (nghiệm kép). và nghiệm tổng quát là y  C 1 cos 4x  C 2 sin 4x . Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân VD 10. Giải phương trình vi phân y   2y   7y  0 . VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y   y   y  0 . Giải. Phương trình đặc trưng k 2  2k  7  0 có: Giải. Phương trình đặc trưng k 2  k  1  0 có:   6  6i 2  k1,2  1  i 6 1i 3   3  3i 2  k1,2     1,   6 . 2 1 3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng:  ,  . 2 2 y1  e x cos 6 x , y2  ex sin 6 x Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát: x  3  và nghiệm tổng quát:    3 y  e x C 1 cos 6 x  C 2 sin 6 x . y  e 2 C 1 cos x  C 2 sin x .  2 2  Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân 1 2.2.2. Phương trình không thuần nhất VD 12. Giải phương trình vi phân y   y  (a). cos x • Phương trình không thuần nhất có dạng: y   a1y   a2y  f (x ), a1, a2  ¡  (6). Giải. Xét phương trình thuần nhất y   y  0 (b) ta có: k 2  1  0  k  i    0,   1 a) Phương pháp giải tổng quát  y1  cos x , y2  sin x là 2 nghiệm riêng của (b). • Nếu (4) có hai nghiệm riêng y1(x ), y2 (x ) thì (6) có Nghiệm tổng quát của (a) có dạng: nghiệm tổng quát là y  C 1(x )y1(x )  C 2 (x )y2 (x ). y  C 1(x ).cos x  C 2 (x ).sin x . • Để tìm C 1(x ) và C 2 (x ), ta giải hệ Wronsky: Ta có hệ Wronsky:  cos x .C (x )  sin x .C  (x )  0    C 1(x )y1(x )  C 2(x )y2 (x )  0 1 2      C (x )y1(x )  C 2(x )y2 (x )  f (x ).  sin x .C (x )  cos x .C  (x )  1   1   1 2 cos x 7
  8. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân  sin x cos x .C (x )  sin2 x .C  (x )  0 b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT  1 2   sin x cos x .C (x )  cos2 x .C  (x )  1 Ø Phương pháp cộng nghiệm  1 2 • Định lý  Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất C (x )   sin x C (x )  ln cos x  C  1   1 (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần cos x   1 C  (x )  1 C 2 (x )  x  C 2 . nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6).  2  VD 13. Cho phương trình vi phân: Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là: y   2y   2y  (2  x 2 )e x (*).   y  ln cos x  C 1 cos x  x  C 2  sin x . 1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là y  x 2e x . 2) Tìm nghiệm tổng quát của (*). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Giải VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 1) VT (*)  (x  4x  2)e x  2(2x  x 2 )e x  2x 2e x 2 y   y   2 sin 2x  4 cos 2x ,  (2  x 2 )e x  VP(*)  đpcm. biết 1 nghiệm riêng là y   cos 2x . 2) Xét phương trình thuần nhất y   2y   2y  0 (**): Giải. Phương trình y   y   0 có: k 2  2k  2  0  k1,2  1  i . k 2  k  0  k1  0, k2  1 Suy ra (**) có nghiệm tổng quát:  y   y   0 có nghiệm tổng quát y  C 1  C 2e x . y  e x (C 1 cos x  C 2 sin x ). Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là: Vậy (*) có nghiệm tổng quát là: y  C 1  C 2ex  cos 2x . y  x 2e x  e x (C 1 cos x  C 2 sin x ). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Phương pháp chồng chất nghiệm VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của y   y   2 cos2 x (*). • Định lý Cho biết y   y   1 và y   y   cos 2x lần lượt có 2 1 Cho phương trình vi phân: nghiệm riêng y1  x , y2   cos 2x  sin 2x . y   a1y   a2y  f1(x )  f2 (x ) (7). 10 10 Nếu y1(x ) và y2 (x ) lần lượt là nghiệm riêng của Giải. Ta có: y   y   2 cos2 x  y   y   1  cos 2x . y   a1y   a2y  f1(x ), y   a1y   a2y  f2 (x ) Suy ra (*) có nghiệm riêng là: thì nghiệm riêng của (7) là: 2 1 y  x  cos 2x  sin 2x . y  y1(x )  y2 (x ). 10 10 8
  9. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình Mặt khác, phương trình thuần nhất y   y   0 vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng có nghiệm tổng quát là y  C 1  C 2e x . Xét phương trình y   a1y   a2y  f (x ) (6) Vậy phương trình (*) có nghiệm tổng quát là: và y   a1y   a2y  0 (4). 2 1 y  C 1  C 2e x  x  cos 2x  sin 2x . 10 10 • Trường hợp 1: f(x) có dạng eαxPn(x) (Pn (x ) là đa thức bậc n ). Bước 1. Nghiệm riêng của (6) có dạng: y  x me xQn (x ) (Qn (x ) là đa thức đầy đủ bậc n ). Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Bước 2. Xác định m : VD 16. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: 1) Nếu  không là nghiệm của phương trình đặc trưng y   2y   3y  e 3x (x 2  1). của (4) thì m  0 . Giải. Ta có f (x )  e 3x (x 2  1),   3, P2 (x )  x 2  1. 2) Nếu  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng của (4) thì m  1. Suy ra nghiệm riêng có dạng: y  x me 3x (Ax 2  Bx  C ) . 3) Nếu  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng của (4) thì m  2 . Do   3 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng k 2  2k  3  0 nên m  1. Bước 3. Thế y  x m .e xQn (x ) vào (6) và đồng nhất thức Suy ra nghiệm riêng có dạng y  xe 3x (Ax 2  Bx  C ). ta được nghiệm riêng cần tìm. Ø Chương 8. Phương trình vi phân Ø Chương 8. Phương trình vi phân Thế y  xe (Ax  Bx  C ) vào phương trình đã cho, 3x 2 VD 17. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: đồng nhất thức ta được: y   2y   y  xe x  2e x . 1 1 9 A , B  ,C  . Giải. Xét phương trình y   2y   y  xe x (1). 12 16 32 Ta có f (x )  xe x ,   1, P1(x )  x . 1 1 9 Vậy nghiệm riêng là y  xe 3x  x 2  x  . Dạng nghiệm riêng của (1) là y1  x me x (Ax  B ). 12 16 32  Do   1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng k 2  2k  1  0 nên m  0  y1  e x (Ax  B ). 9
  10. 10/13/2012 Ø Chương 8. Phương trình vi phân Xét phương trình y   2y   y  2e x (2). Ta có f (x )  2e x ,   1, P0 (x )  2 . Nghiệm riêng của (2) có dạng y  Cx me x . Do   1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng k 2  2k  1  0 nên m  2  y2  Cx 2e x . Áp dụng nguyên lý chồng nghiệm, suy ra nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: y  y1  y2  e x (Ax  B )  Cx 2e x . 10
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2