zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - ThS. Lê Trường Giang

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Báo xấu

7
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp: Chương 4 - Dạng toàn phương" trình bày những nội dung chính sau đây: Chéo hóa ma trận; Phép biến đổi tuyến tính; Giá trị riêng, vectơ riêng; Chéo hóa ma trận vuông; Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng; Tính lũy thừa ma trận; Khái niệm dạng toàn phương; Xác định dấu của dạng toàn phương;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - ThS. Lê Trường Giang

1
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG NỘI DUNG: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  4.1. Chéo hóa ma trận  4.2. Dạng toàn phƣơng 2
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG 4.1. CHÉO HÓA MA TRẬN Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 4.1.1. Phép biến đổi tuyến tính 1) Định nghĩa Một phép biến đổi tuyến tính của không gian n là một n hàm T từ tới chính nó thỏa mãn: x, y  n ;T  x  y   T  x   T  y  x  n ,   ;T  x   T(x) Qua định nghĩa trên ta nhận thấy rằng phép biến đổi tuyến tính bảo toàn hai phép toán cộng và nhân trong n không gian vectơ . 3
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG 2) Tính chất Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang a) T biến vectơ không thành vectơ không, b) T biến một tổ hợp tuyến tính của một hệ vectơ thành một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ ảnh, c) T biến một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính thành một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính. 4.1.2. Giá trị riêng, Vectơ riêng 1) Định nghĩa Cho ma trận vuông A cấp n. Số  là giá trị riêng của ma trận A và vectơ n-chiều khác không x là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  nếu 4 Ax  x
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  x1  x  Trong đó ta ký hiệu: x     2    xn  2) Tính chất a) Nếu A có vectơ riêng x ứng với giá trị riêng  thì cx  c  0,c   cũng là vectơ riêng ứng với  . b) Nếu  là giá trị riêng của A thì  n là giá trị riêng của An 5
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG c) Nếu  là giá trị riêng của A và det  A   0 thì   n Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang n là giá trị riêng của A d) Nếu  là giá trị riêng của A thì f    là giá trị riêng của f  A  e) Nếu 1 ,  2 , ,  n là các giá trị riêng của A suy ra: n det  A   1 ,  2 , ,  n   i ; i 1 n det f  A   f  1  f   2  f   n    f  i  i 1 3) Định lý 6  là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi nó là nghiệm của phương trình đặc trưng det  A  I   0
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG 4) Ma trận đồng dạng Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Hai ma trận vuông A và B cấp n là đồng dạng với nhau nếu tồn tại một ma trận vuông không suy biến P sao cho A  P 1BP Hai ma trận đồng dạng với nhau có cùng tập hợp các giá trị riêng. 4.1.3. Chéo hóa ma trận vuông 1) Định nghĩa Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một ma trận vuông P không suy biến thỏa mãn: 1 7 D  P AP
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG Trong đó:  1  Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  2  D        n  được gọi là ma trận chéo (dạng chéo của ma trận A). Các phần tử nằm trên đường chéo chính của D chính là các giá trị riêng của ma trận A.  P được gọi là ma trận làm chéo A (ma trận làm cho A chéo hóa được). Các cột của P chính là các vectơ riêng tương ứng. 2) Chú ý: Ma trận A chéo hóa được khi nó đồng dạng 8 với ma trận D.
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG 3) Định lý Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang a) Ma trận vuông A cấp n là chéo hóa được khi và chỉ khi A có n giá trị riêng phân biệt. b) Ma trận vuông A cấp n là chéo hóa được khi và chỉ khi A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính. b’) Ma trận vuông A cấp n là chéo hóa được khi và chỉ khi A có n giá trị giá trị riêng (kể cả số lần bội) và ứng với vectơ riêng bội m có m vectơ riêng độc lập tuyến tính. 9
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG 4.1.4. Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1) Định nghĩa  A là ma trận đối xứng  A  A T  P là ma trận trực giao  P.P T  P T .P  I  P T  P 1  Nếu tồn tại ma trận trực giao P sao cho P 1AP là ma trận chéo thì A là ma trận chéo hóa trực giao được và P là ma trận làm chéo hóa trực giao A. 2) Định lý: a) Ma trận vuông A cấp n là đối xứng khi và chỉ khi A chéo hóa trực giao được. b) Mọi ma trận đối xứng A đều chéo hóa được, hơn nữa T luôn có thể tìm được ma trận trực giao P sao cho P AP 10 là có dạng chéo.
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG 4.1.5. Tính lũy thừa ma trận Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Cho ma trận A chéo hóa được, khi đó tồn tại ma trận không suy biến P sao cho: D  P 1AP  A  PDP 1  1 n    n  A n  PD n P 1  P  2  P 1    n  n  Do đó ta tính được A n một cách đơn giản. 11
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ví dụ 4.1. Chéo hóa ma trận sau: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 2 1 0 A  0 1 0   0 0 2   Ví dụ 4.2. Chéo hóa ma trận sau: 3 2 1 A 0 2 0   1 2 3   Ví dụ 4.3. Chéo hóa ma trận sau (nếu được):  2 4 3 A   4 6 3  12    3 3 1  
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ví dụ 4.4. Tìm ma trận B thuộc M 3   sao cho B4  A Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang trong đó:  11 5 5  A   5 3 3     5 3 3    Ví dụ 4.5. Cho ma trận:  1 2 1  A  1 1 0     2 0 1    Tính A 2016 ? 13
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ví dụ 4.6. Cho ma trận Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1 3 3 A   3 5 3    3 3 1   n Tính A ? 14
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG 4.2. DẠNG TOÀN PHƢƠNG Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 4.2.1. Khái niệm dạng toàn phƣơng 1) Dạng toàn phương của n biến x1 , x 2 , , x n (hay dạng toàn phương trong n ) là hàm Q từ n đến cho bởi biểu thức n n Q(x)   a ijx i x j với a ij  a ji i 1 j1 Hoặc biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: Q  x   xA  x  15
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG Trong đó A là ma trận đối xứng cấp n; x   x1 , x 2 , , x n  Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Và  x   x . Ma trận A và hạng của nó được gọi là ma T trận và hạng của dạng toàn phương Q  x  2) Dạng chính tắc là dạng toàn phương trong n chỉ chứa các bình phương của các biến Q  x   a 1x 1  a 2 x 2  2 2  a mxm 2 Khi đó ma trận của dạng chính tắc có dạng  a1 0 0 0 a 0  A  2    16   0 0 am 
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG Ta nhận thấy hạng của ma trận đường chéo chính bằng Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang số phần tử khác không trên đường chéo chính, do đó số các hệ số khác không của dạng toàn phương chính tắc bằng hạng của dạng toàn phương đó. 4.2.2. Đƣa dạng toàn phƣơng về dạng chính tắc Sau đây là một số phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 1) Phương pháp Lagrange Cho dạng toàn phương: Q  x   a11x1  2a12 x1x 2  2  2a1n x1x n  17
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG  Trường hợp 1: (Q  x  tồn tại hệ số a ii  0 ) Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang + Bước 1: Giả sử a11  0 , ta tách tất cả các số hạng chứa x1 trong Q  x  và thêm hoặc bớt để có dạng: Q  x   a11x1  2a12 x1x 2  2  2a1n x1x n  2  a12 a1n   a11  x1  x2   x n   Q1  x 2 ; x 3 ; ; x n   a11 a11  Ta biến đổi: 18
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG  a12 a1n Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  y1  x1  a x 2   a x n  11 11  yi  x i  i  2, ,n    a12 a1n  x1  y1  a x 2   a x n  11 11  x i  yi  i  2, ,n   Khi đó: Q  x   a11y1  Q1  y 2 ; y3 ; ; y n  2 + Bước 2: Tiếp tục làm như bước 1 cho Q1  y 2 ; y3 ; ; y n  Cứ như vậy ta sẽ được dạng chính tắc của dạng toàn 19 phương Q  x  .
Chƣơng 4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG  Trường hợp 2: ( Q  x  có tất cả các hệ số a ii  0 ) Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang + Bước 1: Giả sử a12  0 , ta thực hiện đổi biến  x1  y1  y 2   x 2  y1  y 2  x  y  i  3, ,n   i i Khi đó Q  x   2a12 y1  2a12 y 2  có hệ số của y1  0 2 2 2 + Bước 2: Ta thực hiện theo trường hợp 1. 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.