Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận, định thức và ma trận ngịch đảo (2019)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

162
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận, định thức và ma trận ngịch đảo" cung cấp cho người học các kiến thức: Ma trận, các loại ma trận, phép toán ma trận, cộng, trừ, nhân vô hướng, nhân hai ma trận, ma trận nghịch đảo, ứng dụng ma trận. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận, định thức và ma trận ngịch đảo (2019)

10/10/2019 NỘI DUNG  Ma trận  Các loại ma trận  Phép toán ma trận:  Cộng  Trừ  Nhân vô hướng  Nhân hai ma trận  Ma trận nghịch đảo MA TRẬN - ĐỊNH THỨC &  Ứng dụng ma trận CHƯƠNG 1 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 10/10/2019 1 10/10/2019 2 ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN VÍ DỤ Một ma trận cấp Một ma trận cấp 2x3 // 2 dòng, 3 cột mxn là một bảng số hình chữ nhật gồm (1,3)-phần tử mxn phần tử, gồm m 7 -3 1/2 a[1,3] = 1/2 A= hàng và n cột. 3 -5 0 a13 = 1/2 (m x n): cấp của ma a11 a12 a1n trận a21 a22 a 2n A = [aij] // aij is called hay A (i, j)-entry 3 x 3matrix, am 1 am 2 amn a square matrix 3 x 1 matrix column matrix 10/10/2019 3 10/10/2019 4 VÍ DỤ CÁC LOẠI MA TRẬN  Ma trận vuông Ký hiệu ma trận: A a ij m n  Ma trận không  Ma trận hàng - ma trận cột Ví dụ: 1 2 7 0  Ma trận tam giác trên – dưới A 4 5 7 1  Ma trận chéo 0 2 8 9  Ma trận đơn vị  Ma trận chuyển vị Đây là ma trận thực cấp 3x4. Gồm có 3 hàng và 4 cột  Ma trận bậc thang Các phần tử  Ma trận đối xứng a11 1 a12 2 a13 7 a14 0  Ma trận phản đối xứng a22 10/10/2019 5 a 32 ? 5 10/10/2019 6 1
10/10/2019 MA TRẬN VUÔNG MA TRẬN KHÔNG Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n. Tất cả các phần tử đều bằng 0. a11 a12 a1n Ký hiệu: 0 hay 0mxn a21 a22 a 2n 0 0 0 A a ij n n 0 0 0 0m 0 an 1 an 2 ann n 0 0 0 Đường chéo chính gồm các phần tử: a11, a22,..., ann 10/10/2019 7 10/10/2019 8 MA TRẬN HÀNG, CỘT MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN 1 2 3 4 Ma trận hàng: chỉ có một hàng 1 2 3 Ma trận cột: chỉ có một cột 0 0 2 1 A 0 4 5 B 0 0 8 9 1 0 0 6 0 0 0 4 2 A 1 2 3 4 5 B Ma trận vuông 4 Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0 5 aij 0 i j 10/10/2019 9 10/10/2019 10 MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI MA TRẬN CHÉO 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 a 0 A 3 4 0 B A 0 4 0 B C 0 6 8 0 0 0 8 0 0 b 5 0 6 0 0 6 9 3 1 4 0 0 0 4 Ma trận vuông  Ma trận vuông Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0  Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0  Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0 aij 0 i j aij 0 i j 10/10/2019 11 10/10/2019 12 2
10/10/2019 MA TRẬN ĐƠN VỊ MA TRẬN BẬC THANG – STAIRCASE MATRIX 1 0 0 0 Phần tử cơ sở của hàng: phần tử khác 0 đầu tiên của 1 0 0 một hàng kể từ bên trái. 1 0 0 1 0 0 I2 I3 0 1 0 I4 Ma trận bậc thang: 0 1 0 0 1 0  Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới 0 0 1 0 0 0 1 cùng.  Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng Ma trận chéo cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên. Các phần tử chéo đều bằng 1. Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n 10/10/2019 13 10/10/2019 14 VÍ DỤ 1 VÍ DỤ 2 2 1 0 0 2 1 0 0 bậc thang 0 0 7 1 Không là bậc 0 4 8 9 A C 0 4 8 9 thang 0 0 7 1 0 0 0 9 0 0 0 0 3 1 0 0 3 3 1 0 0 3 B 0 0 0 1 2 Không là bậc D 0 0 3 1 2 bậc thang thang 0 0 0 9 1 0 0 0 9 1 10/10/2019 15 10/10/2019 16 MA TRẬN CHUYỂN VỊ MA TRẬN ĐỐI XỨNG – PHẢN ĐỐI XỨNG 10/10/2019 17 10/10/2019 18 3
10/10/2019 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN HÀNG VÍ DỤ 3 1. Đổi chỗ hai hàng với nhau Thực hiện phép biến đổi ma trận sau: hi hj 1 2 3 4 2. Thay một hàng bởi hàng đó nhân với một số khác 0 h2 h3 h2 h2 2h1 A 8 7 5 3 ? h3 h3 8h1 ?? hi k .hi k 0 3. Thay một hàng bởi hàng đó cộng với hàng khác nhân với 2 3 0 1 một số. h3 h 3 9h2 ?? A' hi hi .h j Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương hàng với ma trận A. 4. Tổng hợp phép 2 và 3. Ký hiệu: A’ ~ A hi k .hi .h j Tương tự ta có các phép bđsc trên cột. 10/10/2019 19 10/10/2019 20 ĐƯA MA TRẬN VỀ DẠNG BẬC THANG VÍ DỤ 4 Định lý. Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. Chú ý. Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau elementary row operations A A' arbitrary form staircase form, not unique 10/10/2019 21 10/10/2019 22 VÍ DỤ 4 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 1. Ma trận bằng nhau 2. Cộng hai ma trận cùng cấp 3. Nhân một số với ma trận 4. Nhân hai ma trận 5. Lũy thừa của một ma trận 10/10/2019 23 10/10/2019 24 4
10/10/2019 HAI MA TRẬN BẰNG NHAU PHÉP TOÁN MA TRẬN Hai ma trận A và B bằng nhau (ký hiệu A = B) khi và chỉ khi: Cộng hai ma trận A + B = [aij + bij] Hai ma trận 1. Chúng có cùng cấp. phải cùng cấp 2. Các phần tử tương ứng bằng nhau. Trừ hai ma trận A – B = [aij – bij] Nhân vô hướng Example. Given Nhân hai ma trận discuss the possibility that A = B, B = C, A = C 10/10/2019 25 10/10/2019 26 CỘNG HAI MA TRẬN CỘNG HAI MA TRẬN Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp Cộng các phần tử tương ứng với nhau 1 2 4 3 2 6 A ; B 3 0 5 1 5 7 a 1 2 d A B b c 4 5 a) A B a 2 1 d A B b 4 c 5 b) A B Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp c)B A 10/10/2019 27 10/10/2019 28 NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN TÍNH CHẤT Nhân một số với ma trận ta lấy số đó nhân vào tất cả các a) A B B A b) A B C A B C phần tử của ma trận. c) A 0 A d)k A B kA kB Ví dụ. e) k mA km A f) k m A kA mA a 1 2a 2 A 2A Example. Given that : b c 2b 2c 1 2 3 4 0 2 10 4 A 8 7 5 3 B 1 7 6 0 2 10 6 2 3 0 1 2 3 2 4 use your B B 2 4 5 x Compute : calculator 1 2 a) A B b)2A 3B c) A B 3 7 10/10/2019 29 10/10/2019 30 5
10/10/2019 VÍ DỤ ADDITION. DIFFERENCE SCALAR MULTIPLICATION Rút gọn biểu thức: day 1 addition 2(A + 3C) - 3(2C-B) - 3[2(2A +B - 4C) - 4(A - 2C)] difference Trong đó A, B, C là các ma trận cùng cấp. day 1 + day 2? day 1 – day 2? Đáp án: 2A-3B day 2 2(day 1)? Scalar multiplication 110 230 280 300 155 389 35 117 201 10/10/2019 31 10/10/2019 32 PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN - INTRO PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN peanuts soda hot dogs group A 8 5 12 Am  n . Bn  p = Cm  p // cấp và thứ tự phải phù hợp group B 15 7 13 Phần tử cij = (hàng i của A).(cột j của B) selling price store 1 store 2 store 3 store 4 peanuts 2 2.5 2 2.5 soda 2.5 2 2.75 2  1 2 1.1+2.1 3 4 1 2    1 0  1 2    hot dogs 3 3 2.5 3  0  1      -1 -2 -1 0    2 0  1 2 1 0   -2 0 2 -4  8x2.5 + 5x2 + 12x3 = 66$     store 1 store 2 store 3 store 4 Q. Điều kiện để hai ma trận nhân được với nhau? group A 64.5 66 59.75 66 group B 86.5 87.5 81.75 90.5 A. 10/10/2019 33 10/10/2019 34 VÍ DỤ 5 QUI TẮC NHÂN HAI MA TRẬN Các ma trận nào nhân được với nhau? Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của 1 2 3 4 0 2 10 4 ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau. A 8 7 5 3 B 1 7 6 0 cij hang i cot j 2 3 0 1 2 3 2 4 C A B 1 2 2 4 1 2 3 Ví dụ. Muốn tìm phần tử c23 ta lấy hàng 2 của A nhận với C D cột 3 của B. (giống nhân tích vô hướng các vecto) 0 1 2 4 1 3 7 10/10/2019 35 10/10/2019 36 6
10/10/2019 VÍ DỤ 6 VÍ DỤ 7. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN 10/10/2019 37 10/10/2019 38 TÍNH CHẤT ỨNG DỤNG (3, 5)  (2, 3) A   (4, 3)  (5,0) (0, 0) D= 0 5 2 4 3 0 0 3 3 5  A 2 0 Cho A = , 𝑇ì𝑚 𝐴𝐷. 0 2     0 10 4 8 6 0 0 6 6 10 10/10/2019 39 10/10/2019 40 LŨY THỪA CỦA MA TRẬN VÍ DỤ 8 10/10/2019 41 10/10/2019 42 7
10/10/2019 VÍ DỤ 9 VÍ DỤ 10 10/10/2019 43 10/10/2019 44 VÍ DỤ 11 HẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa. Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang E. Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng khác không của ma trận bậc thang Ký hiệu: r(A) hay rank(A) r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E Ma trận bậc thang của A: A→..bđsc theo dòng… →A’ (có dạng bậc thang) 10/10/2019 45 10/10/2019 46 VÍ DỤ 12 VÍ DỤ 13 Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp tìm hạng các ma trận sau. 1 0 3 2   2 0 1 2  A   0 1 2 1 B  0 1 2 3       2 0 6 4   5 0 6 4  1 2 3 3   2 3 1 4  C   2 4 6 9  D   3 4 2 9   2 6 7 6  2 0  1  3      10/10/2019 47 10/10/2019 48 8
10/10/2019 VÍ DỤ 14 TÍNH CHẤT Tìm hạng của ma trận i) r A r AT 3 21 0 9 0 ii ) A B thì r A r B 1 7 1 2 1 iii ) A aij thì r A min m, n m n A iv ) r A 0 A 0 2 14 0 6 1 6 42 1 13 0 10/10/2019 49 10/10/2019 50 VÍ DỤ 15 VÍ DỤ 16 10/10/2019 51 10/10/2019 52 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÍ DỤ Định nghĩa. Cho A là một ma trận vuông A, ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo (inverse) của ma trận A nếu: A.B I B.A I Ma trận A có ma trận nghịch đảo thì được gọi là ma trận khả nghịch (invertible matrix) Ma trận nghịch đảo của A kí hiệu là A-1 Tính chất: A.A 1 I 1 A .A I 10/10/2019 53 10/10/2019 54 9
10/10/2019 CHÚ Ý THE INVERSE OF 2X2 MATRICES  Chỉ ma trận vuông mới có thể khả nghịch (khả đảo) a b 1 1 d b A A  Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch. c d ad bc c a Có rất nhiều ma trận vuông không khả nghịch  Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến. determinant of A, denoted by det(A)  Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến. Example: 1 2 1 1 3 2 A A 4 3 5 4 1 10/10/2019 55 10/10/2019 56 MA TRẬN SƠ CẤP CHÚ Ý Ma trận thu được từ ma trận đơn vị I bằng đúng 1 phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp.  Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A đồng nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương Ví dụ. ứng.  Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A đồng nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương ứng. 10/10/2019 57 10/10/2019 58 VÍ DỤ 17 BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ta có: 10/10/2019 59 10/10/2019 60 10
10/10/2019 VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 10/10/2019 61 10/10/2019 62 CLASS WORK TÍNH CHẤT Cho hai ma trận A, B đều khả nghịch. Ta có: Hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có. 1 1 i) A A 1 ii ) A.B B 1.A 1 T 1 1 iii ) A AT iv ) A.B AC. B C v ) B.A C .A B C 10/10/2019 63 10/10/2019 64 SỰ TỒN TẠI MA TRẬN KHẢ NGHỊCH VÍ DỤ 19 Tìm m để các ma trận sau khả nghịch. 1 1 2 1 1 1 1 A 2 1 m B 2 3 1 4 3 2 1 3 3 m m 1 10/10/2019 65 10/10/2019 66 11
10/10/2019 VÍ DỤ COROLLARY If A and C are square matrices such that AC = I, then also CA = I. In particular, both A and C are invertible: C = A-1, and A = C-1. Corollary above is false if A and C are not square matrices 10/10/2019 67 10/10/2019 68 TỔNG HỢP BÀI 1 Ma trận là gì? Phân loại? Các phép toán với ma trận? Hạng của ma trận? Ma trận khả nghịch? 10/10/2019 69 10/10/2019 70 BÀI 2 BÀI 3 10/10/2019 71 10/10/2019 72 12
10/10/2019 BÀI 4 BÀI 5 10/10/2019 73 10/10/2019 74 BÀI 6 ĐỊNH THỨC DETERMINANT 10/10/2019 75 10/10/2019 76 NỘI DUNG ĐỊNH THỨC  Cách tính định thức của một ma trận vuông Cho ma trận A vuông, cấp n.  Biến đổi định thức Định thức của ma trận A, ký hiệu:  Ứng dụng định thức det A hay A Đây là một số thực, được xác định dựa trên các phần tử trong ma trận. 10/10/2019 77 10/10/2019 78 13
10/10/2019 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP 1, 2 ĐỊNH THỨC (MA TRẬN VUÔNG) CẤP 3 Ma trận vuông cấp 1: A a11 + - + 1 1 𝑎 𝑏 𝑐 𝐴= 𝑑 𝑒 𝑓 det A a11 hay A a11 𝑔 ℎ 𝑖 Ma trận vuông cấp 2: det(A) = det A a11.a22 a21.a12 𝑒 𝑓 𝑑 𝑓 𝑑 𝑒 +a.det - b.det + c.det a11 a12 ℎ 𝑖 𝑔 𝑖 𝑔 ℎ A a21 a22 a11 a12 2 2 a11.a22 a21.a12 = aei – afh – (bdi – bgf) + cdh – cge a21 a22 10/10/2019 79 10/10/2019 80 QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3 VÍ DỤ Ta có quy tắc Sarrus. Tính các định thức sau bằng quy tắc Sarrus det A a11.a22 .a 33 a12 .a23 .a 31 a13 .a 21.a 32 1 2 3 1 2 1 a 31.a22 .a13 a 32 .a23 .a11 a 33.a 21.a12 A 0 5 7 C 0 1 0 1 2 8 m 2m 2 2 a11 a12 a13 a11 a12 5 7 6 0 m 1 1 A a21 a 22 a 23 a 21 a 22 B 1 2 5 D 1 2 2 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 0 3 9 3 m 3 10/10/2019 81 10/10/2019 82 ĐỊNH THỨC CẤP N TỔNG QUÁT VÍ DỤ 1 Dùng phần bù đại số và khai triển theo hàng (cột) Cho ma trận: a11 a12 ...... a1n 3 21 0 9 a21 a 22 ...... a 2n A 1 7 1 2 ............................. A 2 14 0 6 an 1 an 2 ...... ann n n 6 42 1 13 Ký hiệu Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ 4 4 đi hàng thứ i và cột thứ j. Phần bù đại số (cofactor) của phần tử aij ký hiệu và xác định M23=??? Cofactor(a23)= A23=??? như sau: i j i j Aij 1 det M ij 1 M ij Giá trị, số Ma trận 10/10/2019 83 10/10/2019 84 14
10/10/2019 VÍ DỤ 1 KHAI TRIỂN THEO HÀNG/CỘT 3 21 9 Định thức của ma trận vuông cấp n: M 23 boû haøng 2 vaø coät 3 M 23 2 14 6 6 42 13 det A a11.A11 a12 .A12 ... a1nA1n Đây là khai triển theo dòng 1. Ta có thể khai triển dòng bất kỳ hoặt cột bất kỳ. A23 ??? n det A ai 1Ai 1 ai 2Ai 2 ain Ain a ijAij j 1 n detA = a1jA1j + a 2jA 2j + a njA nj = a ijA ij i=1 10/10/2019 85 10/10/2019 86 TỔNG QUÁT VÍ DỤ 3 1 2 3 Tính định thức sau: A 0 5 7 a)k 1: A a11 thì det A a11 1 1 a11 a12 0 2 8 b) k 2 :A thì det A a11.a 22 a 21.a12 a11.A11 a12 .A12 a21 a22 2 2 Khai triển theo dòng 1: a11 a12 a13 c) k 3 :A a 21 a 22 a 23 thì det A a11.A11 a12 .A12 a13A13 1+1 5 7 1+2 0 7 1+3 0 5 detA=1. -1 +2. -1 +3. -1 a 31 a 32 a 33 2 8 0 8 0 2 detA=1. 5.8-2.7 -2 0.8-0.7 +3 0.2-5.0 =26 Khai triển theo cột 1. 1+1 5 7 detA=1. -1 +0.A21 +0.A 31 1. 5.8-2.7 =26 2 8 Nên chọn cột có nhiều số 0 để khai triển. 10/10/2019 87 10/10/2019 88 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC Ví dụ. Tính định thức của hai ma trận sau: 1 2 3 4 21 0 0 0 0 5 7 6 2 5 0 0 A B 0 0 61 5 3 9 6 0 0 0 0 2 4 8 1 2 DETERMINANT = a 11.a 22…a nn 10/10/2019 89 10/10/2019 90 15
10/10/2019 VÍ DỤ VÍ DỤ Tìm det(A), det(B), det(AB), det(A+B) biết rằng: Tìm det(A), det(3A), det(A2) nếu: −2 1 5 −2 −2 3 𝐴= 𝑣à 𝐵= 𝐴= 3 2 1 4 1 5 det(A.B) = det(A).det(B) o det(cA) = cndet(A) o det(Ak) = [det(A)]k det(A+B)  det(A) + det(B) 10/10/2019 91 10/10/2019 92 TÍNH CHẤT VÍ DỤ o Tính các định thức sau: Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Ta có: −1 2 3 o det(A.B) = det(A).det(B) |𝐴| = 0 3 2 = −1.3. −2 = 6, 0 0 −2 o det(kA) = kndet(A) o det(AT) = det(A) 0 3 2 −1 2 3 = −6 // đổi dòng 1 với dòng 2 từ ma trận A, o det(A-1) = 1/det(A) 0 0 −2 o det(Ak) = [det(A)]k 2 −4 −6 0 3 2 = −12 // nhân hàng 1 của ma trận A với số -2 0 0 −2 10/10/2019 93 10/10/2019 94 VÍ DỤ BIẾN ĐỔI SƠ CẤP VÀ GIÁ TRỊ ĐỊNH THỨC o Tính định thức sau: −1 2 −2 0 5 1 = −5 2 −4 5 và −1 2 −2 0 5 1 = −5 0 0 1 Ma trận trong định thức sau có được từ ma trận ban đầu bằng cách thay dòng 3 bằng (2* dòng2 + dòng 3) Chúng có cùng định thức 10/10/2019 95 10/10/2019 96 16
10/10/2019 ELEMENTARY OPERATIONS AND DETERMINANTS EXAMPLE 10/10/2019 97 10/10/2019 98 VÍ DỤ 4 TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG BĐSC 10/10/2019 99 10/10/2019 100 VÍ DỤ 5 VÍ DỤ 5 10/10/2019 101 10/10/2019 102 17
10/10/2019 NGUYÊN TẮC TÍNH BẰNG BĐSC VÍ DỤ 6 – SINH VIÊN TỰ LÀM Tính định thức ma trận sau: 1. 1 2 3 4 1 2 3 0 5 7 6 2. A 0 5 7 B 1 2 8 5 1 2 8 0 0 0 2 3. 1 2 1 5 0 6 4 3 C= 1 3 4 6 1 2 4 5 10/10/2019 103 10/10/2019 104 VÍ DỤ ĐỊNH THỨC – HẠNG – KHẢ NGHỊCH Định thức con của ma trận: Cho A là ma trận cấp mxn. Chọn các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông cấp k này ta gọi là định thức con cấp k của A. Hỏi. Có bao nhiêu định thức con cấp k trong 1 ma trận A cấp mxn - Số cách chọn k dòng - Số cách chọn k cột  Số định thức con cấp k??? 10/10/2019 105 10/10/2019 106 VÍ DỤ 8 HẠNG CỦA MA TRẬN Cho ma trận A. Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp m.n khác O. Hạng  1 0 1 2  của ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) là cấp cao A  0 1 2 1 nhất trong các định thức con khác 0 của ma trận A.   1 1 3 3 Nếu rank(A)=r thì: Hãy lập tất cả các định thức con cấp 1; cấp 2; cấp 3? a) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A . Định thức con cấp mấy lớn nhất? b) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì phải bằng 0. 10/10/2019 107 10/10/2019 108 18
10/10/2019 ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT MA TRẬN PHỤ HỢP (CONJUGATE MATRIX) Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có:  Ma trận phụ hợp của ma trận A, ký hiệu adj(A) hay PA i) A khaû nghòch A In  Là ma trận chuyển vị của ma trận chứa các phần bù đại số của ma trận A. ii) A khaû nghòch r A n iii) A khaû nghòch det A 0 adjA   Aij  T iv) A khoâng khaû nghòch det A 0 T  A11 A12 A1n   A11 A21 ... An1  A A22 A2 n  A A22 ... An 2  Nếu ma trận A khả nghịch thì: PA   21   12    ... ... ... ...  1 1 n 1     a ) det A b) det PA det A  An1 An 2 Ann   A1n A2 n ... Ann  det A 10/10/2019 109 10/10/2019 110 VÍ DỤ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO – MA TRẬN PHỤ HỢP Cho ma trận Định lý. Nếu A là ma trận vuông thì: A) Tìm ma trận phụ hợp của A A.PA =PA.A=k.I,  k  det A B) Tính các ma trận tích sau: Nếu detA≠0 thì ma trận A khả nghịch và ma trận       nghịch đảo của A cho bởi công thức sau: A.PA           1 1             A P det A A       PA . A                       10/10/2019 111 10/10/2019 112 VÍ DỤ VÍ DỤ 9 1 1 2  2 1 3 A  0 2 1  det A  2, PA  0 1 1  Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có 0 0 1  0 0 2  3 4 6 A 0 1 1 2 1 3 1 1 / 2 3 / 2  2 3 4 PA  0 1 1   0 1 / 2 1 / 2  1 1 A1  det A 2 0 0 2  0 0 1  det A ??? Chú ý: 10/10/2019 113 10/10/2019 114 19
10/10/2019 VÍ DỤ 9 VÍ DỤ 9 Ta có: Bước 1. Tính detA 1 1 0 1 0 1 A11 1 A12 2 A13 2 Ta có: 3 4 2 4 2 3 4 6 3 6 3 4 A21 2 A22 0 A23 1 3 4 2 4 2 3 3 4 6 3 4 2 3 2 4 6 3 6 3 4 det A 0 1 1 0 1 0 1 A31 1 1 2 A32 0 1 3 A33 0 1 3 2 1 2 3 4 2 3 1 T detA≠0 nên ma trận A khả nghịch. A11 1 A12 2 A13 2 1 2 2 A21 2 A22 0 A23 1 PA 2 0 1 Ta tìm các phần bù đại số và lập ma trận phụ hợp PA A31 2 A32 3 A33 3 2 3 3 10/10/2019 115 10/10/2019 116 VÍ DỤ 13 BÀI 1 Ta có: Tính định thức của các ma trận sau: T 1 2 2 1 2 2 PA 2 0 1 2 0 3 2 3 3 2 1 3 B 1 2 2 1 2 2 1 1 A P 2 0 3 2 0 3 det A A 1 2 1 3 2 1 3 10/10/2019 117 10/10/2019 118 BÀI 2 BÀI 3 10/10/2019 119 10/10/2019 120 20