intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 - ThS. Lê Trường Giang

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST
Báo xấu
14
lượt xem 1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp: Chương 8 - Phép tính vi phân hàm nhiều biến" trình bày những nội dung chính sau đây: Định nghĩa hàm hai biến; Giới hạn và liên tục; Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần; Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân toàn phần cấp cao;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 - ThS. Lê Trường Giang

  1. 1
  2. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN NỘI DUNG: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  8.1. Định nghĩa hàm hai biến  8.2. Giới hạn và liên tục  8.3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần  8.4. Đạo hàm riêng cấp cao và Vi phân toàn phần cấp cao  8.5. Cực trị 2
  3. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Phép tính vi phân là một phần của giải tích toán Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang học nghiên cứu đạo hàm và vi phân của hàm số và ứng dụng để nghiên cứu hàm số. Hình thành vào cuối thế kỷ 17 như là một bộ môn toán học độc lập, phép tính vi phân gắn liền với tên tuổi của Newton và Leibniz. Hai nhà toán học này đã xây dựng những luận đề cơ bản của phép tính vi phân và đã nêu rõ tính nghịch đảo của các phép lấy vi phân và lấy tích phân. Kể từ đó, phép tính vi phân phát triển trong mối quan hệ chặt chẽ với phép tính tích phân và cả hai hợp thành phần cơ bản của giải tích toán học. 3
  4. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Sự sáng tạo ra các phép tính vi phân và tích phân Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang mở ra một thời kì mới trong sự phát triển của toán học. Nó kéo theo sự xuất hiện hàng loạt các bộ môn toán học. Các phương pháp của giải tích toán học được ứng dụng trong nhiều nghành toán học. Phạm vi áp dụng toán học trong khoa học tự nhiên và kĩ thuật được mở rộng nhiều. Phép tính vi phân hàm một biến đã được chúng ta nghiên cứu ở chương 5 và chương 6. Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu phép tính vi phân hàm nhiều biến. 4
  5. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 8.1. ĐỊNH NGHĨA HÀM HAI BIẾN Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  Cho tập D  ,D  0 , hàm số f : D  là một quy 2 tắc cho tương ứng mỗi điểm  x, y   D với một z  được gọi là hàm hai biến thực. Kí hiệu z  f  x, y  Ví dụ 8.1. Ta có các hàm 2 biến sau: a) f  x, y   4x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3 1  xy b) f  x, y   2 x  y2 c) f  x, y    x  y  sin 2 2 1 5 xy
  6. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN  Miền D ở trên được gọi là miền xác định của f  x, y  . Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Nếu f  x, y  là một biểu thức giải tích theo  x, y  mà không chỉ rõ miền xác định thì miền xác định của hàm f  x, y  là tập hợp những điểm  x, y  làm cho nó có nghĩa. 1  xy Ví dụ 8.2. Tìm miền xác định của f  x, y   2 x  y2 6
  7. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 8.2. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 8.2.1. Giới hạn Định nghĩa: Hàm số f  x, y  được gọi là có giới hạn L  khi  x, y    x 0 , y0 , nếu   0,   0 :   x, y  thỏa 0  x  x 0    y  y0     f  x, y   L   2 2 Kí hiệu: lim f  x, y   L  x,y  x 0 ,y0  7
  8. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 8.3. Tính các giới hạn sau: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1  xy a) lim  x,y  0,1 x 2  y 2 b) lim  x  y  sin 2 2 1  x,y  0,0  xy 8.2.2. Liên tục Định nghĩa: Hàm số f : D  được gọi là liên tục tại điểm  x 0 , y0   D nếu: lim f  x, y   f  x 0 , y 0  8  x,y  x 0 ,y0 
  9. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 8.4. Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang a) Cho hàm số  xy 2  2 khi  x, y    0,0  f  x, y    x  y 2  a khi  x, y    0,0   Tìm a để f  x, y  là hàm liên tục tại (0,0). b) Cho hàm số  x 2 y2  4 khi  x, y    0,0  f  x, y    x  y 4  a khi  x, y    0,0   9
  10. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 8.3. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 8.3.1. Đạo hàm riêng 1. Định nghĩa Cho hàm hai biến z  f  x, y  xác định trên miền D và  x 0 , y0   D f  x 0  x, y 0   f  x 0 , y 0  i. Nếu giới hạn x 0 lim tồn tại và x  x0 hữu hạn thì giới hạn này được gọi là đạo hàm riêng theo biến x của f  x, y  tại  x 0 , y 0  . f  x 0 , y 0  Kí hiệu hoặc f x  x 0 , y 0  .  10 x
  11. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN f  x, y 0   f  x 0 , y 0  Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang f x  x 0 , y0   lim  x x 0 x  x0 f  x 0 , y 0  y   f  x 0 , y 0  ii. Nếu giới hạn y0 lim tồn tại và y hữu hạn thì giới hạn này được gọi là đạo hàm riêng theo biến y của f  x, y  tại  x 0 , y 0  f  x 0 , y 0  Kí hiệu hoặc f y  x 0 , y0 .  y f (x 0 , y)  f (x 0 , y 0 ) f y  x 0 , y 0   lim  11 y y0 y  y0
  12. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 2) Đạo hàm của hàm ẩn Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  Hàm ẩn: giả sử y là một hàm theo biến x ma ta chỉ biết giữa y và x liên hệ với nhau bởi phương trình. F(x, y)  0 (1) Khi đó y được gọi là hàm ẩn của biến x xác định bởi phương trình (1). Ta phát biểu tương tự cho hàm nhiều biến.  Đạo hàm của hàm ẩn: cho hàm ẩn 12
  13. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 8.5.1. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang sau: a) f (x, y)  x 2 y3  2x  3y  1 . Tìm f x (1,0) và f y (0,3)   x b) f (x, y)  y c) f (x, y)  x y  d) f  x, y   ln x  x 2  y 2  x e) f  x; y   y sin 2 y y 13 f ) f  x, y   arctan x
  14. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 8.5.2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang y a) e  x  y . Tìm y ? x z z b) xyz  x  y  z . Tìm ; ? x y 14
  15. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 8.3.2. Vi phân toàn phần Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Định nghĩa: Nếu hàm số z  f (x, y) khả vi tại  x 0 , y 0  thì biểu thức f  x 0 , y 0  f (x 0 , y 0 ) x  y x y được gọi là vi phân toàn phần của hàmf (x, y) tại điểm  x 0 , y0  . Kí hiệu là df  x 0 , y0 . Khi đó df  x, y   f x  x, y  dx  f y  x, y  dy   15
  16. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ 8.6. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang x 3  y3 a) f (x, y)  2 x  y2 b) f (x, y)  sin(x 2  y 2 ) c) f (x, y)  e x (cos y  x sin y) xy d) f (x, y)  arctan xy e) f  x, y   x y2 f ) f  x, y   ln  x 2  ye  x  16
  17. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 8.3.3. Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Công thức xấp xỉ: Đối với hàm một biến f  x 0   f  x 0  x   f  x 0     f  x 0  x  f  x 0   f  x 0  x    x   '  f  x 0   f   x 0  x 17
  18. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 8.3.3. Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Công thức xấp xỉ: Đối với hàm hai biến f  x 0 , y 0   f  x 0  x, y 0  y   f  x 0 , y 0       f  x 0 , y 0   f x  x 0 , y 0  x  f y  x 0 , y 0  y    x    y   2 2    f  x 0  x, y 0  y   f  x 0 , y 0   f x  x 0 , y 0  x  f y  x 0 , y 0  y   Ví dụ 8.7. a) Tính gần đúng 1,0018  ? 2 b) Tính gần đúng 1,02 3,01 ? 18
  19. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 8.4. ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO VÀ VI PHÂN Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang TOÀN PHẦN CẤP CAO 8.4.1. Đạo hàm riêng cấp cao 1) Định nghĩa: Cho hàm số z  f  x, y  có các đạo hàm riêng cấp một f f trên tập mở , D  2, đạo hàm riêng của các đạo x y hàm riêng cấp một được gọi là đạo hàm riêng cấp hai. 19
  20. Chƣơng 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Kí hiệu các đạo hàm riêng cấp hai: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  2f  x, y   f x 2  x, y    f x  x, y  x   x 2  2f  x, y   f y2  x, y    f y  x, y     y 2 y  2f  x, y   f xy  x, y    f x  x, y  y   xy  2f  x, y   f yx  x, y    f y  x, y     yx x 20 Ta định nghĩa tương tự cho các đạo hàm riêng cấp cao.
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2