zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 9 - ThS. Lê Trường Giang

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Báo xấu

17
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp: Chương 9 - Phương trình vi phân" trình bày những nội dung chính sau đây: Phương trình vi phân cấp 1; Phương trình phân li biến số; Phương trình đẳng cấp; Phương trình tuyến tính cấp 1; Phương trình Bernoulli; Phương trình vi phân cấp 2;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 9 - ThS. Lê Trường Giang

1
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NỘI DUNG: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  9.1. Phương trình vi phân cấp 1  9.2. Phương trình vi phân cấp 2 Phương trình vi phân là phương trình chứa hàm số cần tìm, đạo hàm các cấp của nó và các biến số độc lập. Lý thuyết phương trình vi phân xuất hiện từ cuối thế kỷ 17 do những đòi hỏi của cơ học và các ngành khoa học tự nhiên khác, cùng thời kỳ với phép tính tích phân và 2 phép tính vi phân.
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Các phương trình vi phân đơn giản nhất xuất hiện Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang trong các công trình của nhà bác học Anh I. Newton và nhà bác học Đức G. Leibniz; thuật ngữ “phương trình vi phân” thuộc về G. Leibniz (1676, xuất bản năm 1684). I. Newton khi sáng lập ra phép tính vi phân và tích phân đã đặt ra hai bài toán, từ mối liên hệ giữa các hàm số hãy xác định mối liên hệ giữa các đạo hàm; từ phương trình chứa đạo hàm tìm mối liên hệ giữa các hàm số. Theo quan điểm hiện nay, bài toán thứ nhất (tính đạo hàm khi biết hàm số) thuộc phép tính vi phân, bài toán thứ hai là nội dung của lý thuyết phương trình vi phân thường. 3
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài toán tìm tích phân bất định F(x) của hàm số Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang f(x) được I. Newton xem là trường hợp riêng của bài toán thứ hai. Quan điểm này của Newton đã được toán học minh chứng: trong rất nhiều trường hợp các quy luật thiên nhiên được mô tả dưới dạng phương trình vi phân và đưa đến đòi hỏi phải giải những phương trình này. Đối với hàm hai biến thì phương trình vi phân là phương trình chứa mối liên hệ giữa hai biến x,y và các đạo hàm của y. Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm của y xuất hiện trong phương trình. 4
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 9.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình mà đối đối tượng phải tìm là hàm số và hàm số phải tìm có mặt trong phương trình dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân cấp 1. Dạng phương trình: F  x, y, y   0 hay y  f  x, y  1 Nghiệm tổng quát – nghiệm riêng + Nghiệm tổng quát của (1) trong miền D  2 là hàm y    x,C  sao cho: 5
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN  Thỏa phương trình đã cho với mọi giá trị của hằng số Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang C bất kỳ thuộc một tập nào đó.  Với điều kiện ban đầu y  x 0   y 0 sao cho  x 0 , y 0   D chỉ có một giá trị duy nhất C0 thỏa mãn điều kiện ban đầu. + Nghiệm riêng y    x,C0  là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát y    x,C  ứng với giá trị C0 cụ thể. Sau đây ta sẽ nghiên cứu một số phương trình vi phân cấp 1 thường gặp: 6
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 9.1.1. Phương trình phân li biến số Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Dạng phương trình: f  x  dx  g  y  dy  0 hoặc y  f  x  Thuật toán: f  x  dx  g  y  dy  0   f  x  dx   g  y  dy  C  C  const  Ví dụ 9.1. Giải các phương trình vi phân sau: x y a) dx  dy  0 1 x 2 1 y 2 2 7 b) y  x x4 1
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 9.1.2. Phương trình đẳng cấp Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Hàm thuần nhất: Hàm f  x, y  được gọi là hàm thuần nhất bậc k nếu với bất kỳ t ta có: k  y f  tx, ty   t f  x, y  k hoặc f  x, y   x f 1,   x Dạng phương trình: f  x, y  dx  g  x, y  dy  0 Trong đó f, g là những hàm thuần nhất cùng bậc. Phương trình đẳng cấp còn có dạng sau (còn gọi là phương trình thuần nhất hay phương trình đẳng cấp bậc 0) dy 8  h  x, y  dx
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trong đó h  x, y  là hàm thuần nhất bậc 0 tức là Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang h  tx, ty   h  x, y  Thuật toán: Đưa phương trình đẳng cấp về phương trình phân li số nhờ phép biến đổi y  xz trong đó z  z  x  là hàm mới phải tìm. Ví dụ 9.2. Giải các phương trình vi phân sau a)  x  y  dx   x  y  dy  0 dy 2xy b)  2 dx x  y 2 9
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 9.1.3. Phương trình tuyến tính cấp 1 Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Dạng phương trình: y  p  x  y  q  x  Trong đó p  x  ,q  x  là hàm số liên tục trong khoảng (a, b). Thuật toán: + Xác định p  x  ,q  x  + q  x   0 thì y  C.e   p x dx  q x e  p x dx dx  C  .e   p x dx + q  x   0 thì y         10
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ví dụ 9.3. Giải các phương trình vi phân sau: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 2x a) y  y0 1 x 2 1 b) y  y  3x, x  0 x c) xy    x  1 y  3x 2 e  x , x  0 11
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 9.1.4. Phương trình Bernoulli Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Dạng phương trình: xy  p  x  y  q  y  x  (1) Trong đó p  x  ,q  x  là hàm số liên tục trong khoảng (a, b). Thuật toán: + y  0 là nghiệm    0  + y  0 , chia hai vế của (1) cho y  , ta được yy   p  x  y 1  q  x  2 12
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Đặt: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang z  y1  z  1    y  y thay vào (2) ta được phương trình tuyến tính cấp 1 không thuần nhất z  1    p  x  z  1    q  x   3 Ta giải phương trình (3) và tìm được nghiệm z    x,C  Kết luận nghiệm tổng quát là y1    x,C  Ví dụ 9.4. Giải phương trình vi phân sau: y  2xy  2x 3 y3 13
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang JAKOB BERNOULLI (1654 - 1705) Jakob Bernoulli là một nhà toán học nổi tiếng thuộc dòng họ Bernoulli ở Thụy Sĩ. Có nhiều loại trong Toán học mang tên ông: sự phân phối Bernoulli, định lý Bernoulli trong xác suất và thống kê, phương trình Bernoulli trong phương trình vi phân,… JAKOB BERNOULLI 14 (1654 - 1705)
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 9.1.5. Phương trình vi phân toàn phần Toán Cao Cấp - Th S. Lê Trường Giang Dạng phương trình: M  x, y  dx  N  x, y  dy  0 1 Trong đó vế trái của (1) là vi phân của hàm U  x, y  nào đó. Tức là M  x, y  dx  N  x, y  dy  dU  x, y  15
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Thuật toán: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang + Tính M N . So sánh M và N . Nếu M  N ; y x y x y x thì (1) là phương trình vi phân toàn phần. + Chọn  x 0 ; y 0   D, ta có: x y U  x; y    M  x; y 0  dx   N  x, y  dy  C x0 y0 x y Hoặc: U  x; y    M  x; y  dx   N  x 0 , y  dy  C x0 y0 16 + Kết luận
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ví dụ 9.5. Giải phương trình vi phân sau: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  x  y x x 1  e  dx  e 1   dy  0 y    y   17
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 9.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình mà đối tượng phải tìm là hàm số và cấp cao nhất của đạo hàm của hàm số phải tìm có mặt trong phương trình là cấp 2. Dạng phương trình: F  x; y; y; y   0 hay y  F  x; y; y   2  Nghiệm tổng quát – nghiệm riêng + Nghiệm tổng quát của (2) trong miền D  2 là hàm y    x,C1 ,C 2  thỏa mãn:  Khi thay vào phương trình đã cho ta có một đẳng thức 18 đúng.
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN  Với mọi điều kiện ban đầu y  x 0   y 0 ; y  x 0   y Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 0 sao cho  x 0 , y 0   D chỉ có một cặp giá trị duy nhất  C1 ,C2  thỏa mãn điều kiện0 ban đầu. 0 0 + Nghiệm riêng y    x,C1 ,C 2  là nghiệm nhận được 0 từ nghiệm tổng quát y    x,C1 ,C 2  ứng với giá trị C1 ,C0 cụ thể. 0 2 Sau đây ta sẽ nghiên cứu một số phương trình vi phân cấp 2 thường gặp: 19
Chương 9. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 9.2.1. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Các dạng phương trình vi phân giảm cấp được: + Khuyết y và y : y  f  x  + Khuyết y : F  x, y, y   0 + Khuyết x : F  y, y, y  0  Ví dụ 9.6. Giải phương trình vi phân sau: y  xe  x 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.