intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 - Hoàng Mạng Dũng

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST
Báo xấu
46
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm ánh xạ tuyến tính, nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính, toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu, chéo hoá ma trận,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 - Hoàng Mạng Dũng

  1. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ánh xạ tuyến tính (phép biến đổi tuyến tính) từ một không gian 5.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH véc tơ vào không gian véc tơ là ánh xạ bảo toàn phép cộng véc tơ và phép nhân một số với véc tơ 5.1.1 Định nghĩa và ví dụ Nhà toán học Peano (Italia) là người đầu tiên đưa ra khái niệm Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian véc tơ W thoả ánh xạ tuyến tính (1888) mãn với mọi u, v  V,   R:  f (fu(vu))  f (fu()u) f (v) Tương ứng giữa ánh xạ tuyến tính và ma trận của nó là một đẳng cấu bảo toàn phép cộng, phép nhân một số với ma trận và phép nhân hai ma trận Hạng của ánh xạ tuyến tính bằng hạng của ma trận của nó được gọi là ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính hay gọi tắt là đồng cấu) từ V vào W Chính vì lý do này nên một bài toán về ma trận, hệ phương trình tuyến tính có thể giải quyết bằng phương pháp ánh xạ tuyến tính Khi V  W thì f được gọi là tự đồng cấu và ngược lại 10/07/2017 1 10/07/2017 2 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.1 6) Cho ma trận A   aij  Ta có thể kiểm tra được đẳng thức mn 1) Ánh xạ không 0 :V  W   x1   x '1    x1   x '1  u  0(u )  0   A              A      A    2) Ánh xạ đồng nhất IdV : V  V  x     n  x 'n    xn   x 'n  u  IdV (u )  u Do đó ánh xạ T : n  m 3) Phép vị tự tỉ số k f :V  V ( x1 ,..., x n ) a T ( x1 ,..., x n )  ( y1 ,..., y m ) u a f (u )  ku  y1   x1  Xác định bới      a     là một ánh xạ tuyến tính    ij     ym   xn  Ngược lại ta có thể chứng minh được mọi ánh xạ tuyến tính từ Rn Ánh xạ 1), 2), 3) là ánh xạ tuyến tính; 2), 3) là tự đồng cấu; vào Rm đều có dạng như trên 10/07/2017 3 10/07/2017 4 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 7) Phép quay góc  5.1.2. Tính chất f (v )  ( X , Y ) Định lý 5.1 Nếu f : V  W là một ánh xạ tuyến tính thì f:   2 2  (i) f (0)  0 ( x, y)  f ( x, y)  ( X , Y ) v  ( x, y) (ii) với mọi v  V : f (v)   f (v)  n  n X  iY  ei ( x  iy)  (cos  i sin  )( x  iy) (iii) f   xivi    xi f (vi ) , x1,..., xn  , v1,..., vn V .  i 1  i 1 X  iY  ( x cos  y sin  )  i( x sin   y cos ) Định lý 5.2 Ánh xạ f : V  W là một ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi  f ( x, y)  ( x cos  y sin  , x sin   y cos ) với mọi u, v  V,   R: Vậy phép quay góc  là một ánh xạ tuyến tính f ( u   v)   f (u )   f (v) 10/07/2017 5 10/07/2017 6 1
  2. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.3 Mỗi ánh xạ tuyến tính V vào W hoàn toàn được xác Hệ quả 5.4 f , g : V  W là hai ánh xạ tuyến tính định bởi ảnh một cơ sở của V. Nghĩa là với cơ sở B  {e1, … , en} cho trước của V B  {e1, … , en} là một cơ sở của V khi đó với mỗi hệ véc tơ u1, … , un  W Khi đó f  g  f (ei )  g (ei ); i  1,..., n Tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f : V  W sao cho Ví dụ 5.2 Giả sử f : V  W là đồng cấu tuyến tính f (ei )  u i , i  1,..., n  Tồn tại: Chứng minh rằng f toàn cấu khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu Với mọi v V , giả sử ( x1,..., xn ) là tọa độ của trong cơ sở v B , nghĩa là v  x1e1  ...  xnen . Đặt f (v)  x1u1  ...  xnun W g : W  V sao cho f  g(v)  v, v W f là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn f (ei )  ui , với mọi i  1,...,n Giả sử f toàn cấu, B   e1,..., en  là một cơ sở của W  Duy nhất: Giả sử g : V  W là ánh xạ tuyến tính sao cho g (e )  u , với mọi i i Tồn tại u1,..., un V sao cho f (ui )  ei i  1,...,n khi đó với bất kỳ v V , v  x1e1  ...  xnen Xét ánh xạ tuyến tính g : W  V xác định bởi g (ei )  ui g (v)  g ( x1e1  ...  xnen )  x1g (e1)  ...  xn g (en )  x1u1  ...  xnun  f (v) Vì f  g (ei )  ei ; ei  B do đó f  g  IdW Vậy g f 10/07/2017 7 10/07/2017 8 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1.3 Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính Ta định nghĩa phép cộng hai ánh xạ tuyến tính bởi công thức ( f  g )(v)  f (v)  g (v) Ví dụ 5.3: Và phép nhân một số với ánh xạ tuyến tính bởi công thức Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g: R3  R2 có công thức xác định ảnh (kf )(v)  kf (v) f ( x, y, z)  (3x  5 y  2 z,4 x  y  6 z) g ( x, y, z)  (2 x  6 y  7 z, x  5z)  3 f ( x, y, z)  (9 x  15 y  6 z,12 x  3 y  18z ) 2 g ( x, y, z)  (4 x  12 y  14 z,2 x  10 z)  (3 f  2 g )( x, y, z)  (5x  27 y  20 z,10 x  3 y  8z) 10/07/2017 9 10/07/2017 10 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Cho f và đa thức bậc n p(t )  a0    ant n 5.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính ta ký hiệu p( f )  a0 IdV    an f n Nhân của f Ker f  f 1 0  v V f (v)  0  V Trong đó f n  f  f f  IdV 0 f  f 1   v V : v  Ker f  f (v)  0 n lÇn Ví dụ 5.4: Cho ánh xạ tuyến tính f : R2  R2 có công thức xác định ảnh Ảnh của f Im f  f (V )   f (v) v V   W f ( x, y)  (3x  5 y,4 x  y) u W : u  Im f  v V : u  f (v) f 2 ( x, y)   3(3x  5 y)  5(4 x  y),4(3x  5 y)  (4 x  y)   (11x  20 y,16 x  19 y) Hạng của f r ( f )  dim Im f Cho đa thức p(t )  50  9t  2t 2 Định lý 5.5    p( f )( x, y)  50IdV  9 f  2 f 2 ( x, y)  ( x  5 y, 4 x  3 y) Kerf là không gian con của V, Im f là kg con của W 10/07/2017 11 10/07/2017 12 2
  3. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.6 Với mọi ánh xạ tuyến tính f : V  W ta có S là một hệ sinh của V thì f (S) là một hệ sinh của Im f dimV  r ( f )  dimKer f Giả sử e1,..., em  là một cơ sở của Ker f (khi Ker f  0 thì m = 0) Đặc biệt nếu B  e1 ,..., en  là một cơ sở của V thì  f (e1 ),..., f (en ) Ta có thể bổ sung để e1,..., em , em1,..., em k  là một cơ sở của V Ta sẽ chứng minh  f (em1),..., f (em k ) là một hệ sinh, độc lập tuyến là một hệ sinh của Im f tính của Im f (do đó là một cơ sở)  u  Im f , v V : u  f (v); v  x1e1  ...  xmem  xm1em1  ...  xm k em k Do đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của  f (e1),..., f (en ) là cơ u  f (v)  x1 f (e1)  ...  xm f (em )  xm1 f (em1)  ...  xm k f (em k ) sở của Im f  u  xm1 f (em1)  ...  xm k f (em k )  y1 f (em1)  ...  yk f (em k )  0  y1em1  ...  yk em k  Ker f  y1em1  ...  yk em k  z1e1  ...  zmem  y1em1  ...  yk em k  z1e1  ...  zmem  0  y1  ...  yk  0 10/07/2017 13 10/07/2017 14 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.5 Sử dụng phương pháp khử Gauss ta được Xét ánh xạ tuyến tính f : R4  R3 có công thức xác định ảnh:  2 1 3 5 a  1 0 3 6 c  1 0 3 6 c   3 2 3 4 b   0 1 3 7 a  2c   0 1 3 7 a  2c  f ( x, y, z, t )   2 x  y  3z  5t ,3x  2 y  3z  4t , x  3z  6t        1 0 3 6 c  0 1 3 7 b  a  c  0 0 0 0 b  2a  c  Tìm một cơ sở của Im f, Ker f. Từ đó suy ra hạng r ( f ) Hệ phương trình có nghiệm khi b  2a  c  0 Giải: (a, b, c)  Im f  ( x, y, z, t )  4 : (a, b, c)  f ( x, y, z, t ) u  (a, b, c)  Im f  u  (a, 2a  c, c)  a(1, 2,0)  c(0, 1,1) Nói cách khác (a, b, c)  Im f khi và chỉ khi hệ phương trình sau có Vậy Im f có một cơ sở là (1, 2,0), (0, 1,1) Hạng r ( f )  2 nghiệm v  ( x, y, z, t )  Ker f khi và chỉ khi (x,y,z,t) là nghiệm của hệ 2 x  y 3z 5t  a  2 x  y 3z 5t  0   x  3z  6t Vậy Ker f có một cơ sở là 3x 2 y 3 z 4t  b 3x 2 y 3z 4t  0   x 3z 6t  c  x 3z 6t  0  y  3z  7t (3, 3,1,0), (6, 7,0,1)  v  (3z  6t , 3z  7t , z, t )  z (3, 3,1,0)  t (6, 7,0,1) 10/07/2017 15 10/07/2017 16 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.1 Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính 5.3. TOÀN CẤU, ĐƠN CẤU, ĐẲNG CẤU B  {e1, … , en} là một cơ sở của V 5.3.1Toàn cấu Có thể chứng minh được { f(e1), … , f(en)} là một hệ sinh Ánh xạ tuyến tính và toàn ánh được gọi là toàn cấu. của Im f Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính do đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của { f(e1), … , f(en)} Ba mệnh đề sau tương đương là cơ sở của Im f (i) f toàn cấu (ii) Ảnh của hệ sinh của V là hệ sinh của W Ví dụ trên có hạng r ( f )  2 Vì vậy ngoài cơ sở (1, 2,0), (0, 1,1) (iii) r( f )  dimW  2 1 3 5  (i)  (ii): S là hệ sinh của V thì f(S) là một hệ sinh của f(V) và f(V) = W do đó hai véc tơ cột bất kỳ của ma trận  3 2 3 4  f(S) là một hệ sinh của W   đều là cơ sở của Im f 1 0 3 6  (ii)  (i): Giả sử  e1 ,..., en  là một cơ sở của V thì  f (e1),..., f (en ) là hệ sinh của W W  span  f (e1 ),..., f (en )  f (V )  f toàn cấu (i)  (iii) : f (V )  W  dim f (V )  dimW  r ( f )  dimW 10/07/2017 17 10/07/2017 18 3
  4. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.3.2 Đơn cấu (i)  (ii): Hiển nhiên Ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu (ii)  (i): f (v1)  f (v2 )  0  f (v1)  f (v2 )  f (v1  v2 )  v1  v2  0  v1  v2 Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính (ii)  (iii) : Giả sử v1,..., vm  độc lập Bốn mệnh đề sau tương đương x1,..., xm 3 : x1 f (v1)  ...  xm f (vm )  0  x1v1  ...  xmvm  Ker f  0  x1v1  ...  xmvm  0  x1  ...  xm  0 (i) f đơn cấu (ii) Ker f  {0} Do đó  f (v1),..., f (vm ) độc lập (iii)  (iv) : Giả sử e1,..., en  là một cơ sở của V thì  f (e1),..., f (en ) là (iii) Ảnh của hệ độc lập tuyến tính của V là hệ độc lập hệ sinh độc lập tuyến tính của f (V ) . Do đó r ( f )  dimV tuyến tính của W dimV  r ( f )  dim Kerf  (iv)  (ii) :   dim Kerf  0  Kerf  0 (iv) r( f )  dimV dimV  r ( f )  10/07/2017 19 10/07/2017 20 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.6 Ánh xạ tuyến tính f :    xác định bởi 2 2 5.3.3 Đẳng cấu Ánh xạ tuyến tính vừa đơn cấu vừa toàn cấu được gọi là đẳng cấu f ( x, y )   2 x  y , x  y  là một đơn cấu vì Hai không gian V, W được gọi là đẳng cấu nếu có ánh xạ tuyến f ( x, y )  (0,0)   2 x  y, x  y   (0,0)   x, y   (0,0) tính đẳng cấu f : V  W do đó f là một đẳng cấu Ví dụ 5.7 Ánh xạ tuyến tính f :   P2 xác định bởi Định lý 5.8 3 Hai không gian V, W là đẳng cấu khi và chỉ khi dimV  dimW f ( x, y, z )  ( x  2 y  3z )  (2 x  5 y  6 z )t  ( x  8 z )t 2 Định lý 5.9  x  2 y  3z  0 Giả sử f : V  W là ánh xạ tuyến tính và dimV  dimW  Hệ phương trình  2 x  5 y  3 z  0 chỉ có nghiệm tầm thường Khi đó x do đó f là một đẳng cấu f đơn cấu khi và chỉ khi f toàn cấu, do đó đẳng cấu   8z  0 10/07/2017 21 10/07/2017 22 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN Trường hợp tự đồng cấu f của không gian véc tơ V 5.4.1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của f trong cùng một cơ sở B  {e1, … , en} của V được ký hiệu Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính A   f B B  {e1, … , en} là một cơ sở của V B’  {1, … ,  m} là một cơ sở của W Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở chính tắc được gọi là ma trận chính tắc Ma trận của hệ véc tơ { f (e1), … , f (en)} trong cơ sở B’ Ví dụ 5.8 Xét ánh xạ tuyến tính f : R3  R2 xác định bởi Được gọi là ma trận của f trong cơ sở B và B’ f ( x, y, z )  (2 x  y  4 z,3x  5 z ) A   f B Ký hiệu B' f (1,0,0)  (2,3)  2(1,0)  3(0,1) m  2 1 4  Xác định như sau A   aij  f (e j )   aij i ; j  1,..., n f (0,1,0)  (1,0)  1(1,0)  0(0,1) A  mn i 1 f (0,0,1)  (4,5)  4(1,0)  5(0,1) 3 0 5  10/07/2017 23 10/07/2017 24 4
  5. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.2 B  {e1, … , en} là một cơ sở của không gian véc tơ V Bằng cách tính toán như ví dụ trên ta có thể kiểm tra được rằng B’  {1, … ,  n} là một cơ sở của không gian véc tơ W Ánh xạ tuyến tính f :  m   n với công thức xác định ảnh Định lý 5.10 Với A   f B , B   g B B' B' f ( x1,..., xm )  (a11x1    a1m xm ,..., an1x1    anm xm ) Có ma trận chính tắc  a11  a1m  A      ta có các tính chất sau:    an1  anm   f  g BB '   f BB '   g BB ' Ví dụ 5.9 ma trận chính tắc    :   f B    f B B' B' Ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định bởi 1 2 2  f ( x, y, z)  ( x  2 y  2 z,3x  y  5z, x  y  z) A  3 1 5  r ( f )  r ( A) 1 1 1  10/07/2017 25 10/07/2017 26 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g : V  f V '  g V " Khi V  V’  V” và ta chọn cố định một cơ sở của V thì có tương B  {e1, … , en}, B ’  {e’1, … , e’m}, B ”  {e”1, … , e”l} lần ứng 1-1 giữa các tự đồng cấu của V và các ma trận vuông cấp n lượt là các cơ sở của không gian véc tơ V, V’, V” Định lý 5.11 m A   f B A   f B A   aij   aij e 'i ; B' Giả sử mn f (e j )  j  1,..., n có các tính chất: i 1 B   g B ' B  bki  B" l l m g (e 'i )   bki e "k ; i  1,..., m  f  g B   f B   g B k 1 m  m m  l   l  m    :   f B    f B g  f (e j )  g   aij e 'i    aij g (e 'i )   aij   bkie "k      bki aij  e "k  i 1  i 1 i 1  k 1  k 1 i 1   f  g B   f B  g B Vậy  g  f B  BA   g B '  f B B" B" B' r ( f )  r ( f B ) 10/07/2017 27 10/07/2017 28 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.13 Xét ánh xạ tuyến tính f :  3  3 xác định bởi Hệ quả 5.12 f ( x, y, z )  ( x  2 y  2 z,3x  y  5 z, x  y  z ) Cho f  End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A  [ f ]B 1 2 2   6 4 8  1  Ma trận chính tắc của f là A  3 1 5  có A   2 1 1  1 f là tự đẳng cấu khi và chỉ khi A khả nghịch   2 1 1 1   4 3 5 Ma trận của f 1 trong cơ sở B có dạng [f 1]B  A1 Do đó f là một đẳng cấu và ánh xạ ngược xác định như sau 1 Hệ quả 5.13 f 1 ( x, y, z )  (6 x  4 y  8 z, 2 x  y  z, 4 x  3 y  5 z ) 2 Giả sử p(t )  a0    ant n là một đa thức bậc n Cho đa thức p(t )  2  4t  3t 2  25 2 34  Ma trận của p( f )  a0 IdV    an f n trong cơ sở B là Ma trận chính p( A)  2 I  4 A  3 A2   21 4 28  tắc của p( f ) là   p( A)  a0 I    an An  7 4 8 10/07/2017 29 10/07/2017 30 5
  6. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH m A   f B 2   aki mn  f (ei )   aki k 5.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau B 1 Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính i 1 m A '   f B '2   a 'ij   f (e ' j )   a 'ij  'i B B' T  tij  1 B '1 là ma trận B1  e1,..., en  sang B '1  e'1 ,...,e'n  của V 1 mn i 1 m n P   pki B 2'   'i   pki k chuyển B B1 P   pki B 2' B2  1,...,m  B '2  '1 ,...,'m của W B '1  e ' j   B T  tij  tij ei 2 cơ sở 2 i 1 i 1 A   f B 2 m  mm  B B1 , B 2 m m là ma trận f (e' j )   a' ij ' i   a' ij   p ki  k      p ki a' ij  k  k 1  k 1 i 1  1 của f i 1 i 1 A '   f B '2 B' trong cơ sở B '1, B '2  n  n n  m  m n  1 f (e ' j )  f   tij ei    tij f (ei )   tij   aki k      aki tij  k  i 1  i 1 i 1  k 1  k 1  i 1  A '  P 1 AT suy ra m n  pki a 'ij   akitij ;  j  1,..., n ; k  1,..., m PA '  AT Hoặc PA '  AT i 1 i 1 10/07/2017 31 10/07/2017 32 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đặc biệt nếu f là tự đồng cấu của không gian véc tơ V Ví dụ 5.14 1 2 0 1 3 0 1 2  Gọi A, A’ là ma trận của f trong hai cơ sở B, B ’ và T là ma trận Tự đồng cấu tuyến tính f có ma trận A  chuyển từ cơ sở B sang B ’ thì 2 5 3 1 A'  T 1 AT trong cơ sở B  {e1, e2, e3, e4}   1 1 2 1 3  f B '   tij  B '   f B tij  B '  tij  B  f B tij  B ' B B B' B Ta tìm ma trận A’ của f trong cơ sở B’  {e1, e3, e2, e4}   Đặt e '1  e1 , e '2  e3 , e '3  e2 , e '4  e4 Hai ma trận A, B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận không suy biến T sao cho B  T 1AT f (e '1 )  f (e1 )  e1  3e2  2e3  e4  e '1  2e '2  3e '3  e '4 Hai ma trận của một tự đồng cấu bất kỳ trong hai cơ sở khác nhau 1 0 2 1 là đồng dạng f (e '2 )  f (e3 )  e2  3e3  e4  3e '2  e '3  e '4 2 3 5 1 A'    Nếu A, B đồng dạng thì detA  det B . Vì vậy ta có thể định nghĩa f (e '3 )  f (e2 )  2e1  5e3  2e4  2e '1  5e '2  2e '4  3 1 0 2 định thức của một tự đồng cấu f là   f (e '4 )  f (e4 )  e1  2e2  e3  3e4  e '1  e '2  2e '3  3e '4 1 1 2 3 det f  det  f B 10/07/2017 33 10/07/2017 34 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Hoặc áp dụng công thức A '  T 1 AT Ví dụ 5.15 Hai ánh xạ tuyến tính f :  2  3 g : 3   2 Gọi T là ma trận chuyển cơ sở B  {e1, e2, e3, e4} sang cơ sở B’  {e1, e3, e2, e4} f ( x, y)  ( x  2 y, x, 3x  4 y) g(x, y, z)  (x  2 y 5z,3x  4 y) 1 0 0 0 1 1 0 0 0  1 2  0 0 0 01 0 0 0 1 0 0 01 0 0 0 1 2 5 0 1 0 0 0 0 1 0 Ma trận chính tắc của f và g: A   1 0 B T     0  0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 1  T   3 4 0 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 0      3 4  0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 1 14 22  1 0 0 0  1 2 0 1  1 0 0 0  1 0 2 1 Ma trận chính tắc của g◦ f : BA    0 0 1 0 3 0 1 2  0 0 1 0   32 31 05 21  7 6  1 A '  T AT   AT      0 1 0 0 2 5 3 1  0 1 0 0   23 31 50 12 14 22     Định thức det( g  f )   70 0 0 0 1  1 2 1 3  0 0 0 1  1 1 2 3  7 6 10/07/2017 35 10/07/2017 36 6
  7. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.4.3 Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B và B’ n m m Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính v   xi ei f (ei )   aki k f (v)   yk k i 1 k 1 k 1 B  {e1, … , en} là một cơ sở của V n n  m  m n  B’  {1, … ,  m} là một cơ sở của W f (v)   xi f (ei )   xi   aki k      aki xi  k     i 1 i 1  k 1  k 1 i 1  (x1, … , xn)  (v)B là tọa độ của v  V trong cơ sở B n  y1   x1  (y1, … , ym)  ( f (v))B ’ là tọa độ của f (v)  W trong cơ sở B’  yk   aki xi       aij         mn   i 1  f BB '  aij  mn là ma trận của f trong cơ sở B , B’  ym   xn  n m m v   xi ei f (ei )   aki k f (v)   yk k i 1 k 1 k 1  f (v)B '   f BB ' v B  f (v)  Av 10/07/2017 37 10/07/2017 38 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính 5.4.4 Ánh xạ tuyến tính và hệ phƣơng trình tuyến tính B  {e1, … , en} là một cơ sở của V  y1   x1  B’  {1, … ,  m} là một cơ sở của W     a   Đẳng thức    ij  mn   Tìm Im f : b W , b  b11    bmm  ym   xn  a11x1  ...  a1n xn  b1  y1  a11x1  ...  a1n xn  có thể viết dưới dạng hệ  b  Im f  Hệ phương trình .................................. có nghiệm phương trình tuyến tính .................................... a x  ...  a x  b  y  a x  ...  a x  m1 1 mn n m  m m1 1 mn n Tìm Ker f : v  x1e1    xnen V Điều này cho phép giải quyết các bài toán về ánh xạ tuyến tính a11x1  ...  a1n xn  0  thông qua hệ phương trình tuyến tính v  Ker f  ................................. a x  ...  a x  0  m1 1 mn n 10/07/2017 39 10/07/2017 40 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.3: 5.5 CHÉO HOÁ MA TRẬN Từ hai định lý 6.11, 6.12, hệ quả và các ví dụ trên ta thấy rằng một bài toán về ánh xạ tuyến tính có thể chuyển sang bài toán Trong phần này ta giải quyết bài toán: ma trận, bài toán hệ phương trình tuyến tính và ngược lại Với tự đồng cấu tuyến tính f của không gian V, hãy tìm một cơ Chẳng hạn để chứng minh định thức của ma trận A khác 0 ta sở của V để ma trận của f trong cơ sở này có dạng chéo chỉ cần chứng minh tự đồng cấu tuyến tính f với A  [ f ]B là đơn cấu hoặc toàn cấu, hoặc hệ phương trình tuyến tính tương ứng 1  có duy nhất nghiệm    dimKer f là chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình   thuần nhất có hạng của ma trận hệ số bằng hạng của f  n  Áp dụng định lý chiều của không gian nghiệm hệ phương trình Bài toán trên cũng tương đương với bài toán: Cho ma trận A tìm thuần nhất ta nhận được đẳng thức đã biết ma trận không suy biến T sao cho T 1AT có dạng chéo dimV  r ( f )  dimKer f 10/07/2017 41 10/07/2017 42 7
  8. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.5.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng  được gọi là một giá trị riêng của tự đồng cấu f nếu tồn tại  được gọi là giá trị riêng của ma trận A  [ aij ]nn nếu tồn tại véc tơ v  V, v  0 sao cho f (v)  v x1, … , xn không đồng thời bằng 0 sao cho v là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   x1   x1   x1  0  Ví dụ 5.17 A         hay  A  I         (6.30)         a) Xét ánh xạ đồng nhất IdV: V  V. Với mọi v  V, IdV(v)  v  xn   xn   xn  0  Vậy 1 là một giá trị riêng của IdV n Khi đó v  (x1, … , xn)R được gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị b) f : R2  R2 xác định bởi: f (x,y)  (3x  y, 2x  4y) riêng  của ma trận A Như vậy các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  là các nghiệm khác Dễ dàng thấy f (x,x)  2(x,x) không của phương trình thuần nhất (6.30). Không gian nghiệm của Vậy 2 là một giá trị riêng và mọi véc tơ v  (x,x); x  0 là véc (6.30) được gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng  tơ riêng tương ứng 10/07/2017 43 10/07/2017 44 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH c) Phép quay góc  Cho tự đồng cấu f của V. Với mỗi   R, ký hiệu f :  2   2 V  v V f (v)  v  Ker  f   IdV  ( x, y)  f ( x, y)  ( x cos  y sin  , x sin   y cos ) f (v ) Định lý 5.14  1)  là giá trị riêng của f khi và chỉ khi V  {0} v 2) Nếu  là giá trị riêng của f thì mọi véc tơ v  0 của V đều là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   Khi   0 , f  là ánh xạ đồng nhất Id 3 2 : chỉ có giá trị riêng là 1.  Khi    , f  : chỉ có giá trị riêng là 1.  Khi   0, , f  không có giá trị riêng. 10/07/2017 45 10/07/2017 46 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.4 5.5.3 Đa thức đặc trƣng Cho f  End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A  [ f ]B  A là một ma trận vuông cấp n. Định thức Khi đó v  V là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  của f khi và P ( )  det( A   I ) chỉ khi ( v )B là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  của A là một đa thức bậc n của  được gọi là đa thức đặc trưng của A Nghĩa là  Cho f  End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A  [ f ]B Khi đó định thức  x1  0  v  V ;  v  B  ( x1,..., xn ), v  0 : f (v)  v   A  I         P ( )  det  f   IdV   det( A   I )      xn  0  không phụ thuộc vào cơ sở của V, cũng được gọi là đa thức đặc trưng của f 10/07/2017 47 10/07/2017 48 8
  9. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.15 Ví dụ 5.18 0 là giá trị riêng của A (tương ứng của f ) khi và chỉ khi 0 là Tìm véc tơ riêng và giá trị riêng của tự đồng cấu của không nghiệm của đa thức đặc trưng của A (tương ứng của f ) gian R2 (ví dụ 6.13) 0 là giá trị riêng khi và chỉ khi V0  0 f : R2  R2 xác định bởi: f (x,y)  (3x  y, 2x  4y) Điều này tương đương với các điều sau:  3 1 a) Ánh xạ f  0 IdV không đơn cấu  x1  0  có ma trận chính tắc A   2 4  b) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  A  0 I         có nghiệm   không tầm thường  xn  0  Đa thức đặc trưng Vậy 0 là giá trị riêng khi và chỉ khi r  f  0 IdV   n 3 1 2 1 2 1 do đó det  f  0 IdV   0 hoặc det  A  0 I   0 P ( )     (2  )(5  ) 2 4 2 4 0 5 Nghĩa là P (0 )  0 10/07/2017 49 10/07/2017 50 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  Véc tơ riêng v  (x,y) ứng với giá trị riêng 1  2 là nghiệm của hệ Ví dụ 5.19 Phép quay góc  có công thức xác định ảnh  x  0 3  2 1   x  0 f ( x, y)  ( x cos  y sin  , x sin   y cos )  A  1I       hay        y  0  2 4  2   y  0 Đa thức đặc trưng Hệ phương trình tương đương với phương trình x  y  0  y  x cos    sin  Vậy v  (x,x)  x (1,1) , x  0 P ( )  det  f   IdV    (cos    ) 2  sin 2  sin  cos     Véc tơ riêng v  (x,y) ứng với giá trị riêng 2  5 là nghiệm của hệ Do đó f chỉ có giá trị riêng khi  x  0  2 1  x  0    0  A  2 I     hay  2 1  y   0   cos    1  y  0       2  sin   0     Hệ phương trình tương đương với phương trình 2 x  y  0  y  2 x  Vậy v  (x,  2x)  x (1,  2) , x  0    1 10/07/2017 51 10/07/2017 52 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.16 5.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá đƣợc Giả sử v1, … , vm là các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêng phân biệt 1, … , m của tự đồng cấu f (hoặc ma trận A) thì hệ Tự đồng cấu f của không gian véc tơ V chéo hoá được nếu véc tơ {v1, … , vm } độc lập tuyến tính tồn tại một cơ sở của V để ma trận của f trong cơ sở này có dạng chéo Ta chứng minh quy nạp theo k rằng hệ v1,..., vk  độc lập tuyến tính với 1  k  m Giả sử hệ v1,..., vk  với 1  k  m  1 độc lập tuyến tính Như vậy f chéo hoá được khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở của x1v1  ...  xk vk  xk 1vk 1  0 (*) V gồm các véc tơ riêng của f  f ( x1v1  ...  xk vk  xk 1vk 1 )  0  1x1v1  ...  k xk vk  k !xk 1vk 1  0 (**) Nhân  k1 vào (*) rồi trừ cho (**) ta được Ma trận vuông A chéo hoá được nếu tồn tại ma trận không (k 1  1) x1v1  ...  ( k 1   k ) xk vk  0 suy biến T sao cho T 1AT là ma trận chéo Vì v1,..., vk  độc lập và các 1,...,  m khác nhau từng đôi một suy ra x1  ...  xk  0  xk 1  0 10/07/2017 53 10/07/2017 54 9
  10. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH () : Trong mỗi Vi ta chọn một cơ sở gồm mi véc tơ Hệ quả 5.17 Hệ n véc tơ gộp lại từ các véc tơ của các cơ sở vừa chọn là một hệ độc lập Nếu đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f trong không gian n tuyến tính, do đó hệ này là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của f chiều V (hoặc ma trận A vuông cấp n) có đúng n nghiệm thực Vậy f chéo hoá được phân biệt thì f (tương ứng ma trận A) chéo hoá được () : Giả sử f chéo hoá được, khi đó tồn tại cơ sở gồm các véc tơ riêng để ma trận f có dạng chéo Vì đa thức đặc trưng có đủ n nghiệm thực phân biệt nên n véc tơ riêng tương ứng với n giá trị riêng này là một hệ độc lập, do đó là một cơ sở của V gồm  1    các véc tơ riêng của f. Vậy f chéo hoá được     P ( )  (1)n (  1 )...(  n )  n  Hệ quả 5.18 Giả sử ( )  (1) (  1 ) ...(  k ) P n m1 mk Do đó các giá trị riêng 1 ,..., n phải trùng với 1 ,..., k m1  …  mk  n và các giá trị 1, … , k khác nhau từng đôi một Vì vậy trong các giá trị riêng 1 ,..., n có đúng mi giá trị bằng i , với Khi đó f (tương ứng ma trận A) chéo hoá được khi và chỉ khi i  1,..., k và có đúng mi véc tơ riêng độc lập ứng với giá trị riêng i dimVi  mi ;  i  1,..., k Nói cách khác dimVi  mi 10/07/2017 55 10/07/2017 56 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.5.5 Thuật toán chéo hoá Bƣớc 2: Với mỗi giá trị riêng i tìm một cơ sở của không gian riêng Vi Bƣớc 1: Viết đa thức đặc trưng dạng Các véc tơ riêng v  x1e1  ...  xnen có  x1 ,..., xn  P ( )  (1   )m ...(k   )m Q( ) 1 k là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất trong đó Q() là đa thức không có nghiệm thực  x1   0       Nếu m1    mk  n (khi bậc của Q()  2 ): không chéo hóa  A  i       I dimVi  di  n  r  A  i I  được  x n 0   Nếu m1    mk  n thì chéo hóa được. 1,...,  k là các giá  Nếu d i  mi với i nào đó, 1  i  k thì f không hoá chéo được trị riêng; tiếp tục bước 2  Nếu d i  mi , i :1  i  k . Tiếp tục bước 3 10/07/2017 57 10/07/2017 58 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bƣớc 3: Với mỗi giá trị riêng i ; i  1, … , k ta đã chọn được Đa thức đặc trưng của A mi véc tơ riêng độc lập tuyến tính 2 1 0 3 3  3  Gộp tất cả các véc tơ này ta được hệ gồm m1  …  mk  n véc P ( )  9 4 6  9 4 6 tơ riêng độc lập, đó là cơ sở B’ cần tìm 8 0 3   8 0 3   Ma trận T có các cột là tọa độ của hệ véc tơ B’ 1 0 0  5 3 Ví dụ 5.21  (3   ) 9 5   3  (3   ) 8  5  2 1 0  8 8 5 Chéo hóa ma trận A 9 4 6     (3   ) (  25)  24  (  1)(  1)(3   ) 2    8 0 3 Do đó A có các giá trị riêng 1  1, 2  1, 3  3 10/07/2017 59 10/07/2017 60 10
  11. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giá trị riêng    1 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của Giá trị riêng   1 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của hệ hệ phương trình phương trình  3 1 0   x  0  1 1 0   x  0  9 5 6   y   0  9 3 6   y   0            8 0 2   z  0   8 0 4   z  0  Ta có Ta có  3 1 0   3 1 0  3 1 0   1 1 0   1 1 0  1 1 0  9 5 6    0 0 0   0 0 0  9 3 6    9 3 6   0 0 0              8 0 2   8 0 2  4 0 1   8 0 4   2 0 1   2 0 1  Vậy hệ phương 3 x  y  0   y  3x v   x,3x,4 x   x(1,3,4) Vậy hệ phương x  y 0 x  y v   x, x,2 x   x(1,1,2) trình trên tương   trình trên tương   đương với hệ 4 x  z  0 z  4 x chọn e'1  (1,3,4) đương với hệ  2 x  z  0 z  2x chọn e' 2  (1,1,2) 10/07/2017 61 10/07/2017 62 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giá trị riêng   3 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của hệ phương trình Cơ sở mới gồm các véc tơ riêng B '  e '1, e '2, e'3   1 1 0   x  0   9 1 6   y   0  e'1  (1,3,4) e' 2  (1,1,2) e '3  (3, 3, 4)       8 0 6   z  0  1 1 3 Ta có Ma trận chuyển cơ sở T   3 1 3   1 1 0  1 1 0  Vậy hệ phương trình trên    9 1 6   0 0 0  tương đương với hệ  4 2 4      x   y  x y 0   8 0 6  4 0 3    4  1 0 0     z  3 x  T 1AT   0 1 0  4 x 3 z 0 Ma trận chéo  4  x   v   x,  x, x   (3, 3, 4) chọn e '3  (3, 3, 4)  0 0 3   3  3 10/07/2017 63 10/07/2017 64 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.22 Xét tự đồng cấu f :3 3 3 3 xác định bởi Giá trị riêng   5 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của hệ phương trình f ( x, y, z )  3x  2 y, 2 x 3 y, z   2 2 0   x  0  Ma trận chính tắc  3 2 0   2 2 0   y   0  A   2 3 0          0 0 1   0 0 4   z  0  Đa thức đặc trưng 3   2 0 1   2 0 Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ P ( )  2 3   0  1   3   0 x  y 0 x   y 0 0 1 0 0 1      z0 z  0 1   2 0  0 5   0  (5  )(  1) 2 v   y, y,0  y(1,1,0) chọn e'1  (1,1,0) 0 0 1 10/07/2017 65 10/07/2017 66 11
  12. CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giá trị riêng   1 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của hệ Ví dụ 5.23 Cho tự đồng cấu f : P2  P2 có công thức xác định ảnh phương trình f (a0  a1t  a2t 2 )  (a0  a1  a2 )  (a0  a1  a2 )t  (a0  a1  a2 )t 2  2 2 0   x  0  Vậy hệ phương trình Ma trận chính tắc Đa thức đặc trưng  2 2 0   y   0  trên tương đương với x  y  0;       phương trình z tuỳ ý  1 1 1  1   1 1  0 0 0   z   0 A   1 1 1  1 1   1  (1   )(  2)2   v   x, x, z   x(1,1,0)  z (0,0,1)  1 1 1 1 1 1   chọn e '2  (1,1,0) e '3  (0,0,1) Chọn cơ sở B '  e '1, e '2 , e '3  Véc tơ riêng p  a0  a1t  a2t  0 ứng với giá trị riêng 2 1  1 là f (e '1 )  5e '1 , f (e '2 )  e '2 , f (e '3 )  e '3 nghiệm khác không của hệ phương trình thuần nhất 5 0 0   2 1 1   a0 0   2 1 1   2 1 1   1 0 1  Ma trận của f trong cơ sở B ’ có dạng A '   f B '  0 1 0   1 2 1   a   0   1 2 1    3 3 0   1 1 0    1         0 0 1   1 0 2  a2  0  1 1 2  0 0 0  0 0 0 10/07/2017 67 10/07/2017 68 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  a0  a2  0 a0  a2 Vậy hệ phương trình trên tương đương với   a0  a1  0  a0  a1 Xét cơ sở B '   p '1, p '2 , p '3 p V1  p  a0  a0t  a0t  a0 (1  t  t ) chọn p '1  1  t  t 2 2 2 Gồm các véc tơ riêng  Véc tơ riêng p  a0  a1t  a2t  0 ứng với giá trị riêng 2 2  2 là p '1  1  t  t 2 p '2  1  t p '3  1  t 2 nghiệm khác không của hệ phương trình thuần nhất Thỏa mãn 1 1 1  a0 0  f ( p '1 )  p '1 f ( p '2 )  2 p '2 f ( p '3 )  2 p '3 1 1 1  a   0     1   Ma trận của f trong cơ sở B ’ có dạng 1 1 1  a2 0  Hệ phương trình trên tương đương với phương trình: a0  a1  a2  0 1 0 0  p V2  p  a1  a2  a1t  a2t  a1 (1  t )  a2 (1  t ) 2 2 A '   f B '  0 2 0    chọn p '2  1  t , p '3  1  t 2 0 0 2  10/07/2017 69 10/07/2017 70 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.24 1 3 4  Đa thức đặc trưng có nghiệm 1   1 (kép) và 2  3 Xét ma trận A   4 7 8  Giá trị riêng    1 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của hệ    6 7 7  phương trình Đa thức đặc trưng  2 3 4   x  0   2 3 4  2 3 4   2 0 2  1  3 4 1  3 4 5   3 4  4 6 8   y   0   4 6 8    0 0 0    0 0 0  P ( )  4 7   8  2  2 1   0  (1   ) 0 1 0             6 7 8   z   0  6 7 8   0 2 4  0 1 2 6 7 7 6 7 7   8 7 7   1   1    3  y  2z 3 4 4 hệ có nghiệm   v   z, 2 z, z   z(1, 2,1)  (1   ) 0 1 0  (1   ) 0 1 0  (3   )(  1)2 x  z 1   7 7   0 4 3   Không gian riêng V1   z (1,2,1) z  , dimV1  1  2 Đa thức đặc trưng có nghiệm 1   1 (kép) và 2  3 Vì vậy ma trận không chéo hoá được BÀI TẬP 10/07/2017 71 10/07/2017 72 12
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2