Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 - Hoàng Mạng Dũng

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.1.1 Định nghĩa và ví dụ

Ánh xạ tuyến tính (phép biến đổi tuyến tính) từ một không gian véc tơ vào không gian véc tơ là ánh xạ bảo toàn phép cộng véc tơ và phép nhân một số với véc tơ

Nhà toán học Peano (Italia) là người đầu tiên đưa ra khái niệm ánh xạ tuyến tính (1888) Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian véc tơ W thoả mãn với mọi u, v  V,  R:

10/07/2017

Tương ứng giữa ánh xạ tuyến tính và ma trận của nó là một đẳng cấu bảo toàn phép cộng, phép nhân một số với ma trận và phép nhân hai ma trận Hạng của ánh xạ tuyến tính bằng hạng của ma trận của nó được gọi là ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính hay gọi tắt là đồng cấu) từ V vào W Khi V  W thì f được gọi là tự đồng cấu Chính vì lý do này nên một bài toán về ma trận, hệ phương trình tuyến tính có thể giải quyết bằng phương pháp ánh xạ tuyến tính và ngược lại

1

10/07/2017

2

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Ví dụ 5.1 6) Cho ma trận Ta có thể kiểm tra được đẳng thức

Do đó ánh xạ

:

3) Phép vị tự tỉ số k

Vf u

V )(a uf

ku

Xác định bới là một ánh xạ tuyến tính

10/07/2017

Ánh xạ 1), 2), 3) là ánh xạ tuyến tính; 2), 3) là tự đồng cấu; Ngược lại ta có thể chứng minh được mọi ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rm đều có dạng như trên

3

10/07/2017

4

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.1.2. Tính chất

7) Phép quay góc  Định lý 5.1 Nếu f : V  W là một ánh xạ tuyến tính thì

Định lý 5.2

10/07/2017

Ánh xạ f : V  W là một ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi với mọi u, v  V,  R: Vậy phép quay góc  là một ánh xạ tuyến tính

5

10/07/2017

6

1

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Định lý 5.3 Mỗi ánh xạ tuyến tính V vào W hoàn toàn được xác Hệ quả 5.4

f , g : V  W là hai ánh xạ tuyến tính B  {e1, … , en} là một cơ sở của V

 Tồn tại:

Khi đó định bởi ảnh một cơ sở của V. Nghĩa là với cơ sở B  {e1, … , en} cho trước của V khi đó với mỗi hệ véc tơ u1, … , un  W Tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f : V  W sao cho Ví dụ 5.2 Giả sử f : V  W là đồng cấu tuyến tính

 Duy nhất:

Vậy

10/07/2017

Chứng minh rằng f toàn cấu khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu g : W  V sao cho f g(v)  v, v W

7

10/07/2017

8

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.1.3 Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính

10/07/2017

Ta định nghĩa phép cộng hai ánh xạ tuyến tính bởi công thức Ví dụ 5.3: Và phép nhân một số với ánh xạ tuyến tính bởi công thức Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g: R3  R2 có công thức xác định ảnh

9

10/07/2017

10

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Cho f và đa thức bậc n Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính ta ký hiệu Nhân của f Trong đó

Ví dụ 5.4: Ảnh của f Cho ánh xạ tuyến tính f : R2  R2 có công thức xác định ảnh

Hạng của f Cho đa thức Định lý 5.5

Kerf là không gian con của V, Im f là kg con của W

10/07/2017

11

10/07/2017

12

2

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Với mọi ánh xạ tuyến tính f : V  W ta có Định lý 5.6

S là một hệ sinh của V thì f (S) là một hệ sinh của Im f

10/07/2017

13

10/07/2017

14

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Sử dụng phương pháp khử Gauss ta được Ví dụ 5.5 Xét ánh xạ tuyến tính f : R4  R3 có công thức xác định ảnh:

10/07/2017

Tìm một cơ sở của Im f, Ker f. Từ đó suy ra hạng r ( f ) Hệ phương trình có nghiệm khi Giải: Vậy Im f có một cơ sở là Hạng r ( f )  2 khi và chỉ khi hệ phương trình sau có Nói cách khác nghiệm khi và chỉ khi (x,y,z,t) là nghiệm của hệ Vậy Ker f có một cơ sở là

15

10/07/2017

16

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Nhận xét 5.1 Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính

5.3. TOÀN CẤU, ĐƠN CẤU, ĐẲNG CẤU 5.3.1Toàn cấu

Ánh xạ tuyến tính và toàn ánh được gọi là toàn cấu. Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính Ba mệnh đề sau tương đương

B  {e1, … , en} là một cơ sở của V Có thể chứng minh được { f(e1), … , f(en)} là một hệ sinh của Im f do đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của { f(e1), … , f(en)} là cơ sở của Im f Ví dụ trên có hạng r ( f )  2 Vì vậy ngoài cơ sở

(i)  (ii): S là hệ sinh của V thì f(S) là một hệ sinh của f(V) và f(V) = W do đó f(S) là một hệ sinh của W

(i) f toàn cấu (ii) Ảnh của hệ sinh của V là hệ sinh của W (iii) r( f )  dimW hai véc tơ cột bất kỳ của ma trận

10/07/2017

đều là cơ sở của Im f

17

10/07/2017

18

3

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.3.2 Đơn cấu

(i)  (ii): Hiển nhiên

Ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính Bốn mệnh đề sau tương đương

10/07/2017

(i) f đơn cấu (ii) Ker f  {0} (iii) Ảnh của hệ độc lập tuyến tính của V là hệ độc lập tuyến tính của W (iv) r( f )  dimV

19

10/07/2017

20

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

xác định bởi Ví dụ 5.6 Ánh xạ tuyến tính

5.3.3 Đẳng cấu

Ánh xạ tuyến tính vừa đơn cấu vừa toàn cấu được gọi là đẳng cấu là một đơn cấu vì

Hai không gian V, W được gọi là đẳng cấu nếu có ánh xạ tuyến tính đẳng cấu f : V  W do đó f là một đẳng cấu Định lý 5.8 xác định bởi Ví dụ 5.7 Ánh xạ tuyến tính Hai không gian V, W là đẳng cấu khi và chỉ khi dimV  dimW

chỉ có nghiệm tầm thường Hệ phương trình do đó f là một đẳng cấu Định lý 5.9 Giả sử f : V  W là ánh xạ tuyến tính và dimV  dimW Khi đó

f đơn cấu khi và chỉ khi f toàn cấu, do đó đẳng cấu

10/07/2017

21

10/07/2017

22

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN

5.4.1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Trường hợp tự đồng cấu f của không gian véc tơ V Ma trận của f trong cùng một cơ sở B  {e1, … , en} của V được ký hiệu

Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính B  {e1, … , en} là một cơ sở của V B’  {1, … , m} là một cơ sở của W Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở chính tắc được gọi là ma trận chính tắc Ví dụ 5.8 Xét ánh xạ tuyến tính f : R3  R2 xác định bởi Ma trận của hệ véc tơ { f (e1), … , f (en)} trong cơ sở B’ Được gọi là ma trận của f trong cơ sở B và B’ Ký hiệu

10/07/2017

Xác định như sau

23

10/07/2017

24

4

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Nhận xét 5.2 Bằng cách tính toán như ví dụ trên ta có thể kiểm tra được rằng

B  {e1, … , en} là một cơ sở của không gian véc tơ V B’  {1, … , n} là một cơ sở của không gian véc tơ W

Ánh xạ tuyến tính với công thức xác định ảnh Định lý 5.10 Với

Có ma trận chính tắc ta có các tính chất sau:

10/07/2017

Ví dụ 5.9 ma trận chính tắc Ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định bởi

25

10/07/2017

26

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Khi V  V’  V” và ta chọn cố định một cơ sở của V thì có tương ứng 1-1 giữa các tự đồng cấu của V và các ma trận vuông cấp n Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g : B  {e1, … , en}, B’  {e’1, … , e’m}, B”  {e”1, … , e”l} lần lượt là các cơ sở của không gian véc tơ V, V’, V” Định lý 5.11 Giả sử có các tính chất:

10/07/2017

Vậy

27

10/07/2017

28

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

xác định bởi Ví dụ 5.13 Xét ánh xạ tuyến tính

Hệ quả 5.12

có Cho f  End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A  [ f ]B f là tự đẳng cấu khi và chỉ khi A khả nghịch Ma trận chính tắc của f là

Ma trận của f 1 trong cơ sở B có dạng [f 1]B  A1 Do đó f là một đẳng cấu và ánh xạ ngược xác định như sau

Hệ quả 5.13

10/07/2017

Giả sử là một đa thức bậc n Cho đa thức Ma trận của trong cơ sở B là Ma trận chính tắc của p( f ) là

29

10/07/2017

30

5

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính sang của V

của W là ma trận chuyển cơ sở

là ma trận của f trong cơ sở

10/07/2017

suy ra Hoặc

31

10/07/2017

32

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Ví dụ 5.14

Tự đồng cấu tuyến tính f có ma trận trong cơ sở B  {e1, e2, e3, e4} Đặc biệt nếu f là tự đồng cấu của không gian véc tơ V Gọi A, A’ là ma trận của f trong hai cơ sở B, B’ và T là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B’ thì

Ta tìm ma trận A’ của f trong cơ sở B’  {e1, e3, e2, e4} Đặt

10/07/2017

Hai ma trận A, B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận không suy biến T sao cho B  T 1AT Hai ma trận của một tự đồng cấu bất kỳ trong hai cơ sở khác nhau là đồng dạng Nếu A, B đồng dạng thì detA  det B . Vì vậy ta có thể định nghĩa định thức của một tự đồng cấu f là

33

10/07/2017

34

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Hoặc áp dụng công thức Ví dụ 5.15 Hai ánh xạ tuyến tính

Gọi T là ma trận chuyển cơ sở B  {e1, e2, e3, e4} sang cơ sở B’  {e1, e3, e2, e4}

Ma trận chính tắc của f và g:

Ma trận chính tắc của g◦ f :

10/07/2017

Định thức

35

10/07/2017

36

6

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.4.3 Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính

Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B và B’

Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính B  {e1, … , en} là một cơ sở của V B’  {1, … , m} là một cơ sở của W

(x1, … , xn)  (v)B là tọa độ của v  V trong cơ sở B (y1, … , ym)  ( f (v))B ’ là tọa độ của f (v)  W trong cơ sở B’

10/07/2017

là ma trận của f trong cơ sở B , B’

37

10/07/2017

38

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.4.4 Ánh xạ tuyến tính và hệ phƣơng trình tuyến tính

Đẳng thức Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính B  {e1, … , en} là một cơ sở của V B’  {1, … , m} là một cơ sở của W Tìm Im f :

Hệ phương trình có nghiệm có thể viết dưới dạng hệ phương trình tuyến tính Tìm Ker f :

10/07/2017

Điều này cho phép giải quyết các bài toán về ánh xạ tuyến tính thông qua hệ phương trình tuyến tính

39

10/07/2017

40

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Nhận xét 5.3:

5.5 CHÉO HOÁ MA TRẬN

Trong phần này ta giải quyết bài toán: Từ hai định lý 6.11, 6.12, hệ quả và các ví dụ trên ta thấy rằng một bài toán về ánh xạ tuyến tính có thể chuyển sang bài toán ma trận, bài toán hệ phương trình tuyến tính và ngược lại Với tự đồng cấu tuyến tính f của không gian V, hãy tìm một cơ sở của V để ma trận của f trong cơ sở này có dạng chéo

là chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình

10/07/2017

Chẳng hạn để chứng minh định thức của ma trận A khác 0 ta chỉ cần chứng minh tự đồng cấu tuyến tính f với A  [ f ]B là đơn cấu hoặc toàn cấu, hoặc hệ phương trình tuyến tính tương ứng có duy nhất nghiệm dimKer f thuần nhất có hạng của ma trận hệ số bằng hạng của f Áp dụng định lý chiều của không gian nghiệm hệ phương trình thuần nhất ta nhận được đẳng thức đã biết Bài toán trên cũng tương đương với bài toán: Cho ma trận A tìm ma trận không suy biến T sao cho T 1AT có dạng chéo

41

10/07/2017

42

7

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.5.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng

được gọi là một giá trị riêng của tự đồng cấu f nếu tồn tại véc tơ v V, v  0 sao cho f (v)  v

 được gọi là giá trị riêng của ma trận A [aij]nn nếu tồn tại x1, … , xn không đồng thời bằng 0 sao cho

v là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng 

Ví dụ 5.17

(6.30)

hay a) Xét ánh xạ đồng nhất IdV: V  V. Với mọi vV, IdV(v)  v Vậy 1 là một giá trị riêng của IdV

b) f : R2  R2 xác định bởi: f (x,y)  (3x  y, 2x  4y) Khi đó v (x1, … , xn)Rn được gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng của ma trận A

10/07/2017

Dễ dàng thấy f (x,x)  2(x,x) Vậy 2 là một giá trị riêng và mọi véc tơ v  (x,x); x  0 là véc tơ riêng tương ứng Như vậy các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng là các nghiệm khác không của phương trình thuần nhất (6.30). Không gian nghiệm của (6.30) được gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng 

43

10/07/2017

44

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

c) Phép quay góc  Cho tự đồng cấu f của V. Với mỗi  R, ký hiệu

Định lý 5.14 1) là giá trị riêng của f khi và chỉ khi V {0}

10/07/2017

2) Nếu là giá trị riêng của f thì mọi véc tơ v  0 của V đều là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng 

45

10/07/2017

46

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Nhận xét 5.4

5.5.3 Đa thức đặc trƣng

 A là một ma trận vuông cấp n. Định thức

Cho f  End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A  [ f ]B Khi đó v  V là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng của f khi và chỉ khi ( v )B là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng của A Nghĩa là là một đa thức bậc n của được gọi là đa thức đặc trưng của A  Cho f  End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A  [ f ]B Khi đó định thức

10/07/2017

không phụ thuộc vào cơ sở của V, cũng được gọi là đa thức đặc trưng của f

47

10/07/2017

48

8

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Định lý 5.15 Ví dụ 5.18

Tìm véc tơ riêng và giá trị riêng của tự đồng cấu của không gian R2 (ví dụ 6.13)

0 là giá trị riêng của A (tương ứng của f ) khi và chỉ khi 0 là nghiệm của đa thức đặc trưng của A (tương ứng của f )

f : R2  R2 xác định bởi: f (x,y)  (3x  y, 2x  4y)

Điều này tương đương với các điều sau:

có ma trận chính tắc

không tầm thường

Nghĩa là

10/07/2017

Đa thức đặc trưng

49

10/07/2017

50

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Ví dụ 5.19 Phép quay góc  có công thức xác định ảnh  Véc tơ riêng v  (x,y) ứng với giá trị riêng 1  2 là nghiệm của hệ

hay Đa thức đặc trưng Hệ phương trình tương đương với phương trình Vậy v  (x,x)  x (1,1) , x  0

 Véc tơ riêng v  (x,y) ứng với giá trị riêng 2  5 là nghiệm của hệ Do đó f chỉ có giá trị riêng khi hay

10/07/2017

Hệ phương trình tương đương với phương trình Vậy v  (x,  2x)  x (1,  2) , x  0

51

10/07/2017

52

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Định lý 5.16

5.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá đƣợc

Giả sử v1, … , vm là các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêng phân biệt 1, … , m của tự đồng cấu f (hoặc ma trận A) thì hệ véc tơ {v1, … , vm} độc lập tuyến tính Tự đồng cấu f của không gian véc tơ V chéo hoá được nếu trong cơ sở này có tồn tại một cơ sở của V để ma trận của f dạng chéo

Như vậy f chéo hoá được khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của f

10/07/2017

Ma trận vuông A chéo hoá được nếu tồn tại ma trận không suy biến T sao cho T 1AT là ma trận chéo

53

10/07/2017

54

9

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Hệ n véc tơ gộp lại từ các véc tơ của các cơ sở vừa chọn là một hệ độc lập tuyến tính, do đó hệ này là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của f Vậy f chéo hoá được

Hệ quả 5.17

Vì đa thức đặc trưng có đủ n nghiệm thực phân biệt nên n véc tơ riêng tương ứng với n giá trị riêng này là một hệ độc lập, do đó là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của f. Vậy f chéo hoá được

trong không gian n Nếu đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f chiều V (hoặc ma trận A vuông cấp n) có đúng n nghiệm thực phân biệt thì f (tương ứng ma trận A) chéo hoá được

Hệ quả 5.18 Giả sử

m1  …  mk  n và các giá trị 1, … , k khác nhau từng đôi một Khi đó f (tương ứng ma trận A) chéo hoá được khi và chỉ khi

Nói cách khác

10/07/2017

55

10/07/2017

56

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.5.5 Thuật toán chéo hoá

10/07/2017

Bƣớc 1: Viết đa thức đặc trưng dạng Bƣớc 2: Với mỗi giá trị riêng i tìm một cơ sở của không gian riêng Vi Các véc tơ riêng có là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất trong đó Q() là đa thức không có nghiệm thực

57

10/07/2017

58

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Đa thức đặc trưng của A Bƣớc 3: Với mỗi giá trị riêng i ; i  1, … , k ta đã chọn được mi véc tơ riêng độc lập tuyến tính

Gộp tất cả các véc tơ này ta được hệ gồm m1  …  mk  n véc tơ riêng độc lập, đó là cơ sở B’ cần tìm

Ma trận T có các cột là tọa độ của hệ véc tơ B’

Ví dụ 5.21

Chéo hóa ma trận

10/07/2017

Do đó A có các giá trị riêng

59

10/07/2017

60

10

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Giá trị riêng   1 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của Giá trị riêng  1 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của hệ hệ phương trình phương trình

Ta có Ta có

10/07/2017

chọn chọn Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ

61

10/07/2017

62

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Giá trị riêng  3 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của hệ Cơ sở mới gồm các véc tơ riêng phương trình

Ta có Ma trận chuyển cơ sở Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ

10/07/2017

Ma trận chéo chọn

63

10/07/2017

64

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Giá trị riêng  5 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của hệ Ví dụ 5.22 Xét tự đồng cấu xác định bởi phương trình

Ma trận chính tắc

Đa thức đặc trưng Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ

10/07/2017

chọn

65

10/07/2017

66

11

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Ví dụ 5.23 Cho tự đồng cấu có công thức xác định ảnh Giá trị riêng  1 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của hệ phương trình

Ma trận chính tắc Đa thức đặc trưng tuỳ ý Vậy hệ phương trình trên tương đương với phương trình

chọn Chọn cơ sở

10/07/2017

Ma trận của f trong cơ sở B ’ có dạng

67

10/07/2017

68

Vậy hệ phương trình trên tương đương với

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Xét cơ sở

chọn

Gồm các véc tơ riêng

Thỏa mãn

chọn

Ma trận của f trong cơ sở B ’ có dạng

69

10/07/2017

70

10/07/2017

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Ví dụ 5.24 Đa thức đặc trưng có nghiệm 1   1 (kép) và 2  3 Xét ma trận Giá trị riêng   1 có véc tơ riêng v  (x,y,z) là nghiệm của hệ phương trình Đa thức đặc trưng

hệ có nghiệm

Không gian riêng Vì vậy ma trận không chéo hoá được Đa thức đặc trưng có nghiệm 1   1 (kép) và 2  3

BÀI TẬP

10/07/2017

71

10/07/2017

72

12