intTypePromotion=1

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Phương trình vi phân

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:82

0
150
lượt xem
20
download

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Phương trình vi phân

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp - Chương 3: Phương trình vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm cơ bản, phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân cấp 2. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Phương trình vi phân

  1. Chương 3. Phương trình vi phân Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 2. Phương trình vi phân cấp 1 Bài 3. Phương trình vi phân cấp 2
  2. Chương 3. Phương trình vi phân Bài 1. Khái niệm cơ bản 1.1. Một số mô hình vật lý 1.2. Định nghĩa phương trình vi phân
  3. Bài 1. Khái niệm cơ bản 1.1. Một số mô hình vật lý  • Xét một vật  có khối lượng  m  được thả rơi tự do  gần mặt đất. Chọn chiều rơi của vật là chiều dương.   Gọi v(t ), a(t ) và  F (t ) lần lượt là vận tốc, gia tốc rơi  của vật và hợp lực tác động lên vật tại thời điểm t .   Theo định luật II Newton, chuyển  động của vật đó  được viết d r ướ i dạ ng    r F  ma  m .a (t )  mg  k .v (t )  trong đó,  g  là gia tốc trọng trường và k  là hệ số cản.   Thay a (t )  v (t ), ta được phương trình vi phân  m .v (t )  k .v(t )  mg. 
  4. Bài 1. Khái niệm cơ bản  • Xét mạch điện mắc nối tiếp tại thời  điểm  t  gồm:  điện  thế  tại  nguồn  E (t ),  điện  trở  R ,  cuộn  cảm  L ,  cường độ dòng điện I (t ).   Theo định luật Ohm, ta có phương trình vi phân  L .I (t )  R .I (t )  E (t ).   •  Người  ta  phóng  một  vật  có  khối  lượng  m   theo  phương thẳng  đứng,  biết  lực  cản của  không  khí là  không đáng kể G . ọi  M , R  lần lượt là khối lượng và  bán  kính  của trái  đất.  Khoảng cách từ tâm trái  đất  đến trọng tâm của vật phóng tại thời điểm t  là r (t ). 
  5. Bài 1. Khái niệm cơ bản  Theo  định  luật  hấp  dẫn  Newton,  lực  hút  tác  dụng  Mm lên vật là  F  k . 2  (k  là hằng số hấp dẫn).  r   Phương trình chuyển động của vật là:  Mm dv M m .a   k . 2    k. 2   r dt r d 2r (t ) M    hay                  2   k . 2 .  dt r (t )
  6. Bài 1. Khái niệm cơ bản 1.2. Định nghĩa phương trình vi phân  • Phương trình chứa  đạo hàm hay vi phân của một  hoặc vài hàm cần tìm được gọi là  phương trình vi phân (ptvp).     Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập  được  gọi  là  phương  trình  vi  phân  thường  (Differential  Equation),  phương  trình  chứa  đạo  hàm riêng được gọi là  phương trình vi phân đạo  hàm riêng (Partial Differential Equation). 
  7. Bài 1. Khái niệm cơ bản  • Cấp cao nhất của  đạo hàm trong phương trình vi  phân được gọi là cấp của phương trình vi phân đó.   • Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n  là  (n ) F (x , y , y ,..., y ) = 0 (* )  (n )    Nếu từ (  ) ta giải được theo y  thì ptvp có dạng  (n ) (n - 1) y = f (x , y , y ,..., y )
  8. Bài 1. Khái niệm cơ bản  •  Nghiệm  của  ( )  trên  khoảng  D   nào  đó  là  hàm  y   (x ) xác định trên  D  sao cho khi thay vào ( )  ta được đồng nhất thức trên  D .     Đồ thị nghiệm  y   (x ) của một phương trình vi  phân được gọi là đường cong tích phân.   • Giải  một  phương trình vi phân là  đi tìm tất cả các  nghiệm của phương trình vi phân đó.     Nghiệm của một phương trình vi phân có thể được  biểu diễn dưới dạng hàm ẩn.  ………………………………………………………………
  9. Chương 4. Phương trình vi phân Bài 2. Phương trình vi phân cấp 1 2.1. Các định nghĩa 2.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 2.3. Một số phương trình vi phân cơ bản
  10. Bài 2. Phương trình vi phân cấp 1 2.1. Các định nghĩa  •  Phương  trình  vi  phân  cấp  1  là  phương  trình  có  dạng tổng quát  F (x , y , y )  0 ( ).     Nếu từ (  ) ta giải được theo y  thì ( ) trở thành  y  = f (x , y )  •  Nghiệm  thu  được  trực  tiếp  từ  (  )  và  không  thỏa  nghiệm tổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị.   •  Nghiệm  của  (  )  có  chứa  hằng  số  C   được  gọi  là  nghiệm tổng quát.     Khi  thế  điều  kiện  y 0  y (x 0)  cho  trước  vào  nghiệm  tổng  quát  ta  được  giá  trị  C 0  cụ  thể  và  nghiệm của ( ) lúc này được gọi là nghiệm riêng. 
  11. Bài 2. Phương trình vi phân cấp 1 2.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 2.2.1. Bài toán Cauchy   Bài  toán  Cauchy  là  bài  toán  đi  tìm  hàm  y  y (x )  thỏa y   f (x , y ) với điều kiện đầu y (x 0)  y 0.    Nghiệm  của  bài  toán  là  đường  cong  tích  phân  đi  qua điểm M 0(x 0, y 0).   VD. Bài toán Cauchy  xy   3y , y (1)  1 có nghiệm  3 là đường cong tích phân y  x  đi qua M (1; 1). 
  12. Bài 2. Phương trình vi phân cấp 1
  13. Bài 2. Phương trình vi phân cấp 1  2.2.2. Định lý   Nếu hàm  f (x , y ) liên tục trên một miền mở  D  chứa  điểm  M 0(x 0, y 0) thì với mọi  M 0  D  phương trình  Cauchy  có  nghiệm  trong  lân  cận  x 0.  Nếu  fy(x , y )  cũng liên tục trên D  thì nghiệm đó là duy nhất. 
  14. Bài 2. Phương trình vi phân cấp 1 2.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN 2.2.1. Phương trình với biến phân ly (tách biến) Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng  f (x )dx + g(y )dy = 0 (1)  Phương pháp giải   Lấy tích phân hai vế (1) ta được nghiệm tổng quát  �f (x )dx + �g(y )dy = C
  15. Bài 2. Phương trình vi phân cấp 1  VD 1. Giải phương trình vi phân  x y 2 dx  2 dy  0.  1 x 1 y  Giải. Tích phân hai vế, ta được:  x y  1 x 2 dx   1 y 2 dy  C   2 2                ln(1 x )  ln(1 y )  2C   2 2               ln[(1 x )(1 y )]  ln |C 1 |.  2 2 Vậy nghiệm tổng quát là (1 x )(1 y )  C . 
  16. Bài 2. Phương trình vi phân cấp 1  VD 2. Giải phương trình vi phân y   xy (y  2).   Giải. Phương trình trở thành  dy dy  xy (y  2)  � = xdx dx y (y + 2) 1 1            dy  2xdx      y y  2   y 2 y x2       ln  x  C   C .e .  y 2 y 2
  17. Bài 2. Phương trình vi phân cấp 1  VD 3. Giải phương trình vi phân  2 3 x (y  1)dx  (x  1)(y  1)dy  0.  2 x y 1  Giải.  pt  dx  dy  0  3 x  1 y 1 1 d (x 3  1)  1 2  dy  C                    3 x3  1   y  1  1 3                  ln x  1  y  2ln y  1  C   3 3 x  1                 ln  3C  3y   6 (y  1) 3 6  3y                 x  1  C (y  1) e . 
  18. Bài 2. Phương trình vi phân cấp 1 2  VD 4. Giải phương trình vi phân xy  y  y     1             thỏa điều kiện y (1)  .  2 dy 2 dy dx  Giải.  pt  x  y y     dx 2 x  1  y  y  1  dx          dy      y  1 y  x y 1 y 1       ln  ln x  C  ln  ln C x   y y        y  1  Cxy  (*).  1 1   Thay x  1, y   vào (*) ta được y  .  2 x 1
  19. Bài 2. Phương trình vi phân cấp 1 2.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 a) Dạng cơ bản   Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng  ��y  y  = f   (2) �� x
  20. Bài 2. Phương trình vi phân cấp 1 Phương pháp giải y  Bước 1. Đặt u   y   u  xu .  x du dx  Bước 2. (2)  u  xu   f (u )        f (u )  u x           (đây là phương trình vi phân có biến phân ly). 
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2