Chương 3:
HÀM NHIỀU BIẾN
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG
Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com
Email: nguyenphuong0122@gmail.com
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 11 tháng 2 năm 2014
1
1Định nghĩa hàm nhiều biến
2Giới hạn và liên tục hàm hai biến
3Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần
Đạo hàm riêng
Vi phân toàn phần
Đạo hàm riêng của hàm hợp
Hàm ẩn
4Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân toàn phần cấp cao
5Cực trị địa phương
6Cực trị có ràng buộc
7Ứng dụng trong kinh tế
Ý nghĩa biên tế
Hệ số co dãn
Tối ưu trong kinh tế
2
Định nghĩa hàm nhiều biến
Định nghĩa
Cho tập D ⊂R2,D,φ, hàm số f :D→Rlà một quy tắc cho tương ứng mỗi
điểm (x,y)∈D với một z ∈Rđược gọi là hàm hai biến thực. Kí hiệu:
z=f(x,y).
Miền D ở đây được gọi là miền xác định của f(x,y). Nếu f(x,y)là một biểu
thức giải tích theo (x,y)mà không chỉ rõ miền xác định thì miền xác định của
hàm f(x,y)là tập hợp những điểm (x,y)làm cho f(x,y)có nghĩa.
Ví dụ
Tìm miền xác định của hàm số f(x,y) = x2+y2
x2−y2.
Khi đó miền xác định D là miền sao cho x2−y2,0, tức là
D={(x,y)|x,y,x,y∈R}.
3
Giới hạn và liên tục hàm hai biến
Định nghĩa
Hàm f(x,y)có giới hạn là L ∈Rkhi (x,y)→(x0,y0), nếu
∀ > 0,∃δ(, (x0,y0)) sao cho ∀(x,y)thỏa 0 <p(x−x0)2+ (y−y0)2< δ thì
|f(x,y)−L|< .
Kí hiệu: lim
(x,y)→(x0,y0)f(x,y) = L.
Hàm số z =f(x,y)có giới hạn là L khi (x,y)dần đến (x0,y0)có nghĩa là: Khi
M(x,y)dần đến M0(x0,y0)thì giá trị của hàm số tại M(x,y)cũng dần đến L.
Các định lý về giới hạn của hàm hai biến cũng tương tự của hàm một biến.
4
Giới hạn và liên tục hàm hai biến
Ví dụ
Chứng minh rằng
lim
(x,y)→(0,0)(x2+y2)sin 1
xy =0.
Giải
Ta nhận thấy rằng
−(x2+y2)6(x2+y2)sin 1
xy ≤(x2+y2).
Mà lim
(x,y)→(0,0)(x2+y2) = lim
(x,y)→(0,0)(x2+y2) = 0.
Do đó ta được
lim
(x,y)→(0,0)(x2+y2)sin 1
xy =0.
5