zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 - ThS. Nguyễn Phương

Chia sẻ: Vdgv Vdgv | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Báo xấu

462
lượt xem 50
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu chính của chương 2 Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số nằm trong bài giảng toán cao cấp nhằm trình bày về: đạo hàm của hàm số, vi phân của hàm số, vi phân cao và ứng dụng vi phân vào tính gần đúng, ứng dụng của đạo hàm, ứng dụng trong kinh tế.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 - ThS. Nguyễn Phương

Chương 2: Đ O HÀM VÀ VI PHÂN C A HÀM S M T BI N S Th.S NGUY N PHƯƠNG Khoa Giáo d c cơ b n Trư ng Đ i h c Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 17 tháng 2 năm 2014 1
1 Đ o hàm c a hàm s Đ nh nghĩa Các công th c đ o hàm cơ b n Đ o hàm c p cao 2 Vi phân c a hàm s Khái ni m Vi phân c p cao và ng d ng vi phân vào tính g n đúng 3 Các đ nh lý v giá tr trung bình 4 ng d ng c a đ o hàm Công th c Taylor Quy t c L’Hospital S bi n thiên c a hàm s C c tr c a hàm s 5 ng d ng trong kinh t Giá tr biên t (Marginal quantity) Đ co dãn (Elasticity) T i ưu trong kinh t
Đ o hàm c a hàm s Đ nh nghĩa Cho hàm s y = f(x) xác đ nh trong lân c n (a, b), x0 ∈ (a, b).Kí hi u: ∆x = x − x0 : s gia c a đ i s (lư ng thay đ i c a x t x0 đ n x) ∆y = ∆f(x0 ) = f(x) − f(x0 ) = f(x0 + ∆x) − f(x0 ): s gia c a hàm s f(x) (lư ng thay đ i c a f(x) khi x thay đ i lư ng ∆x) ∆y f(x0 + ∆x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) = = ⇒? ∆x ∆x x − x0 ∆y lim ⇒? ∆x→0 ∆x
Đ o hàm c a hàm s Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa Cho hàm s y = f(x) xác đ nh trong lân c n (a, b), x0 ∈ (a, b). N u gi i h n ∆y f(x0 + ∆x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) lim = lim = lim . ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x x→x0 x − x0 t n t i thì gi i h n này đư c g i là đ o hàm c a hàm s y = f(x) t i x0 . Kí hi u là f (x0 ) hay y (x0 ). Ví d . Tính đ o hàm t i x0 = 2 c a hàm s y = f(x) = x2 + 3x Gi i: f(x) − f(2) (x2 + 3x) − (22 + 3.2) f (2) = lim = lim x→2 x−2 x→2 x−2 2 x + 3x − 10 = lim = lim (x + 5) = 7. x→2 x−2 x→2 V y f (2) = 7.
Đ o hàm c a hàm s Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa Hàm f(x) đư c g i là có đ o hàm bên ph i t i x0 , kí hi u f+ (x0 ), n u t n t i gi i h n f(x0 + ∆x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) f+ (x0 ) = lim + = lim+ ∆x→0 ∆x x→x0 x − x0 Hàm f(x) đư c g i là có đ o hàm bên trái t i x0 , kí hi u f− (x0 ), n u t n t i gi i h n f(x0 + ∆x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) f− (x0 ) = lim − = lim− ∆x→0 ∆x x→x0 x − x0
Đ o hàm c a hàm s Đ nh nghĩa Đ nh lý Hàm f(x) đư c g i là có đ o hàm t i x0 khi và ch khi f+ (x0 ) = f− (x0 ) Ví d Tính đ o hàm c a hàm s f(x) = x3 + 2|x| + 1 t i x0 = 0. Gi i. Ta có x3 + 2x + 1 n u x>0 f(x) = x3 − 2x + 1 n u x≤0 f(x) − f(0) (x3 + 2x + 1) − 1 f + (0) = lim = lim+ = lim+ (x2 + 2) = 2 x→0 + x−0 x→0 x x→0 f(x) − f(0) (x3 − 2x + 1) − 1 f − (0) = lim+ = lim− = lim− (x2 − 2) = −2 x→0 x−0 x→0 x x→0 T i x0 = 0, đ o hàm trái và đ o hàm ph i không b ng nhau nên hàm s không có đ o hàm t i x0 = 0.
Đ o hàm c a hàm s Đ nh nghĩa Ví d Cho hàm s  x+1  e −x−2 n u x −1   f(x) =    x+1   a n u x = −1 i) Tìm a đ hàm s liên t c t i x0 = −1. ii) Tìm đ o hàm f (−1) ng v i a v a tìm đư c trong câu i). Gi i. i) Ta có ex+1 − x − 2 ex+1 − x − 2 lim + = lim − =0 và f(−1) = a x→−1 x+1 x→−1 x+1 Đ hàm s liên t c t i x0 = −1 khi và ch khi ex+1 − x − 2 lim = f(−1) ⇐⇒ a = 0 x→−1 x+1
Đ o hàm c a hàm s Đ nh nghĩa ii) Thay a = 0 thì  x+1  e −x−2 n u x −1   f(x) =    x+1   0 n u x = −1 Ta có, ex+1 − x − 2 −0 f(x) − f(−1) x+1 f (−1) = lim = lim x→−1 x+1 x→−1 x+1 ex+1 − x − 2 1 = lim 2 = x→−1 (x + 1) 2 8
Đ o hàm c a hàm s Các công th c đ o hàm cơ b n Các công th c đ o hàm c a hàm sơ c p 1 1) (k) = 0 , k là h ng s 8) (cotgx) = − sin2 x 2) (xα ) = αxα−1 1 9) (arcsinx) = √ 3) (ex ) = ex 1 − x2 1 1 4) (lnx) = 10) (arccosx) = − √ x 1 − x2 5) (cosx) = −sinx 1 6) (sinx) = cosx 11) (arctanx) = 1 + x2 1 1 7) (tanx) = 12) (arccotgx) = − cos2 x 1 + x2 Tính ch t 1) (ku) = ku 2) (u ± v) = u ± v 3) (uv) = u v + uv u u v − uv 4) = v iv 0 v v2 5) Cho hai hàm s y = f(u), u = u(x) và t n t i u (x), y (u), khi đó yx = fu (u).ux .
Đ o hàm c a hàm s Các công th c đ o hàm cơ b n Các công th c đ o hàm c a hàm h p 1) (uα ) = αuα−1 u 5) (sinu) = u cosu 2) (eu ) = eu u 1 6) (tanu) = u 1 cos2 u 3) (lnu) = u 1 u 7) (cotgu) = − 2 u 4) (cosu) = −u sinu sin u Đ nh lý Gi s f là m t hàm s đơn đi u và f (x0 ) 0 . Khi đó, hàm ngư c f −1 kh vi 1 t i y0 = f(x0 ) và (f −1 ) (y0 ) = f (x0 ) Các công th c đ o hàm c a hàm ngư c 1 1 1) (arcsin x) = √ , x ±1 3) (arc tan x) = 1 − x2 1 + x2 1 1 2) (arccos x) = − √ , x ±1 4) (arccotgx) = − 1 − x2 1 + x2 10
Đ o hàm c a hàm s Các công th c đ o hàm cơ b n Ví d Tính đ o hàm c a các hàm s sau: a) y = −8x4 + ln x b) y = sin(13 − x − x4 ) √ c) y = ln2 x + 1 + cot 3x 41 + x2 d) y = ln 1 − x3 2 x −1 e) y = ln x f) y = (x2 + 1)sin x
Đ o hàm c a hàm s Đ o hàm c p cao Đ nh nghĩa - N u hàm s f(x) có đ o hàm t i x thì ta nói f(x) có đ o hàm c p 1 t i x. Kí hi u f (x). - Đ o hàm (n u có) c a đ o hàm c p 1 đư c g i là đ o hàm c p 2 c a f(x) t i x. Kí hi u f (x). - Tương t , đ o hàm c a đ o hàm c p n − 1 c a f(x) đư c g i là đ o hàm c p n c a f(x). Kí hi u f (n) (x) f (n) (x) = (f (n−1) (x)) Công th c Leibniz Gi s các hàm s u(x), v(x) có đ o hàm liên ti p đ n c p n. Khi đó, ta có n n! (uv)(n) = Ck u(n−k) .v(k) , trong đó Ck = n n và u(0) = u, v(0) = v k!(n − k)! k=0
Đ o hàm c a hàm s Đ o hàm c p cao M t s công th c tính đ o hàm c p cao α (n) α−n 1) (x + a) = α · (α − 1) · · · (α − n + 1) (x + a) (n) 1 1 2) = (−1)n n! x+a (x + a)n+1 (n) 3) (eax ) = an · eax (n) (n − 1)! 4) (ln x) = (−1)n−1 · xn 5) (sin(ax)) = a · sin(ax + n π ) (n) n 2 (n) n π 6) (cos(ax)) = a · cos(ax + n ) 2 α (n) α−n 7) (ax + b) = α · (α − 1) · · · (α − n + 1) (ax + b) · an (n) (n − 1)! 8) (ln(ax + b)) = (−1)n−1 · · an (ax + b)n (n) π 9) (sin(ax + b)) = an · sin(ax + b + n ) 2 (n) n π 10) (cos(ax + b)) = a · cos(ax + b + n ) 2 13
Đ o hàm c a hàm s Đ o hàm c p cao Ví d Tính f (100) (1) c a hàm s f(x) = (3x2 + 1) ln x. Gi i. Ta có u = 3x2 + 1, v = ln x. Áp d ng công th c Leibniz f (100) (x) = C0 u(100) v(0) + C1 u(99) v(1) + . . . + C98 u(2) v(98) + C99 u(1) v(99) 100 100 100 100 +C100 u(0) v(100) 100 Ta th y f (k) = 0 khi ∀k > 2. V y f (100) (x) = C98 u(2) v(98) + C99 u(1) v(99) + C100 u(0) v(100) 100 100 100 Mà 97! 98! 99! (ln(x))(98) = (−1)97 , (ln(x))(99) = (−1)98 99 , (ln(x))(100) = (−1)99 100 x98 x x Suy ra 97! 98! 99! f (100) (x) = −6.4950. 98 + 6x.100. 99 − (3x2 + 1). 100 x x x =⇒f (100) (1) = −6.4950.97! + 6.100.98! − 4.99! = −9708.97!
Vi phân c a hàm s Khái ni m Đ nh nghĩa Cho hàm s y = f(x) đư c g i kh vi t i x0 ∈ Df n u ∆f(x0 ) = f(x0 + ∆x) − f(x0 ) có th bi u di n dư i d ng ∆f(x0 ) = A.∆x + 0(∆x) v i A là h ng s và 0(∆x) là VCB c p cao hơn ∆x khi ∆x → 0. Khi đó, A.∆x đư c g i là vi phân (c p 1) c a hàm s y = f(x) t i x0 . Ký hi u df(x0 ) hay dy(x0 ). Đ nh lý - Hàm s kh vi t i x0 khi và ch khi hàm s có đ o hàm t i x0 . Khi đó, A = f (x0 ). - N u hàm s có đ o hàm t i x0 thì bi u th c vi phân c a f(x) là df = f (x0 )dx Ví d a) V i y = x3 thì dy = y dx = (x3 ) dx = 3x2 dx b) V i f(x) = ex thì df(x) = f (x)dx = (ex ) dx = ex dx
Vi phân c a hàm s Khái ni m Tính ch t (Vi phân c a t ng, tích và thương) T công th c tính đ o hàm t ng, tích và thương c a hai hàm s , ta có: 1) d(ku) = kdu 2) d(u + v) = du + dv 3) d(u.v) = udv + vdu u vdu − udv 4) = , v 0 v v2 Ví d a) d(x3 + ex ) = d(x3 ) + d(ex ) = 3x2 dx + ex dx = (3x2 + ex )dx; b) d(x3 ex ) = ex d(x3 ) + x3 d(ex ) = 3x2 ex dx + x3 ex dx = x2 ex (x + 3)dx 16
Vi phân c a hàm s Vi phân c p cao và ng d ng vi phân vào tính g n đúng Đ nh nghĩa (Vi phân c p cao) Vi phân c p n c a hàm s y = f(x) là vi phân c a vi phân c p n − 1 c a f(x), kí hi u là dn f(x). dn y = d(dn−1 y) dn f(x) = d(dn−1 f(x)) = f (n) (x)dxn M t s quy t c tính vi phân c p cao 1) dn (cu) = cdn u 2) dn (u + v) = dn u + dn v n 3) dn (uv) = Ck dn−k u.dk v (d0 u = u, d0 v = v) n k=0 N u ∆x → 0 thì f(x0 + ∆x) − f(x0 ) và f (x0 )∆x là 2 VCB tương đương. Do đó, khi |∆x| khá nh , ta có công th c g n đúng f(x0 + ∆x) ≈ f(x0 ) + f (x0 )∆x √ Ví d : Tính g n đúng 4 15, 8 √ Gi i. Xét hàm s f(x) = 4 x và x0 = 16, ∆x = −0, 2. Ta có f(x0 + ∆x) ≈ f(x0 ) + f (x0 )∆x = f(16) + f (16)(−0, 2) = 1, 9938 √ Suy ra, 4 15, 8 ≈ 1, 9938
Các đ nh lý v giá tr trung bình Đ nh lý Rolle N u f(x) liên t c trên [a, b], kh vi trên (a, b) và f(a) = f(b) thì ∃c ∈ (a, b) : f (c) = 0 Đ nh lý Lagrange - Đ nh lý giá tr trung bình N u f(x) liên t c trên [a, b], kh vi trên (a, b) thì f(b) − f(a) ∃c ∈ (a, b) : f (c) = , a b b−a Đ nh lý Cauchy N u f(x), g(x) liên t c trên [a, b], kh vi trên (a, b) và g (x) 0, ∀x ∈ (a, b) thì f(b) − f(a) f (c) ∃c ∈ (a, b) : = g(b) − g(a) g (c)
ng d ng c a đ o hàm Công th c Taylor Đ nh lý (Công th c khai tri n Taylor t i x0 ) Gi f(x) xác đ nh trong [a, b] và f(x) có đ o hàm c p n + 1 trên (a, b). Khi đó, v i m i x0 ∈ (a; b) thì ta có th khai tri n f(x) dư i d ng sau: n f (k) (x0 ) f (x) = (x − x0 )k + Rn (x; x0 ) k! k=0 Rn (x; x0 ) đư c g i là ph n dư b c n c a khai tri n Taylor Lưu ý. 1) Ph n dư d ng Peano (khi không quan tâm đ n sai s ) Rn (x; x0 ) = 0((x − x0 )n ) 2) Ph n dư d ng Lagrange (khi c n đánh giá sai s ) f (n+1) (c) Rn (x; x0 ) = (x − x0 )n+1 v i c n m gi a x và x0 . (n + 1)!
ng d ng c a đ o hàm Công th c Taylor Khai tri n Taylor c a hàm s t i x0 = 0 đư c g i là khai tri n Maclaurin. Khai tri n Maclaurin v i ph n dư Peano: n f (k) (0) k f (x) = x + 0(xn ). k! k=0 Khai tri n Maclaurin v i ph n dư Lagrange: n f (k) (0) k f (n+1) (c) n+1 f (x) = x + x k! (n + 1)! k=0 Ví d Vi t khai tri n Maclaurin c a hàm s f(x) = ex . Gi i. Ta có f (x) = ex , f (x) = ex , . . . , f (n)(x) = ex =⇒ f (n) (0) = 1, ∀n ≥ 0 . Khi đó,v i θ ∈ (0, 1) f (0) f (0) 2 f (n) (0) n f (n+1) (c) n+1 f(x) = 1 + x+ x + ... + x + x 1! 2! n! (n + 1)!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.