intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Hàm số nhiều biến số

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST
Báo xấu
314
lượt xem 38
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp - Chương 1: Hàm số nhiều biến số" có cấu trúc gồm 3 bài học cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm cơ bản, đạo hàm riêng – Vi phân, cực trị của hàm hai biến số. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Hàm số nhiều biến số

  1. 1/25/2013 Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 2. Đạo hàm riêng – Vi phân Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số 1.1. Các định nghĩa 1.2. Giới hạn của hàm hai biến số 1.3. Hàm số liên tục Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản 1.1. Các định nghĩa Miền đóng a) Miền phẳng D D D D D  D  D 1
  2. 1/25/2013 Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản Miền mở Miền đơn liên D D D D  D \ D D Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản Miền đa liên Miền liên thông C1 D • D • C2 C3 D  C1  C 2  C 3 2
  3. 1/25/2013 Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản Miền không liên thông b) Lân cận của một điểm trong mặt phẳng ε D • M0 S(M0,ε) M  S (M 0, )  d(M , M 0 )   Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản Điểm trong Điểm ngoài ε • M0 • M1 H(M0,ε) D • M2  | x  x 0 |   M (x , y )  H (M 0, )    D • M3  | y  y0 |    Điểm biên 3
  4. 1/25/2013 Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản d) Hàm số hai biến số • z  f (x , y ) được gọi là giá trị của hàm số tại (x , y ). f : D  2   y (x, y )  D  z  f (x, y )  . M (x 0, y0 ) z 0  f (x 0, y0 )  f (M ) y0 • • Tập D  2 được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm số f (x , y ), ký hiệu là D f . 2 O x0 x O z•0 z Df  {(x, y )   | f (x, y )  } Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản Đồ thị của hàm số z = f(x,y) VD 1 f (M )  f (a,b)  c z S • Hàm số f (x , y )  3x 2y  cos xy có Df  2 . • N(a,b,c) • Hàm số z  4  x 2  y 2 có MXĐ là hình tròn đóng tâm O(0; 0), bán kính R  2 . b y Vì M (x, y )  Dz  4  x 2  y 2  0 O a •M  x 2  y2  4. x D S  {(x, y, f (M )) | M (x, y )  D} 4
  5. 1/25/2013 Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản • Hàm số z  ln(4  x 2  y 2 ) có MXĐ là hình tròn • Hàm số z  f (x, y )  ln(2x  y  3) có MXĐ là mở tâm O(0; 0), bán kính R  2 . nửa mp mở có biên d : 2x  y  3  0 , không chứa O . y Vì M (x, y )  Dz  4  x 2  y 2  0  x 2  y2  4. 2x  y  3  0 2x  y  3  0 O d x Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số b) Định nghĩa giới hạn bội a) Điểm tụ • Mn • Điểm M 0 (x 0 , y0 ) được gọi là giới hạn của dãy • • • • •• •• • • • • • điểm Mn (xn , yn ), n  1, 2,... nếu M 0 (x 0 , y0 ) là •••• • • • • • M0 1 1  điểm tụ duy nhất của dãy. VD. O(0, 0) là điểm tụ của dãy điểm M n  , . Ký hiệu là:  n n 2  n  lim M n  M 0 hay Mn   M 0. n  5
  6. 1/25/2013 Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản • Hàm số f (x , y ) có giới hạn là L    {} khi y M n   •• Mn   M 0 nếu lim f (x n , yn )  L . D n   M0 f O Ký hiệu là L  lim f (M ) x • () z M M 0 O L D  lim f (x , y )  lim f (x , y ). (x ,y )(x 0 ,y 0 ) x x 0 y y0 Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản y z 2 2x y  3x  1 3 •M VD 2. lim  . 2 2 •L (x ,y )(1,1) xy  3 • M0 O x • f (M ) 6
  7. 1/25/2013 Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản xy Nhận xét VD 3. Tìm lim f (x , y ), f (x , y )  . (x ,y )(0,0) x 2  y2 y Giải.   xy xy x 0 x  x0 x  x 0  r cos  y 0  •M  0  f (x, y )    x   0. y  y0 r  y  y 0  r sin  2 x y 2 y 2 •  M0 Vậy lim f (x , y )  0 . O x M  M0  r  0 (x ,y )(0,0) Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản 2 sin(x  y ) 2 2xy VD 4. Tìm lim . VD 5. Cho hàm số f (x , y )  . x y (x ,y )(0,0) 2 2 x  y2 2 Giải. Đặt x  r cos , y  r sin  , ta có: Chứng tỏ rằng lim f (x , y ) không tồn tại. (x ,y )(0,0) sin(x 2  y 2 ) sin r 2 Giải. Đặt x  r cos , y  r sin  , ta có: lim  lim  1. r 2 sin 2 (x ,y )(0,0) x 2  y2 r 0 r2 lim f (x , y )  lim  sin 2 . (x ,y )(0,0) r 0 r2 Do giới hạn phụ thuộc vào  nên không duy nhất. Vậy lim f (x , y ) không tồn tại. (x ,y )(0,0) 7
  8. 1/25/2013 Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản c) Giới hạn lặp Chú ý Giới hạn theo từng biến khi dãy điểm Mn (xn , yn ) • Nếu lim lim f (x, y )  lim lim f (x, y ) thì không dần đến M 0 của f (x , y ) được gọi là giới hạn lặp. y y0 x x 0 x x 0 y y 0 • Khi x  x 0 trước, y  y0 sau thì ta viết tồn tại lim f (x, y ). (x ,y )(x 0 ,y 0 ) lim lim f (x , y ) • Sự tồn tại giới hạn lặp không kéo theo sự tồn tại y y0 x x 0 của giới hạn bội. • Khi y  y0 trước, x  x 0 sau thì ta viết lim lim f (x, y ) x x 0 y y0 Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản sin x  sin y 2 2 1.3. Hàm số liên tục VD 6. Xét hàm số f (x , y )  . x 2  y2 • Hàm số f (x , y ) liên tục tại M 0 (x 0, y0 )  D  2 Ta có:  sin y 2 nếu lim lim f (x , y )  lim  1, lim f (x, y )  f (x 0, y 0 ) y 0 x 0 y 0 y2 (x ,y )(x 0 ,y 0 ) sin x 2 lim lim f (x , y )  lim  1. • Hàm số f (x , y ) liên tục trên tập D  2 nếu nó x 0 y 0 x 0 x 2 liên tục tại mọi điểm thuộc D . Vậy lim lim f (x , y )  lim lim f (x , y ). y 0 x 0 x 0 y 0 8
  9. 1/25/2013 Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 1. Khái niệm cơ bản Chú ý sin x 2  sin y 2 VD 7. Xét sự liên tục của f (x , y )  . Hàm số f (x, y ) liên tục trên miền đóng giới nội D x 2  y2 Giải thì nó đạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) • Với (x , y )  (0, 0) thì hàm số f (x , y ) xác định trên D . nên liên tục. • Tại (0, 0) thì lim f (x, y ) không tồn tại. (x ,y )(0,0) Vậy hàm số f (x, y ) liên tục trên 2 \ {(0, 0)}. ………………………………………………………. Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.1. Đạo hàm riêng 2.1.1. Đạo hàm riêng cấp 1 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Cho hàm số f (x, y ) xác định trên miền mở D  2 chứa điểm M 0 (x 0, y0 ). 2.1. Đạo hàm riêng Cố định y 0 , nếu hàm số f (x , y0 ) có đạo hàm tại x 0 2.2. Vi phân thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp của hàm số f (x, y ) tại (x 0, y0 ), ký hiệu là: 2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn 2.5. Đạo hàm theo hướng f fx(x 0, y0 ) hay (x , y ) hay fx (x 0, y0 ). x 0 0 9
  10. 1/25/2013 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Vậy Chú ý f (x , y0 )  f (x 0, y0 ) • Nếu f (x ) là hàm số một biến x thì fx(x 0, y0 )  lim x x 0 x  x0 d f (x )  f (x ). dx Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại (x 0, y0 ) là • Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự. f (x 0, y )  f (x 0, y 0 ) fy(x 0, y0 )  lim y y0 y  y0 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Ý nghĩa z  f (x, y ) Ý nghĩa z  f (x, y ) z z fy(a,b) • • y b fx(a,b) x a O y O y • M(a,b) • x x M(a,b) 10
  11. 1/25/2013 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số VD 2. Tính các đạo hàm riêng của hàm số f (x, y )  x 4  3x 3y 2  2y 3  3xy tại (1; 2) . x2  1 z  ln . Giải x 2  y2  1 fx(x, y )  4x 3  9x 2y 2  3y  x 2  1  x 2  y 2  1   fx(1, 2)  46. Giải. Ta có z x     .  x  y  1  x 2 2 x2  1 fy(x, y )  6x 3y  6y 2  3x  fy(1, 2)  39. 2xy 2  , (x 2  1)(x 2  y 2  1) 2y zy   . x  y2  1 2 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Cách khác VD 3. Tính các đạo hàm riêng của hàm số Ta có z  ln(x 2  1)  ln( x 2  y 2 1) . x y f (x, y)  ln tại (2; 1) . 2x 2x x y Suy ra z x   Giải x  1 x  y2  1 2 2  x  y  x  y  . 2y fx(x , y )     x  y  x y x 2  y 2 2y x zy   . x  y2  1 2 1 1 4 fy(2, 1)     . 2  (1) 2 1 3 2xy 2  . 2 (x 2  1)( x 2  y2 1)  fx(2, 1)   . 3 11
  12. 1/25/2013 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 4. Cho hàm số f (x, y, z )  x  y  z . 2 2 2 2.1.2. Đạo hàm riêng cấp cao Ký hiệu: Tính (fx)2  (fy)2  (fz)2 . • Các đạo hàm riêng (nếu có) của các hàm số Giải. Ta có fx(x , y ), fy(x , y ) được gọi là các đạo hàm riêng 2x x2 fx   ( fx)2  . cấp hai của hàm số f (x, y ). 2 x 2  y2  z 2 x 2  y2  z 2   f  2 f Tương tự fx2   fx   fxx    x x  x  x 2 y2 z2 (fy)2  , ( fz)2  . x 2  y2  z 2 x 2  y2  z 2    f  2 f  y fy2  fy  fyy    y  y  y 2 Vậy (fx)2  (fy)2  (fz)2  1. Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.1.2. Đạo hàm riêng cấp cao • Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp Ký hiệu: cao hơn 2 có định nghĩa tương tự. VD. f (25)3 (x, y )  ((((fx(x, y ))x )y )y )y  ( f 2 (x, y))3 ;   f  2 f x y x y fxy   fx   fxy     fx 2yxz 2 (x, y, z )  (((fx2 (x, y, z ))y )x )z2 . (6) y y  x  y x    f  2 f  x fyx  fy  fyx     x  y  x y 12
  13. 1/25/2013 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Sơ đồ fx2 VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số f (x, y )  x 3ey  x 2y 3  y 4 tại (1; 1). fx fxy   2 y 3 f (x, y )  f   3x e  2xy Giải. Ta có  x fy2   f   x 3e y  3x 2y 2  4y 3 fy  y   fx2  6xe y  2y 3 fyx     2 y 2  f   3x e  6xy   xy   fyx  3x 2e y  6xy 2     f 2  x 3e y  6x 2y  12y 2  y Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số • Định lý Schwarz f (x, y )  x 3ey  x 2y 3  y 4 tại (1; 1). Nếu hàm số f (x, y ) có các đạo hàm riêng fxy và fyx liên tục trong miền mở D  2 thì fxy  fyx .   fx2 (1, 1)  6e  2      fxy (1, 1)  fyx (1, 1)  3e  6    f  (1, 1)  e  6.  y2  13
  14. 1/25/2013 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài tập. Cho u  u(x, y ), v  v(x, y ) thỏa   2 y  u  xv   x  v 2  yu. Hermann Amandus Schwarz  (1843 – 1921) Tính ux (1; 1) và vy (1; 1) biết u(1; 1)  0 , v(1; 1)  1. Hướng dẫn. Đạo hàm từng phương trình theo x :  0  2u.ux  v  xvx    1  2v.vx  yux .  Thay x  1, y  1, u  0, v  1 vào hệ  ux (1; 1). Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.2. VI PHÂN b) Định nghĩa 2.2.1. Vi phân cấp 1 Giả sử hàm số f (x, y ) có các đạo hàm riêng a) Số gia của hàm số fx(x 0, y 0 ) và fy(x 0, y 0 ) liên tục, khi đó ta có: Cho hàm số f (x, y ) xác định trong một lân cận của f (x 0  x , y 0  y )  f (x 0, y 0  y ) điểm M 0 (x 0, y 0 ). lim x  0 x Cho x một số gia x và y một số gia y , khi đó  fx(x 0, y 0 ). hàm f (x, y ) có tương ứng số gia f (x 0, y0 )  f (x 0  x, y0  y )  f (x 0, y0 ) 14
  15. 1/25/2013 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Nghĩa là, khi x  0 thì tồn tại VCB 1 sao cho Suy ra, khi x  0 và y  0 thì tồn tại hai f (x 0  x, y0  y )  f (x 0, y0  y ) VCB 1 , 2 sao cho  fx(x 0, y0 )x  1x . f (x 0, y0 )  [ f (x 0  x, y0  y)  f (x 0, y0  y)] Tương tự, khi y  0 thì tồn tại VCB 2 sao cho  [ f (x 0, y0  y )  f (x 0, y0 )] f (x 0, y0  y )  f (x 0, y0 )  fy(x 0, y0 )y  2y .  fx(x 0, y 0 )x  fy(x 0, y 0 )y  1x  2y (). Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Nếu khi x  0 và y  0 mà f (x 0, y 0 ) có thể Nhận xét viết được dưới dạng () thì ta nói hàm số f (x, y ) Xét hàm f (x, y )  x , ta có: khả vi tại điểm M 0 (x 0, y 0 ). df (x, y )  (x )x .x  (x )y .y  dx  x . Tương tự, dy  y . Đại lượng fx(x 0, y0 )x  fy(x 0, y0 )y , ký hiệu Vậy, tổng quát ta có df (x 0, y 0 ), được gọi là vi phân của hàm số f (x, y ) df (x, y )  fx(x , y )dx  fy(x , y )dy tại điểm M 0 (x 0, y 0 ). 15
  16. 1/25/2013 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân z • Vi phân của hàm nhiều hơn hai biến số có định nghĩa tương tự, chẳng hạn z • df (x, y, z )  fx(x, y, z )dx  fy(x, y, z )dy  fz(x, y, z )dz • y O y x • M0 • x M Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 8. Tính dz (1, ) của hàm số z  e y x 2 2 cos(x y ). VD 9. Cho hàm số f (x, y, z )  x y z  e x 3y . 2 5 3  Giải. z x (x, y )  2xe y x 2 [cos(x y )  y sin(x 2y )] 2 Tính df (2, 1, 1).   fx(x , y, z )  2xy 5z 3  e x 3y  z x (1, )  2e 1,    Giải.  fy(x , y, z )  5x 2y 4z 3  3e x 3y 2 z y (x, y )  e y x [cos(x 2y )  x 2 sin(x 2y )]    z y (1, )  e 1 .   f (x , y, z )  3x 2y 5z 2  z Vậy dz  e 1(2dx  dy ).    f (2, 1, 1)  4  e 5 x   fy(2, 1, 1)  20  3e . 5    fz(2, 1, 1)  12 Vậy    df (2, 1, 1)  (4  e 5 )dx  (3e 5  20)dy  12dz . 16
  17. 1/25/2013 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.2.2. VI PHÂN CẤP CAO Chú ý a) Vi phân cấp 2 Nếu x, y là các biến không độc lập (biến trung gian) Vi phân của hàm df (x, y ) được gọi là vi phân cấp 2 x  x (, ), y  y(, ) thì công thức trên không của hàm số f (x, y ). còn đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp x, y Ký hiệu và công thức: độc lập. d 2 f  d (df )  fx2dx 2  2 fxydxdy  fy2dy 2 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 10. Cho hàm số f (x, y )  x 2y 3  xy 2  3x 3y 5 . VD 10. Cho hàm số f (x, y )  x 2y 3  xy 2  3x 3y 5 . Tính vi phân cấp hai d 2 f (2, 1). Tính vi phân cấp hai d 2 f (2, 1). Giải. Ta có   f (x , y )  2xy 3  y 2  9x 2y 5   x     fx2 (2, 1)  34  f (x , y )  3x 2y 2  2xy  15x 3y 4    y   fxy (2, 1)  170     fx2 (x , y )  2y 3  18xy 5   f 2 (2, 1)  460.    y  2  fxy (x , y )  6xy +2y  45x y 2 4     f 2 (x , y )  6x 2y +2x  60x 3y 3  y Vậy d 2 f (2, 1)  34dx 2  340dxdy  460dy 2 . 17
  18. 1/25/2013 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm z  sin(xy 2 ). b) Vi phân cấp n   2 2 z x (x , y )  y cos(xy ) n Giải. Ta có   d n f   C nk f (kn )n k dx kdy n k z  (x , y )  2xy cos(xy 2 ) x y  y k 0   z x2 (x , y )  y 4 sin(xy 2 ) n       C nk f (nn)k k dx n kdy k  2 3 z xy (x , y )  2y cos(xy )  2xy sin(xy ) 2 k 0 x y     z 2 (x , y )  2x cos(xy 2 )  4x 2y 2 sin(xy 2 ) trong đó:  y  d 2z (x, y )  ... f (nn )0  f (nn ), f (0n )n  f (nn ), x y x x y y dx dy  dx , dx dy  dy n . n 0 n 0 n Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Đặc biệt VD 12. Tính vi phân cấp 3 của hàm f (x , y )  x 3y 2 . Giải. Ta có: d 3 f  fx3dx 3  3 fx2ydx 2dy  3 fxy2dxdy 2  fy3dy 3 fx  3x 2y 2  fx2  6xy 2  fx 2 3  6y , fx  3x 2y 2  fx2  6xy 2  fx 2 y  12xy , fx  3x 2y 2  fxy  6x 2y  fxy2  6x 2 , fy 3  0. Vậy d 3 f  6y 2dx 3  36xydx 2dy  18x 2dxdy 2. 18
  19. 1/25/2013 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 13. Tính vi phân d 3z của hàm z  e 2x cos 3y . VD 14. Tính vi phân d 10 f của hàm f (x, y )  x 3e 2y . Giải. Ta có: Đáp số. d 3z  z x3dx 3  3z x2ydx 2dy  3z xy 2dxdy 2  z 3dy 3 y d 10 f  210 x 3e 2ydy 10  3.10.29 x 2e 2ydxdy 9  8e 2x cos 3ydx 3  36e 2x sin 3ydx 2dy 6.45.28 xe 2ydx 2dy 8  6.240.27e 2ydx 3dy 7 . 54e 2x cos 3ydxdy 2  27e 2x sin 3ydy 3. Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp Đặc biệt, nếu (x )  f (x, y(x )) thì 2.3.1. Hàm hợp với một biến độc lập d Cho f (x, y ) là hàm khả vi đối với x, y và x, y là (x )  (x )  fx(x , y )  fy(x , y ).y (x ) những hàm khả vi đối với biến độc lập t . dx Khi đó, hàm hợp của biến t là (t )  f (x (t ), y(t )) khả vi và d (t )  (t )  fx(x , y ).x (t )  fy(x , y ).y (t ) dt 19
  20. 1/25/2013 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 15. Tính (t ), biết (t )  f (x (t ), y(t )) trong đó Ta có thể tính trực tiếp như sau: f (x , y )  x 2y và x  3t 2  t, y  sin t . (t )  (3t 2  t )2 sin t Giải. (t )  (x 2y )x .(3t 2  t )  (x 2y )y .(sin t )  (t )  2(3t 2  t )(6t  1)sin t  (3t 2  t )2 cos t .  2xy(6t  1)  x 2 cos t  2(3t 2  t )sin t .(6t  1)  (3t 2  t )2 cos t . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 16. Tính (x ), biết (x )  f (x, y(x )) trong đó Ta có thể tính trực tiếp như sau: f (x, y )  ln(x 2  y 2 ) và y  sin2 x . 2x  4 cos x sin 3 x (x )  [ln(x 2  sin 4 x )]  . Giải x 2  sin4 x (x )  [ln(x 2  y 2 )]x  [ln(x 2  y 2 )]y .(sin2 x ) 2x 2y sin 2x 2x  4 cos x sin3 x    . x 2  y2 x 2  y2 x 2  sin4 x 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2