10/25/2015<br />
<br />
Chương 4:<br />
Hàm nhiều biến<br />
§1. Hàm đa biến<br />
<br />
GV. Phan Trung Hiếu<br />
<br />
§1. Hàm đa biến<br />
§2. Giới hạn và liên tục<br />
§3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần<br />
§4. Cực trị của hàm hai biến<br />
§5. Tích phân bội trên hình chữ nhật<br />
LOG<br />
O<br />
§6. Ứng dụng trong kinh tế<br />
2<br />
<br />
I. Định nghĩa:<br />
Định nghĩa 1.1. Một hàm n biến là một quy<br />
tắc đặt tương ứng mỗi bộ n số thực<br />
(x1, x2,…, xn) với một số thực duy nhất, ký<br />
hiệu là u f ( x1 , x2 ,..., xn ) . Hay nói cách khác,<br />
ánh xạ<br />
f : D n <br />
<br />
( x1 , x2 ,..., x n ) u f ( x1 , x2 ,..., xn )<br />
<br />
Tập hợp D gọi là miền xác định của hàm số f,<br />
nghĩa là tập các điểm ( x1 , x2 ,..., x n ) sao cho<br />
biểu thức f ( x1 , x2 ,..., x n ) có nghĩa. Miền giá<br />
trị của f là tập các giá trị mà f nhận được.<br />
<br />
Trường hợp n = 2, ta có hàm hai biến, thường<br />
ký hiệu là z f ( x, y).<br />
Trường hợp n = 3, ta có hàm ba biến, thường<br />
ký hiệu là u f ( x, y, z) .<br />
<br />
được gọi là hàm n biến xác định trên D.<br />
3<br />
<br />
4<br />
<br />
Ví dụ 1.1. Tìm miền xác định của các hàm số<br />
sau<br />
<br />
D là tập hợp những điểm nằm trong hay nằm<br />
trên đường tròn tâm (0,0) bán kính 3<br />
<br />
a) f ( x , y ) x 2 y sin( xy ).<br />
b) f ( x , y ) <br />
<br />
9 x2 y2 .<br />
Giải<br />
<br />
a) Miền xác định: D 2<br />
b) f xác định 9 x 2 y 2 0 x 2 y 2 9<br />
Miền xác định: D ( x , y ) 2 | x 2 y 2 9<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Ví dụ 1.2. Cho hàm f ( x, y) x y 2 1.<br />
Tính f(1,1), f(0,-2).<br />
Giải<br />
<br />
f (1,1) <br />
<br />
f (0, 2) <br />
5<br />
<br />
6<br />
<br />
1<br />
<br />
10/25/2015<br />
<br />
II. Đồ thị của hàm hai biến:<br />
Đồ thị của hàm số 2 biến f(x,y) xác định trên D là<br />
tập hợp tất cả các điểm ( x , y , z ) 3sao cho<br />
z f (x, y) và ( x, y ) D<br />
Ví dụ 2.1. Đồ thị của một số hàm hai biến<br />
<br />
III. Một số hàm hai biến số trong kinh tế:<br />
3.1. Hàm sản xuất: là hàm mô tả mối quan hệ phụ<br />
thuộc của sản lượng vào vốn và lao động Q f ( K , L )<br />
trong đó K: vốn; L: lao động.<br />
3.2. Hàm tổng chi phí: C wk .K wL .L C0<br />
trong đó wK : giá thuê một đơn vị vốn;<br />
wL : giá thuê một đơn vị lao động;<br />
C0 : chi phí cố định.<br />
3.3. Hàm tổng doanh thu:<br />
R P.Q P. f ( K , L )<br />
trong đó P là giá thị trường của một đơn vị sản phẩm.<br />
<br />
7<br />
<br />
8<br />
<br />
I. Giới hạn hàm hai biến:<br />
Định nghĩa 1.1: Cho hàm số z f (x, y)xác định<br />
trên D 2 . Ta nói hàm z f (x, y) có giới hạn<br />
là L khi (x,y) tiến về ( x0 , y0 ) nếu<br />
<br />
§2. Giới hạn và liên tục<br />
<br />
0, 0 : ( x , y ) D , 0 ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) L .<br />
<br />
Ký hiệu là<br />
<br />
lim<br />
<br />
( x , y )( x 0 ,y0 )<br />
<br />
f ( x, y) L<br />
<br />
Chú ý 1.2:<br />
( x, y ) ( x0 , y0 )<br />
<br />
là khoảng cách từ điểm (x,y) đến<br />
điểm ( x0 , y0 ) .<br />
<br />
9<br />
<br />
Chú ý 1.2: Giới hạn của hàm hai biến cũng có<br />
những tính chất tương tự như giới hạn của hàm<br />
một biến nhưng kỹ thuật tính toán nói chung<br />
phức tạp hơn và chúng ta không giới thiệu ở đây.<br />
<br />
10<br />
<br />
II. Tính liên tục của hàm hai biến:<br />
2.1. Liên tục tại một điểm: Hàm số z = f(x,y)<br />
liên tục tại điểm ( x0 , y0 ) D nếu<br />
lim<br />
<br />
( x ,y )( x0 ,y0 )<br />
<br />
f ( x , y ) f ( x 0 , y0 )<br />
<br />
2.2. Liên tục trên một miền: Hàm số z = f(x,y)<br />
liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi<br />
điểm thuộc D.<br />
<br />
11<br />
<br />
12<br />
<br />
2<br />
<br />
10/25/2015<br />
<br />
I. Đạo hàm riêng cấp một:<br />
<br />
§3. Đạo hàm riêng và<br />
vi phân toàn phần<br />
<br />
Xét hàm hai biến z = f(x,y) xác định trên miền<br />
D. Khi đó, f có hai đạo hàm riêng cấp 1 là<br />
f<br />
z fx <br />
: đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f<br />
x<br />
x<br />
(lấy đạo hàm theo biến x và xem y như là hằng số)<br />
<br />
z fy <br />
y<br />
<br />
f<br />
: đạo hàm riêng theo biến y của hàm số f<br />
y<br />
<br />
(lấy đạo hàm theo biến y và xem x như là hằng số)<br />
13<br />
<br />
Ví dụ 1.1: Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của các<br />
hàm số sau<br />
<br />
a ) f ( x, y ) x 3 y 2 x 4 y y 4 .<br />
Giải<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
3<br />
<br />
f x 3 x y 4 x y.<br />
<br />
f y 2 x 3 y x 4 4 y 3 .<br />
<br />
14<br />
<br />
b) f ( x, y ) xy 2 ye 2 x 3 y .<br />
Giải<br />
<br />
f x y y (2 x 3 y ) .e2 x 3 y<br />
x<br />
2<br />
<br />
y 2 2 y.e 2 x 3 y<br />
f y 2 xy ( y )y .e2 x 3 y y.( e 2 x 3 y )y<br />
<br />
2 xy e 2 x 3 y 3 ye 2 x 3 y<br />
<br />
15<br />
<br />
Ví dụ 1.2: Cho f ( x, y ) x 2 y 3 2 x 3 y 1.<br />
Tìm f x(1;0) và f y(1; 2).<br />
Giải<br />
<br />
f x <br />
<br />
f x(1;0) <br />
<br />
f y <br />
<br />
f y(1;2) <br />
<br />
16<br />
<br />
II. Đạo hàm riêng cấp hai:<br />
Giả sử hàm hai biến z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp<br />
một. Khi đó, các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số là<br />
<br />
2 f<br />
( f x)x<br />
x 2<br />
<br />
<br />
f yy <br />
<br />
2 f<br />
( f y)y<br />
y 2<br />
<br />
<br />
f xy <br />
<br />
17<br />
<br />
<br />
f xx <br />
<br />
2 f<br />
( f x)y<br />
y x<br />
<br />
<br />
f yx <br />
<br />
2 f<br />
( f y )x<br />
xy<br />
<br />
18<br />
<br />
3<br />
<br />
10/25/2015<br />
<br />
Ví dụ 2.1: Cho f ( x, y) x 3 y y 2 x 2. Tính các đạo<br />
hàm riêng cấp hai của số f.<br />
Giải<br />
<br />
f x <br />
<br />
f y <br />
<br />
<br />
f xx f x x<br />
<br />
<br />
f yy f y y<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
f xy ( f x)y<br />
<br />
<br />
f yx ( f y )x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
19<br />
<br />
Chú ý 2.1: Các đạo hàm f xy , f yx được gọi là các<br />
<br />
đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai của hàm hai<br />
biến f(x,y). Các đạo hàm này khác nhau về thứ<br />
tự lấy đạo hàm riêng theo từng biến x, y và do<br />
đó nói chung chúng khác nhau. Tuy nhiên,<br />
chúng có thể bằng nhau theo định lý sau đây<br />
Định lý về sự thay đổi thứ tự lấy đạo hàm<br />
(Định lý Schwarz): Nếu z = f(x,y) có các đạo<br />
hàm riêng cấp hai liên tục thì<br />
<br />
<br />
<br />
f xy f yx<br />
20<br />
<br />
III. Vi phân toàn phần của hàm hai biến:<br />
Vi phân toàn phân (vi phân cấp 1) của hàm 2 biến<br />
z = f(x,y) là<br />
<br />
df f xdx f ydy.<br />
2<br />
2<br />
Ví dụ 3.1: Cho f ( x, y ) x 3 xy y .Tính df, df(0,1).<br />
Giải<br />
<br />
§4. Cực trị của hàm hai biến<br />
<br />
f x <br />
f y <br />
df <br />
df (0,1) <br />
21<br />
<br />
I. Định nghĩa:<br />
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D 2 và<br />
điểm ( x 0 , y0 ) D . Khi đó:<br />
<br />
22<br />
<br />
Chú ý rằng, cực đại địa phương chưa chắc là<br />
cực đại toàn cục. Cực tiểu địa phương chưa<br />
chắc là cực tiểu toàn cục.<br />
<br />
f được gọi là đạt cực đại địa phương (cực đại) tại ( x0 , y0 )<br />
nếu tồn tại lân cận D của ( x0 , y0 ) sao cho<br />
f ( x , y) f ( x 0 , y0 ), ( x , y) .<br />
f được gọi là đạt cực tiểu địa phương (cực tiểu) tại( x0 , y0 )<br />
nếu tồn tại lân cận D của ( x0 , y0 ) sao cho<br />
f ( x , y) f ( x 0 , y0 ), ( x , y) .<br />
Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung<br />
là cực trị địa phương.<br />
23<br />
<br />
24<br />
<br />
4<br />
<br />
10/25/2015<br />
<br />
II. Điều kiện cần:<br />
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D 2<br />
và f có các đạo hàm riêng cấp một. Nếu hàm<br />
số f đạt cực trị địa phương tại ( x 0 , y0 ) D thì<br />
<br />
f x( x0 , y0 ) 0<br />
<br />
(*).<br />
<br />
f y( x0 , y0 ) 0<br />
<br />
Những điểm ( x0 , y0 ) thỏa (*) được gọi là điểm<br />
dừng.<br />
<br />
III. Điều kiện đủ:<br />
Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai<br />
liên tục trên lân cận của điểm dừng ( x 0 , y0 ). Đặt<br />
<br />
<br />
fxx fxy<br />
<br />
<br />
( x, y) <br />
f xx . f yy fyx . f xy<br />
<br />
<br />
fyx fyy<br />
<br />
( x0 , y0 ) 0<br />
<br />
i) Nếu <br />
thì f đạt cực tiểu tại ( x 0 , y0 ).<br />
f xx ( x0 , y0 ) 0<br />
<br />
<br />
ii) Nếu ( x0 , y0 ) 0<br />
<br />
<br />
f xx ( x0 , y0 ) 0<br />
<br />
<br />
thì f đạt cực đại tại ( x 0 , y0 ).<br />
<br />
25<br />
<br />
26<br />
<br />
iii) Nếu ( x0 , y0 ) 0 thì f không đạt cực trị tại ( x 0 , y0 ).<br />
iv) Nếu ( x0 , y0 ) 0 thì ta không có kết luận tổng<br />
<br />
quát.<br />
<br />
IV. Cách tìm cực trị hàm hai biến:<br />
Bước 1 (Tìm điểm dừng):<br />
Tính f x, f y<br />
<br />
f0<br />
Xét hệ x<br />
. Giải hệ này ta được các điểm dừng<br />
<br />
f y 0<br />
<br />
xk , yk .<br />
Bước 2 (Tìm ):<br />
<br />
Tính f xx , fyy , f xy , f yx<br />
Tính (x , y) <br />
<br />
<br />
f xx<br />
<br />
<br />
f xy<br />
<br />
<br />
f yx<br />
<br />
<br />
f yy<br />
<br />
<br />
<br />
f xx . f yy f yx . f xy ( xk , yk ).<br />
<br />
27<br />
<br />
Ví dụ 3.1: Tìm cực trị của hàm số<br />
<br />
Bước 3 (Kết luận):<br />
x k , yk 0<br />
<br />
f đạt cực tiểu tại x k , yk .<br />
<br />
f xx xk , yk 0<br />
<br />
<br />
x k , yk 0<br />
<br />
f đạt cực đại tại xk , yk .<br />
<br />
f xx x k , yk 0<br />
<br />
<br />
xk , yk <br />
<br />
28<br />
<br />
0 f không đạt cực trị tại xk , yk .<br />
<br />
f ( x, y ) x 3 3 xy 2 3y 2 15x 2<br />
Giải<br />
Miền xác định: D 2<br />
<br />
f x <br />
f y <br />
<br />
fx 0 <br />
<br />
<br />
<br />
fy 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x <br />
<br />
y <br />
<br />
x <br />
<br />
y <br />
<br />
Ta được 4 điểm dừng:<br />
29<br />
<br />
30<br />
<br />
5<br />
<br />