Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 4 - Phạm Trung Hiếu

Chia sẻ: Nguoibakhong04 Nguoibakhong04 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

159
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 4: Hàm nhiều biến cung cấp cho người học các kiến thức về hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục, đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, cực trị của hàm hai biến, tích phân bội trên hình chữ nhật, ứng dụng trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 4 - Phạm Trung Hiếu

10/25/2015 Chương 4: Hàm nhiều biến §1. Hàm đa biến GV. Phan Trung Hiếu §1. Hàm đa biến §2. Giới hạn và liên tục §3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần §4. Cực trị của hàm hai biến §5. Tích phân bội trên hình chữ nhật LOG O §6. Ứng dụng trong kinh tế 2 I. Định nghĩa: Định nghĩa 1.1. Một hàm n biến là một quy tắc đặt tương ứng mỗi bộ n số thực (x1, x2,…, xn) với một số thực duy nhất, ký hiệu là u  f ( x1 , x2 ,..., xn ) . Hay nói cách khác, ánh xạ f : D  n   ( x1 , x2 ,..., x n )  u  f ( x1 , x2 ,..., xn ) Tập hợp D gọi là miền xác định của hàm số f, nghĩa là tập các điểm ( x1 , x2 ,..., x n ) sao cho biểu thức f ( x1 , x2 ,..., x n ) có nghĩa. Miền giá trị của f là tập các giá trị mà f nhận được. Trường hợp n = 2, ta có hàm hai biến, thường ký hiệu là z  f ( x, y). Trường hợp n = 3, ta có hàm ba biến, thường ký hiệu là u  f ( x, y, z) . được gọi là hàm n biến xác định trên D. 3 4 Ví dụ 1.1. Tìm miền xác định của các hàm số sau D là tập hợp những điểm nằm trong hay nằm trên đường tròn tâm (0,0) bán kính 3 a) f ( x , y )  x 2  y  sin( xy ). b) f ( x , y )  9  x2  y2 . Giải a) Miền xác định: D  2 b) f xác định  9  x 2  y 2  0  x 2  y 2  9 Miền xác định: D  ( x , y )   2 | x 2  y 2  9   Ví dụ 1.2. Cho hàm f ( x, y)  x  y 2  1. Tính f(1,1), f(0,-2). Giải f (1,1)  f (0, 2)  5 6 1 10/25/2015 II. Đồ thị của hàm hai biến: Đồ thị của hàm số 2 biến f(x,y) xác định trên D là tập hợp tất cả các điểm ( x , y , z )   3sao cho z  f (x, y) và ( x, y )  D Ví dụ 2.1. Đồ thị của một số hàm hai biến III. Một số hàm hai biến số trong kinh tế: 3.1. Hàm sản xuất: là hàm mô tả mối quan hệ phụ thuộc của sản lượng vào vốn và lao động Q  f ( K , L ) trong đó K: vốn; L: lao động. 3.2. Hàm tổng chi phí: C  wk .K  wL .L  C0 trong đó wK : giá thuê một đơn vị vốn; wL : giá thuê một đơn vị lao động; C0 : chi phí cố định. 3.3. Hàm tổng doanh thu: R  P.Q  P. f ( K , L ) trong đó P là giá thị trường của một đơn vị sản phẩm. 7 8 I. Giới hạn hàm hai biến: Định nghĩa 1.1: Cho hàm số z  f (x, y)xác định trên D  2 . Ta nói hàm z  f (x, y) có giới hạn là L khi (x,y) tiến về ( x0 , y0 ) nếu §2. Giới hạn và liên tục   0,   0 : ( x , y )  D , 0  ( x , y )  ( x 0 , y 0 )    f ( x , y )  L   . Ký hiệu là lim ( x , y )( x 0 ,y0 ) f ( x, y)  L Chú ý 1.2: ( x, y )  ( x0 , y0 ) là khoảng cách từ điểm (x,y) đến điểm ( x0 , y0 ) . 9 Chú ý 1.2: Giới hạn của hàm hai biến cũng có những tính chất tương tự như giới hạn của hàm một biến nhưng kỹ thuật tính toán nói chung phức tạp hơn và chúng ta không giới thiệu ở đây. 10 II. Tính liên tục của hàm hai biến: 2.1. Liên tục tại một điểm: Hàm số z = f(x,y) liên tục tại điểm ( x0 , y0 )  D nếu lim ( x ,y )( x0 ,y0 ) f ( x , y )  f ( x 0 , y0 ) 2.2. Liên tục trên một miền: Hàm số z = f(x,y) liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D. 11 12 2 10/25/2015 I. Đạo hàm riêng cấp một: §3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần Xét hàm hai biến z = f(x,y) xác định trên miền D. Khi đó, f có hai đạo hàm riêng cấp 1 là f z  fx  : đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f x x (lấy đạo hàm theo biến x và xem y như là hằng số) z   fy  y f : đạo hàm riêng theo biến y của hàm số f y (lấy đạo hàm theo biến y và xem x như là hằng số) 13 Ví dụ 1.1: Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau a ) f ( x, y )  x 3 y 2  x 4 y  y 4 . Giải 2 2 3 f x  3 x y  4 x y. f y  2 x 3 y  x 4  4 y 3 . 14 b) f ( x, y )  xy 2  ye 2 x 3 y . Giải f x  y  y (2 x  3 y ) .e2 x 3 y x 2  y 2  2 y.e 2 x 3 y f y  2 xy  ( y )y .e2 x 3 y  y.( e 2 x 3 y )y  2 xy  e 2 x  3 y  3 ye 2 x 3 y 15 Ví dụ 1.2: Cho f ( x, y )  x 2 y 3  2 x  3 y  1. Tìm f x(1;0) và f y(1; 2). Giải f x   f x(1;0)  f y   f y(1;2)  16 II. Đạo hàm riêng cấp hai: Giả sử hàm hai biến z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một. Khi đó, các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số là 2 f  ( f x)x x 2  f yy  2 f  ( f y)y y 2  f xy  17  f xx  2 f  ( f x)y y x  f yx  2 f  ( f y )x xy 18 3 10/25/2015 Ví dụ 2.1: Cho f ( x, y)  x 3 y  y 2 x 2. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của số f. Giải f x  f y   f xx   f x x  f yy   f y  y    f xy  ( f x)y  f yx  ( f y )x   19 Chú ý 2.1: Các đạo hàm f xy , f yx được gọi là các   đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai của hàm hai biến f(x,y). Các đạo hàm này khác nhau về thứ tự lấy đạo hàm riêng theo từng biến x, y và do đó nói chung chúng khác nhau. Tuy nhiên, chúng có thể bằng nhau theo định lý sau đây Định lý về sự thay đổi thứ tự lấy đạo hàm (Định lý Schwarz): Nếu z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục thì   f xy  f yx 20 III. Vi phân toàn phần của hàm hai biến: Vi phân toàn phân (vi phân cấp 1) của hàm 2 biến z = f(x,y) là df  f xdx  f ydy. 2 2 Ví dụ 3.1: Cho f ( x, y )  x  3 xy  y .Tính df, df(0,1). Giải §4. Cực trị của hàm hai biến f x  f y  df  df (0,1)  21 I. Định nghĩa: Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D   2 và điểm ( x 0 , y0 )  D . Khi đó: 22 Chú ý rằng, cực đại địa phương chưa chắc là cực đại toàn cục. Cực tiểu địa phương chưa chắc là cực tiểu toàn cục. f được gọi là đạt cực đại địa phương (cực đại) tại ( x0 , y0 ) nếu tồn tại lân cận   D của ( x0 , y0 ) sao cho f ( x , y)  f ( x 0 , y0 ), ( x , y) . f được gọi là đạt cực tiểu địa phương (cực tiểu) tại( x0 , y0 ) nếu tồn tại lân cận   D của ( x0 , y0 ) sao cho f ( x , y)  f ( x 0 , y0 ), ( x , y) . Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương. 23 24 4 10/25/2015 II. Điều kiện cần: Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D   2 và f có các đạo hàm riêng cấp một. Nếu hàm số f đạt cực trị địa phương tại ( x 0 , y0 )  D thì  f x( x0 , y0 )  0  (*).   f y( x0 , y0 )  0  Những điểm ( x0 , y0 ) thỏa (*) được gọi là điểm dừng. III. Điều kiện đủ: Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên lân cận của điểm dừng ( x 0 , y0 ). Đặt   fxx fxy     ( x, y)   f xx . f yy  fyx . f xy   fyx fyy ( x0 , y0 )  0  i) Nếu  thì f đạt cực tiểu tại ( x 0 , y0 ).  f xx ( x0 , y0 )  0    ii) Nếu  ( x0 , y0 )  0   f xx ( x0 , y0 )  0   thì f đạt cực đại tại ( x 0 , y0 ). 25 26 iii) Nếu ( x0 , y0 )  0 thì f không đạt cực trị tại ( x 0 , y0 ). iv) Nếu ( x0 , y0 )  0 thì ta không có kết luận tổng quát. IV. Cách tìm cực trị hàm hai biến: Bước 1 (Tìm điểm dừng): Tính f x, f y f0 Xét hệ  x . Giải hệ này ta được các điểm dừng   f y  0   xk , yk  . Bước 2 (Tìm  ):     Tính f xx , fyy , f xy , f yx Tính (x , y)   f xx  f xy  f yx  f yy      f xx . f yy  f yx . f xy  ( xk , yk ). 27 Ví dụ 3.1: Tìm cực trị của hàm số Bước 3 (Kết luận):    x k , yk   0   f đạt cực tiểu tại  x k , yk  .   f xx  xk , yk   0     x k , yk   0   f đạt cực đại tại  xk , yk  .   f xx  x k , yk   0    xk , yk  28  0  f không đạt cực trị tại  xk , yk . f ( x, y )  x 3 3 xy 2  3y 2  15x  2 Giải Miền xác định: D  2 f x  f y   fx  0      fy  0            x   y  x   y  Ta được 4 điểm dừng: 29 30 5