Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 4

10/25/2015

III. Một số hàm hai biến số trong kinh tế:

II. Đồ thị của hàm hai biến:



)

sao cho

  3

f x y  ( , )



 C w K w L C 0

Đồ thị của hàm số 2 biến f(x,y) xác định trên D là tập hợp tất cả các điểm x y z ( , , ) z và ( , )x y D Ví dụ 2.1. Đồ thị của một số hàm hai biến

chi phí cố định.

3.1. Hàm sản xuất: là hàm mô tả mối quan hệ phụ thuộc của sản lượng vào vốn và lao động Q f K L , ( trong đó K: vốn; L: lao động. 3.2. Hàm tổng chi phí:  . L :Kw giá thuê một đơn vị vốn; trong đó :Lw giá thuê một đơn vị lao động; 0 :C



(

)

3.3. Hàm tổng doanh thu:  R P Q P f K L trong đó P là giá thị trường của một đơn vị sản phẩm.

I. Giới hạn hàm hai biến: f x y  ( , )

xác định có giới hạn

Định nghĩa 1.1: Cho hàm số trên  2 là L khi (x,y) tiến về

z f x y  ( , ) nếu )

(

z . Ta nói hàm x y , 0

  





, 0

)

f x y ( , )

 .

§2. Giới hạn và liên tục

x y , 0 L

 ( 

x y  ( , ) f x y ( , )

       0, 0 : Ký hiệu là

x y D  ( , ) lim  (

x y ( , )

)

x y , 0 0

Chú ý 1.2:

x y ( , )

x y ,

)

 0 (

là khoảng cách từ điểm (x,y) đến điểm . ) (

x y , 0

II. Tính liên tục của hàm hai biến:

nếu

2.1. Liên tục tại một điểm: Hàm số z = f(x,y) liên tục tại điểm  )

(

Chú ý 1.2: Giới hạn của hàm hai biến cũng có những tính chất tương tự như giới hạn của hàm một biến nhưng kỹ thuật tính toán nói chung phức tạp hơn và chúng ta không giới thiệu ở đây.

x y , 0



f x y ( , )

)

f x y ( 0

lim  (

x y ( , )

)

x y , 0 0

2.2. Liên tục trên một miền: Hàm số z = f(x,y) liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.

10/25/2015

I. Đạo hàm riêng cấp một:

Xét hàm hai biến z = f(x,y) xác định trên miền D. Khi đó, f có hai đạo hàm riêng cấp 1 là

đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f



 x

 f x

f  x 

(lấy đạo hàm theo biến x và xem y như là hằng số)

§3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần

đạo hàm riêng theo biến y của hàm số f



 y

 f y

f y

 

(lấy đạo hàm theo biến y và xem x như là hằng số)



b f x y

( ,

)





Ví dụ 1.1: Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau a f x y ) ( ,

3 x y





)

4 x y Giải

ye Giải   e 3 ) . y x y x  3

 xf 

y 2 y

 

y x (2 2 y e 2 .

2 x y



3 x y .



y e .(

 yf

 e ( ) . y y

 ) y

3 x y



3 y 4 .

 xf  yf







2 x y





II. Đạo hàm riêng cấp hai:

(1;0)

Ví dụ 1.2: Cho và Tìm xf 

( , f x y  ) yf  (1; 2).

Giải

Giả sử hàm hai biến z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một. Khi đó, các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số là

(1;0)



 xf





(





(

 xx

  ) x x

f 2

 yy

  ) y y

f 2

  x

 

(1;2)



 xf  yf

 yf





(





(

 yx

  ) y x

 xy

  ) y x

 f   x y

f  y x  

10/25/2015

2 2 y x



3 x y

f x y ( , )

. Tính các đạo

 yx

 ,xy

Ví dụ 2.1: Cho hàm riêng cấp hai của số f. Giải

 xf



x



y

Chú ý 2.1: Các đạo hàm được gọi là các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai của hàm hai biến f(x,y). Các đạo hàm này khác nhau về thứ tự lấy đạo hàm riêng theo từng biến x, y và do đó nói chung chúng khác nhau. Tuy nhiên, chúng có thể bằng nhau theo định lý sau đây

 xxf 

(

) x

) y

 xyf 

 yf  yyf   yxf 

Định lý về sự thay đổi thứ tự lấy đạo hàm (Định lý Schwarz): Nếu z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục thì  f yx

 xy

III. Vi phân toàn phần của hàm hai biến:

Vi phân toàn phân (vi phân cấp 1) của hàm 2 biến z = f(x,y) là

df  f x y ) ( ,

 

 f dy y xy 3

Ví dụ 3.1: Cho

.  .Tính df, df(0,1).

 f dx x 2  x Giải

§4. Cực trị của hàm hai biến

 xf  yf df df

(0,1) 

I. Định nghĩa:

Chú ý rằng, cực đại địa phương chưa chắc là cực đại toàn cục. Cực tiểu địa phương chưa chắc là cực tiểu toàn cục.

 2

Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền và điểm . Khi đó:  )

(

x y , 0

)

x y , 0 0

(

)

x y , 0 0 x y  ( , )

f x y ( , )

 .

f được gọi là đạt cực đại địa phương (cực đại) tại ( nếu tồn tại lân cận của sao cho D  f x y  ( 0

(

)

x y ( , ) 0 0 x y  ( , )

f x y ( , )

 .

, x y , f được gọi là đạt cực tiểu địa phương (cực tiểu) tại 0 0 nếu tồn tại lân cận của sao cho D  f x y  ( 0

Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương.

10/25/2015

II. Điều kiện cần:

III. Điều kiện đủ:

(

)

x y , 0



(

)

Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền  2 và f có các đạo hàm riêng cấp một. Nếu hàm số f đạt cực trị địa phương tại thì

x y , 0







x y ( , )

 xx

 yy

 xy

 yx

Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên lân cận của điểm dừng . Đặt  xx  yx

 xy  yy

 ) 0

(

 ) 0

(*).

i) Nếu thì f đạt cực tiểu tại (

x y , 0 0

 ) 0

(

 ) 0

x y , 0 0 x y , 0

   f  xx

)

 f x y (  x 0   f x y (  y 0 x y , ( 0 0

(

 ) 0

ii) Nếu thì f đạt cực đại tại

(

x y , 0

Những điểm thỏa (*) được gọi là điểm dừng.

(

 ) 0

x y , 0 0 x y , 0

   f  xx



 ) 0

(

iii) Nếu thì f không đạt cực trị tại

x y , 0

x y , 0 0

IV. Cách tìm cực trị hàm hai biến:

thì ta không có kết luận tổng



(

 ) 0

x y , 0

Bước 1 (Tìm điểm dừng):

iv) Nếu quát.

Tính

x y , k

Xét hệ . Giải hệ này ta được các điểm dừng  .



 yy

 xx

 yx

 xy f

Tính







 

x y ( , )

(

 xx

 yy

 yx

 xy

x y , k

  ,x y  f   x    f Bước 2 (Tìm ): Tính f f , ,  xx  yx

 xy  yy







Ví dụ 3.1: Tìm cực trị của hàm số f x y  ( , ) 3



 3 Giải



 f đạt cực tiểu tại .



x y ,k



Bước 3 (Kết luận):  x y , k

x y , k k 

 

   





 f đạt cực đại tại .



x y ,k



 x y , k

x y , k 

 

   









   f không đạt cực trị tại .

x y ,k

   

x y , k





  

Miền xác định:  2  xf  yf  f     









x y

 

  

Ta được 4 điểm dừng:

10/25/2015

Tại (-1;-2):



    ( 1, 2)

 xxf  yyf  xyf



( 5,0) :

Tại

6 5

 



x y ( , )







( 5,0)

260,49 0



6 5 6

Tại (-1;2):



 ( 5,0) 6 5 0

xxf

 



 



( 1,2)

144

f đạt cực tiểu tại .



( 5,0)

 12

6 12 0

f không đạt cực trị tại (-1;2).





(

5,0) :

Tại

IV. Cực trị có điều kiện:



  (

5,0)



5,0)

xxf  (



Xét bài toán tìm cực trị của hàm z = f(x,y), với g x y  điều kiện ( , ) 0 (). Cách 1 (Phương pháp khử biến số): Bước 1: Từ điều kiện (), suy ra được y = h(x) hoặc x = h(y). Bước 2: Thế biểu thức ở bước 1 vào z = f(x,y) ta được hàm 1 biến. Sau đó, tìm cực trị của hàm 1 biến.

xy

f x y ( , )

BBT:

Ví dụ 4.1: Tìm cực trị của hàm số với điều kiện

y 





Giải



1 2 0



x F’

CĐ

x

Miền xác định:  2 D x y   , y   1 x Thế vào hàm f(x,y), ta được (1

)

x  

2 .

F đạt cực đại tại



y    1



1 2 .x

1 2



( )F x  ( )F x F x

 ( ) 0

 f đạt cực đại tại

x 

1 x   2 1 1 , 2 2

  

  

x  1 2 1 2

10/25/2015

Bước 3 (Tìm ):

Cách 2 (Phương pháp nhân tử Lagrange): Bước 1: Lập hàm Lagrange





x y ( ,

 )







L x y ( ,

 )

f x y ( , )

g x y ( , )

 x  y 0

 xx  yx  g x

 xy  yy  g y

Bước 2 (Tìm điểm dừng):

Bước 4 (Kết luận):

Tính

 y



(

  f đạt cực tiểu thỏa điều kiện ) 0

x y  k k k





 tại . x y ,k

Xét hệ . Giải hệ này ta được các điểm dừng

ứng với



(

) 0

x y ,k





x y  k k k

.k



L L ,x  L x     y  g x y ( , ) 0 



  f đạt cực đại thỏa điều kiện  tại . x y ,k



(

 ) 0 :

không có kết luận tổng quát.

x y  k k k



x 



f x y

4 2

 



( , ) 6 4

Ví dụ 4.2: Tìm cực trị của hàm số với điều kiện

y



Giải

y  3 2 2 2





y g x y ( , ) 0

        

    

D 2 x

  

 

1 0



Miền xác định:  2 x  1 Đặt





1 x







y     6 4

 (





4 2 

2  3  2 9 2  4

 x    y      

2  3  2 25 4

5 2 4 5 3 5

 5 2  4 5  3 5

 x    y     2   

           

         

x g x y  ( , ) L g f    xL  4 2 x   yL  3 2 y  

Tại thì 





 5 2

 4 5

 3 5

x y

 



 2 0 x 2

0  2 y 2

2 2 0

 

 



 5 0

0  5

8 / 5 6 / 5

 20 0

 x  y 0

 xx  yx  g x

 xy  yy  g y



8 / 5

6 / 5





Tại thì x 

4 5

3 5

5 2

 f đạt cực đại thỏa điều kiện tại

   4 3  5 5 

  

8 / 5

 

 

6 / 5

 20 0

8 / 5 6 / 5  f đạt cực tiểu thỏa điều kiện tại 4 3 , 5 5

  

  

10/25/2015

I. Tích phân bội hai:

f x y dxdy ( , )





2

§5. Tích phân bội trên hình chữ nhật

f dxdy

g dxdy







:miền lấy tích phân, bị chặn trong Tính chất:   g dxdy





f dxdy











3 5



(

2 )

y dxdy .

Ví dụ 2.1. Tính

II. Tích phân lặp:

 

2 1

b d

Giải



f x y dydx ( , )

f x y dy dx ( , )

 



a c

3 5

d b



y dxdy





(

2 )





f x y dxdy ( , )

f x y dx dy ( , )

 

x 2

 

  

  

 1

2 1

c a

       

         







1   2

25 2

 y dy  

  



32.



Chú ý:  Trong tính trước.   ( , ) f x y dy: tích phân theo y, xem x là hằng.  ( , ) f x y dx: tích phân theo x, xem y là hằng.

Ví dụ 3.1. Tính với là hình chữ nhật



y dxdy )

III. Tích phân bội trên hình chữ nhật:

 (2



 [0,2].

 [ 2,3]





Tính tích phân trên miền hình f x y dxdy ( , ) chữ nhật:

 Giải x   

 

y  

3, 0

 x y ( , ) : 2

 2

 

x  

y  

b c ,

 x y a ( , ) :



Cách 1 (y trong, x ngoài):

Cách tính:





y dxdy )









    

 y dy dx )     2



f x y dxdy ( , )

f x y dy dx ( , )

f x y dx dy ( , )





  

    

  











20.



y 2



  

  





10/25/2015

Chú ý 3.1:

Cách 2 (x trong, y ngoài):

h x g y dxdy



( ). ( )

h x dx ( )

g y dy ( )









y dxdy )



   

  .     

   





Ví dụ 3.2. Tính

, với

là hình

dxdy





xy 2 1 x 



chữ nhật giới hạn bởi



 



Giải

 

     1, 3

 x y ( , ) : 0

 3

dxdy



2 y dx



x 

xy 2 1 

 3

 x

  .     

   

 3

§6. Ứng dụng trong kinh tế

2 y dx



 



3 (3

3 ( 3) ) 18.

   I

y 3

   x  2.I I 1 3

 1

(Đổi biến)



ln2

I   1



 3 1 2

x 

Vậy:

I 

9ln 2

II. Tìm mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận:

I. Cực trị toàn cục của hàm hai biến:

Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên lân cận của điểm dừng . Đặt

(

)

x y , 0

(

 ) 0



 ) 0

(

 xx

x y , 0 0 i) Nếu x y D  ( , ) x y , 0

  f 

thì f đạt cực tiểu toàn cục (GTNN) tại

(



x y , 0 0

(

Một doanh nghiệp tiến hành sản xuất 2 loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo (là điều kiện nhà sản xuất phải bán sản phẩm với giá do thị trường quyết định). Cho biết giá bán của 2 loại sản phẩm đó trên thị ,P P và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị trường là 2 1 thời gian là . Hãy tìm mức sản lượng của   C C Q Q 2 mỗi loại sản phẩm trong một đơn vị thời gian để doanh nghiêp đạt lợi nhuận lớn nhất (tối đa).



 ) 0 ii) Nếu x y D  ( , )

(

 ) 0

 xx

x y , 0 0 x y , 0

  f 

thì f đạt cực đại toàn cục (GTLN) tại (

x y , 0 0

10/25/2015





III. Phân phối sản phẩm để tối đa hóa lợi nhuận:

R PQ P Q . 1 2

Cách giải: Doanh thu của doanh nghiệp là: Lợi nhuận của doanh nghiệp là:





 

R C P Q P Q C(Q ,Q ). 2





C C Q

(

)

Q Q Q 1 2



60,

75.



và

P 2

P 1









Q D P 2

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên hai thị trường khác nhau với giá khác nhau. Cho biết hàm tổng chi phí trong một đơn vị thời gian là , hàm cầu , trong đó theo giá của loại sản phẩm đó đối với thị trường thứ nhất . Hãy và thị trường thứ hai là Q D P 1 tìm mức sản lượng cung cấp cho mỗi thị trường để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất (tối đa).

   Tìm Q1 và Q2 để đạt giá trị lớn nhất. Ví dụ 2.1: Giả sử doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá bán hai loại sản phẩm này trên thị trường lần lượt là  Được biết tổng chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm này phụ thuộc vào mức sản lượng Q1, Q2 của mỗi loại sản phẩm và được cho bởi biểu thức  





2 Q Q Q Q 1 2

2 1

  C C Q Q 2 Hãy tìm mức sản lượng của mỗi sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất

Cách giải:



Xét hệ



  

Ví dụ 3.1: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên hai thị trường khác nhau với giá khác nhau. Cho biết hàm tổng chi phí trong một đơn vị thời gian là  Q Q



 





  Q D P 1   Q D P 2   P P Q 1 1 1 Biến đổi đưa về    P Q P  2 2 2 Doanh thu của doanh nghiệp là:

 20 15 hàm cầu theo giá của loại sản phẩm đó đối với thị trường thứ nhất và thị trường thứ hai lần lượt là

R PQ P Q . 1 2

Lợi nhuận của doanh nghiệp là:

P 1

P 2



Q 1

 325 4

 425 5

 





Hãy tìm mức sản lượng cung cấp cho mỗi thị trường để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất.

R C P Q P Q C(Q ,Q ).   2  Tìm Q1 và Q2 để đạt giá trị lớn nhất.

IV. Lựa chọn đầu vào để tối đa hóa lợi nhuận:

 



(w .K w .L C ). L

Cách giải: Tổng chi phí là: C = wK.K + wL.L + C0. Doanh thu của doanh nghiệp là: R = P. Q(K,L). Lợi nhuận của doanh nghiệp là:    

Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất là Q = Q(K,L), trong đó K: lượng vốn, L: lượng lao động được sử dụng để sản xuất. Cho biết giá của sản phẩm trên thị trường là P, giá vay một đơn vị vốn là wK, giá thuê một đơn vị lao động là wL và các chi phí cố định khác là C0. Trong một đơn vị thời gian, hãy xác định các yếu tố đầu vào (K,L) để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất (tối đa).

R C P.Q(K, L) Tìm K và L để đạt giá trị lớn nhất. Ví dụ 4.1: Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất là Q = K1/3.Q1/3 (K>0, L>0). Doanh nghiệp đó phải vay vốn K để sản xuất với lãi suất wK = 0,02, và tiền thuê nhân công wL = 1. Giả sử giá thị trường của sản phẩm là P = 3. Hỏi doanh nghiệp đó cần lượng vốn vay K và lượng nhân công cần thuê L là bao nhiêu để lợi nhuận lớn nhất?

10/25/2015

V. Tối đa hóa lợi ích của người tiêu dùng:

,P P 1 2

Ví dụ 5.1: Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng hóa X, Y lần lượt là 5USD và 20USD. Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U = (x+3)y với x là biến số chỉ lượng hàng hóa X và y là biến số chỉ lượng hàng hóa Y. Hãy xác định khối lượng mỗi loại hàng hóa mà người tiêu dùng đó nên mua sao cho giá trị sử dụng là lớn nhất trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 185USD.

Một người tiêu dùng định sử dụng hết số tiền M để mua sắm hai loại hàng hóa X và Y. Cho biết giá của hai loại hàng đó là và hàm lợi ích của hai loại hàng đó đối với người tiêu dùng là U = U(x,y), với x là biến số chỉ lượng hàng hóa X và y là biến số chỉ lượng hàng hóa Y. Hãy xác định khối lượng mỗi loại hàng hóa mà người tiêu dùng đó nên mua sao cho giá trị sử dụng là lớn nhất (tối đa). Cách giải: Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi ích U U x y x





( , ),

với điều kiện





P x P y M 1 2 61

VI. Cực tiểu hóa chi phí khi sản lượng cố định:

Ví dụ 6.1: Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy có hàm sản xuất là Q = K(L+5). Biết rằng giá vay một đơn vị vốn là wK = 5USD, giá thuê một công nhân là wL = 10USD. Giả sử doanh nghiệp nhận được đơn đặt hàng sản xuất Q=5000 sản phẩm. Hãy xác định lượng vốn và lượng nhân công để doanh nghiệp sản xuất ra 5000 sản phẩm đó với tổng chi phí bé nhất.

Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất là Q = Q(K,L). Cho biết giá vay một đơn vị vốn là wK, giá thuê một đơn vị lao động là wL và các chi phí cố định khác là C0. Giả sử, doanh nghiệp lập kế hoạch sản xuất một lượng sản phẩm cố định là Q0. Hãy xác định các yếu tố đầu vào (K,L) để doanh nghiệp sản xuất ra Q0 sản phẩm đó với tổng chi phí bé nhất (tối thiểu). Cách giải: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm tổng chi phí C w K w L C K







với điều kiện

Q(K,L)= Q0

Bài tập-Toán cao cấp C1 (Chương 3)

BÀI TẬP CHƯƠNG 4









x 3















y dx )

2 x y

x y

2 x Bài 1: Tính các đạo hàm riêng cấp một và vi phân toàn phần cấp một của các hàm số sau a) ĐS:  6 f x y ( , ) 3





f x y ( , )

   

   







)

x e 







x 2 ln(

y 2 )





2 ln(

y 2 )

x 

22 x x  2

   











(cos(

)

y dx ))

(cos(

)

sin(

y dy ))

   x sin(





sin(

 ) cos(

)

z e)  Bài 2:

f x y  ( , ) arctan

x y

a) Tính các đạo hàm riêng cấp một của hàm số tại điểm (1;2).



ĐS: 2/5; -1/5.



(1; 2)

dz  . ĐS: 3 25

4 25

x 

b) Cho . Tính .





(2,1)

6



y . Tính

 u 2 (2,1) x

 y

Bài 3: a) Cho hàm số . ĐS: 5.

(2,1)



(2,1)



ln(1



)

z 2

 

 z x y  

b) Cho hàm số . Tính . ĐS: 1/3.





x ln .





(1 ln ).

 x

 yz y





Bài 4: a) Cho hàm số Chứng minh rằng



   thỏa mãn hệ thức

1 x

1 y

x y

x 2

z  x 

z  y 

x 2 y x

b) Chứng tỏ rằng hàm



xe . Chứng minh rằng

x z .



y z .





z .

 x

 y

x y

2 y u





u .

c) Cho hàm số 

ye . Chứng minh rằng

 xx

 xy

 yy

x y

d) Cho hàm số 



ln(



)





z 2

 x 

 y 

 





f x y ( , )

x  3

x 2







f x y ( , )

không? e) Hàm hai biến có thỏa mãn hệ thức

 6 2 y













f x y ( , )

(

)

(

)

 CĐ tại (0,0),(1,-1),(-1,1), CT tại (

Bài 5: Tìm cực trị của các hàm số sau 2 a) y 4 b) ĐS: CĐ tại (1,2) không đạt cực trị tại (0,0), CT tại (0,1); (0,-2)



y 4

x 1 4 2 x





f x y ( , )





d) CT tại (3,4) với điều kiện 3

y  CĐ tại (1/2,1/2)

f x y ( , )

e) với điều kiện







f x y ( , ) 8

y 3

107

với điều kiện CĐ tại (4,5), CT tại (-4,-5)

12 GV. Phan Trung Hiếu

Bài tập-Toán cao cấp C1 (Chương 3)

Bài 6: Tính các tích phân sau a)



 5.

2x ydxdy

ĐS: 224 ,  là hình chữ nhật giới hạn bởi 2, 4,





2 3 x y

y dxdy

. 21/2



4 5 )

 b)    x   y   | 0 3, 0

 x y ( , )

 1





ln(25 / 24)

 



[3,4]

[1,2]

dxdy





x y 1  ( )

2x y xye dxdy

 



[0,1]

[0,2]

d) , .



21 e  ( 2





e



1)(

 1)

ydxdy

x  

y  

, 0

y sin cos

e) . ( e ,  là hình chữ nhật 0



 2



 

 [0,1] [0,1]

f) , . 2 ln 2 1 dxdy x  xy   1









 C C Q Q 2

, trong đó

Bài 7: Một doanh nghiệp sản xuất hai lọai sản phẩm với hàm tổng chi phí trong một đơn vị 2 2Q là sản lượng của sản thời gian là Q Q Q 2 2 2  . Hãy tìm mức P 26,

5  .

1 1Q

2 1Q



2 C Q   1 đối với sản phẩm thứ nhất và

 40 2





 P P 1 2

 P P 1 2

Q 2

Q 1

, , max

 

550

5Q 1

2



. , , max

 C Q



Q Q Q 1 2

310



P 1

, trong đó

2 1Q và Q 2 1 phẩm thứ nhất và thứ hai. Cho biết giá bán hai sản phẩm đó là P 1 sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận lớn nhất trong sản xuất. ĐS: Bài 8: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí trong 2 một đơn vị thời gian là . Cho biết hàm cầu theo giá của hai loại sản Q Q Q 2 2 2 đối với sản phẩm phẩm là thứ hai. Hãy tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất. ĐS: Bài 9: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên hai thị trường khác nhau với giá khác nhau. Cho biết hàm tổng chi phí trong một đơn 2 30  vị thời gian là 1Q là lượng hàng cung cấp cho với  2Q là lượng hàng cung cấp cho thị trường thứ hai. Giả sử hàm cầu thị trường thứ nhất và  và thị trường thứ hai Q 1 . Hãy tìm mức sản lượng cung cấp cho mỗi thị trường để doanh nghiệp

 235 0,5



Q 2

P 2

của mỗi loại sản phẩm đó đối với thị trường thứ nhất là là

1

2

Q K L

10)





(

10USD

Kw

40USD

K 

200

. Biết , giá thuê một đơn vị nhân công là . Giả sử doanh nghiệp nhận được đơn đặt hàng sản xuất Q=10000 sản phẩm. phẩm .

320



300

480

Q 1

 



 800 2

960







Q C 2 P P đối với sản phẩm thứ nhất và 1

P P đối với sản 1

, đạt lợi nhuận lớn nhất. ĐS: 40 Bài 10: Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy có hàm sản xuất là rằng giá vay một đơn vị vốn là Lw Hãy xác định lượng vốn và lượng nhân công để doanh nghiệp sản xuất ra 10000 sản đó với tổng chi phí bé nhất. ĐS: , L  Bài 11: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí trong . Cho biết hàm cầu theo giá của hai loại một đơn vị thời gian là 

Q 

400

1 320

Q  2

. ,

13 GV. Phan Trung Hiếu

sản phẩm là Q 1 phẩm thứ hai. a) Hãy tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất. ĐS: b) Hãy tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa với điều kiện tổng chi phí trong một đơn vị thời gian của doanh nghiệp là 166700.