Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-----------------------------------------------------------------------------
--------
Đại số tuyến tính
Không gian Euclid
•Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5.1 – Tích vô hướng của hai véctơ. Các khái niệm liên quan.
5.3 – Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt.
5.2 – Bù vuông góc của không gian con.
5.4 – Hình chiếu vuông góc, khoảng cách đến không gian con.
5.1 Tích vô hướng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------
Định nghĩa tích vô hướng
Tích vô hướng trong R-kgvt V là một hàm thực sao cho
mỗi cặp véctơ u và v thuộc V, tương ứng với một số thực ký
hiệu (u,v) thỏa 4 tiên đề sau:
a. ( , ) ( , ) ( , )u v V u v v u
b. ( , , w V) ( , ) ( , ) ( , )u v u v w u w v w
c. ( , , ) ( , ) ( , )R u v V u v u v
d. ( ) ( , ) 0;( , ) 0 0u V u u u u u
Không gian thực hữu hạn chiều cùng với một tích vô
hướng trên đó được gọi là không gian Euclid.
Giải.
5.1. Tích vô hướng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong không gian cho qui tắc
2
R
Ví dụ
1 2 2 1 2 2
( , ) ; ( , )x x x R y y y R
1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2
( , ) (( , ),( , )) 2 2 10x y x x y y x y x y x y x y
1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng.
2. Tính tích vô hướng của hai véctơ (2,1), (1, 1)u v
2. Tính tích vô hướng của hai véctơ là(2,1), (1, 1)u v
( , ) ((2,1),(1, 1))u v
2.1 2.2.( 1) 2.1.1 10.1.( 1) 10
5.1. Tích vô hướng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2 2
1 1 1 2 2 2 2
( ) ; ( ) [x].p x a x b x c q x a x b x c P
Trong không gian cho qui tắc
2
[x]P
1
0
( , ) ( ) ( )p q p x q x dx
1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng.
2. Tính tích vô hướng của 2
( ) 2 3 1, ( ) 1p x x x q x x
1
0
( , ) ( ). ( )p q p x q x dx12
0
(2 3 1)( 1)x x x dx
1
6
2. Tích vô hướng của hai véctơ (p,q) là