Ứng dụng của ma trận
1. Mô hình Markov
Bài 1: Khảo sát sự chuyển động dân cư của một thành phố A.
Giả sử năm 2018 dân cư trong thành phố Avà vùng ngoại ô tương
ứng là r0và s0. Gọi:
Xo= ro
so!biểu thị dân cư của thành phố và vùng ngoại ô năm 2018,
X1= r1
s1!,X2= r2
s2!là dân cư ở thành phố và vùng ngoại ô các
năm 2019, 2020,...
Theo nghiên cứu người ta nhận thấy mỗi năm có khoảng 10%dân
thành phố chuyển ra sống ở vùng ngoại ô và 5%dân ở vùng ngoại ô
chuyển vào thành phố.
Sau một năm:
rodân cư của thành phố được phân bố: 0.9ro
0.1ro!=ro 0.9
0.1!
GV: Đặng Thu Huyền ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 12 năm 2019 2/26
và s0dân cư của ngoại ô được phân bố 0.05so
0.95so!=s0 0.05
0.95 !.
Cư dân của thành phố và ngoại ô năm 2019:
r1
s1!=ro 0.9
0.1!+so 0.05
0.95 != 0.9 0.05
0.1 0.95 ! ro
so!.
Ta có: X1=M·X0, với M= 0.9 0.05
0.1 0.95 !(ma trận Markov).
Giả sử, sự di chuyển dân số là ổn định. Khi đó, dân cư của thành phố
và ngoại ô ở các năm 2019, 2020, 2021 lần lượt là:
X1=M·Xo
X2=M·X1=M2·Xo
X3=M·X2=M3·Xo
......................................
Nói chung, ta có công thức:
Xk=Mk·Xo
GV: Đặng Thu Huyền ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 12 năm 2019 3/26
Giả sử, dân cư của thành phố và vùng ngoại ô năm 2018 là: 800000
300000 !
Ta tính được dân cư ở thành phố và ngoại ô năm 2019 là:
X1=M·Xo= 0.9 0.05
0.1 0.95 ! 800000
300000 != 735000
365000 !
Dân cư của thành phố và vùng ngoại ô năm 2022 là: X4=M4·Xo.
GV: Đặng Thu Huyền ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 12 năm 2019 4/26
Trong chuỗi Markov ba trạng thái, ma trận chuyển đổi có dạng là:
Trạng thái trước
123
P=
p11 p12 p13
p21 p22 p23
p31 p32 p33
1
2
3Trạng thái sau
Trong ma trận này:
p12 là xác suất chuyển từ trạng thái 2 sang trạng thái 1.
p33 là xác suất vẫn ở trạng thái 3 nếu trước đó nó ở trạng thái 3.
GV: Đặng Thu Huyền ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 11 tháng 12 năm 2019 5/26
