Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng Dụng
TÓM TẮT MỘT SỐ CÔNG THỨC
Môn: XÁC SUẤT THỐNG KÊ
1 Phần xác suất
1.1 Các công thức xác suất
Công thức cộng và nhân xác suất:
•P(A+B) = P(A) + P(B)−P(AB), và PPn
i=1 Ai=PiP(Ai)−Pi<j P(AiAj) + Pi<j<k P(AiAjAk)−...
•P(AB) = P(A)P(B|A)và P(A1A2...An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P (An|A1A2...An−1)
Với A1,...,Anlà một họ các biến cố đầy đủ:
•Công thức xác suất đầy đủ: P(F) = P(A1)P(F|A1) + P(A2)P(F|A2) + ···+P(An)P(F|An).
•Công thức Bayse: P(Ak|F) = P(Ak)P(F|Ak)
P(F).
1.2 Biến ngẫu nhiên (BNN):
•BNN Xrời rạc: E(X) = Pixipi, và Var(X) = Pi(xi−E(X))2pi=Pix2
ipi−[E(X)]2.
•BNN Xliên tục: E(X) = R∞
−∞ xf(x), và Var(X) = R∞
−∞(x−E(X))2f(x)dx =R∞
−∞ x2f(x)dx −[E(X)]2.
1.3 Các hàm phân phối xác suất cơ bản
Phân phối nhị thức, X∼B(n, p)): P(X=k) = Ck
npkqn−k, k = 1,...,n và E(X) = np,Var(X) = npq.
Phân phối Poisson, X∼P(λ)P(X=k) = e−λλk
k!, k = 1,2,..., và E(X) = Var(X) = λ.
Phân phối siêu bội, X∼H(N, K, n):P(X=k) = Ck
KCn−k
N−K
Cn
N
và E(X) = np,Var(X) = np(1 −p)N−n
N−1,p=K
N.
Phân phối mũ, X∼Exp(λ):f(x) = (λe−λx, x ≥0
0, x < 0, và E(X) = 1
λ,Var(X) = 1
λ2.
Phân phối chuẩn, X∼N(µ, σ2):f(x) = 1
σ√2πe−(x−µ)2
2σ2và E(X) = µ,Var(X) = σ2.
Định lý giới hạn trung tâm: Nếu X1,..., Xnlà đôi một độc lập và E(Xk) = µ,Var(Xk) = σ2,X=Pn
k=1 Xk
nkhi nđủ lớn, thì
X−µ
σ/√n∼N(0,1).
2 Phần thống kê
2.1 Khoảng tin cậy
Khoảng tin cậy cho kỳ vọng :
•Biết σ2,Xcó phân phối chuẩn hoặc cỡ mẫu nđủ lớn: x−zα/2
σ
√n≤µ≤x+zα/2
σ
√n
•Không biết σ2, và Xcó phân phối chuẩn: x−tn−1
α/2
s
√n≤µ≤x+tn−1
α/2
s
√n
Khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể P,n > 30 :ˆ
P−zα/2sˆ
P(1 −ˆ
P)
n≤P≤ˆ
P+zα/2sˆ
P(1 −ˆ
P)
n. Trong đó: ˆ
P=X
n,Xlà số phần tử
thoả tính chất Atrong mẫu gồm nphần tử.
1
2.2 Kiểm định giả thuyết thống kê, một mẫu
Kiểm định cho kỳ vọng :
1. Biết σ2,Xcó phân phối chuẩn hoặc cỡ mẫu nđủ lớn: z0=X−µ0
σ/√n==> Dùng bảng 1.
2. Không biết σ2và Xcó phân phối chuẩn: t0=X−µ0
s/√n==> Dùng bảng 2.
3. Không biết σ2,Xcó phân phối bất kỳ, cỡ mẫu đủ lớn: z0=X−µ0
s/√n==> Dùng bảng 1.
Kiểm định cho tỉ lệ tổng thể, n > 30 :z0=ˆ
P−p0
rp0(1 −p0)
n
==> Dùng bảng 1. Trong đó: ˆ
P=X
n,Xlà số phần tử thoả tính chất A
trong mẫu gồm nphần tử.
2.3 Kiểm định giả thuyết thống kê, hai mẫu
Kiểm định cho kỳ vọng :
1. Biết phương sai, phân phối chuẩn hoặc cỡ mẫu đủ lớn: z0=X−Y
sσ2
1
n1
+σ2
2
n2
==> Dùng bảng 1.
2. Chưa biết phương sai, có phân phối chuẩn và cỡ mẫu đủ lớn: z0=X−Y
ss2
1
n1
+s2
2
n2
==> Dùng bảng 1.
3. Chưa biết phương sai, có phân phối chuẩn, cỡ mẫu nhỏ và σ1=σ2:
Sp=(n−1)s2
1+ (n2−1)s2
2
n1+n2−2,t0=X−Y
Spr1
n1
+1
n2
==> Dùng bảng 2 với df =n1+n2−2.
Kiểm định cho tỉ lệ tổng thể, n1, n2>30 :z0=ˆ
P1−ˆ
P2
sˆ
P(1 −ˆ
P)1
n1
+1
n2
==> Dùng bảng 1. Trong đó: ˆ
P=X+Y
n1+n2
,ˆ
P1=X
n1
,
ˆ
P2=Y
n2
,Xvà Ylần lượt là số phần tử thoả tính chất Atrong mẫu gồm n1và n2phần tử.
Bảng quy tắc bác bỏ H0:
Đối thuyết H1 Miền bác bỏ Trị số pv
Hai phía Wα=nz0:|z0|> zα/2o2 [1 −Φ(|z0|)]
Một phía trên Wα={z0:z0> zα}1−Φ(z0)
Một phía dưới Wα={z0:z0<−zα}Φ(z0)
Bảng 1
Đối thuyết H1 Miền bác bỏ (một mẫu) Miền bác bỏ (hai mẫu) Trị số pv
Hai phía Wα=nt0:|t0|> tα/2,n−1oWα=nt0:|t0|> tα/2,df o2P(T > |t0|)
Một phía trên Wα=t0:t0> tα,n−1Wα=t0:t0> tα,df P(T > t0)
Một phía dưới Wα=t0:t0<−tα,n−1Wα=t0:t0<−tα,df P(T < t0)
Bảng 2
2.4 Phân tích phương sai (ANOVA) một nhân tố, cỡ mẫu bằng nhau
Quan sát một mẫu có N=kn giá trị quan trắc, trong đó klà số phương thức xử lý của nhân tố, và mõi phương thức xử lý có ngiá trị quan
trắc.
Bài toán kiểm định: H0:τ1=τ2=···=τk= 0 vs H1:τi6= 0,với ít nhất một i.Bác bỏ H0khi: F=M SB
MSW > Fα;k−1,k(n−1).
Nguồn của sự biến thiên SS df MS F
Giữa các nhóm(SSB) SSB =nPk
i=1(¯yi·−¯y··)2=Pk
i=1
y2
i·
n−y2
··
Nk−1MSB =SSB
k−1
Trong từng nhóm (SSW) SSW =Pk
i=1 Pn
j=1(yij −¯yi·)2=SST −SSB k(n−1) MSW =SSW
k(n−1) F=MSB
MSW
Tổng (SST) SST =Pk
i=1 Pn
j=1(yij −¯y··)2=Pk
i=1 Pn
j=1 y2
ij −y2
··
Nkn −1
2.5 Hồi quy tuyến tính đơn
Đường hồi quy tuyến tính mẫu Ytheo X:y=ˆ
β0+ˆ
β1x. Trong đó: ˆ
β1=Pn
i=1 xiyi−Pn
i=1 xiPn
i=1 yi
n
Pn
i=1 x2
i−Pn
i=1 xi2
n
=Sxy
Sxx , và ˆ
β0= ¯y−ˆ
β1¯x.
Sxx =Pn
i=1(xi−¯x)2=Pn
i=1 x2
i−Pn
i=1 xi2
nvà Sxy =Pn
i=1(xi−¯x)(yi−¯y) = Pn
i=1 xiyi−Pn
i=1 xiPn
i=1 yi
n
Hệ số tương quan mẫu :R2
XY =β2
1
Sxx
SST . Trong đó: SST =Pi(yi−y)2.
2