Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng Dụng
TÓM TẮT MỘT SỐ CÔNG THỨC
Môn: XÁC SUẤT THỐNG KÊ
1 Phần xác suất
1.1 Các công thức xác suất
Công thức cộng và nhân xác suất:
•P(A+B) = P(A) + P(B)−P(AB), và PPn
i=1 Ai=PiP(Ai)−Pi<j P(AiAj) + Pi<j<k P(AiAjAk)−...
•P(AB) = P(A)P(B|A)và P(A1A2...An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P (An|A1A2...An−1)
Với A1,...,Anlà một họ các biến cố đầy đủ:
•Công thức xác suất đầy đủ: P(F) = P(A1)P(F|A1) + P(A2)P(F|A2) + ···+P(An)P(F|An).
•Công thức Bayse: P(Ak|F) = P(Ak)P(F|Ak)
P(F).
1.2 Biến ngẫu nhiên (BNN):
•BNN Xrời rạc: E(X) = Pixipi, và Var(X) = Pi(xi−E(X))2pi=Pix2
ipi−[E(X)]2.
•BNN Xliên tục: E(X) = R∞
−∞ xf(x), và Var(X) = R∞
−∞(x−E(X))2f(x)dx =R∞
−∞ x2f(x)dx −[E(X)]2.
1.3 Các hàm phân phối xác suất cơ bản
Phân phối nhị thức, X∼B(n, p)): P(X=k) = Ck
npkqn−k, k = 1,...,n và E(X) = np,Var(X) = npq.
Phân phối Poisson, X∼P(λ)P(X=k) = e−λλk
k!, k = 1,2,..., và E(X) = Var(X) = λ.
Phân phối siêu bội, X∼H(N, K, n):P(X=k) = Ck
KCn−k
N−K
Cn
N
và E(X) = np,Var(X) = np(1 −p)N−n
N−1,p=K
N.
Phân phối mũ, X∼Exp(λ):f(x) = (λe−λx, x ≥0
0, x < 0, và E(X) = 1
λ,Var(X) = 1
λ2.
Phân phối chuẩn, X∼N(µ, σ2):f(x) = 1
σ√2πe−(x−µ)2
2σ2và E(X) = µ,Var(X) = σ2.
Định lý giới hạn trung tâm: Nếu X1,..., Xnlà đôi một độc lập và E(Xk) = µ,Var(Xk) = σ2,X=Pn
k=1 Xk
nkhi nđủ lớn, thì
X−µ
σ/√n∼N(0,1).
2 Phần thống kê
2.1 Khoảng tin cậy
Khoảng tin cậy cho kỳ vọng :
•Biết σ2,Xcó phân phối chuẩn hoặc cỡ mẫu nđủ lớn: x−zα/2
σ
√n≤µ≤x+zα/2
σ
√n
•Không biết σ2, và Xcó phân phối chuẩn: x−tn−1
α/2
s
√n≤µ≤x+tn−1
α/2
s
√n
Khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể P,n > 30 :ˆ
P−zα/2sˆ
P(1 −ˆ
P)
n≤P≤ˆ
P+zα/2sˆ
P(1 −ˆ
P)
n. Trong đó: ˆ
P=X
n,Xlà số phần tử
thoả tính chất Atrong mẫu gồm nphần tử.
1
