PHẦN I: XAÙC SUAÁT
1. Bieán coá ngaãu nhieân & xaùc suaát cuûa bieán coá:
1.1. Coâng thöùc coäng xaùc suaát:
1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 bieán coá xung khaéc)
1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B) p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-
[p(AB)+p(AC)+p(BC)]+p(ABC)
1.2. Coâng thöùc nhaân xaùc suaát:
1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 bieán coá ñoäc laäp)
1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A)
1 2 1 2 1 1 2 1
( ... ) ( ). ( / )... ( / .. )
n n n
p A A A p A p A A p A A A A
1.3. Coâng thöùc Bernoulli: cho 2 bieán coá A vaø
A
1.3.1.
() x x n x
nn
p x C p q
, p=p(A), q=1-p
1.4. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû:
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )
nn
p F p A p F A p A p F A p A p F A
1.5. Coâng thöùc Bayes:
( . ) ( ). ( / )
( / ) ( ) ( )
i i i
ip A F p A p F A
p A F p F p F

2. Bieán ngaãu nhieân:
2.1. Baûng phaân phoái xaùc suaát (bieán ngaãu nhieân rôøi raïc)
2.2. Haøm maät ñoä xaùc suaát (
()fx
) (bieãn ngaãu nhieân lieân tuïc)
2.2.1.
()fx
0
2.2.2.
( ) 1f x dx


2.2.3.
2.3. Haøm phaân phoái xaùc suaát (
()Fx
) (duøng cho caû 2 loaïi bieán-thöôøng laø bieán ngaãu nhieân lieân
tuïc)
2.3.1.
()Fx
=p(
F
<x)
2.3.2.
'( ) ( )F x f x
2.3.3.
( ) ( )
x
F x f t dt

2.4. Kyø voïng
2.4.1.
1 1 2 2
( ) ... nn
E x x p x p x p
(töø baûng phaân phoái xaùc suaát)
2.4.2.
( ) ( )E x xf x dx


2.5. Phöông sai:
2.5.1.
22
( ) ( ) [ ( )]V x E x E x
2.5.2.
22
( ) ( ) [ ( ) ]V x x f x dx xf x dx
 
 


3. Moät soá phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng:
3.1. Phaân phoái chuaån toång quaùt:
2
~ ( ; )XN

3.1.1.
2
2
()
2
1
() 2
x
f x e

3.1.2.
( ) 1f x dx


3.1.3.
ModX MedX

;
2
( ) , ( )E x V x


3.1.4.
( ) ( ) ( )
ba
p a x b




3.1.5. Phaân phoái chuaån taéc
2
0, 1


3.1.5.1.
~ (0,1)TN
3.1.5.2.
2
2
1
() 2
t
f t e
3.1.5.3. Ñoåi bieán
X
T
3.1.5.4.
( ) ( ) ( )p a x b b a

3.2. Phaân phoái Poisson:
~ ( )XP
,
>0
3.2.1.
() !
k
p k e k

3.2.2.
( ) ( )E x V x

3.3. Phaân phoái nhò thöùc:
~ ( , )X B n p
3.3.1.
( ) ( ) , 1
k k n k
nn
p X k p k C p q p q
3.3.2.
0( ) 1
n
kp X k

3.3.3.
()E x np
,
00
,ModX x np q x np q
3.3.4. Khi n=1:
~ (1, )X B p
:phaân phoái khoâng-moät
3.3.4.1.
2
( ) , ( ) , ( )E x p E x p V x pq
3.3.5. Xấp xỉ phaân phoái nhò thöùc:
3.3.5.1. Baèng phaân phoái Poisson:
n
>50,
p
<0.1;
~ ( , ) ~ ( )X B n p X P
,
np
.
() !
k
k k n k
n
p x k C p q e k

3.3.5.2. Baèng phaân phoái chuaån:
0.5, 0.5, ,np nq np npq

.
~ ( , ) ~ ( , )X B n p X N np npq
1
( ) ( )
k
p x k f


; p(
1
k
<X<
21
2) ( ) ( )
kk
k





3.4. Phaân phoái sieâu boäi:
~ ( , , )
A
X H N N n
[N:toång soá phaàn töû,
A
N
:Soá phaàn töû coù tính chaát
A trong N, n: soá phaàn töû laáy ngaãu nhieân].Goïi X laø soá phaàn töû coù tính chaát A trong n.
.
()
AA
k n k
N N N
n
N
CC
p X k C

3.4.1.
( ) , A
N
E X np p N

;
( ) . , 1
1
Nn
V X npq q p
N
3.4.2. Xaáp xæ phaân phoái sieâu boäi baèng phaân phoái nhò thöùc:
0.05 ~ ( , )n N X B n p
;
( ) ,
k k n k A
nN
p X k C p q p N
3.5. Bieán ngaãu nhieân 2 chieàu: X vaø Y ñoäc laäp
( ). ( )
ij i j
P p x q y
vôùi moïi i,j
3.6. Hieäp phöông sai vaø heä soá töông quan:
3.6.1. Hieäp phöông sai(cov):
cov( , ) ( ) ( ) ( )X Y E XY E X E Y
3.6.2. Heä soá töông quan
,XY
:
,cov( , )
( ) ( )
XY XY
XY

PHAÀN 2: THOÁNG KEÂ
1. Toång theå vaø maãu
1.1.Thöïc haønh tính toaùn treân maãu:
1.1.1. Tính trung bình (
n
X
):
1
1n
ni
i
Xx
n
1.1.2. Tính tyû leä maãu: (
n
f
);
A
nm
fn
(
A
m
:soá phaàn töû mang tính chaát A; n: kích thöôùc maãu)
1.1.3. Tính phöông sai maãu:
2 2 2
1
1[ ( ) ]
1
k
ii
S n x n X
n

1.2.Öôùc löôïng tham soá cuûa toång theå:
1.2.1. Öôùc löôïng ñieåm:
22
( ) , ( ) , ( )
nn
E X E f p E S

1.2.2. Öôùc löôïng khoaûng:
1.2.2.1. Öôùc löôïng khoaûng cho trung bình: Vôùi ñoä tin caäy 1-
cho tröôùc, 1 maãu
kích thöôùc n.
30n
,
2
bieát
30n
,
2
chöa bieát
X
,
12
,XX
X
,s
12
,XX
2
.un
(
1
0.5-
2
2
u
)
2
.s
un
(
1
0.5-
2
2
u
)
n
<30,
2
bieát
n
<30,
2
chöa bieát
Nhö TH1
X
,s
12
,XX
( 1, )
2
.
n
s
tn
1.2.2.2. Öôùc löôïng khoaûng cho tyû leä: toång theå coù tyû leä p chöa bieát, vôùi ñoä tin caäy
1
cho tröôùc, vôùi 1 maãu kích thöôùc n, tyû leä maãu
n
f
. Tìm 2 soá
12
,pp
thoaû:
12
( ) 1p p p p
,
1,2 n
pf
Coâng thöùc:
2
(1 )ff
un
1.2.2.3. Öôùc löôïng khoaûng cho phöông sai:Giaû söû toång theå coù
2
chöa bieát. Döïa
vaøo 1 maãu kích thöôùc n, vôùi ñoä tin caäy 1-
cho tröôùc.
TH1:
chöa bieát, bieát
2
S
. Khi ñoù ta coù
22
222
12
( 1) ( 1)
[ , ]
n S n S


trong ñoù
22
1( 1, )
2
n


,
22
2( 1,1 )
2
n

TH2:
bieát. Khi ñoù
222
12
( ) ( )
[ , ]
i i i i
n x n x




, trong ñoù
22
1( , )
2
n

,
22
2( ,1 )
2
n


1.2.3. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ:
1.2.3.1. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho
1.2.3.1.1. TH1:
2
bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
:
2
bieát (mieàn baùc boû
0
H
)
00
:H

1:H
≠
0
0
{,
X
W u n u

>
2
u
}
00
:H

1:H
<
0
0
{X
W u n

,u<-
u
}
00
:H

1:H
>
0
0
{X
W u n

,u>
u
}
1.2.3.1.2. TH2:
30n
,
2
khoâng bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
(mieàn baùc boû
0
H
)
00
:H

1:H
≠
0
0
{,
X
W u n u
s

>
2
u
}
00
:H

1:H
<
0
0
{X
W u n
s

,u<-
u
}
00
:H

1:H
>
0
0
{X
W u n
s

,u>
u
}
1.2.3.1.3. TH3:
n
<30,
2
khoâng bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
(mieàn baùc boû
0
H
)
00
:H

1:H
≠
0
0
{,
X
W t n t
s

>
( 1, )
2
n
t
}
00
:H

1:H
<
0
0
{X
W t n
s

,
t
<-
( 1, )
2
n
t
}
00
:H

1:H
>
0
0
{,
X
W t n
s

t
>
( 1, )
2
n
t
}
1.2.3.2. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho tyû leä:
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
(mieàn baùc boû
0
H
)
0: 0
H p p
1:
Hp
≠
0
p
0
00
{,
(1 )
fp
W u u
pp
n

>
2
u
}
0: 0
H p p
1:
Hp
<
0
p
0
00
{(1 )
fp
Wu pp
n

,
u
<-
u
}
0: 0
H p p
1:
Hp
>
0
p
0
00
{(1 )
fp
Wu pp
n

,
u
>
u
}
1.2.3.3. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho phöông sai:
1.2.3.3.1. TH1:
chöa bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
(mieàn baùc boû
0
H
)
22
00
:H

2
1:H
≠
2
0
2
22
0
( 1)
{ns
W

,
2
<
2
1
hoaëc
2
>
2
2
2 2 2 2
12
( 1,1 ) ( 1, )
22
,
nn

