intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng Toán cao cấp C1 Đại học - Đoàn Vương Nguyên

Chia sẻ: Codon_08 Codon_08 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

184
lượt xem
22
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp C1 Đại học của tác giả Đoàn Vương Nguyên tập trung trình bày các kiến thức về bổ túc kiến thức cơ bản; tích phân suy rộng và chuỗi số; hàm số nhiều biến; một số bài toàn kinh tế;... Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp C1 Đại học - Đoàn Vương Nguyên

  1. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP C1 ĐẠI HỌC (Số đvhp: 2 – số tiết: 30) Chương 0. Bổ túc kiến thức cơ bản Chương 1. Tích phân suy rộng và chuỗi số Chương 2. Hàm số nhiều biến số Chương 3. Một số bài toán kinh tế Chương 4. Phương trình vi phân cấp 1 và tích phân bội hai cơ bản Biên soạn: Đoàn Vương Nguyên TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1 – C1 – ĐH Công nghiệp TP. HCM. 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2, 3) – NXB Giáo dục. 3. Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2 – ĐH Kinh tế TP. HCM. 4. Lê Quang Hoàng Nhân – Toán cao cấp – ĐH Kinh tế - Tài chính TP. HCM – NXB Thống kê. 5. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 3, 4) – NXBĐHQG TP.HCM. 6. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1, 2) – NXB Giáo dục. 7. James Stewart, Calculus Early Transcendentals, Sixth Edition – Copyright © 2008, 2003 Thomson Brooks 8. Robert Wrede, Murray. R. Spiegel, Theory and Problems of Advanced Calculus, Second Edition – Copyright © 2002, 1963 by The McGraw-Hill Companies, Inc ……………………………………………… Chương 0. BỔ TÚC KIẾN THỨC CƠ BẢN 0.1. Bổ túc về hàm số 0.1.1. Định nghĩa Xét hai tập con khác rỗng D và Y của ℝ . Hàm số f là một quy tắc (hay ánh xạ) cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ D với duy nhất một phần tử y ∈ Y , ký hiệu là f (x ) f : ℝ ⊃ D →Y ⊂ ℝ x ֏ y = f (x ) • Tập D được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm số f , ký hiệu là Df . • Tập f (Df ) = {f (x ) | x ∈ Df } được gọi là miền giá trị của hàm f . • Đồ thị của hàm f có MXĐ D là tập hợp điểm {(x, f (x )) x ∈ D } trên mặt phẳng Oxy . • Nếu hàm f thỏa mãn f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df thì f được gọi là hàm số chẵn. • Nếu hàm f thỏa mãn f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df thì f được gọi là hàm số lẻ. Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 1 01-09-2014
  2. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học • Hàm f được gọi là đồng biến trên (a;b ) nếu f (x 1 ) < f (x 2 ) khi x 1 < x 2 với x 1, x 2 ∈ (a;b) ; f được gọi là nghịch biến trên (a;b ) nếu f (x 1 ) > f (x 2 ) khi x 1 < x 2 với x 1, x 2 ∈ (a;b) . 0.1.2. Hàm số hợp Giả sử hai hàm số f và g thỏa mãn Gg ⊂ Df . Khi đó, hàm số h(x ) = ( f  g )(x ) = f (g (x )) được gọi là hàm số hợp của f và g . VD. Xét f (x ) = 3x 2 và g (x ) = x − 1 , ta có: • Hàm số hợp của f và g là f (g (x )) = 3(g (x ))2 = 3x 2 − 6x + 3 . • Hàm số hợp của g và f là g ( f (x )) = f (x ) − 1 = 3x 2 − 1 . 0.1.3. Hàm số ngược • Hàm số f được gọi là song ánh nếu x 1 ≠ x 2 ⇔ f (x 1 ) ≠ f (x 2 ) . • Xét hàm song ánh f có MXĐ D và miền giá trị G . Khi đó, hàm số ngược của f , ký hiệu là f −1 , có MXĐ G và miền giá trị D được định nghĩa f −1(y ) = x ⇔ f (x ) = y (x ∈ D, y ∈ G ) . VD. Nếu f (x ) = 2x thì f −1(x ) = log2 x (x > 0) .  Chú ý • MXĐ của f −1 = miền giá trị của f , và miền giá trị của f −1 = MXĐ của f . • Đồ thị của hàm y = f −1(x ) đối xứng với đồ thị của hàm y = f (x ) qua đường thẳng y = x . 0.1.4. Hàm số Lượng giác ngược 0.1.4.1. Hàm số y = arcsin x  π π arcsin x = y ⇔ sin y = x , y ∈ − ;   2 2    1  1 VD. Tính arcsin −  và cot arcsin  .  2   4  Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 2 01-09-2014
  3. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học Giải.  1  π 1 π  π π • Ta có arcsin −  = − , vì sin −  = − và − ∈ − ;  . π  2  6  6  2 6  2 2  1 1  π π • Đặt arcsin = ϕ , ta được sin ϕ = và ϕ ∈ − ;  . 4 4  2 2   1 15  1 cos ϕ Vậy, ta có cos ϕ = 1 − = , và cot arcsin  = cot ϕ = = 15 . 16 4  4  sin ϕ 0.1.4.2. Hàm số y = arccos x arccos x = y ⇔ cos y = x , y ∈  0; π    3  1  2π arccos −  = π π VD. arccos 0 = ; arccos(−1) = π ; arccos = ; . 2 2 6  2  3 0.1.4.3. Hàm số y = arctan x  π π arctan x = y ⇔ tan y = x , y ∈ − ;   2 2   Quy ước π π arctan(+∞) = , arctan(−∞) = − 2 2 π π VD. arctan(−1) = − ; arctan 3 = . 4 3 0.1.4.4. Hàm số y = arccot x ( ) arccot x = y ⇔ cot y = x , y ∈ 0; π Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 3 01-09-2014
  4. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học  Quy ước arccot(+∞) = 0, arccot(−∞) = π 3π π VD. arccot(−1) = ; arccot 3 = . 4 6 0.2. Giới hạn của hàm số  Quy tắc tính giới hạn Giả sử k là hằng số và lim f (x ) , lim g(x ) tồn tại. Khi đó x →a x →a 1) lim[k .f (x )] = k . lim f (x ) 2) lim[ f (x ) ± g(x )] = lim f (x ) ± lim g(x ) x →a x →a x →a x →a x →a f (x ) lim f (x ) 3) lim[ f (x )g(x )] = lim f (x ).lim g(x ) 4) lim = x →a nếu lim g(x ) ≠ 0 x →a x →a x →a x →a g(x ) lim g(x ) x →a x →a  Định lý Nếu f (x ) ≤ g (x ) khi x tiến đến a ( x ≠ a ) và lim f (x ) , lim g(x ) tồn tại thì lim f (x ) ≤ lim g(x ) . x →a x →a x →a x →a  Định lý kẹp giữa Nếu f (x ) ≤ h(x ) ≤ g (x ) khi x tiến đến a ( x ≠ a ) và lim f (x ) = lim g(x ) = L thì lim h(x ) = L . x →a x →a x →a  Chú ý 1 1 1 = +∞, − = −∞, =0 0 + 0 ±∞  Một số kết quả giới hạn cần nhớ sin α(x ) tan α(x ) 1) lim = lim =1 α (x )→ 0 α(x ) α ( x )→ 0 α(x )  1  x 1 2) lim 1 +  = lim (1 + x ) = e  x x →±∞  x  x →0 3) lim[ f (x )]n =  lim f (x ) , n ∈ ℤ+ n x →a  x →a  Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 4 01-09-2014
  5. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học { } 4) lim [ f (x )]g (x ) =  lim f (x ) lim g (x ) nếu lim f (x ) > 0 x →a x →a  x →a  x →a 5) lim n f (x ) = n lim f (x ) , n ∈ ℤ+ (nếu n lẻ, ta giả sử rằng lim f (x ) > 0 ) x →a x →a x →a α ln x x 6) lim α = lim x = 0 nếu α ≥ 1, β > 1 . x →+∞ x x →+∞ β 0.3. Hàm số liên tục  Định nghĩa • Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm a nếu lim f (x ) = f (a ) . x →a • Hàm số f được gọi là liên tục bên trái tại điểm a nếu lim− f (x ) = f (a ) . x →a • Hàm số f được gọi là liên tục bên phải tại điểm a nếu lim+ f (x ) = f (a ) . x →a • Hàm số f được gọi là liên tục trên khoảng (a;b ) nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc (a;b ) . (Nếu f liên tục phải tại a và liên tục trái tại b thì f liên tục trên đoạn [a;b ] ).  Chú ý • Mọi đa thức đều liên tục trên ℝ = (−∞; +∞) . • Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trên miền xác định của nó. 0.4. Đạo hàm và vi phân  Định nghĩa vi phân Đại lượng dy = f ′(x )dx được gọi là vi phân của hàm số y = f (x ) .  Chú ý dy dy = f ′(x )dx ⇔ f ′(x ) = dx  Các quy tắc tính đạo hàm Giả sử f , g và h là các hàm số khả vi, ta có: 1) [ f (x ) ± g(x )]′ = f ′(x ) ± g ′(x ) ; 2) [Cf (x )]′ = C .f ′(x ) (C ∈ ℝ) ; 3) [ f (x )g(x )]′ = f ′(x )g(x ) + f (x )g ′(x ) ;  f (x ) ′ ′ ′ 4)   = f (x )g(x ) − f (x )g (x ) (g(x ) ≠ 0) ;  g(x )  [g(x )]2   5) Nếu y = f (u ) với u = g (x ) thì y ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ) ; 1 6) Nếu y = f (x ) và x = f −1(y ) thì y ′(x ) = ; x ′(y ) Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 5 01-09-2014
  6. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học y ′(t ) 7) Nếu y = f (x ) cho bởi x = ϕ(t ) và y = ψ(t ) thì y ′(x ) = . x ′(t )  Đạo hàm của các hàm số sơ cấp 1) (x α )′ = α.x α−1 (u α )′ = α.u ′.u α−1 2) ( x )′ = 2 1x ( u )′ = 2u ′u 3) (sin x )′ = cos x (sin u )′ = u ′.cos u 4) (cos x )′ = − sin x (cos u )′ = −u ′.sin u 1 u′ 5) (tan x )′ = 2 = 1 + tan2 x (tan u )′ = 2 = u ′(1 + tan2 u ) cos x cos u 1 u′ 6) (cot x )′ = − 2 = −(1 + cot2 x ) (cot u )′ = − 2 = −u ′(1 + cot2 u ) sin x sin u 7) (e x )′ = e x (e u )′ = u ′e u 8) (a x )′ = a x . ln a (a u )′ = u ′.a u .ln a 1 u′ 9) (ln | x |)′ = (ln | u |)′ = x u 1 u′ 10) (loga | x |)′ = (log a | u |)′ = x .ln a u.ln a 1 u′ 11) (arcsin x )′ = (arcsin u )′ = 1 − x2 1 − u2 1 u′ 12) (arccos x )′ = − (arccos u )′ = − 1− x2 1 − u2 1 u′ 13) (arctan x )′ = (arctan u )′ = 1 + x2 1 + u2 1 u′ 14) (arccot x )′ = − (arccot u )′ = − 1 + x2 1 + u2 0.5. Quy tắc L’Hospital f (x ) Nếu lim f (x ) và lim g(x ) đồng thời bằng 0 (hoặc bằng vô cùng) thì lim được gọi là dạng vô định x →x 0 x →x 0 g(x ) x →x 0 0 / 0 (hoặc ∞ / ∞ ). Các dạng giới hạn này được giải quyết nhờ quy tắc L’Hospital sau Nếu f (x ) và g (x ) khả vi trên (a, b ) (có thể không khả vi tại x 0 ) và g ′(x ) ≠ 0 với x ≠ x 0 thì f (x ) f ′(x ) lim = lim x →x 0 g (x ) x →x 0 g ′(x )  Chú ý Các dạng vô định: 0.∞ , ∞0 , 00 , 1∞ , và ∞ − ∞ đều có thể biến đổi để áp dụng quy tắc L’Hospital. Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 6 01-09-2014
  7. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học 0.6. Tích phân  Công thức đổi biến số Nếu ∫ f (x )dx = F (x ) + C và hàm số x = ϕ(t ) khả vi thì ∫ f (ϕ(t ))ϕ ′(t )dt = F (ϕ(t )) + C  Công thức tích phân từng phần ∫ udv = uv − ∫ vdu  Các dạng tích phân từng phần thường gặp ∫ P(x )e dx thì ta đặt u = P(x ), dv = e dx . αx αx • Đối với dạng tích phân • Đối với dạng tích phân ∫ P (x ) ln x dx thì ta đặt u = ln x , dv = P (x )dx . α α MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ x α+1 ∫ a.dx = ax + C , a ∈ ℝ; ∫ x dx = + C , α ≠ −1 ; α 1) 2) α +1 dx dx 3) ∫ x = ln | x | + C ; 4) ∫ x = 2 x +C ; ax ∫ e dx = e + C ; ∫ a dx = +C ; x x x 5) 6) ln a 7) ∫ cos x dx = sin x + C ; 8) ∫ sin x dx = − cos x + C ; dx dx 9) ∫ cos 2 x = tan x + C ; 10) ∫ sin 2 x = − cot x + C ; dx 1 x dx x 11) ∫x 2 +a 2 = arctan + C ; a a 12) ∫ a2 − x 2 = arcsin a + C, a > 0 ; dx 1 x −a dx x 13) ∫x 2 −a 2 = 2a ln x +a +C ; 14) ∫ sin x = ln tan 2 +C ; x π  = ln tan  +  + C ; dx dx 15) ∫ cos x  2 4  16) ∫ x2 + a = ln x + x 2 + a + C ; x a 17) ∫ x 2 + a dx = 2 x 2 + a + ln x + x 2 + a +C ; 2 x a2 x ∫ a − x dx = a − x + arcsin +C . 2 2 2 2 18) 2 2 |a | ……………………………………………………………………………. Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 7 01-09-2014
  8. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học Chương 1. TÍCH PHÂN SUY RỘNG VÀ CHUỖI SỐ Bài 1. Tích phân suy rộng Bài 2. Khái niệm cơ bản về chuỗi số Bài 3. Chuỗi số dương Bài 4. Chuỗi số có dấu tùy ý Bài 1. TÍCH PHÂN SUY RỘNG  Khái niệm mở đầu • Cho hàm số f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b ] . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x ) và trục hoành là b S= ∫ f (x )dx . a • Cho hàm số f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a; +∞) ( b → +∞ ). Khi đó, diện tích S có thể tính được cũng có thể không tính được. Trong trường hợp tính được hữu hạn thì +∞ b S= ∫ f (x )dx = lim b →+∞ ∫ f (x )dx . a a 1.1. Tích phân suy rộng loại 1 1.1.1. Định nghĩa b Cho hàm số f (x ) xác định trên [a; +∞) , khả tích trên mọi đoạn [a;b ] . Giới hạn (nếu có) lim b →+∞ ∫ f (x )dx a được gọi là tích phân suy rộng loại 1 của f (x ) trên [a; +∞) , ký hiệu là +∞ b ∫ f (x )dx = lim b →+∞ ∫ f (x )dx a a Định nghĩa tương tự: b b ∫ f (x )dx = lim a →−∞ ∫ f (x )dx −∞ a +∞ b ∫ f (x )dx = lim b →+∞ ∫ f (x )dx −∞ a →−∞ a  Chú ý • Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn, ta nói tích phân hội tụ; ngược lại là tích phân phân kỳ. • Nghiên cứu về tích phân suy rộng là khảo sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (nếu được). Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 8 01-09-2014
  9. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học +∞ dx VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = ∫ xα . 1 b dx  b • Trường hợp α = 1: I = lim ∫ = lim ln x  = +∞ (phân kỳ). b →+∞ x b →+∞  1 1  1   α − 1 , α > 1 b 1  1−α b  • Trường hợp α khác 1: I = lim b →+∞ ∫ dx xα = lim x 1 − α b →+∞  1  = 1 lim  1 − α b →+∞ b 1−α − 1 = ( ) 1  + ∞, α < 1. Vậy 1 α > 1 : tích phaân hoäi tuï vaø I = α −1 α ≤ 1 : tích phaân phaân kyø vaø I = +∞ 0 dx VD 2. Tính tích phân I = ∫ (1 − x )2 . −∞ ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………  Chú ý +∞ +∞ • Nếu tồn tại lim F (x ) = F (+∞) , ta dùng công thức x →+∞ ∫ f (x )dx = F (x ) a . a b b • Nếu tồn tại lim F (x ) = F (−∞) , ta dùng công thức x →−∞ ∫ f (x )dx = F (x ) −∞ . −∞ +∞ +∞ • Tương tự: ∫ f (x )dx = F (x ) −∞ . −∞ +∞ dx VD 3. Tính tích phân I = ∫ 1 + x 2 . −∞ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ 1.1.2.1. Tiêu chuẩn 1 0 ≤ f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a; +∞)  +∞  +∞ ⇒ ∫ f (x )dx hoäi tuï   ∫ g(x )dx hoäi tuï a  a Các trường hợp khác tương tự. +∞ ∫e −x 10 VD 4. Xét sự hội tụ của tích phân I = dx . 1 ……………………………………………………………………………………………… Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 9 01-09-2014
  10. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1.1.2.2. Tiêu chuẩn 2 +∞ +∞ ∫ f (x ) dx hoäi tuï ⇒ ∫ f (x )dx hoäi tuï a a Các trường hợp khác tương tự. +∞ ∫e −x VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân I = cos 3x dx . 1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1.1.2.3. Tiêu chuẩn 3 f (x ) Giả sử f (x ), g (x ) liên tục, dương trên [a; +∞) và lim =k. x →+∞ g (x ) +∞ +∞ • Nếu 0 < k < +∞ thì ∫ f (x )dx và ∫ g(x )dx cùng hội tụ hoặc phân kỳ. a a +∞ +∞ • Nếu k = 0 và ∫ g(x )dx hội tụ thì ∫ f (x )dx hội tụ. a a  k = +∞  +∞ • Nếu +∞ thì ∫ f (x )dx phân kỳ.  ∫ g(x )dx phaân kyø  a a  • Các trường hợp khác tương tự. +∞ dx VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ 1 + x 2 + 2x 3 . 1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………  Chú ý +∞ +∞ Nếu f (x ) ∼ g (x ) khi x → +∞ thì ∫ f (x )dx và ∫ g(x )dx có cùng tính chất. a a +∞ dx VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ 1 + sin x + x . 1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 10 01-09-2014
  11. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học +∞ dx VD 8. Điều kiện của α để I = ∫ x . ln x + 1 3 α hội tụ là: 1 3 1 A. α > 3 ; B. α > ; C. α > 2 ; D. α > . 2 2 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… +∞ (x 2 + 1)dx VD 9. Tìm điều kiện của α để I = ∫ 2x α + x 4 − 3 hội tụ ? 1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1.2. Tích phân suy rộng loại 2 1.2.1. Định nghĩa Giả sử hàm số f (x ) xác định trên [a; b) , lim− f (x ) = ∞ và khả tích trên mọi đoạn [a; b − ε ] (ε > 0) . x →b b −ε Giới hạn (nếu có) lim ∫ f (x )dx được gọi là tích phân suy rộng loại 2 của f (x ) trên [a; b) , ký hiệu là ε→ 0 a b b −ε ∫ f (x )dx = lim ∫ ε→ 0 f (x )dx a a Định nghĩa tương tự: b −ε ( ) ( ) b b b ∫ f (x )dx = lim ∫ ε →0 f (x )dx lim+ = ∞ ; x →a ∫ f (x )dx = lim ∫ ε→ 0 f (x )dx lim+ = ∞, lim− = ∞ x →a x →b a a +ε a a +ε  Chú ý Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ; ngược lại là tích phân phân kỳ. b dx VD 10. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = ∫x α , b > 0. 0 b dx  b • Trường hợp α = 1: I = lim+ ∫ = lim+ ln x  = ln b − lim+ ln ε = +∞ . ε →0 x ε→ 0  ε ε→0 ε b b dx 1  1−α b  • Trường hợp α khác 1: I = lim ∫ = lim ∫ x −α dx = lim x  ε→0 xα ε→ 0 1 − α ε→ 0  ε  ε ε  b 1−α  , α 1. Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 11 01-09-2014
  12. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học Vậy b1−α α < 1 : tích phaân hoäi tuï vaø I = 1−α α ≥ 1 : tích phaân phaân kyø vaø I = +∞ 1/3 3 VD 11. Tính tích phân suy rộng I = ∫ 1 − 9x 2 dx . 1/6 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… e dx VD 12. Tính tích phân suy rộng I = ∫ x. 3 ln2 x . 1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2 dx VD 13. Tính tích phân suy rộng I = ∫x 2 −x . 1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1.  Chú ý b b Nếu f (x ) ∼ g (x ) khi x → b (với b là cận suy rộng) thì ∫ f (x )dx và ∫ g(x )dx có cùng tính chất. a a 1 xα VD 14. Tích phân suy rộng I = ∫ x (x + 1)(2 − x ) dx hội tụ khi và chỉ khi: 0 1 1 A. α < −1 ; B. α < − ; C. α > − ; D. α ∈ ℝ . 2 2 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1 xα + 1 VD 15. Tích phân suy rộng I = ∫ (x 2 + 1)sin x dx phân kỳ khi và chỉ khi: 0 1 1 A. α ≤ −1 B. α ≤ − C. α ≥ − D. α ∈ ℝ . 2 2 Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 12 01-09-2014
  13. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………  Chú ý Giả sử I = I 1 + I 2 với I , I 1, I 2 là các tích phân suy rộng ta có: 1) I 1 và I 2 hội tụ ⇒ I hội tụ. I → −∞ ( phaân kyø) I → +∞ ( phaân kyø) 2)  1 hoặc  1 thì I phân kỳ. I 2 ≤ 0 I 2 ≥ 0   I → −∞ ( phaân kyø) I → +∞ ( phaân kyø) 3)  1 hoặc  1 thì ta chưa thể kết luận I phân kỳ. I 2 > 0 I 2 < 0   1 xα +1 VD 16. Tích phân I = ∫ x 2 sin x dx phân kỳ khi và chỉ khi: 0 1 1 1 A. α ≤ B. α ≤ − C. α ≤ − D. α ∈ ℝ . 4 4 2 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… +∞ +∞ +∞ sin x cos x sin x VD. Xét tích phân I = ∫ x dx , ta có: I = − x + ∫ x2 dx . 1 1 1 +∞ cos x cos x •− = − lim + cos1 = cos1 (1). x x →+∞ x 1 +∞ +∞ +∞ sin x dx sin x • ∫ x2 dx ≤ ∫ x2 ⇒ ∫ x2 dx hội tụ (2). 1 1 1 Từ (1) và (2) ta suy ra I hội tụ. Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 13 01-09-2014
  14. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học Bài 2. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ 2.1. Định nghĩa • Cho dãy số có vô hạn các số hạng u1, u2 ,..., un ,... . Biểu thức ∞ u1 + u2 + ... + un + ... = ∑ un n =1 được gọi là chuỗi số. • Các số u1, u2 ,..., un ,... là các số hạng và un được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi số. • Tổng n số hạng đầu tiên Sn = u1 + u2 + ... + un được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số. • Nếu dãy {Sn } hội tụ đến số S hữu hạn thì ta nói chuỗi số hội tụ và có tổng là S , ta ghi là n ∈ℕ ∞ ∑u n =S. n =1 Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ. ∞ VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ aq n −1 ( a ≠ 0 ). n =1 • Trường hợp q = 1 : Sn = na → +∞ ⇒ chuỗi phân kỳ. 1 − qn 1 − qn • Trường hợp q ≠ 1 : Sn = u1 . = a. . 1−q 1−q a Nếu | q | < 1 thì Sn → ⇒ chuỗi hội tụ; nếu | q | > 1 thì Sn → +∞ ⇒ chuỗi phân kỳ. 1−q Vậy ∞ ∑ aq n −1 hoäi tuï ⇔ | q | < 1 n =1 ∞ 1 VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n(n + 1) . n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞   1 + 1  . VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑  n  ln  n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 14 01-09-2014
  15. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học ∞ 1 VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ . n =1 n ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ ∞ ∞ Nếu chuỗi ∑ un hội tụ thì lim un = 0 , ngược lại nếu lim un ≠ 0 thì n →∞ n →∞ ∑u n phân kỳ. n =1 n =1 ∞ n4 VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 3n 4 + n + 2 . n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ n5 VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n4 + 1 . n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2.3. Tính chất ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1) Nếu ∑u , ∑v n n hội tụ thì ∑ (u n + vn ) = ∑ un + ∑ vn . n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ 2) Nếu ∑ un hội tụ thì ∑ αun = α∑ un . n =1 n =1 n =1 3) Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng. Bài 3. CHUỖI SỐ DƯƠNG 3.1. Định nghĩa ∞ Chuỗi số ∑u n được gọi là chuỗi số dương nếu un ≥ 0, ∀n . n =1 Khi un > 0, ∀n thì chuỗi số là dương thực sự. 3.2. Các định lý so sánh  Định lý 1 ∞ ∞ Giả sử hai chuỗi số ∑ un , ∑v n thỏa 0 ≤ un ≤ vn , ∀n ≥ n 0 . Khi đó: n =1 n =1 Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 15 01-09-2014
  16. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học ∞ ∞ • Nếu ∑v n hội tụ thì ∑u n hội tụ. n =1 n =1 ∞ ∞ • Nếu ∑ un phân kỳ thì ∑v n phân kỳ. n =1 n =1 ∞ 1 VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n.2 n . n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ 1 ∞  1 VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa ∑n bằng cách so sánh với ∑ ln 1 + n  . n =1 n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………  Định lý 2 ∞ ∞ un Giả sử hai chuỗi số ∑ un , ∑v n thỏa mãn un > 0 và vn > 0 với n đủ lớn và lim n →∞ vn =k. n =1 n =1 ∞ ∞ • k =0: ∑u n phân kỳ ⇒ ∑ vn phân kỳ. n =1 n =1 ∞ ∞ • k = +∞ : ∑ un hội tụ ⇒ ∑ vn hội tụ. n =1 n =1 ∞ ∞ • 0 < k < +∞ : ∑u n và ∑v n cùng tính chất. n =1 n =1  2  n ∞ ∞ 2n (n + 1)   . VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi ∑ n.3n +1 bằng cách so sánh với ∑   n =1  3  n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………  Chú ý ∞ 1 Chuỗi số ∑n α hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1 . n =1 ∞ n +1 VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ . n =1 2n 5 + 3 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 16 01-09-2014
  17. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 3.3. Các tiêu chuẩn hội tụ 3.3.1. Tiêu chuẩn D’Alembert ∞ un +1 Cho chuỗi số dương ∑u n và lim n →∞ un = D . Ta có: n =1 • Nếu D < 1 thì chuỗi số hội tụ; • Nếu D > 1 thì chuỗi số phân kỳ; • Nếu D = 1 thì ta chưa thể kết luận.  1 n ∞ 1 VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n 1 +  . n =1 3  n  ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ 5n (n !)2 VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ (2n )! . n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 3.3.2. Tiêu chuẩn Cauchy ∞ Cho chuỗi số dương ∑u n và lim n un = C . Ta có: n →∞ n =1 • Nếu C < 1 thì chuỗi số hội tụ; • Nếu C > 1 thì chuỗi số phân kỳ; • Nếu C = 1 thì ta chưa thể kết luận. n2 1 ∞ VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑   .  n =1  2  ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ nn VD 8. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 3n . n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 17 01-09-2014
  18. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học 3.3.3. Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy Giả sử hàm số f (x ) liên tục, f (x ) ≥ 0 và giảm trên [k ; +∞), k ∈ ℕ . Ta có: ∞ +∞ ∑ f (n ) hoäi tuï ⇔ ∫ f (x )dx hoäi tuï n =k k ∞ 1 VD 9. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ . n =1 3 n + 2n 2 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ 1 VD 10. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n ln 3 n . n =2 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Bài 4. CHUỖI SỐ CÓ DẤU TÙY Ý 4.1. Chuỗi số đan dấu 4.1.1. Định nghĩa ∞ Chuỗi số ∑ (−1) u n n được gọi là chuỗi số đan dấu nếu un > 0, ∀n . n =1 ∞ ∞ (−1)n 2n + 1 VD. ∑ n và ∑ (−1)n +1 2n +1 là các chuỗi số đan dấu. n =1 n =1 4.1.2. Định lý Leibnitz ∞ Nếu dãy {un }n ∈ℕ giảm và lim un = 0 thì chuỗi số n →∞ ∑ (−1) u n n hội tụ. n =1 Khi đó, ta gọi chuỗi số là chuỗi Leibnitz. ∞ (−1)n VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ . n =1 n ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ 2n + 1 VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ (−1) . n n =1 2n +1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 18 01-09-2014
  19. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học ∞ (−1)n VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ . n =2 n + (−1)n ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 4.2. Chuỗi số có dấu tùy ý 4.2.1. Định nghĩa ∞ • Chuỗi số ∑u n (un ∈ ℝ) được gọi là chuỗi có dấu tùy ý. n =1 ∞ ∞ • Chuỗi số ∑ un được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số ∑| u n | hội tụ. n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ • Chuỗi số ∑ un được gọi là bán hội tụ nếu chuỗi ∑ un hội tụ và chuỗi ∑| u n | phân kỳ. n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ (−1)n (−1)n ∞ (−1)n ∞ 1 VD. Chuỗi số ∑ là bán hội tụ vì ∑ n hội tụ (VD 1) và ∑ = ∑ phân kỳ. n =1 n n =1 n =1 n n =1 n 4.2.2. Định lý ∞ ∞ Nếu chuỗi số ∑ | un | hội tụ thì chuỗi có dấu tùy ý ∑u n hội tụ. n =1 n =1 ∞ cos(n n ) VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n2 . n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ (−1)n + (−2)n +1 VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 3n . n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 19 01-09-2014
  20. Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp C1 Đại học Chương 2. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 2. Đạo hàm riêng – Vi phân Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số Bài 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Tập hợp trong Rn Xét không gian Euclide n chiều ℝ n ( n ≥ 2 ) và tập hợp D ⊂ ℝn . • Một phần tử x ∈ ℝn là một bộ n số thực (x 1, x 2 ,..., x n ) . Điểm M biểu diễn phần tử x được gọi là có tọa độ (x 1, x 2 ,..., x n ) , ký hiệu là M (x 1, x 2 ,..., x n ) . Khoảng cách giữa M (x 1, x 2 ,..., x n ) , N (y1, y2 ,..., yn ) được ký hiệu và định nghĩa là d (M , N ) = (x 1 − y1 )2 + (x 2 − y2 )2 + ... + (x n − yn )2 . • Xét điểm M 0 ∈ ℝn và số thực ε > 0 bé tùy ý, ta gọi ε − lân cận (gọi tắt là lân cận) của điểm M 0 là tập hợp tất cả các điểm M ∈ ℝn sao cho d(M 0 , M ) < ε . • Điểm M ∈ D được gọi là điểm trong của D nếu tồn tại một lân cận của điểm M nằm hoàn toàn trong D . Tập hợp D được gọi là tập mở nếu mọi điểm M ∈ D đều là điểm trong của D . • Điểm M ∈ D được gọi là điểm biên của D nếu mọi lân cận của điểm M vừa chứa điểm thuộc D vừa chứa điểm không thuộc D (điểm biên của D có thể không thuộc D ). Tập hợp tất cả các điểm biên của D được gọi là biên của D , ký hiệu là ∂D (xem H.1.1.1). Tập hợp D được gọi là tập đóng, ký hiệu là D , nếu ∂D ⊂ D . • Xét điểm M 0 cố định và số thực r > 0 . Tập hợp tất cả các điểm M sao cho d(M 0 , M ) < r được gọi là quả cầu mở tâm M 0 , bán kính r ; tập hợp các điểm M thỏa d(M 0 , M ) ≤ r được gọi là quả cầu đóng tâm M 0 , bán kính r ; tập hợp các điểm M thỏa d(M 0 , M ) = r được gọi là mặt cầu tâm M 0 , bán kính r . Tập hợp D được gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu đóng chứa D . • Tập hợp D được gọi là tập liên thông nếu ta có thể nối hai điểm bất kỳ thuộc D bởi một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong D (H.1.1.2). Tập liên thông D được gọi là đơn liên nếu D có biên là một mặt cong kín (H.1.1.3); tập liên thông D có biên là hợp của nhiều mặt cong kín rời nhau được gọi là đa liên (H.1.1.4). Đại học Công nghiệp Tp. Hồ Chí Minh (IUH) Page 20 01-09-2014
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD


intNumView=184

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2