Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 4 - Phan Trung Hiếu (2018)

Chia sẻ: A Q | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

104
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp C1 - Chương 4: Tích phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Nguyên hàm, các phương pháp tính tích phân, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 4 - Phan Trung Hiếu (2018)

11/1/2018 Chương 4: Tích phân GV. Phan Trung Hiếu §1. Nguyên hàm §1. Nguyên hàm §2. Tích phân xác định §3. Các phương pháp tính tích phân LOG §4. Tích phân suy rộng O tích phân trong kinh tế §5. Ứng dụng của I. Nguyên hàm: Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên khoảng D. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D  F ( x )  f ( x ), x  D. Ví dụ 1.1: 2 Định lý 1.2. Với C là một hằng số tùy ý, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên D. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên D đều có dạng F(x) + C.  x2 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2 )  2 x.  x2 + 3 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2  3)  2 x .  x2 + C (C là một hằng số) là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2  C )  2 x. 3 II. Tích phân bất định: Định nghĩa 2.1. Tích phân bất định của hàm số f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tất cả các nguyên hàm của f trên D. Tích phân bất định (Họ nguyên hàm) của f được ký hiệu là 4 Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là hai thuật ngữ chỉ cùng một nội dung, ta có  f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x) Ví dụ 1.2.  2x dx  x 2  C vì ( x 2 )  2 x.  f ( x )dx , trong đó  : dấu tích phân. x : biến lấy tích phân. f ( x ) : hàm lấy tích phân. f ( x )dx : biểu thức dưới dấu tích phân. 5 6 1 11/1/2018 III. Tính chất: IV. Bảng công thức tích phân cơ bản:   k . f ( x )dx  k  f ( x )dx với k là hằng số khác 0.    f ( x )  g( x )  dx   f ( x )dx   g( x )dx. Xem Bảng 3.   f ( x )dx  f ( x )  C.    f ( x)dx   f ( x ). 7 8 I. Công thức Newton-Leibniz: §2. Tích phân xác định Định lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz). Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích phân xác định của f từ a đến b là b  f ( x)dx  F ( x) b a  F (b )  F ( a ) a 9 10 II. Tính chất: a   f ( x )dx  0 a a b   f ( x )dx   f ( x )dx b b  a b a b  a b b §3. Các phương pháp tính tích phân   f ( x )  g( x ) dx   f ( x )dx   g( x )dx a b  với k là hằng số  k. f ( x )dx  k. f ( x )dx  a a c a b f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx a c b  f ( x )  0 trên [a,b]   f ( x)dx  0. a 11 12 2 11/1/2018 I. Phương pháp đổi biến số loại 1: Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợp sao cho t   biểu thức còn lại trong hàm số. Nếu chưa đặt được thì ta tìm cách biến đổi hàm số. Tích phân dạng: I   f u ( x)  u ( x) dx Bước 1 (đổi biến): Đặt t  u ( x )  dt  u( x ) dx Bước 2 (thay vào tích phân): I   f (t ) dt  F (t )  C  F u ( x )  C 13 Tích phân dạng: 14 b I   f  u ( x)  u ( x )dx Dấu hiệu đổi biến thường gặp: a Bước 1 (đổi biến): Đặt t  u ( x)  dt  u( x)dx a b Bước 2 (đổi cận): x t u(a) u(b) Bước 3 (thay vào tích phân): Có Đặt (u(x))n t  u(x) ln x và u (b) I  1 x f (t ) dt u(a) t = căn căn t  e x  ,   const e x  và 1 x 1 x2 t  ln x t 1 x (cận mới, biến mới). 15 Dạng Đặt 1 có tan x và cos 2 x 1 có cot x và sin 2 x 1 có arcsinx và có arccosx và 16 t = tanx t = cotx t = arcsinx 1 x 2 1 t = arccosx 1 x 2 17 Dạng Đặt 1 1 x 2 1 có arccotx và 1 x 2 t = arctanx có arctanx và t = arccotx  f (sin x)cosx dx t  sin x  f (cos x)sinx dx t  cos x 18 3 11/1/2018 t  cos x f đổi dấu f đổi dấu sin x   sin x Thay   cos x   cos x t  sin x f không đổi dấu t  tan Tổng quát x 2 0  x 1 x  e)  g) e dx ex  1 1 x 2 1/2  4 i) f) 1 sin 2   dx x  arccos x 1 x 2 l )  e2sin x cos xdx 0  2  6 7 m)  (1  cos3x)sin3xdx 5 n)  sin x cos xdx 0  p)  sin(2 x  1) dx cos2 (2 x  1) sin 2 x dx cos 6 x r)  dx 3cos x  4sin x  5 2 4x  4x  5 sin x u)  x cos 3 dx x 21 2 a  u ( x) u 2 ( x)  a 2 3 3 2 Đặt     u ( x)  a sin t , t   ;   2 2 u 2 ( x )  a 2 u ( x)  sin x  cos x dx sin x  cos x 2   2 v )  4x  2 e x x dx 0 Ví dụ 3.2. Tính a)  x 1  xdx Phương pháp (đổi biến): Đặt x  u (t )  dx  u ( t )dt Dấu hiệu đặt thông thường: 2 t)  22 II. Phương pháp đổi biến số loại 2 Có  j )  tan 2 x  tan 4 x dx dx s)  0 o)  cos2 x tan 3 xdx q)  x) 20  2 dx 2 x 3 dx x 11 h)  e tan x dx 2 x 19 k) dx  x (2  ln 3  cos 0 4 x dx x d)  2 x 1 t  tan x b)  x 3 1 x 2 dx dx c)  1 Thay cos x   cos x 1 a )  (x 3  x )5 (3x 2  1)dx 4 Thay sin x   sin x  f (sin x, cos x)dx Ví dụ 3.1. Tính Đặt Dạng c)  0 b)  dx x 2 x2  1 , x 1 x3 dx (4 x 2  9)3/2   t  0;  nếu u ( x)  a  2  3  t   ;  nếu u ( x)   a  2  a , sin t     u ( x)  a tan t , t   ;   2 2 23 24 4 11/1/2018 III. Tích phân hàm hữu tỉ: P( x )  Q( x) dx, P(x), Q(x) là các đa thức. Phương pháp: Bậc tử  bậc mẫu: chia đa thức. Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t = một biểu thức ở mẫu. Nếu không được thì ta làm như sau n Mẫu có ( ax  b) : Đặt t  ax  b. Mẫu là tam thức bậc hai ax 2  bx  c :  ax Vô nghiệm và tích phân có dạng 2 dx , ta  bx  c 2 2 2 biến đổi ax  bx  c  a  u ( x ). Có nghiệm kép x0 , ta phân tích ax 2  bx  c  a ( x  x0 ) 2 P( x ) P( x )  2  . ax  bx  c a ( x  x0 )2 25 26 Mẫu là đa thức bậc lớn hơn 2: Ta phân tích mẫu thành tích dạng lũy thừa của nhị thức hay lũy thừa của các tam thức vô nghiệm và tìm các hệ số như sau P( x) A B C    ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 ) x  x1 x  x2 x  x3 Có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 , ta phân tích 2 ax  bx  c  a ( x  x1 )( x  x2 ). Tìm hệ số A, B sao cho P ( x) A B C    ( x  x1 )( x  x2 )2 x  x1 x  x2 ( x  x2 ) 2 P( x ) A B   . a ( x  x1 )( x  x2 ) x  x1 x  x2 P( x) A Bx  C   ( x  x0 )( ax 2 + bx + c ) x  x0 ax 2  bx  c trong đó ax 2  bx  c  0 vô nghiệm. 27 P( x) A B Cx  D    2 2 2 ( x  x0 ) ( ax + bx + c ) x  x0 ( x  x0 ) ax  bx  c 28 Ví dụ 3.3. Tính 2 P ( x) A Bx  C Dx  E    ( x  x0 )(ax2 + bx + c)2 x  x0 ax2  bx  c (ax2  bx  c)2 trong đó ax 2  bx  c  0 vô nghiệm. Đặc điểm: -Mẫu là lũy thừa của nhị thức (x - x0): Tử là hằng. -Mẫu là lũy thừa của tam thức ax 2  bx  c vô nghiệm: Tử là nhị thức. 4x  3 dx 2x 1 0 b)   2 d)  xdx (2 x  1)3 f ) 2x3  4 x2  x  3 dx x2  2 x  3 ( x  2)2 dx x( x  1)2 h)  2 x 2  3 x  11 dx x 3  x 2  3x  5 x2  2 x  1 dx ( x  1) 2 ( x 2  1) j)  2x3  5x2  8x  4 dx ( x 2  2 x  2) 2 dx 2  sin x 0 c)  4 ( x 2  1) dx 3 x  3 x 2  4 x  12 1 e)  g)  i)  29 1 sin 3 x dx 2  cos x a)  30 5