Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 2 - Phan Trung Hiếu

Chia sẻ: Cao Thi Ly | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

368
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp C1 Chương 2 Đạo hàm và vi phân hàm một biến do Phan Trung Hiếu biên soạn có kết cấu nội dung gồm 3 bài, giới thiệu đến các bạn những nội dung sau: Đạo hàm của hàm một biến, hàm khả vi, vi phân của hàm số, đạo hàm và vi phân cấp cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 2 - Phan Trung Hiếu

06/10/2017 Chương 2: Đạo hàm và vi phân hàm một biến GV. Phan Trung Hiếu §1. Đạo hàm của hàm một biến §1. Đạo hàm của hàm một biến §2. Hàm khả vi, vi phân của hàm số §3. Đạo hàm và vi phân cấp cao LOG O I. Đạo hàm cấp một: Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của hàm số f(x) tại x0, ký hiệu y( x0 )  f ( x0 ) , được tính bởi f ( x0 )  lim x  x0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 2 Trong định nghĩa trên, nếu đặt x  x  x0 : Số gia của biến số tại x0. y  f ( x)  f ( x0 )  f ( x0  x)  f ( x0 ): Số gia của hàm số tại x0. Khi đó f ( x0 )  lim x 0 nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. Chú ý 1.2. Nếu f ( x0 ) tồn tại thì f(x) được gọi là khả vi tại x0. 3 Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số tại x0  0.  ln(1  x 2 ) khi x  0  f ( x)   x 0 khi x  0  Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)  f ( x0 )  lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0  f ( x0 )  lim y f ( x0  x)  f ( x0 )  lim x  0 x x f ( x0  h)  f ( x0 )  lim h 0 h 4 Định lý 1.5   f ( x0 )  L    f ( x0 )  f ( x0 )  L Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số f ( x)  x tại x0  0. f ( x)  f ( x0 ) x  x0 x  x0 Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải) x  x0 5 Định lý 1.6. f(x) có đạo hàm tại x0  f(x) liên tục tại x0. 6 1 06/10/2017 Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số e ( x  x ) khi x  0 f ( x)   khi x  0 m x 2 khả vi tại x0  0. Ví dụ 1.4: Tìm a, b để hàm số 3x 2  5 khi x  1 f ( x)   ax  b khi x  1 có đạo hàm tại x0  1. 7 Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) y  arctan x 2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2. 2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với u  u ( x ), v  v ( x) , ta có ( k .u )  k .u (u  v)  u  v (u.v)  u.v  u.v  u  u.v  u.v    v2 v 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp: Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó  x y( x)  yu .u 8 III. Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm: 3.1. Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal): Cho hàm số y = f(x) xác định trên D với x, y là các biến số kinh tế, gọi x0  D. 2 b) y  (arcsin x ) 1 x c) y  1 x Hàm số My  f ( x) được gọi là hàm biên tế (hàm cận biên) của biến y. x x 2x d) y  e arctan e  ln 1  e e) y  ( x 2  1) x II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm: Giá trị My ( x0 )  f ( x0 ) được gọi là biên tế (giá trị cận biên) của hàm số f(x) tại điểm x0. 3 f) y  (1  x ) 2  x 2 3 3 x 3 9 3.2. Ý nghĩa của biên tế: My ( x0 ) cho biết xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến y khi biến x tăng thêm 1 đơn vị. Cụ thể, ta có My ( x0 )  0 có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y sẽ tăng My ( x0 ) đơn vị. My ( x0 )  0 có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y sẽ giảm  My ( x0 ) đơn vị. Ví dụ 1.6: Cho hàm tổng chi phí C  0,1Q 2  0,3Q  100. a) Tìm hàm chi phí biên tế. b) Tìm chi phí biên tế tại mức sản lượng Q  120 đơn vị và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. 11 10 3.3. Độ thay đổi tuyệt đối và độ thay đổi tương đối: Xét hàm số y = f(x). Khi biến số tăng từ x0 đến x thì ta có -Độ thay đổi tuyệt đối của biến x tại x0 là x  x  x0 Độ thay đổi tuyệt đối của biến x phụ thuộc vào đơn vị chọn để đo biến x. -Độ thay đổi tương đối của biến x tại x0 là x x0 Độ thay đổi tương đối của biến x không phụ thuộc vào đơn vị chọn để đo biến x. 12 2 06/10/2017 3.4. Hệ số co dãn: hệ số co dãn của biến y theo biến x tại x0 là x  yx ( x0 )  y( x0 )  0 y ( x0 ) 3.5. Ý nghĩa của hệ số co dãn:  yx ( x0 ) cho biết xấp xỉ độ thay đổi tương đối của biến y khi biến x tăng tương đối lên 1% tại x0. Cụ thể, ta có  yx ( x0 )  0 có nghĩa là có nghĩa là tại x = x0 , khi x tăng 1% thì y sẽ tăng  yx ( x0 )%.  yx ( x0 )  0 có nghĩa là có nghĩa là tại x = x0 , khi x tăng 1% thì y sẽ giảm  yx ( x0 )%. Dựa vào hệ số co dãn, người ta đưa ra các khái niệm sau:  Nếu  yx ( x0 )  1 thì hàm f được gọi là co dãn tại x0 (hàm số có phản ứng nhanh với sự thay đổi của biến số). Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm co dãn.  Nếu  yx ( x0 )  1 thì hàm f được gọi là đẳng co dãn tại x0 Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm đẳng co dãn (điểm co dãn đơn vị).  Nếu  yx ( x0 )  1 thì hàm f được gọi là không co dãn tại x0 (hàm số có phản ứng chậm với sự thay đổi của biến số). Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm không co dãn. 13 14 Ví dụ 1.7: Cho hàm cầu Q  600  2 P. Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại các mức giá P = 100; P = 200 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. §2. Vi phân của hàm số 15 16 Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì I. Vi phân cấp một: 1) d (u  v)  du  dv. 2) d (k .u)  k .du. 3) d (u.v)  vdu  udv. Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là hay df ( x)  f ( x) dx dy  ydx Ví dụ 2.1. Tìm vi phân của hàm số y  e x . 17 2  u  vdu  udv 4) d    . v2 v Ví dụ 2.2. Tính a) d ( x 3  e x ) b) d ( x 3 e x )  x3  c) d  x  e  18 3 06/10/2017 III. Ứng dụng của vi phân: Dùng vi phân, ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số. Ta có giá trị của hàm số tại x gần x0 là §3. Đạo hàm và vi phân f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 ).x  o(x)  f ( x0 )  f ( x0 ).x cấp cao Để áp dụng công thức trên ta cần chỉ ra dạng hàm f(x), điểm x0 và số gia x đủ nhỏ. Ví dụ 2.3. Tính gần đúng giá trị của 3 2,0001. 19 20 I. Đạo hàm cấp cao: Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp một y thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) là y  f ( x)   f ( x)  Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là y ( n )  f ( n ) ( x)   f ( n1) ( x)    Ví dụ 3.2. Cho hàm số y  x sin x. Chứng minh xy  2( y  sin x )  xy  0. Ví dụ 3.3. Cho hàm số y  2 x  x 2 . Chứng minh y 3 y  1  0. Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó k (u.v)( n )   Cn u ( k )v ( nk ) n k 0 Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp kx ba, cấp bốn, cấp n của hàm số y  e , k  const. Ví dụ 3.4. Tính y II. Vi phân cấp cao: Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là III. Quy tắc L’Hospital: Định lý 3.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong lân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếu i) lim f ( x)  lim g ( x)  0 hay (20) 21   d n y  d d n1 y  y ( n ) dx n Ví dụ 3.5. Cho y  (2 x  3)3 . Tính d 3 y. 22 x  x0 x  x0 lim f ( x)  lim g ( x)   x  x0 f ( x) x x0 và lim tồn tại x  x0 g ( x ) thì 23 của hàm số y  x 2e 2 x . lim x  x0 f ( x) f ( x)  lim g ( x ) x x0 g ( x) 24 4 06/10/2017 Chú ý 1.2.  Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định 0  hoặc . 0   Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần. IV. Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn: Dạng 0 0 Ví dụ 3.6. Tính các giới hạn sau x2  5x  6 x 2 x  x 2  x  2 sin x c) lim x 0 x a )lim e)lim x 0 25 Dạng   Ví dụ 3.7. Tính các giới hạn sau 3x 2  2 x a ) lim x  x 2  1 x2  x b) lim x x  e  3 c) lim d ) lim ln 2 x x  x 3 x  0 0 Dạng 0.  .  f 1 g f .g (0.)   g 1 f Ví dụ 3.8. Tính các giới hạn sau   b) lim  x   .tan x   2 x a ) lim x.ln x x 0 27 Dạng     0 Ta đưa về dạng hoặc .  0 Chú ý:   f   f 1   g     f  f  g   g   1 g      f .g  1  1     g f   29 x 26 Ta đưa về dạng hoặc Chú ý: 2  4  x2 x2  9  3 e 1 d )lim 3 x 0 x ln(cos x) f )lim x 0 arctan 2 x  2 x 2 x 0 x  sin x x3 x 1  x2 b)lim 3 2 28 Ví dụ 3.9. Tính các giới hạn sau 1   1 a )lim    x 1  ln x x 1 c )lim x 0 b) lim (e x  x 2 ) x  1  1 1    t an2x  sin x x  30 5