Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 1 - Phan Trung Hiếu (2018)

14/09/2018<br /> <br /> Kiểm tra, đánh giá kết quả:<br /> <br /> TOÁN CAO CẤP<br /> C1<br /> GV. Phan Trung Hiếu<br /> <br /> 45 tiết<br /> <br /> LOG<br /> O<br /> <br /> -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):<br /> Dự lớp đầy đủ: 10 điểm.<br /> Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1<br /> điểm.<br /> Chỉ được vắng 1 ngày có phép.<br /> -Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):<br /> Tự luận, không được sử dụng tài liệu.<br /> -Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):<br /> Tự luận, không được sử dụng tài liệu.<br /> 2<br /> <br /> Điểm cộng, trừ giờ bài tập:<br /> -Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:<br /> 1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1<br /> câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không<br /> trừ điểm).<br /> Chỉ được cộng tối đa 2 điểm.<br /> <br /> Điểm cộng, trừ giờ bài tập:<br /> -Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:<br /> Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm<br /> bài: -0,5 điểm/lần.<br /> Khi không có SV xung phong lên làm thì GV<br /> sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ<br /> trên xuống:<br /> -Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần,<br /> -Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5<br /> điểm/lần.<br /> <br /> 3<br /> <br /> Trang web môn học:<br /> SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng<br /> tuần, điểm quá trình trên trang web sau:<br /> https://sites.google.com/site/sgupth<br /> <br /> 5<br /> <br /> 4<br /> <br /> Nội dung:<br /> Chương 1:<br /> Chương 2:<br /> Chương 3:<br /> một biến.<br /> Chương 4:<br /> Chương 5:<br /> Chương 6:<br /> <br /> Hàm số một biến số.<br /> Hàm số liên tục.<br /> Đạo hàm và vi phân hàm<br /> Tích phân.<br /> Hàm nhiều biến.<br /> Phương trình vi phân.<br /> 6<br /> <br /> 1<br /> <br /> 14/09/2018<br /> <br /> Tài liệu học tập:<br /> [1] Bài giảng trên lớp.<br /> [2] Lê Văn Hốt, Toán cao cấp (Phần 2: Giải<br /> tích), Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM, NXB<br /> Giáo dục.<br /> <br /> Dụng cụ hỗ trợ học tập:<br /> Máy tính FX 500MS, FX 570MS,<br /> FX 570ES, FX 570ES Plus.<br /> <br /> 7<br /> <br /> 8<br /> <br /> Chương 1:<br /> <br /> Hàm số một biến số<br /> <br /> §1. Các khái niệm cơ bản<br /> <br /> về hàm số một biến số<br /> <br /> GV. Phan Trung Hiếu<br /> <br /> §1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số<br /> §2. Giới hạn của hàm số<br /> §3. Phương pháp tính giới hạn của hàm số<br /> LOG<br /> O<br /> 10<br /> <br /> Các biến số kinh tế:<br /> <br /> I. Biến số:<br /> Biến số là một ký hiệu mà ta có thể gán cho nó một<br /> số bất kì thuộc tập số X   cho trước ( X   ).<br /> Tập hợp X được gọi là miền biến thiên (MBT) và<br /> mỗi số thực x 0  X được gọi là một giá trị của biến<br /> số đó.<br /> Các biến số thường được ký hiệu bằng các chữ cái:<br /> x, y, z, …<br /> <br /> 11<br /> <br /> Ký<br /> hiệu<br /> <br /> Ý<br /> nghĩa<br /> <br /> C<br /> <br /> Lợi<br /> nhuận<br /> Chi<br /> phí<br /> <br /> D<br /> <br /> Cầu<br /> <br /> <br /> <br /> (pi)<br /> <br /> S<br /> <br /> Doanh<br /> thu<br /> Cung<br /> <br /> X<br /> <br /> Xuất<br /> khẩu<br /> <br /> R<br /> <br /> Tiếng<br /> Anh<br /> <br /> Ký<br /> hiệu<br /> <br /> Profit<br /> <br /> P<br /> <br /> Cost<br /> <br /> Q<br /> <br /> Demand<br /> <br /> QD<br /> <br /> Revenue<br /> <br /> QS<br /> <br /> Supply<br /> <br /> T<br /> <br /> Đơn<br /> giá<br /> Sản<br /> lượng<br /> Lượng<br /> cầu<br /> Lượng<br /> cung<br /> Thuế<br /> <br /> Y<br /> <br /> Thu<br /> nhập<br /> <br /> Export<br /> <br /> Ý<br /> nghĩa<br /> <br /> Tiếng Anh<br /> <br /> Price<br /> Quantity<br /> Quantity<br /> Demanded<br /> Quantity<br /> Supplied<br /> Tax<br /> Income<br /> <br /> 12<br /> <br /> 2<br /> <br /> 14/09/2018<br /> <br /> G  ( x, f ( x)) x  D : Đồ thị của hàm số f.<br /> <br /> II. Hàm số:<br /> 2.1. Định nghĩa:<br /> Một hàm số f xác định trên một tập hợp D   là<br /> một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x  D với một số<br /> thực y xác định duy nhất f : D  <br /> <br /> Chú ý: Hình chiếu của đồ thị lên trục hoành chính<br /> là TXĐ, hình chiếu của đồ thị lên trục tung là TGT.<br /> <br /> x  y  f ( x)<br /> <br /> D: tập xác định (TXĐ) của hàm số f.<br /> x: biến độc lập (biến số).<br /> y: biến phụ thuộc (hàm).<br /> f(x): giá trị của hàm số f tại x.<br /> f ( D )  { y   y  f ( x ), x  D}: Tập giá trị (TGT)<br /> của hàm số f.<br /> 13<br /> <br /> 14<br /> <br /> Ví dụ 2.1: Đồ thị dưới đây cho thấy mức tiêu thụ điện<br /> trong một ngày vào tháng 9 ở San Francisco (P được<br /> tính bằng MW, t được tính bằng giờ, bắt đầu vào lúc nửa<br /> đêm).<br /> a) Mức tiêu thụ điện<br /> vào lúc 6h sáng và<br /> 6h tối là bao nhiêu?<br /> b) Hãy cho biết tập<br /> xác định và tập giá<br /> trị của hàm số P(t).<br /> c) Mức tiêu thụ điện<br /> khi nào là thấp nhất?<br /> Cao nhất? Thời gian<br /> đó có hợp lý không?<br /> 15<br /> <br /> 16<br /> <br /> Biểu diễn hàm số dưới dạng bảng số liệu:<br /> Ví dụ 2.3: Một doanh nghiệp muốn biết lợi<br /> nhuận có quan hệ như thế nào với sản lượng<br /> nên lập bảng theo dõi và có được kết quả sau<br /> Sản lượng Q<br /> 1000<br /> (kg)<br /> Lợi nhuận<br /> 25<br /> (triệu đồng)<br /> <br /> 1.2. Các phương pháp biểu diễn hàm số:<br />  Biểu diễn hàm số bằng biểu thức:<br /> Ví dụ 2.2: Tổng chi phí sản xuất x đơn vị sản<br /> phẩm được cho bởi C ( x)  100 x x  500.<br /> Tìm chi phí sản xuất ra 100 đơn vị sản phẩm.<br /> <br /> 1100<br /> <br /> 1200<br /> <br /> 1300<br /> <br /> 1400<br /> <br /> 27<br /> <br /> 28<br /> <br /> 31<br /> <br /> 27<br /> <br /> Hàm số xác định từng khúc:<br /> Hàm số trong ví dụ sau được xác định bởi các<br /> công thức khác nhau trong từng khúc khác<br /> nhau của tập xác định của nó.<br /> <br /> a) Tìm lợi nhuận khi sản lượng là 1100kg.<br /> b) Tìm sản lượng sao cho lợi nhuận là 27 triệu đồng.<br /> 17<br /> <br /> 18<br /> <br /> 3<br /> <br /> 14/09/2018<br /> <br /> Ví dụ 2.4: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá<br /> 3ngàn/km nếu quãng đường chạy xe không quá 100<br /> km. Nếu quãng đường chạy xe vượt quá 100 km thì<br /> ngoài số tiền phải trả cho 100 km đầu còn phải trả<br /> thêm 1,5 ngàn/km. Gọi x là số km xe thuê đã chạy và<br /> C(x) là chi phí thuê xe.<br /> a) Viết hàm số C(x).<br /> b) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạy<br /> được 50km.<br /> c) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạy<br /> được 150km.<br /> d) Vẽ đồ thị hàm số C(x).<br /> <br /> III. Các hàm số cơ bản:<br /> 3.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản:<br /> Hàm hằng: y  C .<br /> <br /> Hàm lũy thừa: y  x (   ).<br /> x<br /> Hàm mũ: y  a (0  a  1).<br /> Hàm logarit: y  log a x (0  a  1).<br /> Hàm lượng giác:<br /> <br /> y  sin x, y  cos x, y  tan x, y  cot x.<br /> Hàm lượng giác ngược:<br /> <br /> y  arcsin x, y  arccos x, y  arctan x, y  arccot x<br /> 19<br /> <br /> Chú ý:<br />  sin(arcsin x )  x<br /> <br /> 20<br /> <br /> (1  x  1).<br /> <br /> arcsin(sin x)  x<br /> <br /> <br />  <br />  x  .<br /> <br /> 2<br />  2<br /> <br />  cos(arccos x)  x<br /> <br /> ( 1  x  1).<br /> <br /> arccos(cos x)  x<br />  tan(arctan x )  x<br /> <br /> (0  x   ).<br /> <br /> arctan(tan x )  x<br />  cot(arc cot x)  x<br /> <br /> ( x  ).<br /> <br />  <br />  x  .<br /> <br /> 2<br />  2<br /> <br /> ( x   ).<br /> <br /> arccot(cot x)  x<br /> <br /> (0  x   ).<br /> 21<br /> <br /> 3.3. Hàm hợp: Giả sử y=f(u) là hàm số của<br /> biến số u, đồng thời u=g(x) là hàm số của biến<br /> số x. Khi đó, y=f(u)=f(g(x)) là hàm số hợp của<br /> biến số x thông qua biến số trung gian u. Ký<br /> hiệu<br /> <br /> ( f  g )( x)  f  g ( x)  .<br /> Ví dụ 3.2: Cho hàm số<br /> <br /> f ( x)  x 2 , g ( x)  x  3.<br /> Tìm f  g và g  f .<br /> 23<br /> <br /> 3.2. Các hàm số sơ cấp: là những hàm số được tạo<br /> thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ,<br /> nhân, chia các hàm số sơ cấp cơ bản.<br /> Ví dụ 3.1: Trong kinh tế học, ta thường gặp các<br /> dạng hàm số sơ cấp sau<br /> Hàm đa thức (hàm nguyên):<br /> <br /> y  an x n  an1 x n1  ...  a0 .<br /> Hàm phân thức (hàm hữu tỷ):<br /> P( x)<br /> y<br /> Q( x )<br /> P(x) và Q(x) là các đa thức.<br /> 22<br /> <br /> 3.4. Hàm ngược: Cho hàm số y = f(x) có TXĐ là X<br /> và TGT là Y. Nếu với mỗi giá trị y0  Y chỉ tồn tại duy<br /> nhất một giá trị x 0  X sao cho f ( x0 )  y0 , nghĩa là<br /> pt f ( x )  y0 chỉ có 1 nghiệm trong tập X thì từ hệ<br /> thức y = f(x) ta có thể xác định được một hệ thức<br /> tính được x theo y, ký hiệu là x  f 1 ( y ).<br /> Khi đó hàm số x  f 1 ( y ), y  Y được gọi là hàm<br /> ngược của hàm số y  f ( x ), x  X .<br /> Ví dụ 3.3:<br /> a) Hàm số y  x  2 có hàm ngược là x  y  2.<br /> b) Hàm số y  x 2 không có hàm ngược.<br /> 24<br /> <br /> 4<br /> <br /> 14/09/2018<br /> <br /> Ví dụ 3.4: Lượng cầu D của một mặt hàng phụ thuộc<br /> vào giá P trên một đơn vị sản phẩm được cho bởi<br /> <br /> D<br /> <br /> 30<br /> 1<br /> <br /> .<br /> <br /> P3<br /> Nếu D = 10 thì P bằng bao nhiêu?<br /> <br /> 3.5. Một số hàm số một biến số trong kinh tế:<br /> Hàm sản xuất: Q  f (L ), Q: sản lượng, L: lao động.<br /> Hàm doanh thu: R  R(Q).<br /> Hàm chi phí: C  C (Q ).<br /> Hàm lợi nhuận:    (Q ).<br /> Hàm cung: Qs  S ( P ).<br /> Hàm cầu: QD  D ( P ).<br /> <br /> 25<br /> <br /> 26<br /> <br /> I. Định nghĩa về giới hạn của hàm số:<br /> Ví dụ 1.1: Xét hàm số f ( x)  x 2  x  2 khi các giá trị<br /> của x gần 2. Bảng dưới đây, cho thấy giá trị của hàm f(x)<br /> khi x tiến dần về 2 nhưng không bằng 2<br /> <br /> §2. Giới hạn của hàm số<br /> <br /> 27<br /> <br /> Định nghĩa 2.1. Cho hàm số f(x) xác định trên tập<br /> D và x0  D hoặc x0  D. Ta nói hàm số f(x) có<br /> giới hạn là L khi x  x0 ký hiệu là<br /> <br /> 28<br /> <br /> Ví dụ 1.2: Dự đoán giá trị của<br /> a ) lim<br /> <br /> x 1<br /> .<br /> x2  1<br /> <br /> b) lim<br /> <br /> <br /> <br /> x1<br /> <br /> lim f ( x )  L<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> Với điều kiện ta có thể làm cho các giá trị của f(x)<br /> gần L, và giữ chúng nằm gần đó, bằng cách lấy x đủ<br /> gần x0 nhưng không được bằng x0 .<br /> Ngoài ra, ta còn có thể ký hiệu<br /> f ( x)  L khi x  x0<br /> đọc là f(x) tiến dần về L khi x tiến dần về x0 .<br /> <br /> 29<br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> x8  x 4  x 4  2 .<br /> <br /> 30<br /> <br /> 5<br /> <br />