intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng Toán cao cấp C1 Đại học - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

1.218
lượt xem
191
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp C1 Đại học gồm 6 chương. Nội dung bài giảng trình bày về hàm số một biến số, phép tính vi phân hàm một biến số, phép tính tích phân hàm một biến số, hàm số nhiều biến số, phương trình vi phân, bài toán kinh tế – lý thuyết chuỗi.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp C1 Đại học - ĐH Công nghiệp TP.HCM

  1. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com TOÁN CAO C P C1 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2, 3) – NXB Giáo dục. Đ IH C 3. Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2 – ĐH Kinh tế TP. HCM. PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH 4. Lê Quang Hoàng Nhân – Toán cao cấp (Giải tích) S ti t: 45 – ĐH Kinh tế - Tài chính TP. HCM – NXB Thống kê. 5. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 3, 4) Chương 1. Hàm số một biến số Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số – NXBĐHQG TP.HCM. Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 6. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1, 2) Chương 4. Hàm số nhiều biến số – NXB Giáo dục. Chương 5. Phương trình vi phân Chương 6. Bài toán kinh tế – Lý thuyết chuỗi Biên so n: ThS. Đoàn Vương Nguyên ThS. Đoà Tài liệu tham khảo T i Slide bài gi ng Toán C1 Đ i h c t i Toá 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1–C1 dvntailieu.wordpress.com – ĐH Công nghiệp TP. HCM. Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s §1. Bổ túc về hàm số – Nếu f (x1 ) = f (x 2 ) ⇒ x1 = x 2 thì f là đơn ánh. §2. Giới hạn của hàm số §3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn – Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh. §4. Hàm số liên tục – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh. ……………………………. VD 1. §1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ a) Hàm số f : ℝ → ℝ thỏa y = f (x ) = 2x là đơn ánh. 1.1. Khái niệm cơ bản b) Hàm số f : ℝ → [0; +∞) thỏa f (x ) = x 2 là toàn ánh. 1.1.1. Định nghĩa hàm số • Cho X ,Y ⊂ ℝ khác rỗng. c) Hsố f : (0; +∞) → ℝ thỏa f (x ) = ln x là song ánh. Ánh xạ f : X → Y với x ֏ y = f (x ) là một hàm số. • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu: Khi đó: f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df . – Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X. – Miền giá trị (MGT) của f là: • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ nếu: { G = y = f (x ) x ∈ X . } f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df . Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s Nhận xét 1.1.3. Hàm số ngược – Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. – Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. • Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f, ký hiệu g = f −1 , nếu x = g(y ), ∀y ∈ G f . 1.1.2. Hàm số hợp • Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện Gg ⊂ D f . Nhận xét Khi đó, hàm số h(x ) = ( f g )(x ) = f [g(x )] được gọi là – Đồ thị hàm số y = f −1(x ) hàm số hợp của f và g. đối xứng với đồ thị của hàm số y = f (x ) qua Chú ý đường thẳng y = x . (f g )(x ) ≠ (g f )(x ). VD 2. Hàm số y = 2(x 2 + 1)2 − x 2 − 1 là hàm hợp của VD 3. Cho f (x ) = 2x thì f (x ) = 2x 2 − x và g(x ) = x 2 + 1 . f −1(x ) = log2 x , mọi x > 0. Toán cao c p C1 Đ i h c 1
  2. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s 1.2. Hàm số lượng giác ngược 1.2.2. Hàm số y = arccos x 1.2.1. Hàm số y = arcsin x • Hàm số y = cos x có hàm ngược trên [0; π] là  π π • Hàm số y = sin x có hàm ngược trên − ;  là f −1 : [−1; 1] → [0; π]  2 2  π π   x ֏ y = arccos x . f −1 : [−1; 1] → − ;   2 2 π   VD 5. arccos 0 = ; x ֏ y = arcsin x . 2 arccos(−1) = π ; VD 4. arcsin 0 = 0 ; 3 π −1 2π π arccos = ; arccos = . arcsin(−1) = − ; 2 6 2 3 2 Chú ý 3 π π arcsin = . arcsin x + arccos x = , ∀x ∈ [−1; 1]. 2 3 2 Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s 1.2.3. Hàm số y = arctan x 1.2.4. Hàm số y = arccot x  π π • Hàm số y = tan x có hàm ngược trên − ;  là   • Hàm số y = cot x có hàm ngược trên (0; π) là  π π  2 2    f : ℝ → − ;  −1    f −1 : ℝ → (0; π)  2 2   x ֏ y = arctan x . x ֏ y = arc cot x . π VD 6. arctan 0 = 0 ; VD 7. arc cot 0 = ; π 2 arctan(−1) = − ; 3π 4 arc cot(−1) = ; π 4 arctan 3 = . π 3 arc cot 3 = . 6 π π Quy ước. arctan (+∞) = , arctan (−∞) = − . Quy ước. arc cot(+∞) = 0, arc cot(−∞) = π. 2 2 Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → +∞ , 2.1. Các định nghĩa ký hiệu lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho trước ta tìm Định nghĩa 1 x →+∞ • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì f (x ) − L < ε . hạn là L (hữu hạn) khi x → x 0 ∈ [a ; b ], ký hiệu • Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho trước ta tìm được δ > 0 x →−∞ x →x 0 trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho sao cho khi 0 < x − x 0 < δ thì f (x ) − L < ε . khi x < N thì f (x ) − L < ε . Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng) • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới • Ta nói f(x) có giới hạn là +∞ khi x → x 0 , ký hiệu hạn là L (hữu hạn) khi x → x 0 ∈ [a ; b ], ký hiệu lim f (x ) = +∞ , nếu ∀ M > 0 lớn tùy ý cho trước ta lim f (x ) = L , nếu mọi dãy {xn} trong (a ; b ) \ {x 0 } mà x →x0 x →x 0 tìm được δ > 0 sao cho khi 0 < x − x 0 < δ thì x n → x 0 thì lim f (x n ) = L . f (x ) > M . n →∞ Toán cao c p C1 Đ i h c 2
  3. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s • Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = − ∞ , nếu ∀ M < 0 có trị 2.2. Tính chất x →x0 tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được δ > 0 sao cho Cho lim f (x ) = a và lim g (x ) = b . Khi đó: x →x 0 x →x 0 khi 0 < x − x 0 < δ thì f (x ) < M . 1) lim [C .f (x )] = C .a (C là hằng số). Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) x →x 0 • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x → x 0 2) lim [ f (x ) ± g (x )] = a ± b . x →x 0 với x > x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu hạn), ký hiệu lim f (x ) = L hoặc lim f (x ) = L . 3) lim [ f (x )g (x )] = ab ; x →x0 +0 x →x 0 x →x+ 0 • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x → x 0 f (x ) a 4) lim = , b ≠ 0; với x < x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu g (x ) x →x 0 b hạn), ký hiệu lim f (x ) = L hoặc lim f (x ) = L . 5) Nếu f (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) thì a ≤ b . x → x 0 −0 x →x− 0 6) Nếu f (x ) ≤ h (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) và Chú ý. lim f (x ) = L ⇔ lim− f (x ) = lim+ f (x ) = L . lim f (x ) = lim g (x ) = L thì lim h (x ) = L . x →x0 x →x x→x 0 0 x →x 0 x →x 0 x →x 0 Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s Định lý an x n + an −1x n −1 + ... + a0 • Nếu lim u(x ) = a > 0, lim v(x ) = b thì: 2) Xét L = lim , ta có: x →x 0 x →x 0 x →∞ b x m m + bm−1x m−1 + ... + b0 lim [u(x )]v (x ) = a b . an x →x 0 a) L = nếu n = m ; 2x bn  2x x −1 b) L = 0 nếu n < m ; VD 1. Tìm giới hạn L = lim      . c) L = ∞ nếu n > m . x →∞  x + 3    sin αx tan αx A. L = 9 ; B. L = 4 ; C. L = 1; D. L = 0 . 3) lim = lim = 1. αx → 0 α x αx → 0 αx 4) Số e: Các kết quả cần nhớ  x 1 1 1) lim = −∞, lim = +∞. 1 1 + 1  = lim (1 + x )x = e. lim   − + x →±∞   x  x →0 x →0 x x →0 x Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s 2x  3x   §3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN VD 2. Tìm giới hạn L = lim 1 +    .  x →∞   2x + 1  2 3.1. Đại lượng vô cùng bé 3 2 a) Định nghĩa A. L = ∞ ; B. L = e ; C. L = e ; D. L = 1. • Hàm số α(x ) được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) khi x → x 0 nếu lim α(x ) = 0 (x0 có thể là vô cùng). 1 x →x 0 VD 3. Tìm giới hạn L = lim 1 + tan x → 0+ ( 2 x ) 4x . A. L = ∞ ; B. L = 1; C. L = 4 e ; D. L = e . ( ) VD 1. α(x ) = tan3 sin 1 − x là VCB khi x → 1− ; 1 β(x ) = là VCB khi x → +∞ . ln2 x Toán cao c p C1 Đ i h c 3
  4. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s c) So sánh các VCB b) Tính chất của VCB • Định nghĩa 1) Nếu α(x ), β(x ) là các VCB khi x → x 0 thì α(x ) Cho α(x ), β(x ) là các VCB khi x → x 0 , lim = k. α(x ) ± β(x ) và α(x ).β(x ) là VCB khi x → x 0 . x →x 0 β(x ) Khi đó: 2) Nếu α(x ) là VCB và β(x ) bị chận trong lân cận x 0 – Nếu k = 0 , ta nói α(x ) là VCB cấp cao hơn β(x ), thì α(x ).β(x ) là VCB khi x → x 0 . ký hiệu α(x ) = 0(β(x )) . – Nếu k = ∞ , ta nói α(x ) là VCB cấp thấp hơn β(x ). 3) lim f (x ) = a ⇔ f (x ) = a + α(x ), trong đó α(x ) là x →x 0 – Nếu 0 ≠ k ≠ ∞ , ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB VCB khi x → x 0 . cùng cấp. – Đặc biệt, nếu k = 1, ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB tương đương, ký hiệu α(x ) ∼ β(x ) . Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s 2 VD 2 • 1 − cos x là VCB cùng cấp với x khi x → 0 vì: • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao x Cho α(x ), β(x ) là tổng các VCB khác cấp khi x → x 0 2 sin2 1 − cos x 2 = 1. lim = lim α(x ) 2 2 2 thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp x →0 x x →0 x  x →x 0 β(x ) 4      2 nhất của tử và mẫu. • sin 2 3(x − 1) ∼ 9(x − 1)2 khi x → 1 . x 3 − cos x + 1 VD 3. Tìm giới hạn L = lim . x →0 x4 + x2 • Tính chất của VCB tương đương khi x → x0 1) α(x ) ∼ β(x ) ⇔ α(x ) − β(x ) = 0(α(x )) = 0(β(x )). • Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0 2) Nếu α(x ) ∼ β(x ), β(x ) ∼ γ(x ) thì α(x ) ∼ γ(x ). 1) sin x ∼ x ; 2) tan x ∼ x ; 3) Nếu α1(x ) ∼ β1(x ), α 2(x ) ∼ β2(x ) thì 3) arcsin x ∼ x ; 4) arctan x ∼ x α1(x )α 2 (x ) ∼ β1(x )β2(x ). x2 5) 1 − cos x ∼ ; 6) e x − 1 ∼ x ; 4) Nếu α(x ) = 0(β(x )) thì α(x ) + β(x ) ∼ β(x ). 2 Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s x x2 x2 7) ln(1 + x ) ∼ x ; 8) 1 + x − 1 ∼ . n A. f (x ) ∼ ; B. f (x ) ∼ ; n 4 2 Chú ý. Nếu u(x ) là VCB khi x → 0 thì ta có thể thay x x bởi u(x ) trong 8 công thức trên. C. f (x ) ∼ ; D. f (x ) ∼ −3x 2 . ln(1 − 2x sin2 x ) 2 VD 4. Tính giới hạn L = lim . Chú ý x →0 sin x 2 . tan x Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho VD 5. Tính L = lim sin ( ) x + 1 − 1 + x 2 − 3 tan2 x . hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử hoặc mẫu của phân thức. x →0 sin x 3 + 2x e x + e −x − 2 (e x − 1) + (e −x − 1)  x = 2t − t 2 VD. lim = lim  x →0 x2 x →0 x2 VD 6. Cho hàm số y = f (x ) thỏa:  .  2 4 x + (−x ) y = t + 3t   = lim = 0 (Sai!). Khi x → 0 , chọn đáp án đúng? x →0 x2 Toán cao c p C1 Đ i h c 4
  5. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s 3.2. Đại lượng vô cùng lớn b) So sánh các VCL a) Định nghĩa • Định nghĩa • Hàm số f(x) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) f (x ) khi x → x 0 nếu lim f (x ) = ∞ (x0 có thể là vô cùng). Cho f (x ), g(x ) là các VCL khi x → x 0 , lim =k. x →x 0 x →x 0 g(x ) Khi đó: cos x + 1 – Nếu k = 0 , ta nói f (x ) là VCL cấp thấp hơn g(x ). VD 7. là VCL khi x → 0 ; 2x 3 − sin x x3 + x −1 – Nếu k = ∞ , ta nói f (x ) là VCL cấp cao hơn g(x ). là VCL khi x → +∞ . x 2 − cos 4x + 3 – Nếu 0 ≠ k ≠ ∞ , ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL cùng cấp. Nhận xét. Hàm số f (x ) là VCL khi x → x 0 thì – Đặc biệt, nếu k = 1, ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL 1 là VCB khi x → x 0 . tương đương. Ký hiệu f (x ) ∼ g(x ) . f (x ) Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s VD 8. • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho f(x) và g(x) là tổng các VCL khác cấp khi x → x 0 3 1 • là VCL khác cấp với khi x → 0 vì: f (x ) 3 3 x 2x + x thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất x →x 0 g(x ) 3 1  2x 3 + x x  lim  :   = 3 lim = 3 lim = ∞. của tử và mẫu. x →0    x 3 2x 3 + x   x →0 3 x →0 x 3 x VD 9. Tính các giới hạn: 3 • 2 x + x − 1 ∼ 2 x khi x → +∞ . 3 x 3 − cos x + 1 x 3 − 2x 2 + 1 A = lim ; B = lim . 3 x →∞ 3x + 2x x →+∞ 2 x 7 − sin2 x Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s §4. HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.2. Định lý • Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại 4.1. Định nghĩa x0 là hàm số liên tục tại x0. • Số x 0 ∈ Df được gọi là điểm cô lập của f (x ) nếu • Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó. • Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và ∃ε > 0 : ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) \ {x 0 } thì x ∉ D f . nhỏ nhất trên đoạn đó. 4.3. Hàm số liên tục một phía • Hàm số f (x ) liên tục tại x 0 nếu lim f (x ) = f (x 0 ). x →x 0 • Định nghĩa Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu • Hàm số f (x ) liên tục trên tập X nếu f (x ) liên tục tại lim f (x ) = f (x 0 ) ( lim f (x ) = f (x 0 )). mọi điểm x 0 ∈ X . − x →x 0 + x →x 0 Chú ý. Hàm f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ] thì có đồ thị là • Định lý Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó. lim f (x ) = lim f (x ) = f (x 0 ). Quy ước. Hàm f (x ) liên tục tại mọi điểm cô lập của nó. − x →x 0 + x →x 0 Toán cao c p C1 Đ i h c 5
  6. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s m t bi n s Chương 1. Hàm s m t bi n s  3 tan2 x + sin2 x  4.4. Phân loại điểm gián đoạn  , x >0 VD 1. Cho hàm số f (x ) =   2x . • Nếu hàm f (x ) không liên tục y   (C )  α, x ≤ 0 tại x 0 thì x 0 được gọi là   Giá trị của α để hàm số liên tục tại x = 0 là: điểm gián đoạn của f (x ). O x0 x 1 3 A. α = 0 ; B. α = ; C. α = 1; D. α = . • Nếu tồn tại các giới hạn: 2 2 − +  lim f (x ) = f (x 0 ), lim f (x ) = f (x 0 )   ln(cos x ) − x →x 0 + x →x 0  ,x ≠0 VD 2. Cho hàm số f (x ) =  arctan2 x + 2x 2 . nhưng − f (x 0 ), + và f (x 0 ) không đồng thời bằng f (x 0 )    2α − 3, x = 0   nhau thì ta nói x 0 là điểm gián đoạn loại một. Giá trị của α để hàm số liên tục tại x = 0 là: Ngược lại, x 0 là điểm gián đoạn loại hai. 17 17 3 3 A. α = ; B. α = − ; C. α = − ; D. α = . …………………………………………………………………………… 12 12 2 2 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé §1. Đạo hàm Nhận xét. Do ∆x = x − x 0 nên: §2. Vi phân f (x ) − f (x 0 ) §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị f ′(x 0 ) = lim . §4. Quy tắc L’Hospital x →x 0 x − x0 ……………………………………………………… §1. ĐẠO HÀM b) Đạo hàm một phía 1.1. Các định nghĩa Cho hàm số y = f (x ) xác định trong lân cận phải a) Định nghĩa đạo hàm f (x ) − f (x 0 ) (x 0 ; b ) của x 0 . Giới hạn lim (nếu có) Cho hàm số y = f (x ) xác định trong lân cận (a ; b) của + x →x 0 x − x0 x 0 ∈ (a ; b ). Giới hạn: được gọi là đạo hàm bên phải của y = f (x ) tại x 0 . ∆y f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) + − lim = lim Ký hiệu là f ′(x 0 ). Tương tự, f ′(x 0 ). ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x (nếu có) được gọi là đạo hàm của y = f (x ) tại x 0 . Nhận xét. Hàm số f (x ) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi − + Ký hiệu là f ′(x 0 ) hay y ′(x 0 ). f ′(x 0 ) = f ′(x 0 ) = f ′(x 0 ). Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé c) Đạo hàm vô cùng 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm ∆y • Nếu tỉ số → ∞ khi ∆x → 0 thì ta nói y = f (x ) có 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: ∆x (u ± v )′ = u ′ ± v ′ ; (uv )′ = u ′v + uv ′ ; đạo hàm vô cùng tại x 0 . k ′  u ′ u ′v − uv ′ • Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng   = −kv ′ , k ∈ ℝ ;      =   . một phía.   v  v 2 v     v2 VD 1. Cho f (x ) = 3 x ⇒ f ′(0) = ∞, 2) Đạo hàm của hàm số hợp f (x ) = y[u(x )]: f (x ) = x ⇒ f ′(0+ ) = +∞ . f ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ) hay y ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ). Chú ý 3) Đạo hàm hàm số ngược của y = y(x ): Nếu f (x ) liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x 0 thì tiếp 1 x ′(y ) = . tuyến tại x 0 của đồ thị y = f (x ) song song với trục Oy . y ′(x ) Toán cao c p C1 Đ i h c 6
  7. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé ′ Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp ( ) 7) e x = ex ; ( )′ = a .ln a ; 8) a x x ( )′ = α.x 1) x α α−1 ; 2) ( x )′ = 2 1x ; ( 9) ln x )′ = x ; 1 ( 10) loga x )′ = x .ln a ; 1 3) (sin x )′ = cos x ; 4) (cos x )′ = − sin x ; −1 11) (arcsin x )′ = 12)(arccos x )′ = 1 ; ; 1− x2 1 − x2 5) (tan x )′ = 6) (cot x )′ = − 1 1 ; 2 cos x sin2 x −1 13) (arctan x )′ = 14) (arc cot x )′ = 1 = 1 + tan2 x ; ; . 1 + x2 1 + x2 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số 1.4. Đạo hàm cấp cao • Cho hàm số y = f (x ) có phương trình dạng tham số • Giả sử f (x ) có đạo hàm f ′(x ) và f ′(x ) có đạo hàm thì x = x (t ), y = y(t ). Giả sử x = x (t ) có hàm số ngược ( f ′(x ))′ = f ′′(x ) là đạo hàm cấp hai của f (x ). và hàm số ngược này có đạo hàm thì: • Tương tự ta có: y ′(t ) y′ ′ y ′(x ) = x ′(t ) ′ hay yx = t . x t′ ( ) f (n )(x ) = f (n −1)(x ) là đạo hàm cấp n của f (x ).  x = 2t 2 − 1  VD 2. Tính y ′(x ) của hàm số cho bởi  , t ≠ 0. VD 4. Cho hàm số f (x ) = sin 2 x . Tính đạo hàm f (6)(0). y = 4t 3    A. f (6)(0) = 32 ; B. f (6)(0) = −32 ; x = et   C. f (6)(0) = −16 ; D. f (6)(0) = 0 . ′ VD 3. Tính yx (1) của hàm số cho bởi  .  2 y = t − 2t   Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé (n ) n +1 VD 5. Tính f (x ) của hàm số f (x ) = (1 − x ) . 1.5. Đạo hàm của hàm số ẩn • Cho phương trình F (x , y ) = 0 (*). Nếu y = y(x ) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao cho khi thế y(x ) vào (*) ta được đồng nhất thức thì 1 y(x ) được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*). VD 6. Tính y(n ) của hàm số y = . 2 x − 3x − 4 • Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được Fx′ + Fy′.yx = 0 . ′ Fx′ ′ Vậy yx = − , F ′ ≠ 0. Fy′ y VD 7. Tính đạo hàm f (n )(x ) của hàm số f (x ) = sin x . y ′(x ) = yx được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn y(x ). ′ Toán cao c p C1 Đ i h c 7
  8. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé VD 8. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi xy − e x + e y = 0 . §2. VI PHÂN Tính y ′(x ). 2.1. Vi phân cấp một VD 9. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: • Hàm số y = f (x ) được gọi là khả vi tại x 0 ∈ D f nếu xy − e x + ln y = 0 (*). Tính y ′(0). ∆f (x 0 ) = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) có thể biểu diễn dưới dạng: ∆f (x 0 ) = A.∆x + 0(∆x ) VD 10. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: với A là hằng số và 0(∆x ) là VCB khi ∆x → 0 . y ln x 2 + y 2 = arctan . Tính y ′(x ). Khi đó, đại lượng A.∆x được gọi là vi phân của hàm số x Chú ý y = f (x ) tại x0. Ký hiệu df (x 0 ) hay dy(x 0 ). Ta có thể xem hàm ẩn y(x ) như hàm hợp u(x ) và thực hiện đạo hàm như hàm số hợp. Nhận xét ∆f (x 0 ) 0(∆x ) VD 11. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: • ∆f (x 0 ) = A.∆x + 0(∆x )⇒ =A+ ∆x ∆x y 3 − (x 2 − 2)y − 2x 4 = 0 (*). Tính y ′′(1). Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé ∆f (x 0 ) 2.2. Vi phân cấp cao ⇒   →0  A ⇒ f ′(x 0 ) = A . ∆x  → ∆x • Giả sử y = f (x ) có đạo hàm đến cấp n thì ⇒ df (x 0 ) = f ′(x 0 ).∆x hay df (x ) = f ′(x ).∆x . d n y = d (d n −1y ) = y (n )dx n • Chọn f (x ) = x ⇒ df (x ) = ∆x ⇒ dx = ∆x . được gọi là vi phân cấp n của hàm y = f (x ). Vậy df (x ) = f ′(x )dx hay dy = y ′dx . VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số y = ln(sin x ). VD 1. Tính vi phân cấp 1 của f (x ) = x 2e 3x tại x 0 = −1. VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số y = e 2x . VD 2. Tính vi phân cấp 1 của y = arctan(x 2 + 1) . π VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số y = 2ln(arcsin x ) . VD 6. Tính vi phân cấp 3 của f (x ) = tan x tại x 0 = . 4 Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chú ý §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ d n y = y (n )dx n không còn đúng nữa. 3.1. Các định lý 3.1.1. Bổ đề Fermat Quy tắc tính vi phân cấp n Cho hàm số f (x ) xác định trong (a;b ) và có đạo hàm tại x 0 ∈ (a ;b ). Nếu f (x ) đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) 1) d n (k .u ) = k .d nu ; d n (u + v ) = d nu + d nv ; tại x 0 trong (a ;b) thì f ′(x 0 ) = 0 . n 2) d n (uv ) = ∑C nd n−k u.d kv với d 0u = u, d 0v = v . k 3.1.2. Định lý Rolle k =0 Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a ;b ] và khả vi trong VD 7. Tính vi phân cấp 10 của hàm số y = (x − x )e . 3 x (a;b ). Nếu f (a ) = f (b ) thì ∃c ∈ (a;b ) sao cho f ′(c ) = 0 . Toán cao c p C1 Đ i h c 8
  9. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 3.1.3. Định lý Cauchy 3.2. Cực trị của hàm số • Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục trong [a ;b ], khả vi trong (a ;b) và g ′(x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a;b ). 3.2.1. Hàm số đơn điệu a) Định nghĩa Khi đó, ∃c ∈ (a;b ) sao cho: Cho hàm số f (x ) liên tục trong trong (a;b ). f (b ) − f (a ) f ′(c ) Khi đó: = . g (b ) − g (a ) g ′(c ) • f (x ) được gọi là tăng ngặt trong (a;b) nếu f (x1 ) − f (x 2 ) 3.1.4. Định lý Lagrange > 0 , ∀x1, x 2 ∈ (a ;b) và x1 ≠ x 2 . x1 − x 2 • Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a;b ], khả vi trong • f (x ) được gọi là giảm ngặt trong (a;b ) nếu (a;b ). Khi đó, ∃c ∈ (a;b ) sao cho: f (x1 ) − f (x 2 ) f (b ) − f (a ) < 0 , ∀x1, x 2 ∈ (a;b) và x1 ≠ x 2 . = f ′(c ). x1 − x 2 b −a Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé • f (x ) được gọi là tăng hay giảm không ngặt trong (a;b) b) Định lý 1 Cho hàm số f (x ) khả vi trong trong (a ;b ). Khi đó: f (x1 ) − f (x 2 ) f (x1 ) − f (x 2 ) nếu ≥ 0 hay ≤ 0, • Nếu f ′(x ) > 0, ∀x ∈ (a ;b ) thì f (x ) tăng ngặt trong (a ;b ). x1 − x 2 x1 − x 2 • Nếu f ′(x ) < 0, ∀x ∈ (a;b ) thì f (x ) giảm ngặt trong (a ;b). ∀x1, x 2 ∈ (a;b ) và x1 ≠ x 2 . • Nếu f ′(x ) ≥ 0, ∀x ∈ (a ;b ) hay f ′(x ) ≤ 0, ∀x ∈ (a;b ) thì f (x ) tăng không ngặt hay giảm không ngặt trong (a ;b ). • f (x ) được gọi là đơn điệu trong (a;b ) nếu f (x ) tăng ngặt hay giảm ngặt trong (a;b ). c) Định lý 2 • Nếu f (x ) tăng ngặt trong (a ;b ) thì f ′(x ) ≥ 0 trong (a ;b) • f (x ) đơn điệu trong (a;b ) và liên tục trong (a;b ] thì và không tồn tại (α; β) ⊂ (a;b ) sao cho f (x ) ≡ 0 . f (x ) đơn điệu trong (a;b ] (trường hợp khác tương tự). • Nếu f (x ) giảm ngặt trong (a;b ) thì f ′(x ) ≤ 0 trong (a ;b ) và không tồn tại (α; β) ⊂ (a ;b ) sao cho f (x ) ≡ 0 . Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 2 3.2.2. Cực trị VD 1. Tìm các khoảng đơn điệu của y = ln(x + 1). a) Định nghĩa • Nếu f (x ) liên tục trong (a;b) chứa x 0 và f (x 0 ) < f (x ), x2 + 1 ∀x ∈ (a ;b ) \ {x 0 } thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 . VD 2. Tìm các khoảng đơn điệu của f (x ) = . • Nếu f (x ) liên tục trong (a;b) chứa x 0 và f (x 0 ) > f (x ), (x − 1)2 ∀x ∈ (a ;b ) \ {x 0 } thì f (x ) đạt cực đại tại x 0 . 1 b) Định lý VD 3. Tìm các khoảng đơn điệu của y = . 2 x − 2x Cho f (x ) có đạo hàm đến cấp 2n trong (a ;b) chứa x 0 thỏa f ′(x 0 ) = ... = f (2n −1)(x 0 ) = 0 và f (2n )(x 0 ) ≠ 0 . • Nếu f (2n )(x 0 ) > 0 thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 . x 3 −4 VD 4. Tìm các khoảng đơn điệu của y = e . • Nếu f (2n )(x 0 ) < 0 thì f (x ) đạt cực đại tại x 0 . Toán cao c p C1 Đ i h c 9
  10. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé VD 5. Tìm cực trị của hàm số f (x ) = −x 6 − 2x 3 + 3 . • Nếu M = max f (x ) và m = min f (x ) thì: x ∈X x ∈X 3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X . a) Định nghĩa b) Phương pháp tìm max – min Cho hàm số y = f (x ) có MXĐ D và X ⊂ D . Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] • Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f (x ) trên X nếu: Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ]. ∃x 0 ∈ X : f (x 0 ) = M và f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X . Để tìm max f (x ) và min f (x ), ta thực hiện các bước sau: x ∈[a ;b ] x ∈[a ;b ] Ký hiệu là: M = max f (x ). x ∈X • Bước 1. Giải phương trình f ′(x ) = 0 . Giả sử có n • Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f (x ) trên X nếu: nghiệm x 1,..., x n ∈ [a; b ] (loại các nghiệm ngoài [a; b ]). ∃x 0 ∈ X : f (x 0 ) = m và f (x ) ≥ m, ∀x ∈ X . • Bước 2. Tính f (a ), f (x 1 ),..., f (x n ), f (b). Ký hiệu là: m = min f (x ). x ∈X • Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã Chú ý tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm. • Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X ⊂ D . Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) 3 Cho hàm y = f (x ) liên tục trên (a; b) (a, b có thể là ∞ ). f (x ) = x 4 − x 2 − x + 3 trên đoạn [0; 2]. 2 Để tìm max f (x ) và min f (x ), ta thực hiện các bước: Chú ý x ∈(a ;b ) x ∈(a ;b ) • Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b ] thì ta phải tìm MXĐ • Bước 1. Giải phương trình f ′(x ) = 0 . Giả sử có n của hàm số trước khi làm bước 1. nghiệm x 1,..., x n ∈ [a; b ] (loại các nghiệm ngoài [a; b ]). • Có thể đổi biến số t = t (x ) và viết y = f (x ) = g(t (x )). Gọi T là miền giá trị của hàm t (x ) thì: • Bước 2. Tính f (x 1 ),..., f (x n ) và hai giới hạn max f (x ) = max g(t ), min f (x ) = min g(t ). L1 = lim f (x ), L2 = lim f (x ). + − x ∈X t ∈T x ∈X t ∈T x →a x →b • Bước 3. Kết luận: VD 7. Tìm max, min của f (x ) = −x 2 + 5x + 6 . 1) Nếu max{f (x 1 ),..., f (x n )} > max{L1, L2 } thì sin x + 1 VD 8. Tìm max, min của y = . max f = max{f (x 1 ),..., f (x n )}. sin2 x + sin x + 1 x ∈(a ;b ) Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 2) Nếu min{f (x 1 ),..., f (x n )} < min{L1, L2 } thì 3.3. Khoảng lồi, lõm của đồ thị – điểm uốn min f = min{f (x 1 ),..., f (x n )} . a) Định nghĩa x ∈(a ;b ) 3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) thì hàm số không đạt • Hàm số f (x ) được gọi là hàm lồi trong (a; b ) nếu f ′(x ) max (hoặc min). tăng trong (a; b). Khi đó, đồ thị y = f (x ) được gọi là VD 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đồ thị lõm trong (a; b ). x3 f (x ) = 2 trên khoảng (1; +∞). • Hàm số f (x ) được gọi là hàm lõm trong (a; b) nếu x −1 f ′(x ) giảm trong (a; b). Khi đó, đồ thị y = f (x ) được Chú ý Ta có thể lập bảng biến thiên của f (x ) thay cho bước 3. gọi là đồ thị lồi trong (a; b). VD 10. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình • Điểm M 0 (x 0 ; y0 ) trên đồ thị nằm giữa phần lõm và lồi sau có nghiệm: m ( ) x 2 + 2 − 1 − x = 0. được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f (x ). Toán cao c p C1 Đ i h c 10
  11. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé VD 11. Hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1 VD 12. Xác định tính lồi, lõm của hàm số: lõm và có đồ thị lồi trong (−∞; 1); y = x 2 − 8 ln x . 3 2 hàm y = x − 3x + 1 lồi và có đồ thị lõm trong (1; +∞). M (1; 1) là điểm uốn của đồ thị. VD 13. Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số: b) Định lý y = arccos x . • Nếu f ′′(x ) > 0 (hay f ′′(x ) < 0 ) với mọi x ∈ (a; b) thì đồ thị hàm số y = f (x ) lõm (hay lồi) trong (a; b). • Nếu f ′′(x 0 ) = 0 và f ′′(x ) đổi dấu khi x chuyển từ trái VD 14. Xác định tính lồi, lõm của hàm số y = arctan 2x sang phải qua điểm x 0 thì M 0 (x 0 ; y0 ) là điểm uốn của và đồ thị của hàm số y = arctan 2x . đồ thị hàm số y = f (x ). Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé 3.4. Tiệm cận của đồ thị VD 15. Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số: • Tiệm cận đứng ln(1 − x 2 ) Đường cong y = f (x ) có tiệm cận đứng x = x 0 nếu y= . x3 lim f (x ) = ∞. x →x 0 VD 16. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: • Tiệm cận xiên y = 3 x 2(x − 1) . Đường cong y = f (x ) có tiệm cận xiên y = ax + b nếu f (x ) lim = a, lim  f (x ) − ax  = b. VD 17. Tìm tiệm cận xiên (ngang) của đồ thị hàm số: x →∞ x x →∞ y = x + x 2 − 4x + 5 . Chú ý Khi a = 0 thì đồ thị có tiệm cận ngang y = b . ……………………………………………………………. Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s Phé §4. QUY TẮC L’HOSPITAL x 2 − sin2 x VD 2. Tìm giới hạn L = lim . Định lý (quy tắc L’Hospital) x 2 .arctan2 x x →0 Cho hai hàm số f (x ), g(x ) khả vi trong lân cận của điểm 1 1 A. L = 0 ; B. L = ∞ ; C. L = ; D. L = . x 0 và g ′(x ) ≠ 0 trong lân cận của x 0 (có thể g ′(x 0 ) = 0 ). 2 3 Nếu lim f (x ) = lim g(x ) = 0 (hoặc ∞ ) và x →x 0 x →x 0 ( ) VD 3. Tìm giới hạn L = lim x 3 ln x (dạng 0 ×∞ ). x → 0+ f ′(x ) f (x ) lim = k ∈ ℝ thì lim = k.  1 x →x 0 g ′(x ) x →x 0 g (x ) VD 4. Tính L = lim cot x −  (dạng ∞ − ∞ ).    x →0    x Chú ý 1 Chiều ngược lại trong định lý là không đúng. Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần. VD 5. Tìm giới hạn L = lim x x −1 (dạng 1∞ ). x →1 e x + e −x − 2 1 VD 1. Tìm giới hạn L = lim . VD 6. Tìm giới hạn L = lim (x + 3x )x (dạng ∞0 ). x →0 x2 x →+∞ Toán cao c p C1 Đ i h c 11
  12. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé §1. Tích phân bất định Tính chất §2. Tích phân xác định §3. Ứng dụng của tích phân xác định 1) ∫ k .f (x )dx = k ∫ f (x )dx , k ∈ ℝ §4. Tích phân suy rộng ………………………… 2) ∫ f ′(x )dx = f (x ) + C §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH d dx ∫ 3) f (x )dx = f (x ) 1.1. Định nghĩa • Hàm số F (x ) được gọi là một nguyên hàm của f (x ) trên 4) ∫ [ f (x ) + g(x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ g(x )dx . khoảng (a; b ) nếu F ′(x ) = f (x ), ∀x ∈ (a ; b ). MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ Ký hiệu ∫ f (x )dx (đọc là tích phân). Nhận xét 1) ∫ a.dx = ax + C , a ∈ ℝ • Nếu F (x ) là nguyên hàm của f (x ) thì F (x ) + C cũng là α x α+1 nguyên hàm của f (x ). 2) ∫x dx = α +1 + C , α ≠ −1 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé dx dx x −a 3) ∫ x = ln x + C ; 4) ∫ x = 2 x +C 13) dx ∫ x 2 −a2 = 1 ln +C 2a x + a ax 5) ∫ e xdx = e x + C ; 6) ∫ a xdx = +C dx x ln a 14) ∫ sin x = ln tan + C 2 7) ∫ cos xdx = sin x + C ; 8) ∫ sin xdx = − cos x + C dx dx dx x π 9) ∫ = tan x + C ; 10) ∫ = − cot x + C 15) ∫ = ln tan  +  + C   2 cos x sin x 2 cos x 2 4    dx 1 x 11) ∫ = arctan + C x 2 + a2 a a 16) ∫ dx = ln x + x 2 + a + C 2 dx x x +a 12) ∫ = arcsin + C , a > 0 a a2 − x 2 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé dx 1.2. Phương pháp đổi biến VD 1. Tính I = 4 − x2 ∫ . a) Định lý 1 2+x 1 2−x Nếu ∫ f (x )dx = F (x ) + C với ϕ(t ) khả vi thì: A. I = ln +C ; B. I = ln +C ; 2−x 4 2+x 4 ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt = F (ϕ(t )) + C . 1 x −2 1 x +2 C. I = ln +C ; D. I = ln +C . dx 2 x +2 2 x −2 VD 3. Tính I = ∫ . x 3 − ln 2 x dx dx VD 4. Tính I = ∫ x (x 3 + 3) . VD 2. Tính I = ∫ x2 − x − 6 . cot x VD 5. Tính I = ∫ 2 sin 4 x + 3 dx . Toán cao c p C1 Đ i h c 12
  13. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé tan x  π  2   dx , x ∈ 0; .  1 1 VD 6. Tính I = ∫   2     = ∫   2x + 1   +  dx = ln 2x + 1 −  2 (2x + 1)   2(2x + 1) +C . cos x cos2 x + 1 b) Một số dạng tích phân hữu tỉ (tham khảo) αx + β αx + β Dạng 2: I = ∫ ax 2 + bx + c dx, a ≠ 0, ∆ > 0. Dạng 1: I = ∫ dx, a ≠ 0.  p (ax + b )2 1  q   a∫ Cách giải. Biến đổi I =   x − x + x − x dx ,       1 2   p q  Cách giải. Biến đổi I = ∫ ax + b + (ax + b)2 dx .        (x 1, x 2 là nghiệm của mẫu thức). 3x + 2 1 3x + 2 4x + 3 2(2x + 1) + 1 VD 8. ∫ dx = 2∫   dx VD 7. ∫ 4x 2 + 4x + 1 dx = ∫ (2x + 1)2 dx 2 2x + 3x − 5 x + 5  (x − 1)      2 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé 3x + 2 5 1 1  2x − 1 2 = ∫ (x − 1)(2x + 5) dx = ∫  .   11 + . dx    = ∫ (2x − 1)2 + 4 dx + ∫ (2x − 1)2 + 4 dx . 7 x − 1 7 2x + 5  5 11 I1 I2 = ln x − 1 + ln 2x + 5 + C . 7 14 2 1 d[(2x − 1) + 4] 1 4 ∫ (2x − 1)2 + 4 • I1 = = ln[(2x − 1)2 + 4] + C . αx + β 4 Dạng 3: I = ∫ ax 2 + bx + c dx, a ≠ 0, ∆ < 0.  2x − 1  d    1   2   1  2x − 1   • I2 = ∫ = arctan   +C .   X p    2  Cách giải. Biến đổi I = ∫  X 2 + γ + X 2 + γ dx .       2 1+  2x − 1   2 2         2  2x + 1 (2x − 1) + 2  2x − 1 VD 9. I = ∫ 2 4x − 4x + 5 dx = ∫ (2x − 1)2 + 4 dx 1 ( 1 Vậy I = ln 4x 2 − 4x + 5 + arctan   )  +C .   4 2   2   Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé  1  Dạng 4. Tích phân hàm hữu tỉ bậc cao 1 1  = 1 + ln x − 1 + C . Cách giải. Biến đổi hàm dưới dấu tích phân về các Vậy I = ∫ − x    2 − +  dx   x x − 1 x x phân thức tối giản. x 2 + 4x + 4 VD 10. Tính I = ∫ 2 dx . VD 11. Tính I = ∫ x (x − 1)2 dx . x (x − 1) x 2 + 4x + 4 A B C Giải. Ta có: = + + . 1 A B C x (x − 1)2 x x − 1 (x − 1)2 Giải. Ta có: = + + x 2 (x − 1) x 2 x x −1 Đồng nhất các hệ số, ta được: A = 4, B = −3, C = 9 . (B + C )x 2 + (A − B )x − A = . dx dx dx x 2 (x − 1) Vậy I = 4 ∫ − 3∫ + 9∫ x x −1 (x − 1)2 Đồng nhất các hệ số, ta được: 9 A = −1, B = −1, C = 1. = 4 ln x − 3 ln x − 1 − +C . x −1 Toán cao c p C1 Đ i h c 13
  14. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé  x2 − 3  c) Tích phân hàm lượng giác  VD 12. Tính I = ∫  3 dx .   x − 7x + 6      I = ∫ R(sin x , cos x )dx . Cách giải x −3 2 x2 − 3 • Nếu R(− sin x , cos x ) = −R(sin x , cos x ) (nghĩa là bậc Giải. Ta có: 3 = x − 7x + 6 (x − 1)(x − 2)(x + 3) của sin lẻ) thì ta đặt t = cos x . A B C • Nếu R(sin x , − cos x ) = −R(sin x , cos x ) (nghĩa là bậc = + + . x −1 x − 2 x + 3 của cosin lẻ) thì ta đặt t = sin x . 1 1 3 • Nếu R(− sin x , − cos x ) = R(sin x , cos x ) (nghĩa là bậc Đồng nhất các hệ số, ta được: A = , B = , C = . 2 5 10 của sin và cosin chẵn) thì ta đặt t = tan x hoặc hạ bậc. 1 dx 1 dx 3 dx 1 Vậy I = ∫ 2 x − 1 5 ∫ x − 2 10 ∫ x + 3 + + • Nếu R(sin x , cos x ) = thì ta đặt: a sin x + b cos x + c 1 1 3 x 2t 1 − t2 = ln x − 1 + ln x − 2 + ln x + 3 + C . t = tan ⇒ sin x = , cos x = . 2 5 10 2 1 + t2 1 + t2 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé VD 13. Tính I = ∫ sin 3 2 2x cos x dx . VD 16. Tính I = ∫ x ln x dx . dx x VD 14. Tính I = ∫ 2 sin x + sin 2x − cos x 2 . VD 17. Tính I = ∫ 2x dx . dx VD 15. Tính I = ∫ 4 sin x + 3 cos x + 5 . Chú ý Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước khi lấy từng phần. 1.3. Phương pháp tích phân từng phần ∫ cos 3 a) Công thức VD 18. Tính I = x e sin x dx . ∫ u(x )v ′(x )dx = u(x )v(x ) − ∫ u ′(x )v(x )dx ∫ cos 3 VD 19. Tính I = hay ∫ udv = uv − ∫ vdu. x dx . Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé §2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VD 20. Tính I = ∫ cos(ln x )dx . 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số f (x ) xác định trên [a; b ]. b) Các dạng tích phân từng phần thường gặp Ta chia đoạn [a; b ] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia αx x 0 = a < x1 < ... < xn −1 < xn = b . • Đối với dạng tích phân ∫ P(x )e dx , P (x ) là đa thức, Lấy điểm ξk ∈ [x k −1; x k ] tùy ý (k = 1, n ). thì ta đặt: n αx Lập tổng tích phân: σ = ∑ f (ξk )(x k − x k −1 ). u = P (x ), dv = e dx . k =1 α Giới hạn hữu hạn (nếu có) I = lim σ được gọi • Đối với dạng tích phân ∫ P(x )ln x dx , max(x k −x k −1 )→ 0 k P (x ) là đa thức, thì ta đặt: là tích phân xác định của f (x ) trên đoạn [a ; b ]. b α u = ln x , dv = P (x )dx . Ký hiệu là I = ∫ f (x )dx . a Toán cao c p C1 Đ i h c 14
  15. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Tính chất b b b b 6) f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a ; b ] ⇒ ∫ f (x )dx ≤ ∫ g(x )dx 1) ∫ k .f (x )dx = k ∫ f (x )dx , k ∈ ℝ a a a a b b b b b 7) a < b ⇒ ∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dx 2) ∫ [ f (x ) ± g (x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g (x )dx a a a a a a b a 8) m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a; b ] 3) ∫ f (x )dx = 0; ∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx b a a b ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) b c b ∫ ∫ ∫ a 4) f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx , c ∈ [a ; b ] 9) Nếu f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ] thì a a c b b ∃c ∈ [a; b ] : ∫ f (x )dx = f (c )(b − a ). 5) f (x ) ≥ 0, ∀ x ∈ [a ; b ] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ 0 a a Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé 1 b 2.2. Công thức Newton – Leibnitz Khi đó, đại lượng f (c ) = b −a ∫ f (x )dx được gọi là a) Tích phân với cận trên thay đổi (tham khảo) a Cho hàm f (x ) khả tích trên [a; b ], với mỗi x ∈ [a; b ] thì giá trị trung bình của f (x ) trên đoạn [a; b]. x 1 dx hàm số ϕ(x ) = ∫ f (t )dt liên tục tại mọi x 0 ∈ [a; b ] VD 1. Tích phân ∫ x 2 + cos2 x bị chặn (hữu hạn) vì a 0 và ϕ′(x ) = f (x ). x 1 t2 hàm số f (x ) = x + cos 2 x 2 liên tục trên đoạn [0; 1]. VD 3. Xét ϕ(x ) = ∫e dt, x > 0 . 0 1 2 2 VD 2. Giá trị trung bình của hàm số f (x ) = trên [1; e ] Ta có: f (t ) = et và ϕ ′(x ) = f (x ) = e x . x x2 e 1 dx 1 ∫t ln tdt, x > 0 . Tìm ϕ ′(x ). 3 VD 4. Cho ϕ(x ) = e −1 ∫ x là = . 1 e −1 1 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé b) Công thức Newton – Leibnitz 3) f (x ) liên tục và chẵn trên [−α; α ] thì: Nếu f (x ) liên tục trên [a ; b ] và F (x ) là một nguyên hàm α α x tùy ý của f (x ) thì ϕ(x ) = ∫ f (t )dt và F (x ) = ϕ(x )+C ∫ f (x )dx = 2∫ f (x )dx . −α 0 a b là nguyên hàm của f (x ) trên [a; b ]. b 4) Để tính ∫ f (x ) dx ta dùng bảng xét dấu của f (x ) để b a Vậy ta có: ∫ f (x )dx = F (x ) a = F (b) − F (a ). tách f (x ) thành tổng của các hàm trên mỗi đoạn nhỏ. a Nhận xét Đặc biệt 1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1. b b α ∫ f (x ) dx = ∫ f (x )dx nếu f (x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a ;b ). 2) f (x ) liên tục và lẻ trên [−α; α ] thì ∫ f (x )dx = 0 . a a −α Toán cao c p C1 Đ i h c 15
  16. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé 3 dx §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VD 5. Tính I = ∫ x 2 − 2x + 5 . 3.1. Tính diện tích S của hình phẳng 1 a) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng quát e (x 2 + 1)ln x VD 6. Tính I = ∫ x dx . 1 1 S S VD 7. Tính I = ∫ x 2 + 1. sin 3 x dx . −1 3 b d 3 VD 8. Tính I = ∫ x − 4 x dx . S = ∫  f2 (x ) − f1 (x ) dx S = ∫ g 2 (y ) − g1 (y ) dy −3 a c Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = x 2 và y = x 4 . các đường y = e x − 1, y = e 2x − 3 và x = 0. 1 2 1 ln 4 − 1 1 − ln 2 1 A. S = ; B. S = A. ln 4 − ; B. ; C. ; D. ln 2 − 15 15 2 2 2 2 4 8 C. S = ; D. S = . b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số 15 15 Hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình x = x (t ), y = y(t ) với t ∈ [α; β] thì: β S = ∫ y(t ).x ′(t ) dt . VD 2. Tính diện tích hình phẳng S α giới hạn bởi x = y 2 và y = x − 2 . x2 y2 VD 4. Tính diện tích hình elip S : + ≤ 1. a2 b2 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé 3.2. Tính độ dài l của đường cong b) Đường cong có phương trình tham số a) Đường cong có phương trình tổng quát Cho cung AB có phương trình tham số x = x (t )  Cho cung AB có phương trình y = f (x ), x ∈ [a ; b ] thì:  , t ∈ [α; β] thì:  y = y(t )  b  l =∫ 1 + [ f ′(x )]2 dx . β AB a l = ∫ [x ′(t )]2 + [y ′(t )]2 dt . AB α 2 x VD 6. Tính độ dài cung C có phương trình: VD 5. Tính độ dài cung parabol y = từ gốc tọa độ 2     x = t 2 + 1  O(0; 0) đến điểm M 1; 1 .  , t ∈ 0; 1 .      2 y = ln t + t 2 + 1              Toán cao c p C1 Đ i h c 16
  17. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé 3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay b) Vật thể quay quanh Oy a) Vật thể quay quanh Ox Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi x = g(y ), x = 0 , y = c và y = d quay quanh Oy là: y = f (x ), y = 0 , x = a , x = b quay quanh Ox là: d b V = π ∫ [g(y )]2dy. V = π∫ [ f (x )]2 dx . c a VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi y = 2x − x 2 , y = 0 VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi quay xung quanh Oy. y = ln x , y = 0 , x = 1, x = e quay xung quanh Ox. Giải. Ta có: x = 1 + 1 − y , x ≥ 1 x2 y2  y = 2x − x 2 ⇔  VD 8. Tính V do (E ) : + = 1 quay quanh Ox. . a 2 b2 x = 1 − 1 − y , x < 1  Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé 1  2 ( ) − (1 − ) 2 §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG Vậy V = π∫  1 + 1−y 1 − y  dy   4.1. Tích phân suy rộng loại 1 0   1 1 4.1.1. Định nghĩa 8π 8π • Cho hàm số f (x ) xác định trên [a ; +∞), khả tích trên = 4π∫ 1 − y dy = − (1 − y )3 = . 0 3 0 3 mọi đoạn [a ; b ] (a < b ). b Chú ý. Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi y = f (x ), y = 0 , x = a và x = b quay quanh Giới hạn (nếu có) của ∫ f (x )dx khi b → +∞ được gọi a Oy còn được tính theo công thức: là tích phân suy rộng loại 1 của f (x ) trên [a ; +∞). b Ký hiệu: V = 2π ∫ xf (x )dx (*). +∞ b a ∫ f (x )dx = lim b →+∞ ∫ f (x )dx . VD 10. Dùng công thức (*) để giải lại VD 9. a a Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé +∞ • Định nghĩa tương tự: dx b b VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I = ∫ xα . ∫ f (x )dx = lim a →−∞ ∫ f (x )dx ; Giải • Trường hợp α = 1: 1 −∞ a b +∞ b dx  b  ∫ f (x )dx = lim ∫ f (x )dx . I = lim b →+∞ ∫ x  = lim ln x  = +∞ (phân kỳ). b →+∞  1  b →+∞ 1 −∞ a →−∞ a • Trường hợp α khác 1: b 1 dx  b • Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân I = lim ∫ xα =lim x 1−α    hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. b →+∞ 1 − α b →+∞  1  1   1  , α >1 ( ) • Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là khảo 1 sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (thường là khó). = lim b1−α − 1 =  − 1 α 1 − α b →+∞  + ∞, α < 1.    Toán cao c p C1 Đ i h c 17
  18. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé 1 • Nếu tồn tại lim F (x ) = F (−∞), ta dùng công thức: Vậy: • Với α > 1 : I = (hội tụ). x →−∞ α −1 b • Với α ≤ 1: I = +∞ (phân kỳ). b 0 dx ∫ f (x )dx = F (x ) −∞ . VD 2. Tính tích phân I = ∫ 2 . −∞ −∞ (1 − x ) • Tương tự: +∞ +∞ dx +∞ VD 3. Tính tích phân I = ∫ 2 . ∫ f (x )dx = F (x ) −∞ . −∞ 1 + x −∞ Chú ý 4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ • Nếu tồn tại lim F (x ) = F (+∞), ta dùng công thức: a) Tiêu chuẩn 1. Nếu 0 ≤ f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a; +∞) x →+∞ +∞ +∞ +∞ +∞ ∫ f (x )dx = F (x ) a . và ∫ g(x )dx hội tụ thì ∫ f (x )dx hội tụ. a a a Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé • Các trường hợp khác tương tự. c) Tiêu chuẩn 3 +∞ • Cho f (x ), g(x ) liên tục, luôn dương trên [a ; +∞) 10 VD 4. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ e −x dx . f (x ) và lim = k . Khi đó: 1 x →+∞ g(x ) b) Tiêu chuẩn 2 +∞ +∞ Nếu 0 < k < +∞ thì: • Nếu ∫ f (x ) dx hội tụ thì ∫ f (x )dx hội tụ (ngược lại +∞ +∞ a a ∫ f (x )dx và ∫ g(x )dx cùng hội tụ hoặc phân kỳ. không đúng). a a • Các trường hợp khác tương tự. +∞ +∞ +∞ Nếu k = 0 và ∫ g(x )dx hội tụ thì ∫ f (x )dx hội tụ. VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ e −x cos 3x dx . a a 1 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé k = +∞  +∞  +∞ dx  Nếu +∞  thì ∫ f (x )dx phân kỳ. VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ 1 + sin x + x .  ∫ g(x )dx phaân kyø  1 a  a  +∞ dx • Các trường hợp khác tương tự. +∞ VD 8. Điều kiện của α để I = ∫ hội tụ là: dx 1 x . lnα x + 1 3 VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân I = ∫ 1 + x 2 + 2x 3 . A. α > 3 ; 3 B. α > ; C. α > 2 ; 1 D. α > . 1 2 2 Chú ý • Nếu f (x ) ∼ g(x ) (x → +∞) thì +∞ (x 2 + 1)dx +∞ +∞ VD 9. Điều kiện của α để I = ∫ hội tụ? ∫ f (x )dx và ∫ g(x )dx có cùng tính chất. 1 2x α + x 4 − 3 a a Toán cao c p C1 Đ i h c 18
  19. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé • Định nghĩa tương tự: 4.2. Tích phân suy rộng loại 2 b b 4.2.1. Định nghĩa • Cho hàm số f (x ) xác định trên [a ; b ) và không xác định ∫ f (x )dx = lim ε→ 0 ∫ f (x )dx (suy rộng tại a ); a a+ε tại b , khả tích trên mọi đoạn [a ; b − ε] (ε > 0). b b −ε b −ε ∫ f (x )dx = lim ε→ 0 ∫ f (x )dx (suy rộng tại a , b ). a+ε ∫ f (x )dx khi ε → 0 được gọi là a Giới hạn (nếu có) của • Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân a hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. tích phân suy rộng loại 2 của f (x ) trên [a ; b ). b dx Ký hiệu: b b−ε VD 10. Khảo sát sự hội tụ của I = ∫ x α , b > 0. Giải. • Trường hợp α = 1: 0 ∫ f (x )dx = lim ε→0 ∫ f (x )dx . b dx  b a a I = lim ∫ = lim ln x  = ln b − lim ln ε = +∞ .   ε→ 0+ x ε→0+  ε  ε→0+ ε Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé 1 • Trường hợp α khác 1: 3 3dx  b VD 11. Tính tích phân I = ∫ b b dx 1 . I = lim ∫ = lim ∫ x −αdx = lim x 1−α    1 − 9x 2 ε→ 0 xα ε→ 0 1 − α ε→0   ε   1 ε ε 6  b1−α  π π π  A. I = − ; B. I = ; C. I = ; D. I = +∞ . = 1 1−α lim b ε→0 1−α ( −ε1−α = 1 − α   , α 1.   e dx Vậy VD 12. Tính tích phân I = ∫ 3 . b 1−α 1 x . ln 2 x Với α < 1: I = (hội tụ). 1−α 2 dx Với α ≥ 1 : I = +∞ (phân kỳ). VD 13. Tính tích phân I = ∫ 2 x −x . 1 Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé 1 4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ xα + 1 • Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1. VD 15. Tích phân suy rộng I = ∫ dx 0 (x 2 + 1)sin x Chú ý b b phân kỳ khi và chỉ khi: • Nếu f (x ) ∼ g(x ) (x → b ) thì ∫ f (x )dx và ∫ g(x )dx 1 1 A. α ≤ −1; B. α ≤ − ; C. α ≥ − ; D. α ∈ ℝ . a a 2 2 có cùng tính chất (với b là cận suy rộng). 1 x αdx VD 14. Tích phân suy rộng I = ∫ x (x + 1)(2 − x ) Chú ý 0 • Cho I = I 1 + I 2 với I , I 1 , I 2 là các tích phân suy rộng hội tụ khi và chỉ khi: ta có: 1 1 1) I 1 và I 2 hội tụ ⇒ I hội tụ. A. α < −1; B. α < − ; C. α > − ; D. α ∈ ℝ . 2 2 Toán cao c p C1 Đ i h c 19
  20. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s Phé Chương 4. Hàm s nhi u bi n s I → −∞ ( phaân kyø )  I  → +∞ ( phaân kyø ) §1. Khái niệm cơ bản 2)  1 hoặc  1 §2. Đạo hàm riêng – Vi phân   I 2 ≤ 0  I 2  ≥0 §3. Cực trị của hàm hai biến   §4. Tích phân bội hai (tích phân kép) ………………………………………………………………………. thì I phân kỳ. §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN  I → −∞ ( phaân kyø ) I  → +∞ ( phaân kyø ) 3)  1  hoặc  1  1.1. Các định nghĩa I 2 > 0  I 2  0 được • Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi gọi là một lân cận của điểm M . M là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong Nghĩa là: kín rời nhau là miền đa liên (hình b). M 0 (x 0 , y 0 ) ∈ S (M , ε ) ⇔ (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 < ε . c) Hàm số hai biến số • Trong mặt phẳng Oxy cho tập D ⊂ ℝ2 . Tương ứng f : D → ℝ cho tương ứng mỗi (x , y ) ∈ D b) Lân cận của một điểm với một giá trị z = f (x , y ) ∈ ℝ duy nhất được gọi là • Khoảng cách giữa 2 điểm M 1 (x1 , y1 ), M 2 (x 2 , y 2 ) là: hàm số hai biến số x , y . Chương 4. Hàm s nhi u bi n s Chương 4. Hàm s nhi u bi n s • Tập D ⊂ ℝ2 được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm §2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN số, ký hiệu Df . Miền giá trị của hàm số là: 2.1. Đạo hàm riêng { G = z = f (x , y ) ∈ ℝ (x , y ) ∈ Df . } a) Đạo hàm riêng cấp 1 • Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền mở D ⊂ ℝ 2 Chú ý chứa điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Cố định y0 , nếu hàm số f (x , y 0 ) • Trong trường hợp xét hàm số f (x , y ) mà không nói gì có đạo hàm tại x 0 thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm theo biến x của hàm số f (x , y ) tại (x 0 , y 0 ). M (x , y ) ∈ ℝ2 sao cho f (x , y ) có nghĩa. ∂f • Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự. Ký hiệu: fx (x 0 , y 0 ) hay fx/ (x 0 , y 0 ) hay (x , y ). ∂x 0 0 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số (xem giáo trình) / f (x , y0 ) − f (x 0 , y0 ) Vậy fx (x 0 , y0 ) = lim . 1.3. Hàm số liên tục (xem giáo trình) x →x 0 x − x0 Toán cao c p C1 Đ i h c 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2