ĐH Công nghip Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cp C1 Đi hc 1
TO
TOÁ
ÁN CAO C
N CAO C
P C1
P C1
Đ
Đ
I H
I H
C
C
PHÂN PH
PHÂN PH
I CHƯƠNG TRÌNH
I CHƯƠNG TRÌNH
S
S
ti
ti
t
t: 45
: 45
Chương 1. Hàm số một biến số
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số
Chương 4. Hàm số nhiều biến số
Chương 5. Phương trình vi phân
Chương 6
. Bài toán kinh tế – Lý thuyết chuỗi
Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1–C1
– ĐH Công nghiệp TP. HCM.
Biên
Biên so
so
n
n:
:ThS
ThS.
. Đo
Đoà
àn
nVương
Vương Nguyên
Nguyên
T
T
i
iSlide
Slide b
bà
ài
igi
gi
ng
ng To
Toá
án
nC1
C1 Đ
Đ
i
ih
h
c
ct
t
i
i
dvntailieu.wordpress.com
dvntailieu.wordpress.com
2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2, 3)
– NXB Giáo dục.
3. Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2
– ĐH Kinh tế TP. HCM.
4. Lê Quang Hoàng Nhân – Toán cao cấp (Giải tích)
– ĐH Kinh tế - Tài chính TP. HCM – NXB Thống kê.
5
. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 3, 4)
– NXBĐHQG TP.HCM.
6
. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1, 2)
– NXB Giáo dục.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
§1. Bổ túc về hàm số
§2. Giới hạn của hàm số
§3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn
§4. Hàm số liên tục
…………………………….
§1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ
1.1. Khái niệm cơ bản
1.1.1. Định nghĩa hàm số
• Cho
⊂
khác rỗng.
Ánh xạ
→
với
=
֏
là một hàm số.
Khi đó:
– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu D
f
, là tập X.
– Miền giá trị (MGT) của f là:
{
}
= = ∈
.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
– Nếu
= ⇒ =
thì f là đơn ánh.
– Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh.
–
Nếu
f
vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì
f
là
song ánh
.
VD 1.
a) Hàm số
→
ℝ ℝ
thỏa
= =
là đơn ánh.
b) Hàm số

→ +∞
ℝ
thỏa
=
là toàn ánh.
c) Hsố

+∞ →
ℝ
thỏa

=
là song ánh.
• Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu:

− = ∀ ∈
• Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ nếu:

− = − ∀ ∈
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
Nhận xét
– Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
–
Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.
1.1.2. Hàm số hợp
• Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện
⊂
.
Khi đó, hàm số
 
= =
được gọi là
hàm số hợp của
f
và
g
.
Chú ý
  
≠
VD 2. Hàm số
= + − −
là hàm hợp của
= −
và
= +
.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
1.1.3. Hàm số ngược
• Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f,
ký hiệu
−
=
, nếu

= ∀ ∈
.
Nhận xét
–
Đồ thị hàm số
−
=
đối xứng với đồ thị của
hàm số
=
qua
đường thẳng
=
.
VD 3. Cho
=
thì

−
=
, mọi x > 0.
ĐH Công nghip Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cp C1 Đi hc 2
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
1.2. Hàm số lượng giác ngược
1.2.1. Hàm số
y =
arcsin
x
• Hàm số

=
có hàm ngược trên
π π
−
là

−
π π
− → −

=
֏
.
VD 4.

=
;

π
− = −
;

π
=
.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
1.2.2. Hàm số y = arccos x
• Hàm số

=
có hàm ngược trên

π
là
 
−
− → π

=
֏
.
VD 5.

π
=
;

− = π
;

π
=
;

− π
=
.
Chú ý
  
π
+ = ∀ ∈ −
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
1.2.3. Hàm số y = arctan x
• Hàm số

=
có hàm ngược trên
π π
−
là
−
π π
→ −
ℝ

=
֏
.
VD 6.

=
;

π
− = −
;

π
=
.
Quy ước.
(
)
(
)
 
π π
+∞ = −∞ = −
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
1.2.4. Hàm số y = arccot x
• Hàm số

=
có hàm ngược trên

π
là

−
→ π
ℝ


=
֏
.
VD 7.


π
=
;


π
− =
;


π
=
.
Quy ước.
 
 
+∞ = −∞ = π
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
2.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có
giới
hạn là L (hữu hạn) khi
→ ∈
,
ký hiệu

→
=
, nếu
∀ε >
cho trước ta tìm được
δ >
sao cho khi
< − < δ
thì
− < ε
.
Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy)
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có
giới
hạn là L (hữu hạn) khi
→ ∈
,
ký hiệu

→
=
, nếu mọi dãy {x
n
} trong
mà
→
thì

→∞
=
.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi
→ +∞
,
ký hiệu

→+∞
=
, nếu
∀ε >
cho trước ta tìm
được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì
− < ε
.
• Tương tự, ký hiệu

→−∞
=
, nếu
∀ε >
cho
trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho
khi x < N thì
− < ε
.
Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là
+∞
khi
→
,
ký hiệu

→
= +∞
, nếu
∀ >
lớn tùy ý cho
trước ta
tìm được
δ >
sao cho khi
< − < δ
thì
>
.
ĐH Công nghip Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cp C1 Đi hc 3
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
• Tương tự, ký hiệu
→
= −∞
, nếu
∀ <
có
trị
tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được
δ >
sao cho
khi
< − < δ
thì
<
.
Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)
• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi
→
với
>
thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x
0
(hữu
hạn), ký hiệu
→ +
=
hoặc
+
→
=
.
• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi
→
với
<
thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x
0
(hữu
hạn), ký hiệu

→ −
=
hoặc
−
→
=
.
Chú ý.
  
− +
→→ →
= ⇔ = =
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
2.2. Tính chất
Cho

→
=
và

→
=
. Khi đó:
1)

→
=
(C là hằng số).
2)
 
→
± = ±
.
3)
 
→
=
;
4)

→
= ≠
;
5) Nếu

≤ ∀ ∈ − ε + ε
thì
≤
.
6) Nếu

≤ ≤ ∀ ∈ − ε + ε
và
 
→ →
= =
thì

→
=
.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
Định lý
• Nếu
 
→ →
= > =
thì:
 
→
=
VD 1. Tìm giới hạn

−
→∞
=
+
.
A.
=
; B.
=
; C.
=
; D.
=
.
Các kết quả cần nhớ
1)
 
− +
→ →
= −∞ = +∞
.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
2) Xét



−
−
−
→∞
−
+ + +
=
+ + +
, ta có:
a)
=
nếu
=
;
b)
=
nếu
<
;
c)
= ∞
nếu
>
.
3)
 
 
α → α →
α α
= =
α α
.
4) Số e:
( )
 
→±∞ →
+ = + =
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
VD 2. Tìm giới hạn

→∞
= +
+
.
A.
= ∞
; B.
=
; C.
=
; D.
=
.
VD 3. Tìm giới hạn
(
)
 
+
→
= +
.
A.
= ∞
; B.
=
; C.
=
; D.
=
.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
§3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN
3.1. Đại lượng vô cùng bé
a) Định nghĩa
• Hàm số
α
được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB
)
khi
→
nếu

→
α =
(x
0
có thể là vô cùng).
VD 1.
(
)
 
α = −
là VCB khi
−
→
;

β =
là VCB khi
→ +∞
.
ĐH Công nghip Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cp C1 Đi hc 4
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
b) Tính chất của VCB
1)
Nếu

α β
là các VCB khi
→
thì
α ± β
và

α β
là VCB khi
→
.
2) Nếu
α
là VCB và
β
bị chận trong lân cận
thì

α β
là VCB khi
→
.
3)

→
= ⇔ = + α
, trong đó
α
là
VCB khi
→
.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
c) So sánh các VCB
•
Định nghĩa
Cho

α β
là các VCB khi
→
,

→
α
=
β
.
Khi đó:
– Nếu
=
, ta nói
α
là VCB cấp cao hơn
β
,
ký hiệu

α = β
.
– Nếu
= ∞
, ta nói
α
là VCB cấp thấp hơn
β
.
– Nếu
≠ ≠ ∞
, ta nói
α
và
β
là các VCB
cùng cấp.
– Đặc biệt, nếu
=
, ta nói
α
và
β
là các VCB
tương đương, ký hiệu
α β
∼
.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
VD 2 •

−
là VCB cùng cấp với
khi
→
vì:


 
→ →
−
= =
.
•

− −
∼
khi
→
.
• Tính chất của VCB tương đương khi x → x
0
1)
 
α β ⇔ α − β = α = β
∼
.
2) Nếu

α β β γ
∼ ∼
thì
α γ
∼
.
3) Nếu

α β α β
∼ ∼
thì
α α β β
∼
.
4) Nếu
α = β
thì
α + β β
∼
.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
• Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
Cho

α β
là tổng các VCB khác cấp khi
→
thì

→
α
β
bằng giới hạn tỉ số hai VCB
cấp thấp
nhất
của tử và mẫu.
VD 3. Tìm giới hạn


→
− +
=
+
.
•
Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0
1)

∼
; 2)

∼
;
3)

∼
; 4)

∼
5)

−∼
; 6)
−
∼
;
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
Chú ý. Nếu
là VCB khi
→
thì ta có thể thay
bởi
trong 8 công thức trên.
7)

+
∼
; 8)
+ −
∼
.
VD 4. Tính giới hạn
 

 
→
−
=
.
VD 5. Tính
(
)
 


→
+ − + −
=
+
.
VD 6. Cho hàm số
=
thỏa:
= −
= +
.
Khi
→
, chọn đáp án đúng?
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
Chú ý
Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho
hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu
tử hoặc mẫu của phân thức.
A.
∼
; B.
∼
;
C.
∼
; D.
−
∼
.
VD.
 
− −
→ →
+ − − + −
=

→
+ −
= =
(
Sai!
).
ĐH Công nghip Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Tuesday, December 07, 2010
Toán cao cp C1 Đi hc 5
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
3.2. Đại lượng vô cùng lớn
a) Định nghĩa
• Hàm số f(x) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL
)
khi
→
nếu

→
= ∞
(x
0
có thể là vô cùng).
VD 7.


+
−
là VCL khi
→
;

+ −
− +
là VCL khi
→ +∞
.
Nhận xét
. Hàm số
là VCL khi
→
thì
là VCB khi
→
.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
b) So sánh các VCL
•
Định nghĩa
Cho

là các VCL khi
→
,

→
=
.
Khi đó:
– Nếu
=
, ta nói
là VCL cấp thấp hơn
.
– Nếu
= ∞
, ta nói
là VCL cấp cao hơn
.
– Nếu
≠ ≠ ∞
, ta nói
và
là các VCL
cùng cấp.
– Đặc biệt, nếu
=
, ta nói
và
là các VCL
tương đương. Ký hiệu
∼
.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
VD 8.
•
là VCL khác cấp với
+
khi
→
vì:
  
→ → →
+
= = = ∞
+
.
•
+ −
∼
khi
→ +∞
.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
VD 9. Tính các giới hạn:


→∞
− +
=
+
;


→+∞
− +
=
−
.
• Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp
Cho f(x) và g(x) là tổng các VCL khác cấp khi
→
thì

→
bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất
của tử và mẫu.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
§4. HÀM SỐ LIÊN TỤC
• Hàm số
liên tục tại
nếu

→
=
.
• Hàm
số
liên tục trên tập
nếu
liên tục tại
mọi điểm
∈
.
4.1. Định nghĩa
• Số
∈
được gọi là điểm cô lập của
nếu
∃ε > ∀ ∈ − ε + ε
thì
∉
.
Chú ý. Hàm
liên tục trên đoạn
thì có đồ thị là
một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó.
Quy ước. Hàm
liên tục tại mọi điểm cô lập của nó.
Chương
Chương 1.
1. H
Hà
àm
ms
s
m
m
t
tbi
bi
n
ns
s
4.3. Hàm số liên tục một phía
• Định nghĩa
Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x
0
nếu

−
→
=
(

+
→
=
).
• Định lý
Hàm số f(x) liên tục tại x
0
nếu
  
− +
→ →
= =
4.2. Định lý
• Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại
x
0
là hàm số liên tục tại x
0
.
• Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó.
• Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất trên đoạn đó.