06/10/2017
1
LOG
O
Chương 2:
Đạo hàm và vi phân
hàm một biến
GV. Phan Trung Hiếu
§1. Đạo hàm của hàm một biến
§2. Hàm khả vi, vi phân của hàm số
§3. Đạo hàm và vi phân cấp cao
2
§1. Đạo hàm của hàm một biến
3
I. Đạo hàm cấp một:
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên
khoảng mở chứa x0.Đạo hàm (cấp một) của
hàm số f(x) tại x0, ký hiệu , được
tính bởi
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x x x
0 0
( ) ( )
y x f x
nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.
Chú ý 1.2. Nếu tồn tại thì f(x) được
gọi là khả vi tại x0.
( )
f x
4
Trong định nghĩa trên, nếu đặt
0
:
x x x
Số gia của biến số tại x0.
0
( ) ( )
y f x f x
: Số gia của hàm số tại x0.
0 0
( ) ( )
f x x f x
Khi đó
0 0
00 0
0 0
0
( ) ( )
( ) lim lim
( ) ( )
lim
x x
h
y f x x f x
f x x x
f x h f x
h
5
Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số
2
ln(1 )
khi 0
( )
0 khi 0
xx
f x x
x
tại 0
0.
x
Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x x x
Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x x x
6
Định lý 1.5
0 0 0
( ) ( ) ( )
f x L f x f x L
Định lý 1.6.
f(x) có đạo hàm tại x0f(x) liên tục tại x0.
Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số
( )
f x x
tại 0
0.
x
06/10/2017
2
7
Ví dụ 1.4: Tìm a, bđể hàm số
2
3 5 khi 1
( )
khi 1
x x
f x ax b x
có đạo hàm tại
Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số
2
( ) khi 0
( )
khi 0
x
e x x x
f x m x
khả vi tại 0
0.
x
0
1.
x
II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm:
8
2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2.
2
( . ) .
( )
( . ) . .
. .
k u k u
u v u v
u v u v u v
u u v u v
v v
2.3. Đạo hàm của hàm số hợp:
Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó
( ) .
u x
y x y u
2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với , ta có
( ), ( )
u u x v v x
9
Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) arctan
y x
b)
2
(arcsin )
y x
c) 1
1
x
y
x
d)
2
arctan ln 1
x x x
y e e e
e)
3
2
( 1)
x
y x
f)
2 3 3
(1 ) 2 3
y x x x
III. Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm:
10
3.1. Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal):
Cho hàm số y= f(x) xác định trên Dvới x, ylà các biến
số kinh tế, gọi 0
.
x D
Hàm số được gọi là hàm biên tế (hàm cận
biên) của biến y.
( )
My f x
Giá trị được gọi là biên tế (giá trị cận
biên) của hàm số f(x) tại điểm x0.
0 0
( ) ( )
My x f x
11
3.2. Ý nghĩa của biên tế: cho biết xấp xỉ lượng
thay đổi giá trị của biến ykhi biến xtăng thêm 1
đơn vị. Cụ thể, ta có
0
( )
My x
0
( ) 0
My x có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì ysẽ tăng
0
( )
My x
đơn vị.
0
( ) 0
My x có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì ysẽ giảm
0
( )
My x
đơn vị.
Ví dụ 1.6: Cho hàm tổng chi phí
2
0,1 0,3 100.
C Q Q
a) Tìm hàm chi phí biên tế.
b) Tìm chi phí biên tế tại mức sản lượng đơn
vị và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.
120
Q
12
3.3. Độ thay đổi tuyệt đối và độ thay đổi tương đối:
Xét hàm số y=f(x).Khi biến số tăng từ x0đến xthì ta có
-Độ thay đổi tuyệt đối của biến xtại x0là
0
x x x
Độ thay đổi tuyệt đối của biến xphụ thuộc vào đơn vị
chọn để đo biến x.
-Độ thay đổi tương đối của biến xtại x0là
0
x
x
Độ thay đổi tương đối của biến xkhông phụ thuộc vào
đơn vị chọn để đo biến x.
06/10/2017
3
13
3.4. Hệ số co dãn: hệ số co dãn của biến ytheo biến xtại
x0là
0
0 0
0
( ) ( )
( )
yx
x
x y x
y x
3.5. Ý nghĩa của hệ số co dãn: cho biết xấp xỉ
độ thay đổi tương đối của biến ykhi biến xtăng
tương đối lên 1%tại x0. Cụ thể, ta có
0
( )
yx
x
0
( ) 0
yx xcó nghĩa là có nghĩa là tại x=x0, khi x
tăng 1% thì ysẽ tăng 0
( )%.
yx x
có nghĩa là có nghĩa là tại x=x0, khi x
tăng 1% thì ysẽ giảm 0
( )%.
yx x
0
( ) 0
yx x
14
Dựa vào hệ số co dãn, người ta đưa ra các khái niệm sau:
Nếu thì hàm fđược gọi là co dãn tại x0(hàm
số có phản ứng nhanh với sự thay đổi của biến số). Khi
đó, điểm (x0;y0) được gọi là điểm co dãn.
Nếu thì hàm fđược gọi là đẳng co dãn tại x0
Khi đó, điểm (x0;y0) được gọi là điểm đẳng co dãn
(điểm co dãn đơn vị).
Nếu thì hàm fđược gọi là không co dãn tại
x0(hàm số có phản ứng chậm với sự thay đổi của biến
số). Khi đó, điểm (x0;y0) được gọi là điểm không co
dãn.
0
( ) 1
yx x
0
( ) 1
yx x
0
( ) 1
yx x
15
Ví dụ 1.7: Cho hàm cầu Tính hệ số co
dãn của cầu theo giá tại các mức giá P= 100; P=
200 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.
600 2 .
Q P
16
§2. Vi phân của hàm số
I. Vi phân cấp một:
17
Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là
( ) ( )
df x f x dx
dy y dx
hay
Ví dụ 2.1. Tìm vi phân của hàm số
2
.
x
y e
18
Định lý 2.3. Nếu u,vlà các hàm khả vi thì
1) ( ) .
d u v du dv
2) ( . ) . .
d k u k du
3) ( . ) .
d u v vdu udv
2
4) .
u vdu udv
dvv
Ví dụ 2.2. Tính
3
) ( )
x
a d x e
3
) ( )
x
b d x e
3
)
x
x
c d
e
06/10/2017
4
III. Ứng dụng của vi phân:
19
Dùng vi phân, ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số.
Ta có giá trị của hàm số tại xgần x0là
Để áp dụng công thức trên ta cần chỉ ra dạng hàm f(x),
điểm x0và số gia đủ nhỏ.
0 0 0
0 0
( ) ( ) ( ). ( )
( ) ( ).
f x x f x f x x o x
f x f x x
x
Ví dụ 2.3. Tính gần đúng giá trị của
3
2,0001.
20
§3. Đạo hàm và vi phân
cấp cao
I. Đạo hàm cấp cao:
21
Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp
một thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x)
là
Tương tự, ta có đạo hàm cấp ncủa f(x) là
y
( ) ( )
y f x f x
( ) ( ) ( 1)
( ) ( )
n n n
y f x f x
Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp
ba, cấp bốn, cấp ncủa hàm số
, .
kx
y e k const
22
Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và
v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó
( ) ( ) ( )
0
( . ) n
n k k n k
n
k
u v C u v
Ví dụ 3.4. Tính của hàm số
2 2
.
x
y x e
(20)
y
Ví dụ 3.2. Cho hàm số Chứng
minh
sin .
y x x
2( sin ) 0.
xy y x xy
Ví dụ 3.3. Cho hàm số . Chứng
minh
2
2
y x x
3
1 0.
y y
II. Vi phân cấp cao:
23
Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến
cấp nthì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là
1 ( )
n n n n
d y d d y y dx
Ví dụ 3.5. Cho Tính
3
(2 3) .
y x 3
.
d y
III. Quy tắc L’Hospital:
24
Định lý 3.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong
lân cận nào đó của x0(hoặc có thể trừ x0). Nếu
i)hay
và tồn tại
thì
0 0
lim ( ) lim ( ) 0
x x x x
f x g x
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x g x
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
0 0
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
x x x x
f x f x
g x g x
06/10/2017
5
25
Chú ý 1.2.
Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc
L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định
Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital
nhiều lần.
0
0
hoặc
.
IV. Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn:
26
Dạng
0
0
Ví dụ 3.6. Tính các giới hạn sau
0
sin
)lim
x
x
c
x
2
3 2
2
5 6
)lim
2
x
x x
a
x x x
2
2
0
2 4
)lim
9 3
x
x
bx
3
0
1
)lim
x
x
e
d
x
3
0
sin
)lim
x
x x
e
x
2 2
0
ln(cos )
)lim
arctan 2
x
x
f
x x
27
Dạng
Ví dụ 3.7. Tính các giới hạn sau
2
2
3 2
) lim
1
x
x x
a
x

2
) lim
3
x
x
x x
b
e

2
3
ln
) lim
x
x
c
x

2
) lim 1
x
x
d
x

28
Dạng
0.
Ta đưa về dạng
0
0
hoặc .
1
1
. (0. )
g
f
f
f g
g
Ví dụ 3.8. Tính các giới hạn sau
0
) lim .ln
x
a x x
2
) lim .tan
2
x
b x x
Chú ý:
29
Dạng
Ta đưa về dạng
0
0
hoặc .
1
1
1 1
.
f
fg
f
f g g g
f g
g f
Chú ý:
30
Ví dụ 3.9. Tính các giới hạn sau
2
) lim ( )
x
x
b e x

1
1 1
)lim
ln 1
x
ax x
0
1 1 1
)lim t an2 sin
x
c
x x x