intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 2 - Phạm Trung Hiếu

Chia sẻ: Nguoibakhong04 Nguoibakhong04 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

109
lượt xem
8
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 2: Đạo hàm và vi phân hàm một biến cung cấp cho người học các kiến thức về đạo hàm của hàm một biến, hàm khả vi, vi phân của hàm số, đạo hàm và vi phân cấp cao. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 2 - Phạm Trung Hiếu

06/10/2017<br /> <br /> Chương 2:<br /> <br /> Đạo hàm và vi phân<br /> hàm một biến<br /> GV. Phan Trung Hiếu<br /> <br /> §1. Đạo hàm của hàm một biến<br /> <br /> §1. Đạo hàm của hàm một biến<br /> §2. Hàm khả vi, vi phân của hàm số<br /> §3. Đạo hàm và vi phân cấp cao<br /> LOG<br /> O<br /> <br /> I. Đạo hàm cấp một:<br /> <br /> Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên<br /> khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của<br /> hàm số f(x) tại x0, ký hiệu y( x0 )  f ( x0 ) , được<br /> tính bởi<br /> <br /> f ( x0 )  lim<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> f ( x)  f ( x0 )<br /> x  x0<br /> <br /> 2<br /> <br /> Trong định nghĩa trên, nếu đặt<br /> x  x  x0 : Số gia của biến số tại x0.<br /> y  f ( x)  f ( x0 )<br />  f ( x0  x)  f ( x0 ): Số gia của hàm số tại x0.<br /> Khi đó<br /> f ( x0 )  lim<br /> <br /> x 0<br /> <br /> nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.<br /> Chú ý 1.2. Nếu f ( x0 ) tồn tại thì f(x) được<br /> gọi là khả vi tại x0.<br /> 3<br /> <br /> Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số<br /> tại x0  0.<br /> <br />  ln(1  x 2 )<br /> khi x  0<br /> <br /> f ( x)  <br /> x<br /> 0<br /> khi x  0<br /> <br /> <br /> Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)<br /> <br /> f ( x0 )  lim<br /> <br /> f ( x )  f ( x0 )<br /> x  x0<br /> <br /> <br /> f ( x0 )  lim<br /> <br /> y<br /> f ( x0  x)  f ( x0 )<br />  lim<br /> x  0<br /> x<br /> x<br /> f ( x0  h)  f ( x0 )<br />  lim<br /> h 0<br /> h<br /> 4<br /> <br /> Định lý 1.5<br /> <br /> <br /> <br /> f ( x0 )  L    f ( x0 )  f ( x0 )  L<br /> <br /> Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số<br /> f ( x)  x<br /> tại x0  0.<br /> <br /> f ( x)  f ( x0 )<br /> x  x0<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)<br /> x  x0<br /> <br /> 5<br /> <br /> Định lý 1.6.<br /> f(x) có đạo hàm tại x0  f(x) liên tục tại x0.<br /> <br /> 6<br /> <br /> 1<br /> <br /> 06/10/2017<br /> <br /> Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số<br /> <br /> e ( x  x ) khi x  0<br /> f ( x)  <br /> khi x  0<br /> m<br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> khả vi tại x0  0.<br /> <br /> Ví dụ 1.4: Tìm a, b để hàm số<br /> <br /> 3x 2  5 khi x  1<br /> f ( x)  <br /> ax  b khi x  1<br /> có đạo hàm tại x0  1.<br /> 7<br /> <br /> Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số sau<br /> a) y  arctan x<br /> <br /> 2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2.<br /> 2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với u  u ( x ), v  v ( x) , ta có<br /> ( k .u )  k .u<br /> (u  v)  u  v<br /> <br /> (u.v)  u.v  u.v<br /> <br />  u  u.v  u.v<br />   <br /> v2<br /> v<br /> <br /> 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp:<br /> Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó<br />  x<br /> y( x)  yu .u<br /> 8<br /> <br /> III. Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm:<br /> <br /> 3.1. Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal):<br /> Cho hàm số y = f(x) xác định trên D với x, y là các biến<br /> số kinh tế, gọi x0  D.<br /> <br /> 2<br /> b) y  (arcsin x )<br /> 1 x<br /> c) y <br /> 1 x<br /> <br /> Hàm số My  f ( x) được gọi là hàm biên tế (hàm cận<br /> biên) của biến y.<br /> <br /> x<br /> x<br /> 2x<br /> d) y  e arctan e  ln 1  e<br /> <br /> e) y  ( x 2  1) x<br /> <br /> II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm:<br /> <br /> Giá trị My ( x0 )  f ( x0 ) được gọi là biên tế (giá trị cận<br /> biên) của hàm số f(x) tại điểm x0.<br /> <br /> 3<br /> <br /> f) y  (1  x ) 2  x<br /> <br /> 2 3<br /> <br /> 3 x<br /> <br /> 3<br /> <br /> 9<br /> <br /> 3.2. Ý nghĩa của biên tế: My ( x0 ) cho biết xấp xỉ lượng<br /> <br /> thay đổi giá trị của biến y khi biến x tăng thêm 1<br /> đơn vị. Cụ thể, ta có<br /> <br /> My ( x0 )  0 có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y sẽ tăng<br /> My ( x0 ) đơn vị.<br /> <br /> My ( x0 )  0 có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y sẽ giảm<br />  My ( x0 ) đơn vị.<br /> <br /> Ví dụ 1.6: Cho hàm tổng chi phí<br /> <br /> C  0,1Q 2  0,3Q  100.<br /> <br /> a) Tìm hàm chi phí biên tế.<br /> b) Tìm chi phí biên tế tại mức sản lượng Q  120 đơn<br /> <br /> vị và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.<br /> 11<br /> <br /> 10<br /> <br /> 3.3. Độ thay đổi tuyệt đối và độ thay đổi tương đối:<br /> Xét hàm số y = f(x). Khi biến số tăng từ x0 đến x thì ta có<br /> -Độ thay đổi tuyệt đối của biến x tại x0 là<br /> <br /> x  x  x0<br /> <br /> Độ thay đổi tuyệt đối của biến x phụ thuộc vào đơn vị<br /> chọn để đo biến x.<br /> -Độ thay đổi tương đối của biến x tại x0 là<br /> <br /> x<br /> x0<br /> <br /> Độ thay đổi tương đối của biến x không phụ thuộc vào<br /> đơn vị chọn để đo biến x.<br /> 12<br /> <br /> 2<br /> <br /> 06/10/2017<br /> <br /> 3.4. Hệ số co dãn: hệ số co dãn của biến y theo biến x tại<br /> x0 là<br /> x<br />  yx ( x0 )  y( x0 )  0<br /> y ( x0 )<br /> 3.5. Ý nghĩa của hệ số co dãn:  yx ( x0 ) cho biết xấp xỉ<br /> <br /> độ thay đổi tương đối của biến y khi biến x tăng<br /> tương đối lên 1% tại x0. Cụ thể, ta có<br />  yx ( x0 )  0 có nghĩa là có nghĩa là tại x = x0 , khi x<br /> tăng 1% thì y sẽ tăng  yx ( x0 )%.<br /> <br />  yx ( x0 )  0 có nghĩa là có nghĩa là tại x = x0 , khi x<br /> tăng 1% thì y sẽ giảm  yx ( x0 )%.<br /> <br /> Dựa vào hệ số co dãn, người ta đưa ra các khái niệm sau:<br />  Nếu  yx ( x0 )  1 thì hàm f được gọi là co dãn tại x0 (hàm<br /> số có phản ứng nhanh với sự thay đổi của biến số). Khi<br /> đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm co dãn.<br />  Nếu  yx ( x0 )  1 thì hàm f được gọi là đẳng co dãn tại x0<br /> Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm đẳng co dãn<br /> (điểm co dãn đơn vị).<br />  Nếu  yx ( x0 )  1 thì hàm f được gọi là không co dãn tại<br /> <br /> x0 (hàm số có phản ứng chậm với sự thay đổi của biến<br /> số). Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm không co<br /> dãn.<br /> <br /> 13<br /> <br /> 14<br /> <br /> Ví dụ 1.7: Cho hàm cầu Q  600  2 P. Tính hệ số co<br /> dãn của cầu theo giá tại các mức giá P = 100; P =<br /> 200 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.<br /> <br /> §2. Vi phân của hàm số<br /> <br /> 15<br /> <br /> 16<br /> <br /> Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì<br /> <br /> I. Vi phân cấp một:<br /> <br /> 1) d (u  v)  du  dv.<br /> 2) d (k .u)  k .du.<br /> 3) d (u.v)  vdu  udv.<br /> <br /> Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là<br /> <br /> hay<br /> <br /> df ( x)  f ( x) dx<br /> <br /> dy  ydx<br /> <br /> Ví dụ 2.1. Tìm vi phân của hàm số y  e x .<br /> <br /> 17<br /> <br /> 2<br /> <br />  u  vdu  udv<br /> 4) d   <br /> .<br /> v2<br /> v<br /> <br /> Ví dụ 2.2. Tính<br /> a) d ( x 3  e x )<br /> <br /> b) d ( x 3 e x )<br />  x3 <br /> c) d  x <br /> e <br /> <br /> 18<br /> <br /> 3<br /> <br /> 06/10/2017<br /> <br /> III. Ứng dụng của vi phân:<br /> <br /> Dùng vi phân, ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số.<br /> Ta có giá trị của hàm số tại x gần x0 là<br /> <br /> §3. Đạo hàm và vi phân<br /> <br /> f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 ).x  o(x)<br />  f ( x0 )  f ( x0 ).x<br /> <br /> cấp cao<br /> <br /> Để áp dụng công thức trên ta cần chỉ ra dạng hàm f(x),<br /> điểm x0 và số gia x đủ nhỏ.<br /> <br /> Ví dụ 2.3. Tính gần đúng giá trị của<br /> 3<br /> <br /> 2,0001.<br /> 19<br /> <br /> 20<br /> <br /> I. Đạo hàm cấp cao:<br /> Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp<br /> một y thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x)<br /> là<br /> y  f ( x)   f ( x) <br /> Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là<br /> <br /> y ( n )  f ( n ) ( x)   f ( n1) ( x) <br /> <br /> <br /> <br /> Ví dụ 3.2. Cho hàm số y  x sin x. Chứng<br /> minh xy  2( y  sin x )  xy  0.<br /> Ví dụ 3.3. Cho hàm số y  2 x  x 2 . Chứng<br /> minh y 3 y  1  0.<br /> <br /> Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và<br /> v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó<br /> k<br /> (u.v)( n )   Cn u ( k )v ( nk )<br /> n<br /> <br /> k 0<br /> <br /> Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp<br /> kx<br /> ba, cấp bốn, cấp n của hàm số y  e , k  const.<br /> <br /> Ví dụ 3.4. Tính y<br /> <br /> II. Vi phân cấp cao:<br /> Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến<br /> cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là<br /> <br /> III. Quy tắc L’Hospital:<br /> Định lý 3.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong<br /> lân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếu<br /> i) lim f ( x)  lim g ( x)  0 hay<br /> <br /> (20)<br /> <br /> 21<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> d n y  d d n1 y  y ( n ) dx n<br /> <br /> Ví dụ 3.5. Cho y  (2 x  3)3 . Tính d 3 y.<br /> <br /> 22<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> lim f ( x)  lim g ( x)  <br /> x  x0<br /> f ( x) x x0<br /> và lim<br /> tồn tại<br /> x  x0 g ( x )<br /> thì<br /> <br /> 23<br /> <br /> của hàm số<br /> y  x 2e 2 x .<br /> <br /> lim<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> f ( x)<br /> f ( x)<br />  lim<br /> g ( x ) x x0 g ( x)<br /> 24<br /> <br /> 4<br /> <br /> 06/10/2017<br /> <br /> Chú ý 1.2.<br />  Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc<br /> L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định<br /> <br /> 0<br /> <br /> hoặc .<br /> 0<br /> <br /> <br />  Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital<br /> nhiều lần.<br /> <br /> IV. Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn:<br /> <br /> Dạng 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> Ví dụ 3.6. Tính các giới hạn sau<br /> x2  5x  6<br /> x 2 x  x 2  x  2<br /> sin x<br /> c) lim<br /> x 0<br /> x<br /> a )lim<br /> <br /> e)lim<br /> x 0<br /> <br /> 25<br /> <br /> Dạng <br /> <br /> <br /> <br /> Ví dụ 3.7. Tính các giới hạn sau<br /> 3x 2  2 x<br /> a ) lim<br /> x  x 2  1<br /> <br /> x2  x<br /> b) lim x<br /> x  e  3<br /> <br /> c) lim<br /> <br /> d ) lim<br /> <br /> ln 2 x<br /> x  x 3<br /> <br /> x <br /> <br /> 0<br /> 0<br /> <br /> Dạng 0.<br /> <br /> .<br /> <br /> <br /> f<br /> 1<br /> g<br /> f .g (0.)  <br /> g<br /> 1<br /> f<br /> <br /> Ví dụ 3.8. Tính các giới hạn sau<br /> <br /> <br /> <br /> b) lim  x   .tan x<br />  <br /> 2<br /> x<br /> <br /> a ) lim x.ln x<br /> x 0<br /> <br /> 27<br /> <br /> Dạng   <br /> <br /> <br /> 0<br /> Ta đưa về dạng<br /> hoặc .<br /> <br /> 0<br /> <br /> Chú ý:<br /> <br />  <br /> f <br />  f 1  <br /> g<br />  <br />   f<br /> <br /> f  g   g   1<br /> g<br />  <br /> <br /> <br />  f .g  1  1 <br /> <br /> <br /> <br /> g f <br /> <br /> 29<br /> <br /> x<br /> <br /> 26<br /> <br /> Ta đưa về dạng hoặc<br /> Chú ý:<br /> <br /> 2  4  x2<br /> <br /> x2  9  3<br /> e 1<br /> d )lim 3<br /> x 0 x<br /> ln(cos x)<br /> f )lim<br /> x 0 arctan 2 x  2 x 2<br /> x 0<br /> <br /> x  sin x<br /> x3<br /> <br /> x<br /> <br /> 1  x2<br /> <br /> b)lim<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 28<br /> <br /> Ví dụ 3.9. Tính các giới hạn sau<br /> 1 <br />  1<br /> a )lim <br /> <br /> <br /> x 1  ln x<br /> x 1<br /> <br /> c )lim<br /> x 0<br /> <br /> b) lim (e x  x 2 )<br /> x <br /> <br /> 1  1<br /> 1<br />  <br /> <br /> t an2x  sin x x <br /> <br /> 30<br /> <br /> 5<br /> <br />
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2