intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán cao cấp C1 - Đoàn Hồng Chương

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:173

Thêm vào BST
Báo xấu
378
lượt xem 83
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp C1 gồm 5 chương. Nội dung bài giảng trình bày các nội dung về phép tính vi phân hàm một biến, phép tính vi phân hàm nhiều biến, phép tính tích phân phương trình vi phân, lý thuyết chuỗi. Ở mỗi chương có bài tập và lời giải chi tiết giúp sinh viên nắm vững kiến thức được học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp C1 - Đoàn Hồng Chương

  1. BÀI GI NG TOÁN CAO C P C1 Đoàn H ng Chương1 1 B môn Toán - TKKT, Đ i h c Kinh T - Lu t
  2. Toán cao c p C1 Chương 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM M T BI N §1. Gi i h n dãy s 1.1 Dãy s Đ nh nghĩa 1.1. Dãy s là m t t p h p các s x1, x2, . . . , xn, . . . đư c vi t theo m t th t nh t đ nh. Kí hi u (xn). • x1, x2, . . . : s h ng. • xn : s h ng t ng quát. Cách cho m t dãy s • Cho công th c s h ng t ng quát. • Cho công th c truy h i. • Mô t . Ví d 1.1. Cho các dãy s • (xn) : xn = 2n + n2, n = 1, 2, . . . Trang 1
  3. Toán cao c p C1 • (xn) : x1 = 1, xn+1 = 2xn + 3, n = 1, 2, . . . • (xn) là dãy các s nguyên t . Đ nh nghĩa 1.2. Cho dãy s (xn). • (xn) đư c g i là dãy s tăng n u xn < xn+1, ∀n ∈ N • (xn) đư c g i là dãy s gi m n u xn > xn+1, ∀n ∈ N Ví d 1.2. Xét tính tăng gi m c a các dãy s n n+1 1. xn = , n = 1, 2, . . . 2. xn = , n = 1, 2, . . . n+1 n Gi i. 1. Ta có n+1 n (n + 1)2 − n(n + 2) 1 xn+1 − xn = − = = > 0, ∀n ∈ N, n+2 n+1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) Trang 2
  4. Toán cao c p C1 nên xn+1 > xn, ∀n ∈ N. V y (xn) là dãy s tăng. 2. Ta có n+2 n+1 (n + 1)2 − n(n + 2) 1 xn+1 − xn = − =− =− < 0, ∀n ∈ N, n+1 n n(n + 1) n(n + 1) nên xn+1 < xn, ∀n ∈ N. V y (xn) là dãy s gi m. Đ nh nghĩa 1.3. Cho dãy s (xn). • (xn) đư c g i là b ch n trên n u t n t i s th c M sao cho xn ≤ M, ∀n ∈ N. • (xn) đư c g i là b ch n dư i n u t n t i s th c m sao cho xn ≥ m, ∀n ∈ N. • (xn) đư c g i là b ch n n u nó b ch n trên và b ch n dư i, nghĩa là t n t i các s th c m và M sao cho m ≤ xn ≤ M, ∀n ∈ N. Ví d 1.3. Xét tính b ch n c a các dãy s Trang 3
  5. Toán cao c p C1 2n n 1. xn = , n = 1, 2, . . . 2. xn = 2+1 , n = 1, 2, . . . n+1 n 1.2 Gi i h n dãy s Đ nh nghĩa 1.4. S th c a đư c g i là gi i h n c a dãy s (xn) n u: ∀ > 0, ∃n0 ∈ N sao cho |xn − a| < , ∀n > n0. (1.1) Kí hi u: lim xn = a. n→∞ • N u dãy s (xn) có gi i h n thì ta nói (xn) h i t . • N u dãy s (xn) không có gi i h n thì ta nói (xn) phân kì. Ví d 1.4. Tìm gi i h n c a các dãy s n+1 1 1. xn = , n = 1, 2, . . . 2. xn = n , n = 1, 2, . . . n 2 Gi i. n+1 1. Ta d đoán lim = 1, do đó, t đ nh nghĩa suy ra v i m i > 0, n→+∞ n Trang 4
  6. Toán cao c p C1 n+1 ta c n tìm n0 ∈ N đ b t đ ng th c − 1 < , đúng v i m i n > n0. n n+1 1 1 1 1 T −1 = < suy ra n > . Ch n n0 = + 1 thì n0 > . Do đó n n n+1 − 1 < , ∀n > n0. V y n 1 n+1 ∀ > 0, ∃n0 = + 1 sao cho − 1 < , ∀n > n0. n n+1 Đi u này ch ng t lim = 1. n→∞ n 1 2. Ta d đoán lim n = 0, do đó, t đ nh nghĩa suy ra v i m i > 0, ta n→+∞ 2 1 c n tìm n0 ∈ N đ b t đ ng th c n − 0 < , đúng v i m i n > n0. T 2 1 1 1 1 1 − 0 = n < suy ra n > log2 . Ch n n0 = log2 + 1 thì n0 > log2 . Do 2n 2 1 đó n − 0 < , ∀n > n0. V y 2 1 1 ∀ > 0, ∃n0 = log2 + 1 sao cho n − 0 < , ∀n > n0. 2 Trang 5
  7. Toán cao c p C1 1 Đi u này ch ng t lim n = 0. n→+∞ 2 Dãy s d n đ n vô cùng n 3 n − 2n2 Ví d 1.5. 1. lim = +∞. 2. lim = −∞. 2 n+1 1.3 Các tính ch t Đ nh lý 1.1. Gi i h n c a dãy s (n u có) là duy nh t. Đ nh lý 1.2. N u dãy s (xn) có gi i h n thì nó b ch n. Đ nh lý 1.3 (Đ nh lý k p). Cho 3 dãy s (xn), (yn), (zn). N u yn ≤ xn ≤ zn, ∀n ∈ N và lim yn = lim zn = a, thì lim xn = a. 1 1 1 Ví d 1.6. Tìm gi i h n lim √ + √ + ... + √ . n→∞ n2+1 n2+2 n2+n Gi i. Trang 6
  8. Toán cao c p C1 T 1 1 √ ≥√ , n2 +1 n2 +n 1 1 √ ≥√ , n2 +2 n2 +n ... 1 1 √ ≥√ , n2 +n n2 +n suy ra n 1 1 1 √ ≤√ +√ + ... + √ . n2+n n 2+1 n2+2 n2+n B ng cách tương t , ta có 1 1 1 n √ +√ + ... + √ ≤√ . n 2+1 n2+2 n 2+n n 2+1 n n Thêm n a lim √ = lim √ = 1. Do đó n→∞ n 2+1 n→∞ n 2+n 1 1 1 lim √ +√ + ... + √ = 1. n→∞ n2+1 n2+2 n 2+n Trang 7
  9. Toán cao c p C1 Đ nh lý 1.4 (Đ nh lý h i t b ch n). Dãy tăng và b ch n trên (ho c dãy gi m và b ch n dư i) thì h i t . √ Ví d 1.7. Tìm gi i h n c a dãy s (xn) cho b i công th c x1 = 2, xn+1 = √ 2 + xn, n = 1, 2, . . .. Gi i. Trư c tiên ta ch ng minh dãy s (xn) b ch n. Th t v y, b ng qui n p, ta có √ √ √ x1 = 2 < 2, x2 = 2 + x1 < 2 + 2 = 2. √ √ Gi s xn < 2. Khi đó xn+1 = 2 + xn < 2 + 2 = 2. V y xn < 2, ∀n ∈ N. Ti p theo ta ch ng minh (xn) là dãy tăng. Ta có x2 − x2 = x2 − xn − 2 = (xn − 2).(xn + 1) n n+1 n Chú ý r ng xn > 0, ∀n ∈ N và xn < 2, ∀n ∈ N, do đó x2 − x2 < 0, ∀n ∈ N. n n+1 K t h p v i xn > 0, ∀n ∈ N, suy ra xn < xn+1, ∀n ∈ N. Trang 8
  10. Toán cao c p C1 V y (xn) là dãy tăng và b ch n trên, do đó h i t . Đ t lim xn = a. T gi √ n→∞ thi t xn+1 = 2 + xn, cho n → ∞, ta có phương trình √ a = 2 + a. Phương trình có 2 nghi m a = 2 và a = −1. Nghi m a = −1 lo i vì xn > 0, ∀n ∈ N. V y lim xn = 2. n→∞ B ng m t s gi i h n cơ b n 1 n 1 1. lim = 0. 3. lim 1 + = e. n n √ 2. lim q n = 0, v i |q| < 1. 4. lim n n = 1. Trang 9
  11. Toán cao c p C1 BÀI T P Bài t p 1.1. Tìm gi i h n c a các dãy s sau n 3n2 + 4n + 2 n+2 1. lim 2 . 6. lim . n − 2n + 3 n+1 √ 2. lim( n2 + n − n). √ n 2n + 1 3. lim( 3 n − n3 + n). 7. lim n . 2 −1 3 + 4n 4. lim . 1 + 3.4n 3n2 2 2n + 5.6n n +1 5. lim n . 8. lim . 3 + 6n n2 + 2 Bài t p 1.2. Tìm gi i h n c a các dãy s sau 2n 1 1. lim . 3. x1 = , xn+1 = xn(2 − xn), n ∈ N. n! 2 2n xn 2. lim . 4. x1 = 1, xn+1 = , n ∈ N. (n + 2)! 2 + xn Trang 10
  12. Toán cao c p C1 §2. Gi i h n hàm s 2.1 Gi i h n hàm s Đ nh nghĩa 2.1. Cho hàm s f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). S th c L đư c g i là gi i h n c a hàm s f khi x d n t i x0 n u và ch n u ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ (a, b)\{x0}, |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − L| < . (2.1) Kí hi u: lim f (x) = L. x→x0 Đ nh nghĩa 2.2. Cho hàm s f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). • S th c L đư c g i là gi i h n bên ph i c a hàm s f khi x d n t i x0 n u ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ (a, b), 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − L| < . (2.2) Kí hi u: lim f (x) = L. x→x+ 0 • S th c L đư c g i là gi i h n bên trái c a hàm s f khi x d n t i x0 n u ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ (a, b), 0 < x0 − x < δ ⇒ |f (x) − L| < . (2.3) Kí hi u: lim f (x) = L. x→x− 0 Trang 11
  13. Toán cao c p C1 Ví d 2.1. Tìm các gi i h n √ 1 + cos x 0 x3 + x2 0 1. lim (d ng vô đ nh ). 2. lim (d ng vô đ nh ). x→π sin x 0 x→0± x 0 Gi i. x x 2 1 + cos x 2 cos cos 1. Ta có lim = lim 2 = lim 2 = 0. x→π sin x x→π x x x→π x 2 sin cos sin √ √ 2 √2 2 x3 + x2 |x| 1 + x 1 + x, khi x > 0 2. Ta có = = √ . x x − 1 + x, khi x < 0 Do đó √ √ x 3 + x2 x3 + x2 lim = 1 và lim − 1. x→0 + x x→0 − x Gi i h n d n đ n vô cùng và gi i h n t i vô cùng Ví d 2.2. Tìm các gi i h n sau 2x − 3 2. lim 2 x−1 . 1 1. lim x . x→1± x→±∞ 2 + 3 Trang 12
  14. Toán cao c p C1 Gi i. 1. Ta có 3 2x − 3 1− x lim x = lim 2 = 1 (do lim 3 = 0). x→+∞ 2 + 3 x→+∞ 3 x→+∞ 2x 1+ x x 2 2 −3 lim x = −1 (do lim 2x = 0). x→−∞ 2 + 3 x→−∞ 2. Ta có 1 1 lim 2 x−1 = +∞ (do lim = +∞). x→1+ x→1 + x−1 1 1 lim 2 x−1 = 0 (do lim = −∞). x→1− x→1 − x−1 2.2 Các tính ch t Đ nh lý 2.1. Gi i h n c a hàm s (n u có) là duy nh t. Đ nh lý 2.2. Cho f : (a, b) → (c, d), g : (c, d) → R và x0 ∈ (a, b). N u lim f (x) = M, lim g(y) = N x→x0 y→M Trang 13
  15. Toán cao c p C1 thì lim g ◦ f (x) = N. x→x0 Đ nh lý 2.3. Cho f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). lim f (x) = L ⇔ v i m i dãy (xn), n u xn → x0 thì dãy f (xn) h i t đ n L . x→x0 Đ nh lý 2.4 (Đ nh lý k p). Cho các hàm s f (x), g(x), h(x) xác đ nh trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). Nu g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), ∀x ∈ (a, b) và lim g(x) = lim h(x) = L, x→x0 x→x0 thì lim f (x) = L. x→x0 sin x Ví d 2.3. Tính gi i h n lim . x→0 x Gi i. Xét đư ng tròn lư ng giác tâm O, bán kính OA = 1 và x là góc lư ng giác c a cung AC. Trang 14
  16. Toán cao c p C1 π 1 1 1 N u 0 < x < , thì S∆AOC = sin x, Shình qu t AOC = x, S∆AOB = tan x. 2 2 2 2 Do đó sin x < x < tan x. Suy ra sin x π cos x < < 1, ∀x ∈ 0, . x 2 π Vì sin(−x) = − sin x và cos(−x) = cos x nên, khi x ∈ − , 0 , theo b t đ ng 2 th c trên ta có sin x cos x < < 1. x Trang 15
  17. Toán cao c p C1 Vy sin x π π cos x < < 1, ∀x ∈ − , \{0}. x 2 2 sin x Áp d ng đ nh lý k p, suy ra lim = 1. x→0 x Đ nh lý 2.5. Cho hàm s f : (x, b) → R và x0 ∈ (a, b). lim f (x) = L ⇔ lim f (x) = lim f (x) = L . x→x0 x→x− 0 x→x+ 0 B ng m t s gi i h n cơ b n 1 ex − 1 1. lim α = 0, v i α > 0. 5. lim = 1. x→+∞ x x→0 x sin x ax − 1 2. lim = 1. 6. lim = ln a(0 < a = 1). x→0 x x→0 x tan x ln(1 + x) 3. lim = 1. 7. lim = 1. x→0 x x→0 x x 1 log (1 + x) 1 4. lim 1 + = e. 8. lim a = (0 < a = 1). x→±∞ x x→0 x ln a Trang 16
  18. Toán cao c p C1 BÀI T P Bài t p 2.1. Tính các gi i h n sau x2 − 9 1 − cos x 1. lim 2 . 5. lim . x→3 x − 7x + 12 x→0 x sin x √ 4x 6. lim ( x2 + x − x). 2. lim √ . x→±∞ x→0 9+x−3 √3 3 2x − x 2 x +1−1 3. lim . 7. lim . x→2 x − 2 x→0 x sin 3x π 4. lim . 8. lim − x tan x. x→0 tan 5x x→ 2 2 π Bài t p 2.2. Tính các gi i h n sau 1. lim x. cot x. 3x+4 x→0 x+2 √ 4. lim . x→+∞ x − 3 ln x2 + 1 2. lim √ . 5. lim (1 + tan x)cot x. x→0 x 2+1−1 x→0 ln(cos x) ln x − 1 3. lim . 6. lim . x→0 ln(x2 + 1) x→e x − e Trang 17
  19. Toán cao c p C1 §3. Vô cùng bé - Vô cùng l n 3.1 Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 3.1 (Vô cùng bé). Cho hàm s f (x) xác đ nh trên kho ng (a, b) và x0 ∈ (a, b). Ta nói f (x) là đ i lư ng vô cùng bé, vi t t t là VCB, khi x → x0 n u lim f (x) = 0. (3.1) x→x0 Đ nh nghĩa 3.2 (Vô cùng l n). Cho hàm s f (x) các đ nh trên kho ng (a, b) và x0 ∈ (a, b). Ta nói f (x) là đ i lư ng vô cùng l n, vi t t t là VCL, khi x → x0 n u lim |f (x)| = +∞. (3.2) x→x0 Ví d 3.1. Bi u th c nào sau đây là VCB, VCL? √ 1. f (x) = 5 1 − x − 1 khi x d n đ n 0. tan x 3 π− 2. f (x) = khi x d n đ n . 2 2 1 3. f (x) = (cos x) x2 khi x d n đ n 0. Trang 18
  20. Toán cao c p C1 3.2 So sánh các VCB và các VCL Đ nh nghĩa 3.3 (So sánh các VCB). Cho f (x) và g(x) là các VCB khi x → x0. • Ta nói f (x) là VCB c p cao hơn g(x) n u f (x) lim = 0. (3.3) x→x0 g(x) • Ta nói f (x) là VCB c p th p hơn g(x) n u f (x) lim = ∞. (3.4) x→x0 g(x) Đ nh nghĩa 3.4 (VCB tương đương). Cho f (x) và g(x) là các VCB khi x → x0. Ta nói f (x) và g(x) là hai VCB tương đương khi x → x0, kí hi u f (x) ∼ g(x), n u f (x) lim = 1. (3.5) x→x0 g(x) Ví d 3.2. Hãy so sánh c p c a các VCB sau 1. f (x) = ln(1 + x2), g(x) = x2 khi x → 0. Trang 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2