Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 3 - Phạm Trung Hiếu

02/11/2017<br /> <br /> Chương 3:<br /> Tích phân<br /> GV. Phan Trung Hiếu<br /> <br /> §1. Tích phân bất định<br /> <br /> §1. Tích phân bất định<br /> §2. Tích phân xác định<br /> §3. Tích phân suy rộng<br /> LOG<br /> §4. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế<br /> O<br /> 2<br /> <br /> I. Nguyên hàm:<br /> Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên<br /> khoảng D.<br /> Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D<br />  F ( x )  f ( x ), x  D.<br /> Ví dụ 1.1:<br /> <br /> Định lý 1.2. Với C là một hằng số tùy ý, nếu<br /> F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thì<br /> F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên<br /> D. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên D<br /> đều có dạng F(x) + C.<br /> <br />  x2 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2 )  2 x.<br />  x2 + 3 là nguyên hàm của 2x, vì ( x 2  3)  2 x.<br />  x2 + C (C là một hằng số) là nguyên hàm của<br /> 2x, vì ( x 2  C )  2 x.<br /> 3<br /> <br /> II. Tích phân bất định:<br /> Định nghĩa 2.1. Tích phân bất định của hàm<br /> số f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tất<br /> cả các nguyên hàm của f trên D.<br /> Tích phân bất định của f được ký hiệu là<br /> <br /> 4<br /> <br /> Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là 2<br /> thuật ngữ chỉ cùng một nội dung, ta có<br /> <br />  f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)<br /> Ví dụ 2.1.  2x dx  x 2  C vì ( x 2 )  2 x.<br /> <br />  f ( x )dx ,<br /> trong đó<br /> <br />  : dấu tích phân.<br /> x : biến lấy tích phân.<br /> f ( x ) : hàm lấy tích phân.<br /> f ( x )dx : biểu thức dưới dấu tích phân.<br /> 5<br /> <br /> 6<br /> <br /> 1<br /> <br /> 02/11/2017<br /> <br /> III. Tính chất:<br /> <br /> IV. Bảng tích phân cơ bản:<br /> <br />   k . f ( x )dx  k  f ( x )dx với k là hằng số.<br />    f ( x )  g( x )  dx   f ( x )dx   g( x )dx.<br /> <br /> <br /> Xem Bảng 3.<br /> <br />   f ( x )dx  f ( x )  C .<br /> <br /> <br />   f ( x )dx   f ( x).<br /> 7<br /> <br /> 8<br /> <br /> I. Công thức Newton-Leibniz:<br /> <br /> §2. Tích phân xác định<br /> <br /> Định lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz).<br /> Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là<br /> một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích<br /> phân xác định của f từ a đến b là<br /> b<br /> <br />  f ( x)dx  F ( x)<br /> <br /> b<br /> a<br /> <br />  F (b)  F (a )<br /> <br /> a<br /> <br /> 9<br /> <br /> 10<br /> <br /> II. Tính chất:<br /> <br /> III. Các phương pháp tính tích phân:<br /> Dạng 1: Tính tích phân bằng cách dùng các<br /> công thức tích phân cơ bản, công thức<br /> Newton-Leibniz.<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> <br />  f ( x)dx  0<br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br />    f ( x )dx   f ( x )dx<br /> b<br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br />  k. f ( x)dx  k. f ( x)dx<br /> <br /> b<br /> b<br /> <br /> với k là hằng số<br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> b<br /> <br />    f ( x )  g( x ) dx   f ( x )dx   g( x )dx<br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> c<br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx<br /> a<br /> <br /> với c nằm giữa a và b<br /> <br /> c<br /> <br /> Ví dụ 3.1. Tính<br /> a )  x 5dx<br /> 3<br /> <br /> dx<br /> x2<br /> 2<br /> <br /> c) <br /> <br /> 20<br /> <br /> b)   2 x  1 dx<br /> 0<br /> <br /> dx<br /> 1 2x<br /> 1<br /> <br /> d )<br /> <br /> b<br /> <br />  f ( x )  0 trên [a,b]   f ( x )dx  0.<br /> a<br /> <br /> 11<br /> <br /> 12<br /> <br /> 2<br /> <br /> 02/11/2017<br /> <br /> Dạng 2: Tính tích phân bằng cách biến đổi<br /> hàm dưới dấu tích phân, đưa về tích phân cơ<br /> bản. Các phép biến đổi hay dùng là<br /> Tíchnhân phân phối  Tổng.<br /> <br /> <br /> Các tính chất của tích phân bất định và xác<br /> định.<br /> Hằng đẳng thức.<br /> Biến đổi lượng giác.<br /> Nhân, chia lượng liên hiệp.<br /> <br /> a b a b<br />  <br /> c<br /> c c<br /> m<br /> <br />  n x m  x n ; x a .x b  x ab ;<br /> <br /> xa<br /> 1<br />  x a b ; b  x  b .<br /> xb<br /> x<br /> 13<br /> <br /> 14<br /> <br /> Ví dụ 3.2. Tính<br /> <br /> 1<br /> <br /> x<br /> 1 <br /> <br /> a)   7 x 2  <br />  dx<br /> 5 cos 2 x <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> b)  ( x  1) xdx<br /> 0<br /> <br /> <br /> c) <br /> <br /> (1  e x ) 2<br /> dx<br /> e3 x<br /> <br /> 2<br /> x<br /> d )  2cos 2 dx<br /> 2<br /> 0<br /> <br /> 7<br /> <br /> f )<br /> <br /> e)  tan 2 xdx<br /> 2<br /> <br /> g) <br /> <br /> 3<br /> <br /> x 1  1 x<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1  x4<br /> <br /> dx<br /> x  2  x 3<br /> <br /> h)<br /> <br /> dx<br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> dx<br />  3x  2<br /> <br /> Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp<br /> đổi biến số loại 1<br /> Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợp<br /> sao cho t  biểu thức còn lại trong hàm số.<br /> Nếu chưa đặt được thì ta tìm cách biến đổi<br /> hàm số.<br /> Tích phân dạng: I   f u ( x) u( x)dx<br /> B1 (đổi biến): Đặt t  u ( x)  dt  u( x)dx<br /> B2 (thay vào tích phân):<br /> I   f (t ) dt  F (t )  C  F u ( x)   C<br /> <br /> 15<br /> <br /> Tích phân dạng:<br /> <br /> b<br /> <br /> I   f u ( x) u ( x) dx<br /> a<br /> <br /> B1 (đổi biến): Đặt t  u ( x)  dt  u( x)dx<br /> a<br /> b<br /> B2 (đổi cận): x<br /> t u(a) u(b)<br /> B3 (thay vào tích phân):<br /> <br /> 16<br /> <br /> Dấu hiệu đặt thông thường:<br /> Có<br /> ax + b<br /> căn<br /> <br /> <br /> <br /> f (t ) dt<br /> <br /> u (a )<br /> <br /> t  e x  ,   const<br /> <br /> ex<br /> ln x và<br /> <br /> u (b)<br /> <br /> I<br /> <br /> Đặt<br /> t = ax + b<br /> t = căn<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> và<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> 1<br /> x2<br /> <br /> t  ln x<br /> <br /> t<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> (cận mới, biến mới).<br /> 17<br /> <br /> 18<br /> <br /> 3<br /> <br /> 02/11/2017<br /> <br /> Dấu hiệu đặt khi gặp biểu thức lượng giác:<br /> Dạng<br /> <br /> Đặt<br /> <br /> 1<br /> có tan x và<br /> cos 2 x<br /> 1<br /> có cot x và<br /> sin 2 x<br /> 1<br /> <br /> có arcsinx và<br /> có arccosx và<br /> <br /> Dạng<br /> <br /> t = tanx<br /> t = cotx<br /> t = arcsinx<br /> <br /> 1 x 2<br /> 1<br /> <br />  f (cos x)sinx dx<br /> <br /> t  cos x<br /> <br /> 20<br /> <br /> Đặt<br /> <br /> Dạng<br /> sin x   sin x<br /> Thay <br />  cos x   cos x<br /> <br /> Ví dụ 3.3. Tính<br /> <br /> Thay sin x   sin x<br /> <br /> f đổi dấu<br /> Thay cos x   cos x<br /> <br /> f đổi dấu<br /> Tổng quát<br /> <br /> t  tan x<br /> <br /> e x dx<br /> ex  1<br /> <br /> t  cos x<br /> <br /> e)<br /> <br /> d)<br /> <br /> 1<br /> <br /> x<br /> <br /> 1/2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> sin   dx<br /> x <br /> <br /> 4<br /> <br /> f)<br /> <br /> u ( x)  a<br /> <br /> 2<br /> <br /> t  sin x<br /> <br /> u2 ( x)  a2<br /> <br /> e tan x<br /> dx<br /> 2<br /> x<br /> <br /> g) <br /> <br /> arccos x<br /> 1 x<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> dx<br /> <br /> h)  e 2sin x cos xdx<br /> 0<br /> <br /> x<br /> t  tan<br /> 2<br /> 22<br /> <br />    <br /> u ( x )  a sin t , t   ; <br />  2 2<br /> u ( x) <br /> <br /> x)<br /> <br />  cos<br /> 0<br /> <br /> Chú ý: Khi tính tích phân hàm chứa căn, ta<br /> ưu tiên đặt t = căn hoặc nhân liên hiệp trước.<br /> Nếu không được thì ta mới nghĩ đến đổi biến<br /> loại 2.<br /> Ví dụ 3.4. Tính<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> b)  x 2  x 2 dx<br /> <br /> a)  x2 4  x2<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> Đặt<br /> <br /> a  u ( x)<br /> <br /> dx<br /> <br />  x (2  ln<br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> Dạng 4: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến<br /> số loại 2<br /> Phương pháp (đổi biến):<br /> Đặt x  u(t )  dx  u(t )dt<br /> Dấu hiệu đặt thông thường:<br /> <br /> 2<br /> <br /> b)  x 3 1 x 2 dx<br /> 0<br /> <br /> c) <br /> <br /> 21<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> a )  x (1  x )20 dx<br /> <br /> f không đổi dấu<br /> <br /> Có<br /> <br /> t = arccotx<br /> t  sin x<br /> <br /> 19<br /> <br />  f (sin x, cos x)dx<br /> <br /> t = arctanx<br /> <br />  f (sin x)cosx dx<br /> <br /> t = arccosx<br /> <br /> 1 x 2<br /> <br /> Đặt<br /> <br /> 1<br /> có arctanx và<br /> 1 x 2<br /> 1<br /> có arccotx và<br /> 1 x 2<br /> <br /> a<br />      <br /> , t   0;   <br /> ;0 <br /> sin t<br />  2  2 <br /> <br />    <br /> u ( x)  a tan t , t  <br /> ; <br />  2 2<br /> 23<br /> <br /> 24<br /> <br /> 4<br /> <br /> 02/11/2017<br /> <br /> Dạng 5: Tính tích phân hàm hữu tỉ<br /> P ( x)<br /> <br />  Q( x) dx, P(x), Q(x) là các đa thức.<br /> Phương pháp:<br /> Bậc tử  bậc mẫu: chia đa thức.<br /> Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t =<br /> một biểu thức ở mẫu. Nếu không được thì ta<br /> làm như sau<br /> <br /> n<br /> <br /> Mẫu có (ax  b) : Đặt t  ax  b.<br /> 2<br /> Mẫu là tam thức bậc hai ax  bx  c :<br /> <br /> Vô nghiệm và tích phân có dạng<br /> <br />  ax<br /> <br /> 2<br /> <br /> dx<br /> , ta<br />  bx  c<br /> <br /> biến đổi ax 2  bx  c  a 2  u 2 ( x ) , rồi đặt<br /> <br /> u ( x )  a tan t .<br /> ( px  q)dx<br /> Vô nghiệm và tích phân có dạng  2<br /> ta tìm<br /> ax  bx  c<br /> hệ số A, B sao cho<br /> <br /> px  q<br /> A.(Maâ~ u)<br /> B<br />  2<br />  2<br /> ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c<br /> 2<br /> <br /> 25<br /> <br /> Có nghiệm kép x0 , ta phân tích<br /> <br /> ax 2  bx  c  a ( x  x0 ) 2<br /> P( x )<br /> P( x )<br />  2<br /> <br /> .<br /> ax  bx  c a( x  x0 )2<br /> Có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 , ta phân tích<br /> 2<br /> <br /> ax  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ).<br /> <br /> 26<br /> <br /> Mẫu là đa thức bậc lớn hơn 2: Ta phân tích<br /> mẫu thành tích dạng lũy thừa của nhị thức hay<br /> lũy thừa của các tam thức vô nghiệm và tìm các<br /> hệ số như sau<br /> P( x)<br /> A<br /> B<br /> C<br /> <br /> <br /> <br /> ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 ) x  x1 x  x2 x  x3<br /> <br /> Tìm hệ số A, B sao cho<br /> <br /> P( x)<br /> A<br /> B<br /> C<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> ( x  x1 )( x  x2 )<br /> x  x1 x  x2 ( x  x2 ) 2<br /> <br /> P( x )<br /> A<br /> B<br /> <br /> <br /> .<br /> a( x  x1 )( x  x2 ) x  x1 x  x2<br /> <br /> P( x)<br /> A<br /> Bx  C<br /> <br /> <br /> ( x  x0 )(ax 2 + bx + c ) x  x0 ax 2  bx  c<br /> trong đó ax 2  bx  c  0 vô nghiệm.<br /> <br /> 27<br /> <br /> P( x)<br /> A<br /> B<br /> Cx  D<br /> <br /> <br />  2<br /> 2<br /> 2<br /> ( x  x0 ) ( ax + bx + c ) x  x0 ( x  x0 ) ax  bx  c<br /> <br /> 28<br /> <br /> Ví dụ 3.5. Tính<br /> <br /> 2<br /> <br /> P ( x)<br /> A<br /> Bx  C<br /> Dx  E<br /> <br />  2<br />  2<br /> 2<br /> 2<br /> ( x  x0 )(ax + bx + c) x  x0 ax  bx  c (ax  bx  c)2<br /> trong đó ax 2  bx  c  0 vô nghiệm.<br /> Đặc điểm:<br /> -Mẫu là lũy thừa của nhị thức (x - x0): Tử là hằng.<br /> 2<br /> -Mẫu là lũy thừa của tam thức ax  bx  c vô nghiệm: Tử<br /> là nhị thức.<br /> Cách tìm các hệ số: Có bao nhiêu hệ số thì lần lượt cho<br /> x nhận bấy nhiêu giá trị thuộc TXĐ để lập hệ phương<br /> trình. Từ đó, ta giải tìm các hệ số.<br /> 29<br /> <br /> 1<br /> <br /> a) <br /> <br /> sin 3 x<br /> dx<br /> 2  cos x<br /> <br /> b) <br /> <br /> c) <br /> <br /> xdx<br /> (2 x  1)3<br /> <br /> d)<br /> <br /> 4x  3<br /> dx<br /> 2x  1<br /> 0<br /> 4<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> e) <br /> <br /> ( x  1)<br /> dx<br /> x  3x 2  4 x  12<br /> <br /> g) <br /> <br /> ( x  1)dx<br /> x 2  3x  2<br /> ( x  2) 2<br /> dx<br /> x( x  1) 2<br /> <br /> 2 x 2  3 x  11<br /> dx<br /> x3  x 2  3x  5<br /> <br /> f )<br /> <br /> 3<br /> <br /> 30<br /> <br /> 5<br /> <br />