intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán cao cấp C1 Đại học - Th.S Huỳnh Văn Hiếu

Chia sẻ: Codon_08 Codon_08 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST
Báo xấu
160
lượt xem 12
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xin giới thiệu tới các bạn sinh viên chuyên ngành khoa học tự nhiên "Bài giảng Toán cao cấp C1 Đại học" của Th.S Huỳnh Văn Hiếu. Bài giảng trình bày các vấn đề cơ bản về hàm số một biến số; phép tính vi phân hàm số một biến số; phép tính tích phân hàm số một biến số; tích phân suy rộng hàm số một biến số;...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp C1 Đại học - Th.S Huỳnh Văn Hiếu

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN – TỔ TOÁN BÀI GIẢNG : TOÁN CAO CẤP C1 HỆ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2014 - 2015
  2. 9/6/2014 Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1–C1 TOÁN CAO CẤP C1 – ĐH Công nghiệp TP. HCM. 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2, 3) ĐẠI HỌC – NXB Giáo dục. 3. Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2 Giảng viên: ThS. Huỳnh Văn Hiếu – ĐH Kinh tế TP. HCM. 4. Lê Quang Hoàng Nhân – Toán cao cấp (Giải tích) – ĐH Kinh tế - Tài chính TP. HCM – NXB Thống kê. Tải bài giảng 5. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 3, 4) tailieuhvh.webnode.vn – NXBĐHQG TP.HCM. 6. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1, 2) – NXB Giáo dục.  Chƣơng 1. Hàm số một biến số §1. Bổ túc về hàm số PHÂN PHỐI CHƢƠNG TRÌNH §2. Giới hạn của hàm số SỐ TIẾT : 30 §3. Đại lƣợng vô cùng bé – vô cùng lớn §4. Hàm số liên tục PHẦN I : ÔN TẬP VÀ BỔ TRỢ KIẾN THỨC CƠ BẢN ……………………………. CHƢƠNG 1 : HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ §1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ CHƢƠNG 2 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1. Khái niệm cơ bản CHƢƠNG 3 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1.1. Định nghĩa hàm số PHẦN II : KIẾN THỨC TRỌNG TÂM • Cho X ,Y khác rỗng. CHƢƠNG 4 : TÍCH PHÂN SUY RỘNG HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Ánh xạ f : X Y với x y f (x ) là một hàm số. CHƢƠNG 5 : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ - BÀI TOÁN KINH TẾ Khi đó: CHƢƠNG 6 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN – Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X. CHƢƠNG 7 : LÝ THUYẾT CHUỖI – Miền giá trị (MGT) của f là: G y f (x ) x X .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số – Nếu f (x1 ) f (x 2 ) x1 x 2 thì f là đơn ánh. Nhận xét – Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh. – Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh. – Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. VD 1. 1.1.2. Hàm số hợp a) Hàm số f : thỏa y f (x ) 2x là đơn ánh. • Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện Gg Df . b) Hàm số f : [0; ) thỏa f (x ) x 2 là toàn ánh. Khi đó, hàm số h(x ) (f g )(x ) f [g(x )] đƣợc gọi là c) Hsố f : (0; ) thỏa f (x ) ln x là song ánh. hàm số hợp của f và g. • Hàm số y f (x ) đƣợc gọi là hàm chẵn nếu: Chú ý f ( x ) f (x ), x Df . (f g )(x ) (g f )(x ). • Hàm số y f (x ) đƣợc gọi là hàm lẻ nếu: VD 2. Hàm số y 2(x 2 1)2 x2 1 là hàm hợp của 2 f ( x) f (x ), x Df . f (x ) 2x x và g(x ) x2 1. 1
  3. 9/6/2014  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 1.1.3. Hàm số ngƣợc 1.2. Hàm số lƣợng giác ngƣợc • Hàm số g đƣợc gọi là hàm số ngƣợc của f, 1.2.1. Hàm số y = arcsin x ký hiệu g f 1 , nếu x g(y ), y G f . • Hàm số y sin x có hàm ngƣợc trên ; là 2 2 Nhận xét f 1 : [ 1; 1] ; – Đồ thị hàm số y f 1(x ) 2 2 đối xứng với đồ thị của x y arcsin x . hàm số y f (x ) qua VD 4. arcsin 0 0; đƣờng thẳng y x . arcsin( 1) ; 2 VD 3. Cho f (x ) 2x thì 1 3 f (x ) log2 x , mọi x > 0. arcsin . 2 3  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 1.2.2. Hàm số y = arccos x 1.2.3. Hàm số y = arctan x • Hàm số y cos x có hàm ngƣợc trên [0; ] là • Hàm số y tan x có hàm ngƣợc trên ; là 1 2 2 f : [ 1; 1] [0; ] f 1 : ; x y arccos x . 2 2 x y arctan x . VD 5. arccos 0 ; VD 6. arctan 0 0 ; 2 arccos( 1) ; arctan( 1) ; 3 1 2 4 arccos ; arccos . 2 6 2 3 arctan 3 . Chú ý 3 arcsin x arccos x , x [ 1; 1]. Quy ước. arctan , arctan . 2 2 2  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 1.2.4. Hàm số y = arccot x §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ • Hàm số y cot x có hàm ngƣợc trên (0; ) là 2.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1 1 • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới f : (0; ) hạn là L (hữu hạn) khi x x 0 [a; b ], ký hiệu x y arc cot x . lim f (x ) L , nếu 0 cho trƣớc ta tìm đƣợc 0 x x0 VD 7. arc cot 0 ; 2 sao cho khi 0 x x0 thì f (x ) L . 3 Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) arc cot( 1) ; 4 • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x x 0 [a; b ], ký hiệu arc cot 3 . 6 lim f (x ) L , nếu mọi dãy {xn} trong (a; b) \ {x 0 } mà x x0 Quy ước. arc cot( ) 0, arc cot( ) . ……………………………………… xn x 0 thì lim f (xn ) L. n 2
  4. 9/6/2014  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng) • Tƣơng tự, ký hiệu lim f (x ) , nếu M 0 có trị x x0 • Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x , ký hiệu lim f (x ) L , nếu 0 cho trƣớc ta tìm tuyệt đối lớn tùy ý cho trƣớc ta tìm đƣợc 0 sao cho x khi 0 x x0 thì f (x ) M . đƣợc N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì f (x ) L . Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) • Tƣơng tự, ký hiệu lim f (x ) L , nếu 0 cho • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x x0 x trƣớc ta tìm đƣợc N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho với x x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu khi x < N thì f (x ) L . hạn), ký hiệu lim f (x ) L hoặc lim f (x ) L . x x0 0 x x 0 Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng) • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x x0 • Ta nói f(x) có giới hạn là khi x x 0 , ký hiệu với x x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu lim f (x ) , nếu M 0 lớn tùy ý cho trƣớc ta hạn), ký hiệu lim f (x ) L hoặc lim f (x ) L . x x0 x x0 0 x x 0 tìm đƣợc 0 sao cho khi 0 x x0 thì Chú ý. lim f (x ) L lim f (x ) lim f (x ) L. x x0 x x x x f (x ) M. 0 0  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 2.2. Tính chất Các kết quả cần nhớ Cho lim f (x ) a và lim g(x ) b . Khi đó: 1 1 x x0 x x0 1) lim , lim . x 0 x x 0 x 1) lim [C .f (x )] C .a (C là hằng số). x x0 an x n an 1x n 1 ... a0 2) lim [ f (x ) g(x )] a b. 2) Xét L lim , ta có: x x0 m m 1 x bm x bm 1x ... b0 3) lim [ f (x )g(x )] ab ; x x0 an a) L nếu n m ; f (x ) a bn 4) lim , b 0; x x 0 g(x ) b b) L 0 nếu n m ; 5) Nếu f (x ) g(x ), x (x 0 ; x0 ) thì a b . c) L nếu n m. 6) Nếu f (x ) h(x ) g(x ), x (x 0 ; x0 ) và sin x tan x lim f (x ) lim g(x ) L thì lim h(x ) L . 3) lim lim 1. x x0 x x0 x x0 x 0 x x 0 x  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số Định lý 1 VD 3. Tìm giới hạn L lim 1 tan2 x 4x . Nếu lim u(x ) a 0, lim v(x ) b thì: x 0 x x0 x x0 4 A. L ; B. L 1; C. L e; D. L e. lim [u(x )]v(x ) ab . x x0 2x 2x x 1 VD 1. Tìm giới hạn L lim . x x 3 A. L 9; B. L 4; C. L 1; D. L 0. 2x 3x VD 2. Tìm giới hạn L lim 1 . x 2x 2 1 A. L ; B. L e3; C. L e2; D. L 1. ……………………………………… 3
  5. 9/6/2014  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số §3. ĐẠI LƢỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN b) Tính chất của VCB 3.1. Đại lƣợng vô cùng bé 1) Nếu (x ), (x ) là các VCB khi x x 0 thì a) Định nghĩa (x ) (x ) và (x ). (x ) là VCB khi x x0. Hàm số (x ) đƣợc gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) 2) Nếu (x ) là VCB và (x ) bị chận trong lân cận x 0 khi x x 0 nếu lim (x ) 0 (x 0 có thể là vô cùng). x x0 thì (x ). (x ) là VCB khi x x0. VD 1. (x ) tan3 sin 1 x là VCB khi x 1 ; 3) lim f (x ) a f (x ) a (x ), trong đó (x ) là x x0 1 VCB khi x x0. (x ) là VCB khi x . 2 ln x  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số c) So sánh các VCB VD 2. • Định nghĩa • 1 cos x là VCB cùng cấp với x 2 khi x 0 vì: (x ) Cho (x ), (x ) là các VCB khi x x 0 , lim k. x x x0 (x ) 2 sin2 Khi đó: 1 cos x 2 1 lim lim . – Nếu k 0 , ta nói (x ) là VCB cấp cao hơn (x ), x 0 x2 x 0 x 2 2 4 ký hiệu (x ) 0( (x )) . 2 – Nếu k , ta nói (x ) là VCB cấp thấp hơn (x ). – Nếu 0 k , ta nói (x ) và (x ) là các VCB • sin2 3(x 1) 9(x 1)2 khi x 1. cùng cấp. – Đặc biệt, nếu k 1, ta nói (x ) và (x ) là các VCB tương đương, ký hiệu (x ) (x ) .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số • Tính chất của VCB tƣơng đƣơng khi x → x0 • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao 1) (x ) (x ) (x ) (x ) 0( (x )) 0( (x )). Cho (x ), (x ) là tổng các VCB khác cấp khi x x0 (x ) 2) Nếu (x ) (x ), (x ) (x ) thì (x ) (x ). thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp x x 0 (x ) 3) Nếu 1 (x ) (x ), 2(x ) 1 2 (x ) thì nhất của tử và mẫu. (x ) 2(x ) (x ) 2(x ). 1 1 x3 cos x 1 VD 3. Tìm giới hạn L lim . 4) Nếu (x ) 0( (x )) thì (x ) (x ) (x ). x 0 x 4 x 2 x3 (1 cos x ) 1 cos x 1 Giải. L lim lim . 4 2 2 2 x 0 x x x 0 x 4
  6. 9/6/2014  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số • Các VCB tƣơng đƣơng cần nhớ khi x → 0 ln(1 2x sin2 x ) VD 4. Tính giới hạn L lim . 1) sin x x; 2) tan x x; x 0 sin x 2 . tan x 3) arcsin x x; 4) arctan x x x2 5) 1 cos x ; 6) e x 1 x; sin x 1 1 x2 3 tan2 x 2 VD 5. Tính L lim . x x 0 sin x 3 2x 7) ln(1 x) x; 8) n 1 x 1 . n Chú ý Nếu u(x ) là VCB khi x 0 thì ta có thể thay x bởi u(x ) trong 8 công thức trên.  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số x 2t t2 Chú ý VD 6. Cho hàm số y f (x ) thỏa: . y t2 3t 4 Quy tắc VCB tƣơng đƣơng không áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử Khi x 0 , chọn đáp án đúng? hoặc mẫu của phân thức. 2 x x2 A. f (x ) ; B. f (x ) ; ex e x 2 (e x 1) (e x 1) 4 2 VD. lim lim 2 2 x x 0 x x 0 x C. f (x ) ; D. f (x ) 3x 2 . x ( x) 2 lim 0 (Sai!). t 0 x 0 x2 Giải. Khi x 0 thì t 2(loaïi vì y 0) x3 x3 2 lim lim (Sai!). x tan x x x x t 0 x 2t, y t2 f (x ) A. x 0 x 0 4  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 3.2. Đại lƣợng vô cùng lớn b) So sánh các VCL a) Định nghĩa • Định nghĩa f (x ) Hàm số f (x ) đƣợc gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) Cho f (x ), g(x ) là các VCL khi x x 0 , lim k. x x0 g(x ) khi x x 0 nếu lim f (x ) (x 0 có thể là vô cùng). Khi đó: x x0 cos x 1 – Nếu k 0 , ta nói f (x ) là VCL cấp thấp hơn g(x ). VD 7. là VCL khi x 0; 3 2x sin x – Nếu k , ta nói f (x ) là VCL cấp cao hơn g(x ). x3 x 1 là VCL khi x . – Nếu 0 k , ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL x2 cos 4x 3 cùng cấp. Nhận xét. Hàm số f (x ) là VCL khi x x 0 thì – Đặc biệt, nếu k 1, ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL 1 là VCB khi x x0. tương đương. Ký hiệu f (x ) g(x ) . f (x ) 5
  7. 9/6/2014  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số VD 8. • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp 3 1 Cho f (x ) và g(x ) là tổng các VCL khác cấp khi x x0 • là VCL khác cấp với khi x 0 vì: x 3 2x 3 x f (x ) thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất 3 x x 0 g(x ) 3 1 2x x x lim : 3 lim 3 lim . của tử và mẫu. x 0 x 3 2x 3 x x 0 x3 x 0 x3 • 2 x3 x 1 2 x 3 khi x .  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số VD 9. Tính các giới hạn: §4. HÀM SỐ LIÊN TỤC x 3 cos x 1 x 3 2x 2 1 4.1. Định nghĩa A lim ;B lim . x 3x 3 2x x 7 2 • Số x 0 Df đƣợc gọi là điểm cô lập của f (x ) nếu 2 x sin x 0: x (x 0 ; x0 ) \ {x 0 } thì x Df . 3 x 1 • Hàm số f (x ) liên tục tại x 0 nếu lim f (x ) f (x 0 ). Giải. A lim . x x0 3 3 x 3x x3 1 • Hàm số f (x ) liên tục trên tập X nếu f (x ) liên tục tại B lim lim 0. mọi điểm x 0 X . x x 2 x7 2 x Chú ý. Hàm f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ] thì có đồ thị là ………………………………………………………… một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó. Quy ước. Hàm f (x ) liên tục tại mọi điểm cô lập của nó.  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 4.2. Định lý 4.3. Hàm số liên tục một phía • Tổng, hiệu, tích và thƣơng của các hàm số liên tục tại • Định nghĩa x 0 là hàm số liên tục tại x 0 . Hàm số f (x ) đƣợc gọi là liên tục trái (phải) tại x 0 nếu • Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó. lim f (x ) f (x 0 ) ( lim f (x ) f (x 0 )). • Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và x x0 x x0 nhỏ nhất trên đoạn đó. • Định lý Hàm số f (x ) liên tục tại x 0 nếu lim f (x ) lim f (x ) f (x 0 ). x x0 x x0 6
  8. 9/6/2014  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 1. Hàm số một biến số 3 tan2 x sin2 x ln(cos x ) ,x 0 ,x 0 VD 1. Cho hàm số f (x ) 2x . VD 2. Cho hàm số f (x ) arctan2 x 2x 2 . ,x 0 2 3, x 0 Giá trị của để hàm số liên tục tại x 0 là: Giá trị của để hàm số liên tục tại x 0 là: 1 3 17 17 3 3 A. 0; B. ; C. 1; D. . A. ; B. ; C. ; D. . 2 2 12 12 2 2  Chƣơng 1. Hàm số một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 4.4. Phân loại điểm gián đoạn §1. Đạo hàm • Nếu hàm f (x ) không liên tục y §2. Vi phân (C ) §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị tại x 0 thì x 0 đƣợc gọi là §4. Quy tắc L’Hospital ……………………………………………………… điểm gián đoạn của f (x ). O x0 §1. ĐẠO HÀM x • Nếu tồn tại các giới hạn: 1.1. Các định nghĩa lim f (x ) f (x 0 ), lim f (x ) f (x 0 ) a) Định nghĩa đạo hàm x x0 x x0 Cho hàm số y f (x ) xác định trong lân cận (a; b) của nhƣng f (x 0 ), f (x 0 ) và f (x 0 ) không đồng thời bằng x0 (a; b). Giới hạn: y f (x 0 x) f (x 0 ) nhau thì ta nói x 0 là điểm gián đoạn loại một. lim lim x 0 x x 0 x Ngƣợc lại, x 0 là điểm gián đoạn loại hai. (nếu có) đƣợc gọi là đạo hàm của y f (x ) tại x 0 . …………………………………………………………………………… Ký hiệu là f (x 0 ) hay y (x 0 ).  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Nhận xét. Do x x x 0 nên: c) Đạo hàm vô cùng f (x ) f (x 0 ) y f (x 0 ) lim . • Nếu tỉ số khi x 0 thì ta nói y f (x ) có x x0 x x0 x đạo hàm vô cùng tại x 0 . b) Đạo hàm một phía Cho hàm số y f (x ) xác định trong lân cận phải • Tƣơng tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng f (x ) f (x 0 ) một phía. (x 0 ; b) của x 0 . Giới hạn lim (nếu có) x x0 x x0 VD 1. Cho f (x ) 3 x f (0) , đƣợc gọi là đạo hàm bên phải của y f (x ) tại x 0 . f (x ) x f (0 ) . Ký hiệu là f (x 0 ). Tƣơng tự, f (x 0 ). Chú ý Nhận xét. Hàm số f (x ) có đạo hàm tại x 0 khi và chỉ khi Nếu f (x ) liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x 0 thì tiếp f (x 0 ) f (x 0 ) f (x 0 ). tuyến tại x 0 của đồ thị y f (x ) song song với trục Oy . 7
  9. 9/6/2014  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thƣơng của hai hàm số: 1 1 (u v ) u v ; (uv ) u v uv ; 1) x .x ; 2) x ; 2 x k kv u uv uv ,k ; . v 2 v 2 v v 3) sin x cos x ; 4) cos x sin x ; 2) Đạo hàm của hàm số hợp f (x ) y[u(x )]: f (x ) y (u ).u (x ) hay y (x ) y (u ).u (x ). 1 1 5) tan x 6) cot x ; 2 cos x sin2 x 3) Đạo hàm hàm số ngƣợc của y y(x ): 1 tan2 x ; 1 x (y ) . y (x )  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phƣơng trình tham số 7) e x ex ; 8) a x a x .ln a ; Cho hàm số y f (x ) có phƣơng trình dạng tham số x x (t ), y y(t ). Giả sử x x (t ) có hàm số ngƣợc 1 1 9) ln x ; 10) loga x ; và hàm số ngƣợc này có đạo hàm thì: x x .ln a y (t ) yt y (x ) hay yx . 1 1 x (t ) xt 11) arcsin x = ; 12) arccos x = ; 2 1 x 1 x2 x 2t 2 1 VD 2. Tính y (x ) của hàm số cho bởi 3 ,t 0. 1 1 y 4t 13) arctan x ; 14) arc cot x . 1 x2 1 x2 (4t 3 ) 12t 2 Giải. Ta có: y (x ) 3t . (2t 2 1) 4t  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số t x e 1.4. Đạo hàm cấp cao VD 3. Tính yx (1) của hàm số cho bởi 2 . y t 2t • Giả sử f (x ) có đạo hàm f (x ) và f (x ) có đạo hàm thì (t 2 2t ) 2t 2 f (x ) f (x ) là đạo hàm cấp hai của f (x ). Giải. Ta có: yx . t t (e ) e • Tƣơng tự ta có: x 1 et 1 t 0 yx (1) 2. f (n )(x ) f (n 1) (x ) là đạo hàm cấp n của f (x ). 8
  10. 9/6/2014  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 4. Cho hàm số f (x ) 2 sin x . Tính đạo hàm f (6) (0). 1 VD 6. Tính y (n ) của hàm số y . 2 A. f (6)(0) 32 ; B. f (6)(0) 32 ; x 3x 4 C. f (6)(0) 16 ; D. f (6)(0) 0. ( 1)n n ! 1 1 (n ) n 1 Vậy y (n ) . VD 5. Tính f (x ) của hàm số f (x ) (1 x) . 5 (x 4)n 1 (x 1)n 1 Giải. Ta có f (x ) (n 1)(1 x )n f (x ) n(n 1)(1 x )n 1 f (x ) (n 1)n(n 1)(1 x )n 2 ………………………………… Vậy f (n )(x ) ( 1)n .(n 1)!(1 x ).  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §2. VI PHÂN f (x 0 ) x 0 A f (x 0 ) A . 2.1. Vi phân cấp một x Hàm số y f (x ) đƣợc gọi là khả vi tại x 0 Df nếu df (x 0 ) f (x 0 ). x hay df (x ) f (x ). x . • Chọn f (x ) x df (x ) x dx x. f (x 0 ) f (x 0 x) f (x 0 ) có thể biểu diễn dƣới dạng: f (x 0 ) A. x 0( x ) Vậy df (x ) f (x )dx hay dy y dx . với A là hằng số và 0( x ) là VCB khi x 0. Khi đó, đại lƣợng A. x đƣợc gọi là vi phân của hàm VD 1. Tính vi phân cấp 1 của f (x ) x 2e 3x tại x 0 1. số y f (x ) tại x 0 . Ký hiệu df (x 0 ) hay dy(x 0 ). Giải. Ta có f (x ) (2x 3x 2 )e 3x f ( 1) e 3 Nhận xét f (x 0 ) 0( x ) Vậy df ( 1) e 3dx . • f (x 0 ) A. x 0( x ) A x x  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 2. Tính vi phân cấp 1 của y arctan(x 2 1). 2.2. Vi phân cấp cao Giả sử y f (x ) có đạo hàm đến cấp n thì: d ny d(d n 1y ) y (n )dx n VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số y 2ln(arcsin x ) . đƣợc gọi là vi phân cấp n của hàm y f (x ). VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số y ln(sin x ). cos x 1 Giải. Ta có y y . sin x sin2 x dx 2 Vậy d 2y . sin2 x 9
  11. 9/6/2014  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số y e 2x . §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Giải. Ta có y 2e 2x y 22e 2x (n ) n 2x 3.1. Các định lý ... y 2 e d ny 2n e 2xdx n . 3.1.1. Bổ đề Fermat Cho hàm số f (x ) xác định trong (a;b) và có đạo hàm tại VD 6. Tính vi phân cấp 3 của f (x ) tan x tại x 0 . 4 x 0 (a;b). Nếu f (x ) đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) f 16HD d 3 f 16dx 3 . tại x 0 trong (a;b) thì f (x 0 ) 0 . 4 4 3.1.2. Định lý Rolle Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a;b ] và khả vi trong (a;b). Nếu f (a ) f (b) thì c (a;b) sao cho f (c ) 0 .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.1.3. Định lý Cauchy 3.2. Cực trị của hàm số Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục trong [a;b ], khả vi 3.2.1. Hàm số đơn điệu trong (a;b) và g (x ) 0, x (a;b). a) Định nghĩa Khi đó, c (a;b) sao cho: Cho hàm số f (x ) liên tục trong trong (a;b). f (b) f (a ) f (c) Khi đó: . g(b) g(a ) g (c) • f (x ) đƣợc gọi là tăng ngặt trong (a;b) nếu f (x1 ) f (x 2 ) 3.1.4. Định lý Lagrange 0 , x1, x 2 (a;b) và x1 x2 . Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a;b ], khả vi trong (a;b). x1 x 2 Khi đó, c (a;b) sao cho: • f (x ) đƣợc gọi là giảm ngặt trong (a;b) nếu f (b) f (a ) f (x1 ) f (x 2 ) f (c). 0 , x1, x 2 (a;b) và x1 x2 . b a x1 x 2  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số • f (x ) đƣợc gọi là tăng hay giảm không ngặt trong (a;b) b) Định lý 1 Cho hàm số f (x ) khả vi trong trong (a;b). Khi đó: f (x1 ) f (x 2 ) f (x1 ) f (x 2 ) nếu 0 hay 0, • Nếu f (x ) 0, x (a;b) thì f (x ) tăng ngặt trong (a;b). x1 x 2 x1 x 2 • Nếu f (x ) 0, x (a;b) thì f (x ) giảm ngặt trong (a;b). x1, x 2 (a;b) và x1 x 2 . • Nếu f (x ) 0, x (a;b) hay f (x ) 0, x (a;b) thì f (x ) tăng không ngặt hay giảm không ngặt trong (a;b). • f (x ) đƣợc gọi là đơn điệu trong (a;b) nếu f (x ) tăng ngặt hay giảm ngặt trong (a;b). c) Định lý 2 • Nếu f (x ) tăng ngặt trong (a;b) thì f (x ) 0 trong (a;b) • f (x ) đơn điệu trong (a;b) và liên tục trong (a;b ] thì và không tồn tại ( ; ) (a;b) sao cho f (x ) 0 . f (x ) đơn điệu trong (a;b ] (trƣờng hợp khác tƣơng tự). • Nếu f (x ) giảm ngặt trong (a;b) thì f (x ) 0 trong (a;b) và không tồn tại ( ; ) (a;b) sao cho f (x ) 0 . 10
  12. 9/6/2014  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.2.2. Cực trị 3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất a) Định nghĩa a) Định nghĩa • Nếu f (x ) liên tục trong (a;b) chứa x 0 và f (x 0 ) f (x ), Cho hàm số y f (x ) có MXĐ D và X D. x (a;b) \ {x 0 } thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 . • Số M đƣợc gọi là giá trị lớn nhất của f (x ) trên X nếu: • Nếu f (x ) liên tục trong (a;b) chứa x 0 và f (x 0 ) f (x ), x 0 X : f (x 0 ) M và f (x ) M , x X . x (a;b) \ {x 0 } thì f (x ) đạt cực đại tại x 0 . Ký hiệu là: M max f (x ). b) Định lý x X Cho f (x ) có đạo hàm đến cấp 2n trong (a;b) chứa x 0 • Số m đƣợc gọi là giá trị nhỏ nhất của f (x ) trên X nếu: thỏa f (x 0 ) ... f (2n 1) (x 0 ) 0 và f (2n )(x 0 ) 0. x 0 X : f (x 0 ) m và f (x ) m, x X . • Nếu f (2n )(x 0 ) 0 thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 . Ký hiệu là: m min f (x ). x X (2n ) • Nếu f (x 0 ) 0 thì f (x ) đạt cực đại tại x 0 .  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý b) Phƣơng pháp tìm max – min • Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X D.  Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] • Nếu M max f (x ) và m min f (x ) thì: Cho hàm số y f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ]. x X x X m f (x ) M, x X. Để tìm max f (x ) và min f (x ), ta thực hiện các bƣớc sau: x [a ;b ] x [a ;b ] • Bƣớc 1. Giải phƣơng trình f (x ) 0 . Giả sử có n nghiệm x1,..., x n [a; b ] (loại các nghiệm ngoài [a; b ]). • Bƣớc 2. Tính f (a ), f (x 1 ),..., f (x n ), f (b). • Bƣớc 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị max, min tƣơng ứng cần tìm.  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Chú ý 3 2 • Nếu đề bài chƣa cho đoạn [a; b ] thì ta phải tìm MXĐ f (x ) x 4 x x 3 trên đoạn [0; 2]. 2 của hàm số trƣớc khi làm bƣớc 1. Giải. Ta có: hàm số f (x ) liên tục trên đoạn [0; 2]. 1 • Có thể đổi biến số t t(x ) và viết y f (x ) g(t(x )). f (x ) 4x 3 3x 1 0 x x 1. Gọi T là miền giá trị của hàm t(x ) (ta thƣờng gọi là 2 1 điều kiện của t đối với x ) thì: Do x [0; 2] nên ta loại. 2 max f (x ) max g(t ), min f (x ) min g(t ). 3 x X t T x X t T Mặt khác: f (0) 3, f (1) , f (2) 11. 2 3 Vậy max f (x ) 11 tại x 2 , min f (x ) tại x 1. x [0;2] x [0;2] 2 11
  13. 9/6/2014  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §4. QUY TẮC L’HOSPITAL ex e x 2 VD 1. Tìm giới hạn L lim . Định lý (quy tắc L’Hospital) 2 x 0 x Cho hai hàm số f (x ), g(x ) khả vi trong lân cận của điểm x 0 và g (x ) 0 trong lân cận của x 0 (có thể g (x 0 ) 0 ). x2 sin2 x VD 2. Tìm giới hạn L lim . 2 Nếu lim f (x ) lim g(x ) 0 (hoặc ) và x 0x .arctan2 x x x0 x x0 1 1 A. L 0; B. L ; C. L ; D. L . f (x ) f (x ) 2 3 lim k thì lim k. x x 0 g (x ) x x 0 g (x ) Chú ý  Chiều ngƣợc lại trong định lý là không đúng.  Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần.  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Tính chất 1) k .f (x )dx k f (x )dx , k 1.1. Định nghĩa • Hàm số F (x ) đƣợc gọi là một nguyên hàm của f (x ) trên 2) f (x )dx f (x ) C khoảng (a; b) nếu F (x ) f (x ), x (a; b). d 3) f (x )dx f (x ) Ký hiệu f (x )dx (đọc là tích phân). dx 4) [ f (x ) g(x )]dx f (x )dx g(x )dx . Nhận xét • Nếu F (x ) là nguyên hàm của f (x ) thì F (x ) C cũng là nguyên hàm của f (x ).  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số dx 1 x MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ 11) arctan C 2 2 a a x a 1) a.dx ax C , a dx x 1 12) arcsin C, a 0 x a2 x 2 a 2) x dx C, 1 1 dx 1 x a dx dx 13) ln C 3) ln x C; 4) 2 x C x 2 a2 2a x a x x dx x 14) ln tan C ax sin x 2 5) e xdx ex C; 6) a xdx C ln a dx x 7) cos xdx sin x C; 8) sin xdx cos x C 15) ln tan C cos x 2 4 dx dx dx 9) tan x C ; 10) cot x C 16) ln x x2 a C cos2 x sin2 x x2 a 12
  14. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số dx dx VD 1. Tính I . VD 2. Tính I . 4 x2 x2 x 6 1 2 x 1 2 x Giải. Biến đổi: A. I ln C; B. I ln C; 4 2 x 4 2 x 1 1 1 1 1 . 1 x 2 1 x 2 x 2 x 6 (x 2)(x 3) 5 x 3 x 2 C. I ln C; D. I ln C. 2 x 2 2 x 2 1 1 1 dx 1 x 2 Vậy I dx Giải. I ln C A. 5 x 3 x 2 2 2 4 x 2 x 2 1 1 x 3 ln x 3 ln x 2 C ln C. 5 5 x 2  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 1.2. Phƣơng pháp đổi biến dx VD 4. Tính I . a) Định lý x (x 3 3) Nếu f (x )dx F (x ) C với (t ) khả vi thì: Đặt t x3 3 dt 3x 2dx x 2dx f ( (t )) (t )dt F ( (t )) C. Giải. Biến đổi I . x 3 (x 3 3) dx VD 3. Tính I . 1 t 3 1 x3 x 3 ln x 2 ln C ln C. 9 t 9 x3 3 dx Giải. Đặt t ln x dt x dt t ln x I arcsin C arcsin C. 2 3 3 3 t  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số cot x c) Tích phân hàm lƣợng giác VD 5. Tính I dx . 2 sin 4 x 3 I R(sin x, cos x )dx . Giải. Biến đổi: cos xdx sin 3 x cos xdx Cách giải I . • Nếu R( sin x, cos x ) R(sin x, cos x ) (nghĩa là bậc sin x (2 sin 4 x 3) sin 4 x (2 sin 4 x 3) của sin lẻ) thì ta đặt t cos x . Đặt t 2 sin 4 x 3 dt 8 sin3 x cos xdx . • Nếu R(sin x, cos x ) R(sin x, cos x ) (nghĩa là bậc 1 dt 1 1 1 của cosin lẻ) thì ta đặt t sin x . I dt 4 t(t 3) 12 t 3 t • Nếu R( sin x, cos x ) R(sin x, cos x ) (nghĩa là bậc 1 t 3 1 2 sin 4 x ln C ln C. của sin và cosin chẵn) thì ta đặt t tan x hoặc hạ bậc. 12 t 12 2 sin 4 x 3 13
  15. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 1 • Nếu R(sin x , cos x ) thì ta đặt: VD 6 Tính I VD 13. sin3 2x cos2 x dx . a sin x b cos x c Giải. Biến đổi I 8 cos5 x (1 cos2 x )(sin x dx ). x 2t 1 t2 t tan sin x , cos x . 2 1 t2 1 t2 Đặt t cos x dt sin x dx . Vậy I 8 t 5 (t 2 1)dt 4 6 4 t8 t C cos8 x cos6 x C. 3 3  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 1.3. Phƣơng pháp tích phân từng phần x : Tính I VD 817. VD dx . a) Công thức 2x u(x )v (x )dx u(x )v(x ) u (x )v(x )dx Giải. Biến đổi I x .2 x dx . hay udv uv vdu. u x 2 x Đặt du dx , v dv 2 x dx ln 2 7 : Tính I VD 16. VD x ln x dx . x .2 x 1 x .2 x 2 x u ln x dx x2 I 2 x dx C. Giải. Đặt du ,v ln 2 ln 2 ln 2 ln2 2 dv xdx x 2 Chú ý 1 2 1 1 2 1 2 • Đối với nhiều tích phân khó ta phải đổi biến trƣớc khi I x ln x xdx x ln x x C. lấy từng phần. 2 2 2 4  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 3 sin x VD : Tính I VD 918. cos x e dx . 19.: Tính I VD10 VD cos 3 x dx . Giải. Biến đổi I (1 sin2 x )e sin x cos x dx . 3 Giải. Đặt t x x t3 dx 3t 2dt 2 t Đặt t sin x I (1 t )e dt . I 3 t 2 cos t dt 3 t 2 d(sin t ) 2 u 1 t du 2tdt Đặt dv e dtt v et 3t 2 sin t 6 td(cos t ) I et (1 t2) 2tetdt et (1 t2) 2t(det ) 3t 2 sin t 6t cos t 6 sin t C 3 et (1 t2) 2tet 2etdt 3 x2 6 sin 3 x 6 3 x cos 3 x C. et (t 1)2 C e sin x (sin x 1)2 C. 14
  16. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Các dạng tích phân từng phần thƣờng gặp §2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH x 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số f (x ) xác định trên [a; b ]. • Đối với dạng tích phân P(x )e dx , P (x ) là đa thức, Ta chia đoạn [a; b ] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia thì ta đặt: x 0 a x1 ... xn 1 xn b . u P (x ), dv e xdx . Lấy điểm [xk 1; xk ] tùy ý (k 1, n ). k n Lập tổng tích phân: f ( k )(x k x k 1 ). • Đối với dạng tích phân P(x )ln x dx , k 1 P (x ) là đa thức, thì ta đặt: Giới hạn hữu hạn (nếu có) I lim đƣợc gọi max(xk xk 1 ) 0 k u ln x, dv P(x )dx . là tích phân xác định của f (x ) trên đoạn [a; b ]. b ……………………………………………………………………… Ký hiệu là I f (x )dx . a  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số b Tính chất b b 5) f (x ) 0, x [a; b ] f (x )dx 0 1) k .f (x )dx k f (x )dx , k a b b a a b b b 6) f (x ) g(x ), x [a; b ] f (x )dx g(x )dx 2) [ f (x ) g(x )]dx f (x )dx g(x )dx a a a a a b b a b a 7) a b f (x )dx f (x ) dx 3) f (x )dx 0; f (x )dx f (x )dx a a a a b b c b 8) m f (x ) M, x [a; b ] 4) f (x )dx f (x )dx f (x )dx , c [a ; b ] b a a c m(b a) f (x )dx M (b a) a  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 1 9) Nếu f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ] thì dx VD 1. Tích phân bị chặn (hữu hạn) vì 2 b 0 x cos2 x c [a; b ] : f (x )dx f (c )(b a ). 1 hàm số f (x ) liên tục trên đoạn [0; 1]. a x2 cos2 x b 1 1 VD 2. Giá trị trung bình của hàm số f (x ) trên [1; e ] Khi đó, đại lƣợng f (c) f (x )dx đƣợc gọi là x b a e a 1 dx 1 giá trị trung bình của f (x ) trên đoạn [a; b]. là . e 1 1 x e 1 15
  17. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 2.2. Công thức Newton – Leibnitz x2 VD2 : VD 4. Cho (x ) t 3 ln tdt, x 0 . Tìm (x ). a) Tích phân với cận trên thay đổi (tham khảo) 1 Cho hàm f (x ) khả tích trên [a; b ], với mỗi x [a; b ] thì 2 Giải. Đặt t u dt 2udu , x t 1 u 1, t x 2 u x. hàm số (x ) f (t )dt liên tục tại mọi x 0 [a; b ] 2 a x x và (x ) f (x ). (x ) t 3 ln tdt 2u 7 ln u 2du 1 1 x t2 VD 3. Xét (x ) e dt, x 0. (x ) 2x 7 ln x 2 . 0 2 2 Ta có: f (t ) et và (x ) f (x ) ex .  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Công thức Newton – Leibnitz Nhận xét 1) Có hai phƣơng pháp tính tích phân nhƣ §1. Nếu f (x ) liên tục trên [a; b ] và F (x ) là một nguyên hàm x 2) Hàm số f (x ) liên tục và lẻ trên [ ; ] thì: tùy ý của f (x ) thì (x ) f (t )dt và F (x ) (x )+C a f (x )dx 0. là nguyên hàm của f (x ) trên [a; b ]. Vậy ta có: 3) Hàm số f (x ) liên tục và chẵn trên [ ; ] thì: b b f (x )dx F (x ) F (b) F (a ). f (x )dx 2 f (x )dx . a a 0  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 3 b dx 4) Để tính f (x ) dx , ta dùng bảng xét dấu của f (x ) để VD VD35.: Tính I . 1 x2 2x 5 a tách f (x ) thành tổng của các hàm trên mỗi đoạn nhỏ. e (x 2 1)ln x VD4 : VD 6. Tính I dx . Đặc biệt x 1 b b f (x ) dx f (x )dx nếu f (x ) 0, x (a;b). 3 3 a a VD5 : VD 8. Tính I x 4 x dx . 3 16
  18. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi 3.1. Tính diện tích S của hình phẳng các đƣờng y x 2 và y x 4 . a) Biên hình phẳng cho bởi phƣơng trình tổng quát 1 2 A. S ; B. S 15 15 4 8 C. S ; D. S . 15 15 S S Giải. Hoành độ giao điểm: x2 x4 x 1, x 0 0 1 b d 4 S f2 (x ) f1(x ) dx S g 2 (y ) g1(y ) dy S (x 2 x 4 )dx (x 2 x 4 )dx C. 15 a c 1 0  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Cách khác VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi Hoành độ giao điểm x 2 x4 x 1, x 0 các đƣờng x y 2 và y x 2 . 1 1 Giải. Biến đổi: S x2 x 4 dx 2 x2 x 4 dx x y2 x y2 1 0 . 1 y x 2 x y 2 4 2 (x 2 x 4 )dx C. 15 Tung độ giao điểm: 0 y2 y 2 y 1, y 2 2 2 1 2 1 3 27 S (y 2) y 2 dy y 2y y . 2 3 1 6 1  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi b) Biên hình phẳng cho bởi phƣơng trình tham số các đƣờng y e x 1 , y e 2x 3 và x 0. Hình phẳng giới hạn bởi đƣờng cong có phƣơng trình 1 ln 4 1 1 ln 2 1 x x(t ), y y(t ) với t [ ; ] thì: A. ln 4 ; B. ; C. ; D. ln 2 2 2 2 2 Giải. Hoành độ giao điểm: e x 1 e 2x 3 S y(t ).x (t ) dt . e 2x e x 2 0 e x 2 x ln 2. x2 y2 ln 2 ln 2 VD 4. Tính diện tích hình elip S : 1. 1 2x a b2 2 S (e 2x ex 2)dx e ex 2x 2 0 Giải. Phƣơng trình tham số của elip là: 0 1 1 x a cos t ln 4 ln 4 A. , t [0; 2 ]. 2 2 y b sin t 17
  19. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 2 2 3.2. Tính độ dài l của đƣờng cong S b sin t .( a sin t ) dt ab sin2 t dt a) Đƣờng cong có phƣơng trình tổng quát 0 0 2 1 cos 2t Cho cung AB có phƣơng trình y f (x ), x [a; b ] thì: ab dt ab . 2 b 0 l 1 [ f (x )]2 dx . AB a x2 VD 5. Tính độ dài cung parabol y từ gốc tọa độ 2 1 O(0; 0) đến điểm M 1; . 2  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Ta có: b) Đƣờng cong có phƣơng trình tham số 1 1 l 1 (y )2 dx 1 x 2 dx Cho cung AB có phƣơng trình tham số 0 0 x x (t ) , t [ ; ] thì: 1 y y(t ) 1 x 1 x2 ln x 1 x2 2 0 l [x (t )]2 [y (t )]2 dt. AB 2 1 ln 1 2 . 2 2  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 6. Tính độ dài cung C có phƣơng trình: 3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay x t2 1 a) Vật thể quay quanh Ox ,t 0; 1 . Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi y ln t t2 1 y f (x ), y 0 , x a , x b quay quanh Ox là: b Giải. Ta có: 1 V [ f (x )]2dx . l [x (t )]2 [y (t )]2 dt a 0 VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi 2 2 y ln x , y 0 , x 1, x e quay xung quanh Ox. 1 t 1 e dt 1. e 0 t 2 1 t 2 1 Giải. V ln x dx (x ln x x) . 1 1 18
  20. 9/6/2014  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số x2 y2 b) Vật thể quay quanh Oy VD 8. Tính V do (E ) : 1 quay quanh Ox. a2 b2 Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi Giải. Ta có: x g(y ), x 0, y c và y d quay quanh Oy là: x2 y2 b2 d 1 y2 a2 x2 . a 2 b 2 a 2 V [g(y )]2dy. c 2 a b 4 Vậy V a2 x 2 dx ab 2 . a 2 3 VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi a y 2x x 2, y 0 quay xung quanh Oy.  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số  Chƣơng 3. Phép tính tích phân hàm một biến số 2 Chú ý Giải. Parabol y 2x x đƣợc viết lại: Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi y 2x x 2 (x 1)2 1 y y f (x ), y 0 , x a và x b quay xung quanh Oy còn đƣợc tính theo công thức: x 1 1 y, x 1 . b x 1 1 y, x 1 V 2 xf (x )dx (*). a 1 2 2 VD 10. Dùng công thức (*) để giải lại VD 9. Vậy V 1 1 y 1 1 y dy 2 2 0 2 2x 3 x4 8 1 1 Giải. V 2 x (2x x )dx 2 . 8 8 3 4 3 4 1 y dy (1 y )3 . 0 ……………………………………………………………………… 0 3 0 3 0 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
14=>2