NGUYỄN QUỐC TIẾN
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A3
2
2
2
1
2
2
2
x a
y b
z c
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011
1
CHƯƠNG 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Hàm nhiều biến
1.1.1 Các định nghĩa
x y D D D R
)
,
với một và chỉ hay R
:f D D
. Ký hiệu
f x y ( ,
)
2
2
. Một qui luật f đặt tương ứng mỗi cặp số thực ( , một phần tử z R thì ta nói f là hàm hai biến số trên D D z
z
xy t ,
x
y
1
Ví dụ: Các hàm
u
f x y z ( , , )
2
2
2
2
u
1
x
y
z
,
u
x
y
z
, ...
Đối với hàm ba biến thì ta có định nghĩa tương tự, khi đó ta có: . Chẳng
)
hạn
x y mà ứng với chúng có thể xác định được giá trị của z được gọi )D f (
f x y ( ,
z
)
Tập hợp các cặp ( , là miền xác định của hàm hai biến , ký hiệu là .
1
2
2
Ví dụ:
z
)D f (
x
y
. Vậy
4
2
2
1
x
y
Miền xác định của hàm là gồm các điểm
nằm trong vòng tròn tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng 2.
2R
z
sin(
x
y
)
Miền xác định của hàm là
1.1.2 Giới hạn của hàm hai biến
f x y ( ,
( ,
z
)
)
M x y nếu với mọi
(
)
,
0 bé tuỳ ý cho trước có thể tìm được
M x y tiến đến điểm 0 sao cho khi
0
0
f x y ( ,
)
A
thì
. Ký hiệu
0 0 M M 0
f x y
)
A
f x y
)
hay
A
lim ( , M M
0
lim ( , x y
x 0 y 0
Giới hạn của hàm hai biến còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy như sau:
f M (
)
f x y ( ,
)
Cho hàm số
xác định trong miền D chứa điểm
(
,
M x y có thể ) 0
0
0
)
( ,
)
trừ điểm
f x y khi điểm ( ,
M x y dần tới điểm
0M . Ta nói rằng L là giới hạn của
)
(
,
M x y (
,
)
,
)
M x y nếu với mọi dãy
thuộc D dần tới
. L
0
0
0
n
n
n
0M ta đều có lim (
f x y n
n
n
Ký hiệu
f x y ( ,
)
hay
L
f M L )
lim ) (
x y ( ,
)
lim ( M M
x y , 0 0
0
xy
f x y ( ,
)
f x y ( ,
)
Ví dụ: Tính
với
2
2
lim )
x y ( ,
(0,0)
x
y
Số L được gọi là giới hạn của hàm khi điểm
2
x
f x y ( ,
)
.
y
y
,
x y ( ,
)
(0, 0)
(0, 0)
Ta có
ta đều có
, do đó (
)
x y , n
n
2
2
(
,
x y = 0.
) 0
f x y n
n
lim )
(
(0,0)
n
x y , n
2
2
xy
y
x
lim 0 x y 0
2
2
L
L
Ví dụ: Chứng minh không tồn tại.
x ta có
y
x 2
2
2
2
2
x
x
x
x
2 x 4
2 5
x
1 2
lim 0 x 0 y x y tiến về (0, 0) theo các hướng khác nhau thì
)
lim 0 x 0 y f x y có những giới hạn khác nhau.
( ,
)
, nhưng cho thì . Vậy Cho y
khi ( ,
2
2
xy
y
x
lim 0 x y 0
Do đó không tồn tại.
1.1.3 Tính liên tục của hàm hai biến.
z
f x y ( ,
)
,
)
D f (
)
M x y ( 0
0
0
Giả sử . Hàm được gọi là hàm liên tục tại điểm M0 nếu
f x y
)
(
,
)
f x y 0
0
lim ( , x y
x 0 y 0
.
2
2
Hàm số liên tục tại mọi điểm của một miền nào đó gọi là hàm liên tục trong miền đó. Điểm mà tại đó hàm số không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số
2R
f x y ( ,
)
x
y
x y
)
(0, 0)
2
2 , ( ,
xy
y
f x y ( ,
)
Ví dụ: Hàm số liên tục tại mọi điểm của
, ( ,
x y
)
(0, 0)
x 1
2
2
xy
y
x
lim x 0 y 0
Hàm số gián đoạn tại (0, 0) vì không tồn tại
1.2 Đạo hàm riêng
1.2.1 Định nghĩa
z
f x y ( ,
)
f x (
f x y ( ,
)
lim x 0
z x
, ) x y x
,
z
f
,
,
Cho hàm . Nếu xem y là một hằng số (tham số) thì f trở thành hàm của một biến số x. Ta gọi đạo hàm riêng của z theo biến x là giới hạn
' x
' x
f x
z x theo biến y
z
f x y ( ,
)
. Tương tự ta cũng định nghĩa đạo hàm riêng của hàm Ký hiệu
Ví dụ:
3
2
x 2 ,
1
z
x
. Ta có
y
z y
z x
-1y
y
x
lny
x
Hàm số
. Ta có
và
yx
z
x
z y
z x
Cho .
1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao
'
z
f x y ( ,
)
f
,x
' f là những đạo hàm riêng cấp một. Các y
Cho hàm số . Các đạo hàm
đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một gọi là các đạo hàm riêng cấp hai. Ký hiệu đạo
2
2
f
x y ,
hàm riêng cấp hai như sau:
'' yx
f 2
'' 2 x
x
f x
x
2
2
f
x y ,
f x y , x f y f x y
'' xy
'' 2 y
y
f x
f y x
f x y , f 2 y f y y
z
f x y ( ,
)
(
,
M x y hàm số ) 0
0
0
''
''
f
f
f
f
có các đạo Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm
0M thì
0M .
,xy
'' yx
,xy
'' yx
2
2
xy
xy
z
e
;xy
e
xye
hàm riêng và nếu các đạo hàm ấy liên tục tại tại
z x y
z y x
Ví dụ:
1.3 Vi phân toàn phần
1.3.1 Định nghĩa
z
f x y ( ,
)
(
)
,
x y và các đạo 0
0
,
có các đạo hàm riêng trong lân cận điểm
(
)
x y , 0
0
f y
z
f x y ( ,
)
(
,
)
(
)
x
(
)
y
0(
)
f x y 0
0
x y , 0
0
x y , 0 0
f x
f y
hàm riêng liên tục tại thì ta có Nếu hàm số f x
2
2
x
x
,
y
y
y
,
(
x
)
(
y
)
,
x 0
0
Trong đó
) là vô cùng bé cấp cao
,
(
)
f x y 0
0
được gọi là số gia toàn phần của z. Hàm 0(
) 0 . Ta cũng nói hàm z khả vi tại điểm
f x y ( , z hơn khi
(
)
x y , 0
0
.
4
z
)
(
)
,
x y ta gọi phần tuyến tính 0
0
x
(
)
(
)
y
(
)
Khi khả vi tại
z
f x y ( ,
)
x y , 0
0
x y , 0
0
x y , 0
0
,
f x y ( , f f x y dz x y . Vậy: ) ( 0
0
,
)
(
)
x
(
)
y
là vi phân toàn phần của tại và ký hiệu là
dz x y ( 0
0
x y , 0
0
x y , 0 0
f x
f y
.
df x y ( ,
)
x y dx ( , )
x y dy ( , )
f x
f y
hay
y
y
Ví dụ:
dz
dx
dy
1 y yx dx
x
ln
x dy
z
x
z x
z y
Xét hàm ta có:
1.3.2 Vi phân cấp hai
df x y tức là )
f x y ( ,
( ,
z
)
(
d df và ) là vi phân toàn phần của 2d f . Bằng cách dựa vào đạo hàm riêng cấp 2, ta được công thức:
2
2
2
2
2
2
d f x y
( ,
)
dx
2
dxdy
dy
f 2
f 2
x
f x y
y
được kí hiệu là Vi phân cấp hai của hàm 2d z hay
1.3.3 Áp dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng
z
f x y ( ,
)
(
,
x và
y đủ bé ta có công thức gần
x y . Khi ) 0
0
Xét hàm khả vi tại
z
f x y ( ,
)
(
,
)
(
)
x
(
)
y
f x y 0
0
x y , 0 0
x y , 0
0
f x
f y
đúng sau:
f x y ( ,
)
(
,
)
(
)
x
(
)
y
f x y 0 0
x y , 0
0
x y , 0
0
f x
f y
3,01
hoặc
1, 02
y
3,01
z
x
Ví dụ: Tính gần đúng giá trị .
x
1,
y
3,
x
0, 02,
y
0, 01
1, 02
1 0,06 1, 06
Xét hàm , . Khi đó: .
1.3.4 Đạo hàm hàm hợp
z
f u v ( , )
u
u x y ( ,
),
v
v x y ( ,
)
z x
z u u x
z v v x
Cho với thì các đạo hàm riêng được tính như sau:
Tương tự
5
z y
z u u y
z v v y
2
2
u
v
Ví dụ:
z
e
,
u
a
cos ,
x v
a
sin
x
Với thì:
2
2
2
2
v
u
v
2
2
u
v
z du u dx z dv v dx dz dx u e u a 2 ( x sin ) e x 2 ( cos ) v a
2 ae v ( cos x u x sin )
1.4 Cực trị của hàm hai biến
1.4.1 Điểm cực đại, điểm cực tiểu
M x y được gọi là điểm cực đại của
(
)
z
f x y ( ,
( ,
)
0
0
M x y trong ) . Trong trường hợp này ta cũng nói là hàm
f x y ( ,
)
nếu tại mọi điểm
) 0 )
, 0 lân cận của M0 ta đều có z
f x y ( ,
)
f x y ( , 0 M x y . , ( 0
0
0
đạt cực đại tại
)
Nếu thay chữ “đại” bởi chữ “tiểu” và bất đẳng thức thay bởi
f x y ( ,
( f x y ) , 0 0 f x y z ) ( ,
(
,
)
f x y ( ,
)
M x y được gọi là điểm cực tiểu của
)
(
,
f x y 0
0
0
0
0
thì
2
2
và 2
z x y ( ,
(0,1),
2
(0,1)
x y ( ,
z
)
)
(
z
y
x
. Ta có
1)
2
z Ví dụ: Cho hàm .Vậy (0,1) là điểm cực tiểu của hàm z . Giá trị cực tiểu thu được là 2. Điểm (2,3) chẳng phải là điểm cực trị của hàm z vì trong lân cận của nó có các điểm khác mà giá trị tại chúng có thể lớn hơn, có thể nhỏ hơn giá trị của z tại (2,3) .?
Điểm cực đại và cực tiểu khi chưa cần phân biệt được gọi chung là cực trị.
1.4.2 Cách tìm điểm cực trị của hàm hai biến
z
f x y ( ,
)
(
,
M x y thì tại ) 0
0
0
,
Người ta chứng minh được rằng nếu hàm
(
)
(
) 0
đó hoặc không tồn tại hai đạo hàm riêng hoặc các đạo hàm riêng đều bằng 0. Các đạt cực trị tại f f y x
)
x y , o
o
x y , o
o
x y , o
o
f x
f y
mà là điểm dừng. điểm (
)
,
x y mà tại đó o
o
Như vậy để tìm cực trị của hàm hai biến trước hết ta tìm các điểm (
không tồn tại hai đạo hàm riêng và các điểm dừng.
z
f x y ( ,
)
M x y là một điểm dừng của
(
,
0
0
2
) 2
2
(
)
A ,
(
)
B
,
(
)
C
Giả sử và tại M0 hàm z có các đạo hàm
x y , 0
0
x y , 0
0
x y , 0
0
z 2
z 2
x
0 z x y
y
2
0A , đạt cực đại nếu
AC
0
thì hàm đạt cực trị tại M0 (đạt cực tiểu nếu
riêng . Khi đó:
Nếu B 0A ).
6
2
B
AC
0
thì hàm không có cực trị tại M0.
2
Nếu
B
AC
thì chưa có kết luận.
0
3
3
Nếu
f x y ( ,
)
x
y
6
xy
2
2
f
y f
6 ,
3
3
x
6
x
x y ( ,
)
Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số .
' x
' y
hay hàm số luôn tồn tại hai đạo hàm riêng.
2
2
x
x
6
y
0
1 2
Ta có y Các điểm dừng là nghiệm của
2
2
y
6
x
0
x
y
1 2
3 3
y
.
M
M
0 (0; 0)
1(2; 2)
Giải hệ ta được hai điểm dừng và
M
0 (0; 0)
Xét điểm :
B
f
, 6
A f
6
x
, 0
C f
6
y
. 0
'' (0; 0) xy
'' (0; 0) xx
'' (0; 0) yy
M
M
0
0
2
B
AC
36 0
nên tại M0 không phải là cực trị.
Ta có:
M
1(2; 2)
B
f
Xét điểm :
, 6
A f
x
12
C f
y
12
'' (2, 2) xy
'' (2, 2) 6 xx
'' (2, 2) 6 yy
M
M
1
1
2
AC B cực tiểu là
f
. Mà 108 0 A (2, 2) 8 8 24
. Do đó (2, 2) là điểm cực tiểu của hàm số và giá trị 0 12 8
Ta có: , .
1.4.3 Cực trị có điều kiện
)
f x y ( ,
z
x y ( ,
)
. 0
Bài toán cực trị có điều kiện là bài toán tìm cực trị của hàm z . Điều này khác với tìm cực trị tự do của hàm f x y ( , ) 0 với ràng buộc trên toàn tập xác định ) x y ( , thỏa điều kiện
nếu suy ra được
x y ( ,
) 0
y x ( )
y
z
( , ( )) là phức tạp
f x y x y x ( )
) ( , f x y y hàm số một biến. Ta tìm cực trị hàm một biến. Trong trường hợp việc rút ta sử dụng phương pháp nhân tử số Lagrange theo các bước sau:
Từ điều kiện thì hàm
L x y ( ,
,
)
f x y ( ,
)
x y ( ,
)
Bước 1. Lập hàm Lagrange: với gọi là nhân tử số Lagrange.
,
)
0
' L x y ( , x
' L x y ( ,
,
)
0
y
,
)
0
' L x y ( ,
2
2
2
Bước 2. Tìm điểm dừng của hàm L, tức là giải hệ phương trình:
(
,
,
d L L dx
2
'' yy
'' xx
x y . Nếu ) 0 0
0
2
2
'' L dxdy L dy xy . Nếu
Bước 3. Xét dấu tại từng điểm dừng
z
(
,
)
z
(
,
)
) 0
(
,
,
0
(
,
,
d L x y thì max
f x y 0
0
d L x y thì min )
f x y 0 0
0
0
0
0
0
0
.
7
BÀI TẬP CHƯƠNG I
Câu 1. Miền xác định của hàm số
2
xy
1
x
z
z
z
xy 2
2
2
2
1 sin 2
2
5
x
y
1
x
y
4
x
y
2
1 sin xy
a) b) c)
z
z
ln
z
e
1 x
8
y
x 1 2 sin
x
2
2
d) e) f)
cos(1
z
sin
z
w x
2
x
4
y
b) c)
2
2
2
x
y
y
Câu 2. Miền giá trị của hàm số w xy xy ) a) Câu 2. Tính các giới hạn
e x
1
x 2
2 2
lim
x y ( , )
(0;0)
lim
x y ( , )
(2;1)
lim
x y ( , )
(1;0)
xy x
1 1
y
x
y
2
2
e
x
y
a) b) c)
3 2 2 x y 4
4
lim (
;1)
x y ( , )
lim
x y ( , )
(0;0)
x sin(1/ 2 ) x 1/ 2
xy 2 y x
y
x
lim x 2 y
2
x y
2
2
x
y
) sin
d) e) f)
e
2 x y 2
2
lim
x y ( , )
(1;1)
lim
x y ( , )
(0;0)
1
x
y
y
x
lim ( x 0 y 0
2
2
x
y
g) h) i)
f x y ( ,
)
f
(0, 0)
2R
2
1 1 2
x
y
Câu 3. Cho hàm số . Định nghĩa để hàm số liên tuc trên
c
1
,
x y ,
0, 0
f x y ( ,
)
Câu 4. Tìm a để các hàm số liên tục
2R
xy os2 2 x y a ,
x y ,
0,0
3
3
x
,
x y ,
0, 0
a) trên
f x y ( ,
)
0, 0
x a
y y ,
x y ,
0, 0
3
3
b) tại
1, 1
1, 1
, x y , c) y x y f x y ( , ) tại
1, 1
x 2 a , x y ,
2
x
yx
3
3
z
2 sin
x
z
e
ln
x
Câu 5. Tính các đạo hàm riêng cấp một
z
x
ln
y
3
xy
x y
2
2
a) b) c)
z
2 x tg
z
ln
x
x
y
z
3 3 y x
x
d) e) f)
x y
8
3
3
3
x
y
x
z
ln
xy
sin
2
y
y
e
x
z
x
y
2
2
z
cot
y
Câu 6. Tính các đạo hàm riêng cấp hai a) b) c) z
z
sin(2
x
y 3 )
z
x
g x
d) b) c)
z y
y x y
2
2
x
y
z
e
,
x
a
cos ,
t y
a
sin
t
Câu 7. Tính với z = eucosv, u = xy, v =
z t
Câu 8. Cho . Tính
z
ln
x
y y ,
sin
x
z x
Câu 9. Cho . Tính
4
2
2
2
2
2
Câu 10. Tìm cực trị của các hàm số sau:
z
x
8
x
y
5
z
x
y
x
1
z
x
y
2
2 2 2
2
2
a) b) c)
z
xy
3
x
2
y
z
x
y
z
4(
x
y
)
x
y
d) b) c)
9
